解答基础题型之几何基础证明-2022-2023学年北京八年级（下）期末数学试题汇编（解析版）

专题09解答基础题型之几何基础证明

一、解答题

1.（2022春・北京朝阳•八年级统考期末）如图，在四边形4BCD中，BC=CD,AADB=AC=90°,乙4=

60°,AB=2屏.求。的长.

【答案】3

【分析】求出乙480=30。，得至&，利用勾股定理求出8。，再根据20=必，得到2C»=i8,

即可求出CD.

【详解】解：■:UDB=90。,乙4=60。，

.•280=30°,

.'.AD=--AB=y[6.

■■BD=ylAB2-AD2=J24-6=3亚，

,:BC=CD,NC=90°,

：.CD=CB,

.-.2CD2=BD2,

.•.20=18,

：.CD=3.

【点睛】此题考查了勾股定理，直角三角形中30。角的性质，正确掌握勾股定理的计算方法是解题的关

键.

2.（2022春・北京顺义•八年级统考期末）如图，四边形/BCD和2EFC都是平行四边形.求证四边形/成叫

是平行四边形.

D

BC

E

【答案】见解析

【分析】首先根据平行四边形的性质，可得AD||BC,AD=BC,BC||EF,BC=EF,进而得出AD||EF,AD

=EF,即可判定.

【详解】解：••・四边形ABCD和BEFC都是平行四边形，

•••ADHBC,AD=BC,BC||EF,BC=EF.

•••ADIIEF,AD=EF.

••・四边形AEFD是平行四边形.

【点睛】此题主要考查利用平行四边形的性质进行平行四边形的判定，熟练掌握，即可解题.

3.（2022春・北京东城•八年级统考期末）如图，在口43a）中，AE、C尸分别平分乙B4D、乙BCD.求证：

AE\\CF.

【答案】见解析

【分析】由四边形488是平行四边形，得出4DIIBC,AD=BC,^BAD=^BCD,根据/E、CF分别平分

乙BAD、乙BCD,得出证AADE三ACBF,所以乙4ED=NC尸5,即可求证.

【详解】证明：,••四边形N8CD是平行四边形，

：.AD\\BC,AD=BC,^BAD=^BCD,

:.乙4DE—CBF,

•・•/DAE=-/BAD,/BCF=-/BCD,

22

，乙DAE—BCF,

在/中，

/ADE=ZCBF

<AD=BC,

/DAE=ZBCF

'.AADE=ACBF(ASA),

:,乙AED=cCFB,

.-.AE\\CF.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题

关键是正确寻找全等三角形解决问题.

4.(2022春・北京朝阳•八年级北京八十中校考期末)如图，比中，ZC=9O°,4D平分乙BAC,交BC

于点。，C£>=1.5,80=2.5.

(1)求点。到直线的距离；

(2)求线段NC的长.

【答案】(1)1.5；(2)3

【分析】(1)作DEU2,根据角平分线的性质得到DE=CD=1.5,得到答案；

(2)证明R/A4CD三七△NED,根据全等三角形的性质得到NC=/E,根据勾股定理求出8£,再根据勾股定

理列出方程，解方程得到答案.

(1)解：过点。作。E1/8于£,

•••AD平分M/C,zC=90°,DELAB,

：.DE=CD=1.5,

•••点。到直线43的距离为1.5；

(2)解：在上△NCD和必△AED中，

[CD=ED

[AD=AD'

.■.RtAACD=RtAAED(HL)

：.AC=AE,

在RtADEB中，BE=y/BD2-DE2=2，

在比ZUC2中，AB2=AC2+BC2,即(AC+2)2=AC2+42,

解得,AC=3.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定定

理和性质定理是解题的关键.

5.（2022春・北京石景山•八年级统考期末）如图，四边形48CZ）是平行四边形，AE平分乙BAD,交。。的

延长线于点区求证：BC=DE

【答案】见解析

【详解】解：•・•四边形ABCD是平行四边形，

.-.ABHDC,AD=BC,

.,.ZBAE=Z.E,

・・・AE平分/BAD,

.,.Z.BAE=ZDAE,

.,.Z.E=Z.DAE,

••.DA=DE,

又・・・AD=BC,

・・.BC=DE.

