解直角三角形（考点突破）-2022年中考数学一轮复习（全国原卷版）

专题18解直角三角形

囿务复习目标

1.理解正弦、余弦、正切的概念，并能运用.

2.掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简;

3.理解直角三角形的概念，灵活运用直角三角形中边与角的关系和勾股定理解直角

三角形，提高把实际问题转化为解直角三角形问题的能力;

，考点梳理

一、直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：NC=90。NNA+NB=90。

2、在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半。

NA=30°

ZC=90°=>BC=-AB

可表示如下：2

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

ZACB=90"

=>CD=-AB=BD=AD

2

为的中点

可表示如下:DAB

22

4、勾股定理直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即/+b=c

5、射影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,

每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

ZACB=90\，CD2=AD»BD

AC2=AD»AB

CD1AB」LBC2=BD»AB

6、常用关系式

由三角形面积公式可得:

AB・CD=AC・BC

二、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a,b,c有关系/+/=。2,那么这个三角形是直角三角形。

三、锐角三角函数的概念

1、如图，在aABC中，ZC=9O°

①锐角A的对边与斜边的比叫做NA的正弦，记为sinA,即

NA的对边

的对边aNB的邻边

sin/=

斜边c

②锐角A的邻边与斜边的比叫做NA的余弦，记为cosA,即NA的邻边

NB的好边

NZ的邻边b

cosA=

斜边c

//的对边a

③锐角A的对边与邻边的比叫做NA的正切，记为tanA,即tanA=

NZ的邻边b

NZ的邻边;b

④锐角A的邻边与对边的比叫做ZA的余切，记为cotA,即cot4=

44的对边a

2、锐角三角函数的概念

锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做NA的锐角三角函数

3、一些特殊角的三角函数值

三角函数0°30°45°60°90°

j_V2

sina0V31

2~TV

V2j_

cosa1V30

~T~T2

V3

tana01V3不存在

T

V3

cota不存在V310

T

4、各锐角三角函数之间的关系

（1）互余关系

sinA=cos(90°一A),cosA=sin(90°一A)tanA=cot(90°一A),cotA=tan(90°—A)

（2）平方关系

sin2T4+COS2A=1

（3）倒数关系

tanA•tan(90°-A)=l

（4）弦切关系

sin/

tanA=--------

cosA

5、锐角三角函数的增减性

当角度在0。〜90。之间变化时,

(1)正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

(2)余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

(3)正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

(4)余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

四、解直角三角形

1、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元

素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据

在RtaABC中，4c=90。，ZA,ZB,Z_C所对的边分别为a,b,c

（1）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）

（2）锐角之间的关系：ZA+ZB=9O°

（3）边角之间的关系:

•Aa4bAaAanb°a

sinZ=—，cosA--,tanZ=—，cotA-—,tan5,cot5=—

ccbacab

盖；综合训练

1.（2021•佛山市华英学校九年级期末）在RM/8C中，ZC=90°,若的三边都缩小5倍，贝卜山/的

值（）

A.放大5倍B.缩小5倍C.不变D.无法确定

2.（2021・重庆实验外国语学校九年级开学考试）在用A48C中，44=90。，若/8=30。，则sinC=（）

A.—B.yC.—D.立

3.（2021•重庆市南华中学校）西南大学附中初2020级小李同学想利用学过的知识测量一棵树的高度，假设

树是竖直生长的，用图中线段N8表示，小李站在C点测得N8C/=45。，小李从C点走4米到达了斜坡DE

的底端。点，并测得NCDE=150。，从。点上斜坡走了8米到达E点，测得"ED=60。，B,C,。在同一水

平线上，A,B、C、D、E在同一平面内，则大树的高度约为（）米.（结果精确到0.1米，参考数

据：行=1.41，V3-1.73）

4.（2021•如皋市实验初中九年级期末）在中，乙i,NC是锐角，若/2=4,且tan/C=2tan//,

则25。面积的最大值是（）

A.4B.6C.4&D.8

5.（2021•沙坪坝区•重庆八中九年级二模）如图，一棵松树48挺立在斜坡C2的顶端，斜坡C3长为52米,

坡度为i=12：5,小张从与点C相距60米的点。处向上爬12米到达观景台的顶端点£,在此测得松

树顶端点/的仰角为39。，则松树的高度48约为（）（参考数据：sin39P0.63,COS39P0.78,

tan39°»0.81)

A.16.8米B.28.8米C.40.8米D.64.2米

6.（2021•宜兴市实验中学九年级二模）如图，四边形为矩形，点E为边48一点，将AADE沿。E折

94AD

叠，点A落在矩形4BCD内的点尸处，连接3尸，且BE=EF,NBEF的正弦值为三，则黑的值为（）

25AB

7.（2021,河南省淮滨县第一中学九年级开学考试）如图，在