空间向量与立体几何-高考数学二轮复习典例分析及重难突破

专题七空间向量与立体几何

高考数学二轮复习典例分析及重难突破

►典例分析

考查方式

高考对于立体几何的考查通常在选择题、填空题中，主要考查几何体的结构特征，几何体

表面积、体积的计算，空间点、线、面位置关系的判定，空间角（异面直线所成角、线面角、

二面角）的找法及计算，与截面、球有关的问题（此类问题往往难度较大），在解答题中主要

考查平行与垂直的判定，空间角、空间距离的计算，常采用论证与计算相结合的模式.此外立

体几何也可能出现以生活、科技等为情境的试题，同时对立体几何的考查还涉及和其他知识的

交汇，复习的重点在于提高空间想象能力、计算能力和阅读理解能力.

高考真题

1.[2024年新课标I卷]已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为出，

则圆锥的体积为（）

A.2，§兀B.3#＞兀C.6^371D.9^371

2.[2024年新课标H卷]已知正三棱台ABC-451G的体积为半，钻=6,4片=2,则A]A与

平面ABC所成角的正切值为（）

A.-B.lC.2D.3

2

3.[2023年新课标n卷]（多选）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径，

ZAPB=120°,

PA=2,点C在底面圆周上，且二面角P—AC—O为45。，则（）

A.该圆锥的体积为KB.该圆锥的侧面积为4百兀

C.AC=2A/2D.ZXB4c的面积为石

4.[2023年新课标H卷]底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面

边长为2,高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

5.[2023年新课标I卷]在正四棱台A3CD-4gCQ中，AB=2,4与=1,例=也，则该

棱台的体积为.

6.[2024年新课标I卷]如图，四棱锥P-ABCD中，24,底面ABC。，PA=AC=2,BC=l,

AB=6

(1)若证明：〃平面PBC；

⑵若ADLOC'且二面角A一中一。的正弦值为年'求AD

7.[2024年新课标H卷]如图，平面四边形A3CD中，AB^8,CD=3,AD=5y/3,ZADC=90°,

21

ZBAD^30°,点E,R满足AE=—AD,AF=-AB,将△AEF沿ER翻折至△尸EF,使得

52

PC=4A/3,

(1)证明：EF±PD：

(2)求平面PCD与平面PBR所成的二面角的正弦值.

参考答案

1.答案：B

解析：设圆柱和圆锥的底面半径均为「，因为它们的高均为君，且侧面积相等，所以

271rx6=nr瓜屏》,得产=9,所以圆锥的体积V=；兀产义6=3岛，故选B.

2.答案：B

解析：设正三棱台ABC-451G的高为〃，三条侧棱延长后交于一点P,作平面ABC于

点。，尸。交平面44G于点。I，连接。4，。俎，如图所示.由A3=34与，可得尸。1=3丸，

2

尸。=，，又SAABC=1X6X^=9V3,所以正三棱台ABC-A4c

的体积V=Jc—匕*=；*9昂，一?昂/音,解得丸=¥，故吁，=26

由正三棱台的性质可知，0为底面A3C的中心，则0A=2x病=F=2百，因为POL平面

3

pn

ABC,所以/PAO是4A与平面ABC所成的角，在RtZ\PAO中，tanZPAO=—=l,故选B.

0A

3.答案：AC

解析：对于A,依题意，圆锥母线长/=出=依=2,PO=PA-cos600=1,

AO=BO=PA-sin6Q°=y/3,所以底面圆的半径厂=百，圆锥的体积为^兀乂代了」=兀，故A

正确；对于B,该圆锥的侧面积为兀〃=兀・6-2=2百兀；故B错误；

对于C,如图，取AC的中点M,连接PM,0M,则Q0，AC,又因为24=尸。，所以，AC,

pn

故NPMO为二面角尸—AC—O的平面角，即NPMO=45。，所以1皿45。=~=1,即3/=1,

OM

所以AC=2A/I3r^F=2x万1=2血，故C正确；

对于D,由选项C可知，AC=2五,PM±AC,PM=^1PA2-^AC^=4^2=42,所以

11lL

△PAC的面积为一PM•AC=—乂必2也=2,故D错误.故选AC.