6.（2022春•北京海淀•八年级统考期末）如图，在菱形48co中，E为48边上一点，过点£作£尸〃2C,

交BD于点、M,交CD于点足求证：CF=EM.

【分析】由平行四边形的性质得N8IICD,AD^BC,AB=AD,再证四边形8CFE是平行四边形，EFWAD,得

BE=CF,然后证贝即可得出结论.

【详解】解：•••四边形/5CD是菱形，

：.AB\\CD,/DII8C,AB=AD,

Z-ADB=AABD,

-EFWBC,

・•・四边形5CFE是平行四边形，EFWAD,

:.BE=CF,UDBSEMB,

•••Z-ABD=Z-EMB,

:,BE=EM,

：.CF=EM.

【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握

菱形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键.

7.（2022春•北京大兴•八年级统考期末）如图，在Y/BCD中，对角线/C,BD交于点O,且点E,尸分别

是/。，C。的中点，连接BE,BF,DE,DF.求证：四边形3矶＞厂是平行四边形.

【答案】见解析

【分析】由平行四边形的性质可求得O/=OC、OB=OD,再结合E、尸为中点，可求得OE=OR则可证得

四边形E8ED为平行四边形；

【详解】证明：•••四边形/BCD是平行四边形，

：.AO=CO,BO=DO.

丁点£,尸分别是/O，CO的中点，

：.EO=-AO,FO=-CO.

22

:.EO=FO.

••・四边形BEDF是平行四边形.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键.

8.（2022春•北京通州•八年级统考期末）如图，在口4800中，E,尸分别在8c上，且N£=C/，连结

BE、DF.求证：BE=DF.

E

4D

BFC

【答案】详见解析

【分析】根据平行四边形性质得出ADII8C,AD=BC,求出DE=BF,DE\\BF,得出四边形DEB尸是平行四

边形，根据平行四边形的性质推出即可.

【详解】•••四边形/BCD是平行四边形，

■■.ADWBC,AD=BC,

■•■AE=CF,

：.DE=BF,DEWBF,

••・四边形DEBF是平行四边形，

：.BE=DF.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形。£3厂是平行四

边形是解决问题的关键.

9.（2022春•北京门头沟•八年级统考期末）已知：如图，在口/3CZ）中，点E在3C上，点尸在6C的延长

线上，且CF=BE,连接4E,DF.求证：AE=DF.

A.______________J）

【答案】见解析

【分析】由平行四边形的性质，得到48=DC,AB//DC,再根据SAS来证明1三ADCT7即可.

【详解】证明：在口/3。。中，AD=BC,AB=DC,ABIIDC,

ZB=ZDCF,

在“BE和ADCF中，

:必ABE^ADCF(SAS),

AE=DF.

【点睛】本题考查平行四边形的性质及SAS证三角形全等，解题关键是找到两个三角形全等的条件.

10.（2022春•北京房山•八年级统考期末）已知如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上

的点，且BE=DF,求证：AE=CF

【答案】详见解析

［分析］根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABEmaCDF，再利用全等三角形的性质即可得到AE=CF.

【详解】证：,•,四边形ABCD是平行四边形，.-.AB=CD,NB=ND,又•.•BE=DF,.-.AABE=ACDF,：.AE=CF.

（其他证法也可）

11.（2021年陕西省中考复习诊断性数学检测试题）已知：如图，在Y/BCD中，瓦尸是对角线8。上两个

【答案】见详解

【分析】根据平行四边形的性质得到48=CD,乙4BENCDF,证明出ZUBE三△CDF,得出结论.

【详解】证明：,•・四边形是平行四边形，

：.AB=CD,ABWCD.

:.乙ABE=&CDF.

在AABE和△CDF中

AB=CD

<NABE=ZCDF

BE=DF

：.AABE^ACDF(SAS)

：.AE=CF.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与三角形全等的判定与性质，关键在于掌握平行四边形的性质

与三角形全等的判定.

12.(2022春・北京延庆•八年级统考期末)如图，已知四边形4BCD是平行四边形，BE1AC,DF1AC,求

证：BE=DF.

