江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高二年级上册11月期中考试数学试题（含答案及解析）

2024-2025学年第一学期高二年级期中学情调研测试

数学试题

（考试时间：120分钟满分：150分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.直线x=tanl0。的倾斜角为（）

A.0°B,10°C.90°D.不存在

2.若直线3x+4y—3=0与直线6x+加7-1=0平行，则它们之间的距离为（）

112

A.1B.—C.—D.一

255

3.直线办+勿=1与圆1+「=1有两个公共点，那么点（a,人）与圆一+「=1的位置关系是（）

A.点在圆外B.点在圆内C.点在圆上D.不能确定

4.如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m,当水面下降1m后，桥洞内水面

A.4百mB.46mC.8百mD.8V5m

5.已知圆6：/+了2=4和圆。2：必+/一4x—47+7=0,则两圆的公切线条数为（）

A1B.2C.3D.4

6.已知抛物线「=4x,则抛物线上一点尸到直线x-.V+5=0的最小距离为（）

A.2A/2B.4C.D.5

2

7.椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦

22

点（如图）.已知椭圆'=。为坐标原点，/是点尸卜2,述）处的切线，过左焦点写作/的垂

线，垂足为贝U|（W|=（)

8.已知斜率为半的直线/过双曲线。：》2—片=1（机〉0）的左焦点尸，且与C的左，右两支分别交于A,

3两点，设。为坐标原点，尸为的中点，若△OEP是以EP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率

为（）

A.2B.V2C.3D.V3

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的有（）

A.直线的斜率越大，倾斜角越大

B.直线歹=3x-2在N轴上的截距为—2

C.直线x-回+1=0的斜率为追

D.若直线y=Ax+b经过第一、二、四象限，则点（左,»在第二象限

10.已知椭圆G和双曲线C?具有相同的焦点耳（-1,0）,乙（1,0）,点P是它们的一个公共点，且在圆

X2+/=1±,椭圆G和双曲线Q的离心率分别为02,且02=限1，则下列说法正确的是（）

B.双曲线的方程为2/—2产=1

C.△尸£片的面积为:

D.△尸£片的周长为2夜+2

11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线C：V+y2=26国-23就是其中之一，其形状酷似数学符号“s”

（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（)

A,曲线C与直线＞=x有3个公共点

B曲线C与圆/+/=5有4个公共点

C.曲线C所围成的图形的面积为：y-2V3

D.若点尸在曲线。上，点0（0,-2）,线段P0的长度可能为4

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上.

221

12.已知椭圆土+匕=1的焦点在x轴上，离心率为—，则实数机的值为_____.

8m2

13.过点尸（0,2）作直线/,使它被两条相交直线2=0和x+.y+3=0所截得的线段，恰好被点P

平分，则直线/的方程为.

14.若直线掰：x+岛+/=0上存在点0,过点。作圆C:（x—3）?+/=8的两条切线，切点分别为

E,F,且N£QE=90°,则实数f的取值范围为.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知V4SC的顶点Z（-2,0）,5（4,3）,C（2,-2）.

（1）求N3边上的高所在直线的方程；

（2）求经过点8,且在x轴上的截距是在歹轴上的截距的2倍的直线的方程.

16.已知圆C的圆心。（1力）在第一象限，半径为石，且经过直线x+3y—2=0与直线3x-2y—6=0的

交点.

（1）求圆C的方程；

⑵过点P（L-3）作圆C的切线，求切线的方程.

V2

17.已知抛物线G的顶点在坐标原点，其焦点F与双曲线C2：r-y=l的上焦点重合，A,B为抛物线G

上两点.

（I）求抛物线G的标准方程及其准线方程;

（2）若|4F|+忸制=8,求线段的中点到x轴的距离.

18.已知月（一2,0）,月（2,0）,点尸满足忸周一|尸闻=2,记点尸的轨迹为£.

（1）求轨迹£的方程；

（2）直线/经过点2（5,0）,倾斜角为45°,与轨迹E交于两点（C在4。之间），若就=2访，

求X的值；

（3）已知点7（-L0）,过点八作直线机与轨迹£交于N两点，记直线刀％7N的斜率分别为左，

左2,试问：勺小2是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

22

19.己知椭圆C：A+A=l（a〉b〉0）的焦距为2,与，£分别为其左右焦点，。为原点，且点

ab

尸［在椭圆c上.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）经过左焦点片的直线/与椭圆。交于A,B两点（异于左右顶点），M为线段力2的中点，

①若乙4。8=90。，求线段的长度;

②求点A到直线OM的距离d的最小值.