22

解析：法一：由于2=工，截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,所以原正四棱

42

锥的体积为gx(4x4)x6=32,截去的正四棱锥的体积为:X(2X2)X3=4,所以棱台的体积为

32-4=28.

法二：由法一可知，棱台的体积为』x3x(16+4+^^)=28.故答案为28.

3

5.答案：还

6

解析：如图，连接AC,BD交于点0,连接AG，BR交于点连接OOX,过点-作A.H1AC

于点H,则OOX为正四棱台ABCD-A.B.QD,的高.

在等腰梯形AACG中，AC=4iAB=2垃,AG=0A4=0，贝1JAO=gAC=后，

AO1=1AC1=^,所以=?.又抽=血，所以乎，所以oa=A〃=半，所

以正四棱台ABCD-A4GR的体积为1X(12+22+712X22)x曰=工£.

6.答案：(1)证明见解析

(2)AD=#)

解析：(1)证明：由于24,底面ABCD,4。匚底面48。。，；.八4,4。,

又ADLP5,PAPB=P,PA,P5u平面B4B,r.AD，平面以3,

又ABu平面B4B,:.AD±AB.

AB2+BC2^AC2,：.AB±BC,：.BC//AD,

ADu平面PBC,BCu平面PBC,.•.AD〃平面PBC.

(2)由题意知DC,AD,AP两两垂直，以。为坐标原点，AD所在直线为x轴，DC所在直

线为y轴，过点。且平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则£>(0,0,0),

设A(a,0,0),a>Q,

AC=(~ci,，4—a2,0

设平面CPD的法向量为〃=(x,y,z),

CDll=Q,即一，4—a?y=0_

则,，可取〃=(2,0,—〃).

CPn=Qax-\4-a2y+2z=0

设平面ACP的法向量为帆二(%,%*]),

m-CP=0口口ax.—^4—a2y,+2z,=0/-------

则，即।'__21,可取m=(，4—Q2,Q,O).

m

,AC-0—axx+，4-=0

二面角人-。尸"的正弦值为半

.・.余弦值的绝对值为9,

痂।/\i_\^nn\244-Y—币

oXIcos\7?i,n)\——―//.—,

\tn\-\n\'4_/+.2,“+'27

又a〉0,:.a=«,即4。=技

7.答案：(1)证明见解析

“、8765

65

解析：(1)证明：由题，AE=-AD=2y/3,AF=-AB=4,又NBAZ)=30。，

52

所以由余弦定理得石尸=4£2+人/2—2Ag•■<0530。=4,故EF=2.

又EF°+AE。=AF?,所以EFLAE.

由£F_LAE及翻折的性质知EFLPE,EF±ED,

又EDPE=E,EZ>,PEu平面PED,所以平面PED

又？Du平面PED,所以EFLPD.

(2)如图，连接CE,由题，DE=36，CD=3,NCDE=90°,故CE=^D田=6.

又PE=AE=2^,PC=4A/3,所以PE?+“？=尸。2,故PE_LCE.

又PELEF,CEEF=E,CE,Ebu平面A3CD,所以PEJ_平面A3CD

EF,ED,PE两两垂直，故以E为原点，EF,ED,PE所在直线分别为x,»z轴建立空间直

角坐标系，

则P(0,0,23)，£>(0,30,0),尸(2,0,0),A(0,—26,0),。(3,36,0),

连接以，贝UP。=(0,3g,—2g),DC=(3,0,0),AP=Q,2也,2有),AF=(2,2^,0).