【答案】见解析

【分析】可证明A42E三即可得到结论.

【详解】证明：••・四边形/BCD是平行四边形，

:.AB=CD,ABWCD,

:亿BAC=U)CA,

•:BEBC于E,DF1AC于F,

；.UEB—DFC=9Q°,

在△ABE和△(?£)尸中，

'ZBAE=NDCF

<NAEB=NCFD,

AB=CD

■■.AABE=ACDFCAAS).

；.BE=DF.

【点睛】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质和全等三角形的

判定是解决问题的关键.

13.(2022春・北京平谷•八年级统考期末)如图，在平行四边形ABCD中，连接AD,取2。中点O,过点。

作直线ER分别交BC于点、E,F,求证：AE=CF.

B

【答案】见解析

【分析】欲证明4&=。尸，只要证明△DOE三ABO尸（4£4）即可;

【详解】•:BD的中点是。，

：.OB=OD

•••四边形/BCD是平行四边形，

：.AD\\BC,AD=BC

■■■/-ODE=Z-OBF,/-OED=/.OFB,

在和△COF中，

'NODE=NOBF

<OD=OB,

ZOED=ZOFB

；.4DOEm4BOF(ASA),

：.DE=BF

：.AD-DE=BC-BF

：.AE=CF.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质.解题的关键是熟记平行四边形的各

种性质以及全等三角形的各种判定方法.

14.（2022春・北京•八年级统考期末）如图，在丫/8CD中，点、E,尸分别在8C,AD±,且BE=FD,求证

四边形/ECF是平行四边形.

【答案】见解析

【分析】根据平行四边形的性质可得/川IECAF=EC,然后根据平行四边形的定义即可证得.

【详解】证明：•・・四边形/5C。是平行四边形，

.••ADWBC,AD=BC,

.-.AF\\EC,

,；BE=FD,

；.BC-BE=AD-FD,

：.AF=EC,

.•・四边形AECF是平行四边形.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出/尸=£C是解决问题的关

键.

15.（2021春•北京密云•八年级统考期末）如图，平行四边形N8CD中，4cL4B,点E为BC边中点,AD=

6,求/£的长度.

AD

【分析】由平行四边形的性质得出2C=/D=6,由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果.

【详解】解：•••四边形488是平行四边形，

:.BC=AD=6,

•••£为8c的中点，ACLAB,

；.AE=3BC=3.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的性质，由

直角三角形斜边上的中线性质求出/£是解决问题的关键.

16.（吉林省长春市东北师大附中新城校区2019-2020学年八年级下学期期中数学试题）如图，在口13。中,

E、尸分别是40、8C上的点，且BF=DE.求证：AF=CE.

【答案】见解析

【分析】首先由平行四边形的性质得出NDII8C,AD=BC,然后判定四边形/EC尸为平行四边形，即可得解.

【详解】•••四边形/BCD是平行四边形，

：.AD\iBC,AD=BC.

•；BF=DE,

••/£||CRAE=CF,

••・四边形/ECF为平行四边形.

：.AF=CE.

【点睛】此题主要考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握，即可解题.

17.（2021春・北京西城•八年级统考期末）如图，在58。中，点E,尸分别在边上，BE=DF,

斯与对角线/C相交于点。.求证：OE=OF.

【答案】见解析

【分析】由平行四边形的性质得出N2IICD,AB=CD,证出/E=CF,乙4EO=ACFO,由44s证明

AAOE=ACOF,即可得出结论.

【详解】证明：•••四边形/BCD是平行四边形，

.-.ABWCD,AB=CD,

■.■BE=DF,

：.AB-BE=CD-DF,即AE=CF,

■：AB\\CD,

：.Z-AEO=/-CFO,

在A4OE和△COE中，

'ZAEO=NCFO

<NAOE=ZCOF

AE=CF

:.AAOEmMOF（AAS）,

■■,OE=OF.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形

的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.

18.（2021春•北京海淀•八年级统考期末）如图，在丫4BCD中，点E,尸分别在5C,AD上，S.BE=DF,

连接NE,CF.求证：AEHCF.

