2024-2025学年高中数学第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.1.2离散型随机变量的分布列课后课时精练新人教A版选修2-3

PAGE1-2.1.2离散型随机变量的分布列A级：基础巩固练一、选择题1．设随机变量的分布列为P(ξ＝k)＝eq\f(c,kk＋1)(k＝1,2,3,4)，其中c为常数，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(5,2)))等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)答案D解析∵P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝1，可得c＝eq\f(5,4).Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(5,2)))＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(c,2)＋eq\f(c,6)＝eq\f(2,3)×eq\f(5,4)＝eq\f(5,6).2．设某项试验的胜利率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的胜利次数，则P(ξ＝0)等于()A．0B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案C解析ξ的分布列为ξ01Pp2p即“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验胜利，设失败率为p，则胜利率为2p，由p＋2p＝1，得p＝eq\f(1,3)，∴P(ξ＝0)＝eq\f(1,3).3．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为()A.eq\f(28,45)B.eq\f(16,45)C.eq\f(11,45)D.eq\f(17,45)答案B解析由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,8),C\o\al(2,10))＝eq\f(16,45).4．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么eq\f(3,10)等于()A．恰有1个是坏的的概率B．恰有2个是好的的概率C．4个全是好的的概率D．至多有2个是坏的的概率答案B解析A中“恰有1个是坏的的概率”为P1＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,7),C\o\al(4,10))＝eq\f(105,210)＝eq\f(1,2)；B中“恰有2个是好的的概率”为P2＝eq\f(C\o\al(2,7)C\o\al(2,3),C\o\al(4,10))＝eq\f(3,10)；C中“4个全是好的的概率”为P3＝eq\f(C\o\al(4,7),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,6)；D中“至多有2个是坏的的概率”为P4＝P1＋P2＋P3＝eq\f(29,30).故选B.5．从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P(X＝3)等于()A.eq\f(3,10)B.eq\f(7,10)C.eq\f(21,40)D.eq\f(7,40)答案D解析“X＝3”表示前2次未抽到中奖彩票，第3次抽到中奖彩票，故P(X＝3)＝eq\f(A\o\al(2,7)C\o\al(1,3),A\o\al(3,10))＝eq\f(7×6×3,10×9×8)＝eq\f(7,40).选D.二、填空题6．已知随机变量ξ的分布列为ξ－2－10123Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,12)设η＝ξ2－2ξ，则P(η＝3)＝________.答案eq\f(1,3)解析由题意，可知P(η＝3)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝3)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,3).7．将3个小球随意地放入4个大的玻璃杯中去，杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列为________．答案X123Peq\f(3,8)eq\f(9,16)eq\f(1,16)解析依题意可知，杯子中球的最多个数X的全部可能值为1,2,3.当X＝1时，对应于四个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形；当X＝2时，对应于四个杯子中恰有一个杯子放两球的情形；当X＝3时，对应于四个杯子中恰有一个杯子放三球的情形．当X＝1时，P(X＝1)＝eq\f(A\o\al(3,4),43)＝eq\f(3,8)；当X＝2时，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)·C\o\al(1,4)·C\o\al(1,3),43)＝eq\f(9,16)；当X＝3时，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,4),43)＝eq\f(1,16).可得X的分布列如表：X123Peq\f(3,8)eq\f(9,16)eq\f(1,16)8．袋中装有5只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得3分，取到1只黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P(ξ≥8)＝________.答案eq\f(5,6)解析由题意知P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝6)－P(ξ＝4)＝1－eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(3,4),C\o\al(4,9))－eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,9))＝eq\f(5,6).三、解答题9．老师要从10篇课文中随机抽取3篇让学生背诵，规定至少要背出其中的2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布列(可用算式表示)；(2)他能及格的概率．解(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则X为随机变量，且X听从参数N＝10，n＝3，M＝6的超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3，则可得其概率分布列为X0123Peq\f(C\o\al(0,6)C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,4),C\o\al(3,10))eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(0,4),C\o\al(3,10))(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＋eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(0,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(15×4,120)＋eq\f(20,120)＝eq\f(80,120)＝eq\f(2,3).B级：实力提升练10．在心理学探讨中，常采纳对比试验的方法评价不同心理示意对人的影响，详细方法如下：将参与试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理示意，另一组接受乙种心理示意，通过对比这两组志愿者接受心理示意后的结果来评价两种心理示意的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理示意，另5人接受乙种心理示意．(1)求接受甲种心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理示意的女志愿者人数，求X的分布列．解(1)记接受甲种心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的事务为M，则P(M)＝eq\f(C\o\al(4,8),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,18).(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(5,6),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(2,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(10,21)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,