设平面PCD的法向量为%=a，x，zj,

n,•PD——2y/3z,=0

则।71',可取为=(0,2,3).

nx-DC—3%i=0

设平面PBF即平面PAF的法向量为〃2=(x2,y2,z2),

则"团2凤+产「。，可取「(后n),

n2-AF=2X2+2。3y2-0

所以kOS〈》1，〃2〉|

|时|〃2|165

故平面PCD与平面P3R所成二面角的正弦值为、U8厢

V6565

►重难突破

1.已知球的半径为1,其内接圆锥的高为3,则该圆锥的侧面积为（）

2

B.匝

ACD.3兀

-T2T

2.如图，在长方体ABCD-A4GA中，AB=AD=1^=2e，点后为A3上的动点，则

RE+CE的最小值为（）

BV15C-2+2&D.历

3.已知c,尸是两个不同的平面，a,6是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线/工。

的是（）

A.a,1//(3alia

C.///。，a±aLa，ILb，aua，bua

4.中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术

却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为36兀的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇

铸成一个底面积为81兀的圆锥，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为（）

1212

A.-B.-C.-D.-

3399

5.在正方体—4及£2中，E,R分别是BQ的中点，则（）

A.EF//BDB.FA〃平面BCE

C.EF±BQD.AF,平面BCGB]

6.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.

如图，四棱锥F—ABCD为阳马，丛，平面ABC。，^.AB=AD=AP=3,EC=2PE,则

AEDE=（）

C.2D.5

7.如图，正方体A3CD-A31GA的棱长为1，点。为正方形内的动点，满足直线5P与

下底面ABC。所成角为60。的点P的轨迹长度为（）

AB

A巫B.3兀C.gD.且兀

362

8.如图，在多面体EF-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，胆为底面ABCD内的一个

动点（包括边界），底面底面ABCD,且AE=CF=2,则ME-MR的最小值

与最大值分别为（）

9.图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成.可以

看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上.研究表明蜂房

底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的

菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3）,且平

面ABCD与平面AZBS的夹角为45。，则cos/ASB=（）

图1

D速

A.1B.同c.桓

322

10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-4gGA中，。为线段瓦。上的动点，则下列结论错误

的是（）

A.直线4尸与30所成的角不可能是巴

6

B.若3］尸=；3］。，则二面角3-42-用的平面角的正弦值为1

C.当4P=2PC时，4尸=3叵

3

D.当用「=2PC时，点D.到平面A.BP的距离为多

1113

11.正三棱柱ABC-中，AB=2，AA=C，。为5c的中点，〃是棱5G上一动点，过

。作QVLA"于点M则线段MN长度的最小值为（）

A.亚B.逅C.9D.6

424'

12.“长太息以掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小

玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看

作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球。）.如图：已知粽子三棱锥P-ABC中，

PA=PB=AB=AC=BC,H、I、J分别为所在棱中点，D、E分别为所在棱靠近P端的三等

分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE或平面H/J切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉

馅与整个粽子体积的比为（）

13.(多选)下列命题是真命题的有()

A.直线/的方向向量为。=(1,-1,2),直线机的方向向量为5=[2,1,-g],则/与机垂直

B.直线/的方向向量为a=(O,L-D，平面c的法向量为〃=(1,T,T)，则

C.平面a,p的法向量分别为4=(0,1,3),4=(L0,2)，则四

D.平面a经过三点4(1,0,-1),3(0,1,0),C(-l,2,0),向量〃=是平面的法向量，则

u+t=1

14.(多选)在棱长为2的正方体A3CD-A4GA中，点航在线段耳。上，B1M=2MC,过A,

G，M三点的平面截正方体所得的截面记为0,记5。与截面。的交点为N,贝女)

A.截面。的形状为等腰梯形B.BD=3BN

4

C.MN±平面BOAD.三棱锥C-MND[的体积为-

15.(多选)如图，一张矩形白纸ABC。，AB=10,AD=lQy/2,E,R分别为AD,3c的中

点，BE交AC于点G,DR交AC于点H.现分别将△ABE,△CDF沿BE,DR折起，且点A,

C在平面BRDE同侧，则下列命题为真命题的是()

E

AD

Dpc

A.当平面ABE//平面CDF时，AC//平面BFDE

B.当平面ABEH平面CDF时，AE//CD

C.当A,。重合于点尸时，PG±PD

D.当A,C重合于点尸时，三棱锥P-QEF的外接球的表面积为150兀

16.某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球

被一个棱长为6岔的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合），若其中

一个截面圆的周长为6兀，则该球的表面积是.