FD

B*~Et

【答案】见解析

【分析】由平行四边形的性质得/DII3C,AD=BC,再证/尸=。石，得四边形NECB是平行四边形，即

可得出结论.

【详解】证明：•••四边形23CD是平行四边形，

A4DIIBC,AD=BC.

-：BE=DF,

.-.AD-DF=BC-BE.

即AF=CE.

又《AF"CE,

二.四边形AECF是平行四边形.

.-.AEUCF.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.

19.（2021春・北京延庆•八年级统考期末）如图，将矩形/BCD沿对角线AD所在直线折叠，点C落在同一

平面内，落点记为尸，BF与AD交于点、E,若N3=4,BC=8,求BE的长.

【答案】5

【分析】先证明八43£和△EDE全等，得出3E和DE相等，从而4E=8-BE,在"台后中用勾股定理算出BE

长即可.

【详解】解：在A48E和△阳£中，

=ZF

<ZAEB=ZDEF,

AB=FD

■■.AABE=AFDE(44S),

:.BE=DE,

设BE=x,贝i]/E=8-x,

,•-42+（8-x）2=N,

解得x=5,

■■BE的长度为5.

【点睛】本题主要考查矩形的性质和全等三角形的判定，关键是要能根据矩形的性质，判断出三角形全等,

矩形的内角是90。，对边相等，对角相等要牢记于心.

20.（2021春・北京朝阳•八年级统考期末）已知：如图/、。是nDEAF的对角线斯所在直线上的两点，

且求证：四边形43c7）是平行四边形.

【答案】见解析

【分析】根据平行四边形和平行线的性质，推导得=NDFC=NBEA；根据全等三角形的判

定和性质，证明△£>£1/丝△AFC、4DFC学4BEA,得4D=BC、CD=AB,即可完成证明.

【详解】证明：•••平行四边形DE5F,

：.DEHBF,DFHBE,

.­.NDEF=ZBFE,ZDFE=/BEF,

-.■ZDEF+ZDEA=ISO°,NBFE+NBFC=18Q°,ZDFE+ZDFC=1SO°,NBEF+NBEA=18Q°,

ADEA=ZBFC,ZDFC=ABEA,

・•・平行四边形DEBF,

：.DE=BF,DF=BE,

在&DEA和ABFC中，

'DE=BF

<NDEA=ZBFC

AE=CF

■■■^DEA^^BFC,

AD=BC,

在△。尸。和ZXBEN中,

DF=BE

<NDFC=NBEA

AE=CF

••.△DFC沿ABEA,

CD=AB,

••・四边形N8CD是平行四边形.

【点睛】本题考查了平行四边形、平行线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、全等

三角形的判定和性质，从而完成求解.

21.（2021春・北京房山•八年级统考期末）如图，在A42c中，AB=AC,。为2C中点.四边形/ADE是平

行四边形.

求证：四边形4DCE是矩形

【答案】见解析

【详解】证明：••・四边形/8DE是平行四边形，

■■.AEWBC,4B=DE,AE=BD.

•••D为BC的中点，

：.CD=DB.

c.CDUECD=AE,

.•・四边形ADCE是平行四边形.

•；AB=AC,

：.AC=DE.

・•・平行四边形/DCE是矩形.

22.（2021春•北京房山•八年级统考期末）已知如图，在口/BC。中，点M、N分别是/8、CD的中点.求

证：DM=BN.

»（

【答案】见解析

【分析】根据平行四边形的性质得到48=CD,AD=BC,乙4=NC,利用点M、N分别是/8、CZ）的中点证

得，再证明aADM三ZkCBN即可得到结论.

【详解】证明：•••四边形/8C。是平行四边形，

：.AB=CD,AD=BC,ZG4=ZC.

又•.•点M、N分别是42、CD的中点，

.-.AM=-AB,CN=-CD.

22

AM=CN.

：.AADM^/\CBN（SAS）

：.DM=BN.

【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，线段中点的性质，根据题中的已知条件

确定正确全等三角形的思路是解题的关键.

23.（北京市通州区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题）如图，在Y/8CD中，点E,尸分别在

AD、2c上，且