17.如图，在四面体ABCD中，AC=8，BD=6,M、N分别为超、CD中点，并且异面直线

AC与3。所成的角为90。，则"N的长为.

18.在棱长为2的正方体A4G2中，点P满足=点Q满足

AQ=JuAAl+AB+AD9其中几包0,2],〃«0,2]当〃=时，DPLBQ

19.刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点

的曲率等于2兀与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度

用弧度制).例如，正四面体的每个顶点有3个面角，每个面角为四，所以正四面体在各顶点

3

的曲率为2兀-|^3=兀.在底面为矩形的四棱锥P-ABCD中，PA_L底面ABC。，AD=0PA，

PC与底面ABC/)所成的角为4,在四棱锥P—ABCD中，顶点3的曲率为.

6

20.如图，在长方体—4gG2中，AD=A4]=1，AB=2，点E在棱A3上.若二面角

2-EC-。的大小为巴，则AE=.

21.如图，三棱柱ABC-A与G各棱长均相等，〃为棱AC上一点，。为棱8月的中点，AQ〃平

(2)若平面将三棱柱ABC-451G分为两部分，较小部分的体积为匕，较大部分的体积

为匕，求去的值.

22.如图，在四棱锥尸—ABCD中，AB^AD^CD±AD>AB=AD=PD=^CD=1，PA=B

PC=6,点。为棱尸C上一点.

p

c

(1)证明：PA±CD；

(2)当二面角P—5D—Q的余弦值为"I时，求£2.

11PC

23.如图，在四棱锥p—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，NADC=4CD=90。，BC=1，

CD=6，PD=2,ZPZM=60%ZB4D=30°-且平面AM)_L平面ABC。，在平面ABC。内

过3作50LAD，交AD于。，连尸O.

(2)求二面角A—Pfi-C的正弦值；

(3)在线段期上存在一点使直线与平面2所成的角的正弦值为2红，求.的

7

长.

24.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAO是以A。为斜边的等腰直角三角形Ba/AOCCAZ),

尸。=40=2。。=28=2,后为D£)的中点.

⑴证明：CE〃平面A4B；

(2)求直线BC与平面所成角的正弦值.

25.如图1,在ZJWBC中，BM人BC，A,。分别为边上加，的中点，且5。=40=2，将

△M4D沿A。折起到△B4O的位置，使A4，AB，如图2,连接尸PC-

(1)求证：44J_平面ABCD；

(2)若E为PC的中点，求直线£)£与平面pg。所成角的正弦值；

(3)线段PC上一动点G满足笔="0＜彳＜1)，判断是否存在2，使二面角G-AD-P的

正弦值为巫，若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由.

10

答案以及解析

1.答案：c

解析：因为球的半径H=l，其内接圆锥的高为丸=3,

2

所以圆锥的底面圆半径为厂==与,母线长为％=/等：+[^=6，

所以侧面积为5=〃/="无、百=茫.

22

故选：C.

2.答案：D

解析：将ABCZ）绕翻折到与ABC]“共面，平面图形如下所示:

连接CDi,则CD1的长度即为2E+CE的最小值，

因为AB=AD=1，AAl=2^/2^所以AD】=+0行『=3,

所以。。=4,所以CR=，付+42=屈,即"E+CE的最小值为g.

故选：D

3.答案：C

解析：对于A,a±j3,III（3,则/与£相交、平行或/ua，故A错误;

对于B,/j_a,alla＞则/与a相父、平行或/ua，故B错误;

对于C,〃/a，a±a,由线面垂直的性质知/，。，故C正确；

对于D,/j_a，/_!_〃，aua,bua，则/与a相父、平行或/ua，故D错误.

故选：C.

4.答案：D

解析：设圆柱的底面半径为（，母线长为人，圆锥的底面半径为々，高为为，

则圆柱的侧面积为2兀d=兀/；=36兀，解得4=6,/=3,故％（柱=叫[=54兀,

又兀1=81兀，则弓=9,而胃锥=27兀%=54兀，得%=2,

故所求正切值为h生=（2.

马9

故选：D

5.答案：B

解析：对于A,

设G为8瓦中点，则EG〃皿，但EG,ER相交，所以ER,3。异面，故A错误;

对于B,设CC]的中点为H,则3C〃GH，BEHGD、,

因为GH.平面BEC,BCu平面BEC，G0（Z平面3EC,防匚平面BEC，

所以GHH平面BEC,G，〃平面BEC,

又因为GHGD[=G,GH,6。1匚平面6〃2,

故平面BCEH平面GHD],

又FD]U平面G〃2，故/2〃平面3CE,选项B正确.

对于C,在△EBG中，BE力EQ,BF=FQ,故EF与BQ不可能垂直（否则EF垂直平分BCX,

会得到E5=EG，这与BEwEC1矛盾）,C选项错误.

对于D,

易知AB,平面BCGg，又尸=A，故D选项错误.

故选：B.

6.答案：B

解析：以A为坐标原点，AB,AD,AP的方向分别为x,y,z轴的正方向,

建立空间直角坐标系，如图：

由题意有：D(0,3,0),P(0,0,3),C(3,3,0),由EC=2PE,可得E(l,l,2),

所以AE=(1,1,2),DE=(1,-2,2),所以AE.£)E=3.

故选：B.

7.答案：B

解析：直线3P与下底面ABCD所成角等于直线BP与上底面44cl2所成角,

连接与尸，因为551J.平面A4CQ,PB]U平面4月£2，

所以5片故NBP4为直线BP与上底面A4c12所成角，

贝I]ZBPBl=60°,

因为网=1,所以申=网力,

tan6003

故点P的轨迹为以及为圆心，正为半径，位于平面a与G2内的圆的

34

故轨迹长度为工义2兀义无=无兀.

436

故选：B

8.答案：A

解析：因为底面平面ABCD,

所以AELAD,AE，AB,

因为四边形ABCD为正方形，所以ADLAB,

所以AD,AB,AE两两垂直，

所以以AD,AB,AE所在的直线分别为苍y,z轴建立空间直角坐标系,

则E(0,0,2),下(1,1,2),

设M(a,b,0)(0<a<l,0<Z?<l),

贝ljME=(-a,-b,2),MF=(l-a,l-b,2),

^^XME-MF=-a(l-a)-b(l-b)+^=a--a+b2-b+4

因为0<a<l,0<人41，

17

所以当。=人=—时，取得最小值一；

22

当a=0或1,5=0或1时，取得最大值4.

故选：A

解析:

连接AC、3。相交于点。，连接S0，因为四棱锥S-ABCD为正棱锥，

所以SOJL平面ABCD，取AB的中点E，连接SE、0E，

因为&4=S5，OA=OB^所以S£，AB，OELAB，

所以NSEO即为平面ABCD与平面ATBS的夹角，即NSEO=45°，

设AE=a，则OE=OS=a，

所以汨^OS2+OE2=2a2>SA2=SB2=SE2+BE2=3«2>

在△SAB中，由余弦定理cosNASB=S3?+S&-公=3a2+3/4/=工

2SBxSA2x3a23

故选：A.

10.答案：B

解析：建立如图所示的空间直角坐标系,

则A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（2,2,0）,D（0,2,0）,4（0,0,2）,4（2,0,2）（2,2,2）,^（0,2,2）,

对于A,设4P=用。=《0,2,-2）=（0,2/,-2/）（0</<1），

故尸（22,2-2。，

故4P=（2,2f,—2f），而B£>=（—2,2,0），

设直线AP与50所成的角为。，

BDAP4-4/

则cos0=

BD^AP2后>,4+4/+4/

若直线A7与50所成的角是巴，

6

贝IJ—":/—正,

20义"+8/2

整理得到：4/+今+1=0,此方程在［0』上无实数解，

故直线与所成的角不可能是4,故A正确.

6

对于B,当男尸=!用0时，结合A分析得/=；,此时

故3P=(o,f,而3=(-2,0,2)，

设此时平面的法向量为〃=(a,4c)，

(■(24

In-BP=0—b+—c=0

则即《33，

nBAi=0[-2a+2c=0

取Q=1，则b=—2,c=l，故为=(1,—2,1),

又,44=(2,0,0)，

设平面的法向量为s=(〃,v,w),

22

…=°即.2u+—v—w=0

则33

n-AB-

il02u=Q

取v=l，则M=0，w=l,故s=(0,1,1),

故COS(S,〃>=L'L=_^-，

'/46x426

故二面角3-AP-4的平面角的正弦值为叵，故B错误.

6

对于C,当4P=2PC时，又B的分析可得p12,g,g1,

故”=

故网=,4+曰=半=半,故C正确.

对于D,当4P=2PC时，结合A中分析可得f=2,故p12,上2

13I33

故人〔吗为

而网=(-2,0,2)-

设平面AjBP的法向量为加=(羽y,z>

((42

lm-BP=Q—y+—z=0

则17n《即《33，

mBAi=0[-2x+2z=0

取x=2，则y=—l，z=2，故加=(2,—1,2),

又24=(0,-2,0)，故2到平面的距离为‘尚a=|,故D正确.

故选：B

1L答案：B

解析：因为正三棱柱ABC-AqG中，。为BC的中点，取用C1中点Q,连接OQ,

如图，以。为原点，OC，Q4，OQ为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则0(0,0,0),A(O,AO),^(-1,0,73),G(I，O，@

因为M是棱上一动点，设V(a,0,6),且a«-1,1]，所以0%OA=(a,0,括)(0,如,0)0,

则Q4LOM，

因为QVLAM，所以在直角三角形曲中可得：△。跖所以篝=今

MO2tz+3

即MN二于是令公力2+6,?G[V6,V7]

所以苧二=3="。，偌［#,«］,又函数y="。在/"灰,£］上为增函数,

弋cr+6ttf

所以当”迷时,3I=乒二=旦,即线段MN长度的最小值为它.

LnV622

故选：B.

12.答案：B

解析：如图所示，取A3中点为R

PF[DE=G,为方便计算,

不妨设PF=CF=1,由K4=PB=AB=AC=BC,

可知PA=P5=A3=AC=BC=，-,

3

又。、E分别为所在棱靠近尸端的三等分点，

22

则PG=—PF=—,且厂，

33

AB1CF,PFCF=F,PF,CFu平面PCF,即AB,平面PCF

又ABu平面ABC,则平面PCF,平面ABC,设肉馅球半径为r,CG=x,

由于H、I、J分别为所在棱中点，且沿平面H〃切开后，截面中均恰好不见肉馅，则P到

d12

CT的星巨离d=4r,sinZPFC=——=4r,SA”「=—4•—=——，

PFAGFC233

=14+X,

又■SMFC["|J'f

4_

CF+FGca

解得x=l,cosZPFC=-=9=1

2CFFG0123

L,1--

3

又cosZPFC=—=1+Yr解得小考

2-PFCF211

sinZPFC=所以：sinZPFC=,

331

3V2

解得r=^—,=------71

6381

由以上计算可知尸-ABC为正三棱锥,

2A/3273V|62瓜

13.544ABe-d^--ABACsmZBAC-4^---4

32323F~6~^2n~

也兀

所以比值为且联

2A/618

13.答案：AD

解析：a=(1,-1,2),—g),.-.a-Z>=lx2-lxl+2xf-1j=0,则a,A,二直线/与机

垂直，故A付合题思；a—(0,1,—1)»〃=(1,—1,—1),则a,〃=Ox1+1x(―1)+(―1)x(―1)=0,则aJ_〃,

:」Ha或lua,故B不符合题意；弭=(0,1,3),叼=(1,0,2),二./与〃？不共线，二a〃区不

成立，故C不符合题意；点4(1,0,-1),5(0,1,0),C(-1,2,0),..AB=(-1,1,1),BC=(-1,1,0).

向量〃=是平面e的法向量，"乂'"°'即『+"+’=°'可得"+/=1,故D符合

n-BC=0,[-1+w=0,

题意.故选AD.

14.答案:BCD

解析：如图，连接G",并延长交3C于点E,易得△BiMqs^CME,:.蛆=皿=2,;.E

CEMC

是3c的中点.取42的中点F连接AE,AF,C]F,易得A/幺C；E.又AR=C7,.•・四边形

AECZ为菱形，且菱形AEC/为。，故A错误.同理可得△ANDsAEWB,.•.把=坦=2,

NBBE

:.BD=3BN,故B正确.连接AG，由前两个相似三角形可知空=空=工，.•.MN//AG.连接

MC】NA2

BQ,在正方体中，易得B°LBCi，B}CLAB,且'ABB,.•.qC，平面ABC1，

.•.与。，4。1洞理可得用2,4。1.又用〃用。=与，AG，平面与C。，平面500,

故C正确.易得N,M为AE,31c上靠近E,C的三等分点，MN=gA£=子.又

…QAMCD]3©△耳⑷

—x

:.VJMND=_MN.SAMCD————x,故D正确.选BCD.

LiviiNiy^33339

15.答案：AD

、5、6

解析：在△ABE中，tanZABE=—,在△ACD中，tanZDAC=—,所以NABE=4MC,

22

ZBEA=ZAEG,所以△ABES^G4E,NAGE=NSAE=9O。.由题意，将△回£,ACDF沿

BE,DR折起，且点A,C在平面BRDE同侧，此时A,C,G,H四点在同一平面内，平面ABE

平面AGWC=AG,平面CD/T平面AGHC=S,当平面ABE〃平面CDR时，AG//CH,显

然AG=CH,所以四边形AGHC是平行四边形，所以AC〃GH.又4。仁平面跳DE,GHu平

面BFDE,所以AC//平面BRDE,所以A为真命题.

由A知，当平面ABEH平面CDF时，BE//DF,但ZAEB丰ZCDF,所以AE与CD不平行,

所以B为假命题.

当A,C重合于点P时，可得PG=@1,PD=10,连接GD（图略），GD=10,贝|

3

PG2+PD2^GD-,所以PG和尸。不垂直，所以C为假命题.

当A,C重合于点P时，在三棱锥斯中，△££□和△尸ED均为直角三角形，所以。口为

三棱锥P-DEF的外接球的直径，又DF=5瓜,则三棱锥P-DEF的外接球的表面积为

4兀回1=150K,所以D为真命题.故选AD.

16.答案：144兀

解析：设球心为。，作出过球心的截面图如图所示，则04=3百,

由截面圆的周长为6兀，得=AB=3»

球的半径是y/o^+AB2=7（373）2+32=6-

所以该球的表面积为4兀><62=144兀-

故答案为：144兀.

17.答案：5

解析：取5c中点P,连接MP，NP，

又因为AC=8，BD=6,M,N分别为A3，C。的中点，

所以PA/〃AC且PM=-AC=4,PN//BD&PN=LBD=3,

22

则NMPN为异面直线AC与所成的角（或补角），

又因为异面直线AC与所成的角为90。，

所以NMPN=90。，

所以MN?=。扬2+小2=42+32=25，所以"N=5,

故答案为：5

18.答案：1

解析：AP=A41+2AB<^AP-A41==2AB-又;le[0,2],

所以点P在射线A用上；

AQ=/JA^+AB+AD^AQ^/JA^+AC

oAQ-AC=〃A410c2=〃例，又〃«0,2],

所以点Q在射线CG上；

因为当几变化时，小匚平面^用。。，故只需考虑过3且与平面4片。。垂直的线,

因为正方体有44，平面5耳£C,而5C]U平面所以4耳，3。1,

又4与B[C=Bl,4片,片。匚平面AgCD，所以BQ_L平面人用。,

DPu平面4与8，所以5。1，。尸，

所以当点。在Ci上时DPLBQ,即〃=1时DPL3Q,

故答案为：L

19.答案：—

4

解析：设丛=1，则AD=0PA=V5，

>D

B"

B4工平面ABCD，.•.NPG4即为PC与底面ABC。所成角，即NPCA=二,

6

PC==2AC=^-=6

.兀，兀，

sin—tan—

66

d.j.P/^jr

AB=JAC?-BO?=JAC?-5=1，•,•tanZPBA=—=l,ZPBA=­;

平面ABC。，BCu平面ABC。，:.PA±BC>

又BCLAB，PAAB=A，上4，ABu平面B4B，..6CJ_平面，

PBu平面B45，:.PB_LBC，即NPBC=巴，又NABC=巴，

22

二顶点3的曲率为2兀-二-二-二=里.

4224

故答案为：型.

4

20.答案：2-6

解析：以。为原点，以DA，DCDA为x，V，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设

AE=2(0<2<2),平面'EC的法向量为加=(x,%z)

由题可知，9(0,0,1)，C(0,2,0),E(l,2,0),D1C=(0,2,-l)-CE=(l,2-2,0)

平面AECD的一个法向量为z轴，二可取平面AECD的法向量为n=(0,0,1)

m=(x,%z)为平面"EC的法向量，

m-DjC=2y—z=0

则m=(2—41,2)

m-CE=x+(A-2)y=0

二面角D.-EC-D的大小为:

COS4=HWJ即4r(2-1+1+22

解得4=2-6,2=2+A/3(舍去)

AE=2-6

故答案为2-6

21.答案：(1)—=_

MC2

解析：(1)连接CQ,与BC\交于H,连接

因为AQ//平面C]BM,平面AQC平面C.BM=HM,

根据线面平行的性质定理，所以

又因为Q5//CC，在△3QC和AF/CG中，由于平行线分线段成比例定理，可得瞿=然=:

HCCjC2

因为AQ〃//M,所以4@=空=工.

MCHC2

(2)在上取一点S,itBS=-BC连接MS，BS,

3t

因为那//43//4用，所以四边形即为过4耳加三点的截面.

设三棱柱ABC-A31cl的底面积为品，高为k,体积为V,则V=S0丸.

1o

因为那〃AB，且55=上5。，所以△MSC与△ABC相似，相似比为士，

33

根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得△MSC的面积为±S0.

9

对于三棱台A4G-邓。，根据体积公式

14I4-14219

^=-/z(5o+-5o+^ox-So)=-/z(5o+-So+-So)=-50/z.

因为K=v—%,v^soh,v2=—soh,

所以耳=SJi-—Sh=—SJi.

1027n27

22.答案：⑴证明见解析;

噂4

解析：（1）因为po=i，CD=2,PC=百，

所以P£>2+c£)2=pc2,所以

又CDLAD，且ADPD=D，AD,PDu平面MO,

所以CD，平面Q4£），

又24u平面PA。，所以B4LCD.

（2）因为尸&=夜，AD=PD=1，所以AD2+PD2=PA2,则PCAD.

由（1）可知p£）,AD，DC两两垂直，以。为原点，以94，DC，0P所在直线分别为X

轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系。盯z.

£>（0,0,0）.P（0,0,l）,C（0,2,0）-B（l,l,0），A（l,0,0），

可知£>P=（0,0,1），DB=（1,1,0））

设PQ=2PC=（0,22,-2）（0<2<1）-则£>Q=DP+PQ=（0,22,1-2）-

设平面3£>Q的一个法向量/=（4x，zi），

则Pj=°，即卜+x=a、

DQn-,[2打+（1-=0,

令%=1_%,解得Xj—A—1)Z]=—2A,故”]=(2—1,]—2,—22)，

设平面5£>P的一个法向量为%=（无2，%，Z2），

由,得［%+%=0，

DP-H-,=0,'*2=0,

令%=-1，解得刀2=1，Z2-0,故%=（1，-1,0）,

所以cosUQ」i2||22-2|_3^1

//I)'Wo\勺,〃2/一I11I

V622-42+2-V211

即T7r乎整理，得-2…。,

解得;1=L或；1=—工（舍去）.

42

故2L

PC4

23.答案：（1）证明见解析;

⑵旦;

7

(3)旦.

2

解析：（1）因为BOLAD，因为30/AD，NADC=NBCD=90°，

所以四边形BODC为矩形