2024-2025学年第一学期高二年级期中学情调研测试

数学试题

（考试时间：120分钟满分：150分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.直线x=tanl0°的倾斜角为（）

A.0°B,10°C.90°D.不存在

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线的方程，利用斜率和倾斜角的关系求解.

【详解】因为直线》=tan10。的斜率不存在，

所以其斜率为90°.

故选：C.

2.若直线3x+4y—3=0与直线6苫+加了一1=0平行，则它们之间的距离为（）

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据两直线平行求出机=8,再利用两平行线间距离公式求解即可.

【详解】依题意可得3m—4x6=0,解得机=8,

则直线方程为6x+8y—1=0,

而方程3x+4y—3=0,即6x+8y—6=0,

,—6+11

所以两条平行线间的距离为d=l-——L=

Vf62+822

故选：B.

3.直线办+勿=1与圆=i有两个公共点，那么点⑺⑼与圆一+「=1的位置关系是（）

A.点在圆外B.点在圆内C.点在圆上D,不能确定

【答案】A

【解析】

【分析】

|1|,I--------

直线"+如=1与圆/+/=1有两个公共点，可得I,＜1,即为自力+廿＞1，由此可得点

7a'+b'

与圆的位置关系.

【详解】因为直线办+打=1与圆/+72=1有两个公共点,

|1\,

所以有/,,<1，

J/+b2

即以+方＞＞

因为点（仇。）与必+「=1的圆心的距离为，0+尸，

圆/+丁=4的半径为i,所以点尸在圆外.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是将直线与圆的位置关系的判断式和点与圆的关系的判断式联系起来.

4.如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽161n时，拱顶距离水面4m,当水面下降1m后，桥洞内水面

宽为（）

A.4百mB.4#mC.8GmD.8V5m

【答案】D

【解析】

【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为N轴，过原点且垂直于V轴的直线为了轴建立平

面直角坐标系，设抛物线的方程为/=-2加（夕＞0）,分析可知点（8,-4）在该抛物线上，求出。的值，

可得出抛物线的方程，将y=-5代入抛物线方程，即可得出结果.

【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为歹轴，过原点且垂直于歹轴的直线为x轴建立如

下图所示的平面直角坐标系，

叫

设抛物线的方程为炉=-2期（夕＞0）,由题意可知点（8,-4）在抛物线上,

所以64=-22x（—4）,可得夕=8,所以抛物线的方程为/=一16^,

当水面下降1m后，即当y=-5时，x2=-16x（-5）,可得》=土4指，

因此，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为8诉11.

故选：D.

5.己知圆。］：/+/=4和圆。2：丁+/_4》_4了+7=0,则两圆的公切线条数为（）

A1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】首先把圆的一般方程转化为标准方程，分别求出两圆圆心与半径，利用圆心距与半径和差大小,

判断两圆的位置关系，可得圆的公切线的条数.

【详解】已知圆=4,圆心G（0,0）,半径6=2.

圆。2：x?+J?—4x—4y+7=0,即（x—2）+（y—2/=1,

圆心G（2,2）,半径々=2

所以圆心距=J2?+2?=26，外—2=1/=3,

所以八一々＜|GG|＜（+4，

所以两圆相交，故公切线的条数为2.

故选：B.

6.已知抛物线y2=4x,则抛物线上一点P到直线x-v+5=0的最小距离为（）

A.2A/2B.4C.D.5

2

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得当点尸为平行于x-y+5=o的直线且与抛物线相切的切点时，才能取最小值，求出切

线方程，即可得点尸的坐标，即可得解.

【详解】解：由题意可知，当平行于x-y+5=0的直线与抛物线相切，

且点p为切点时，P点到直线X—y+5=0的最小,

设切线方程为x-y+〃z=O,

即y=x+m,

y=x+m,,

由＜2.,可得-4v+4机=0,

J=4x

所以A=16—16加=0,解得机=1,

x=1

所以《

卜=2'

即尸(1,2),

所以点P到直线x-y+5=0的距离d=以要』=2J5.

故选：A.

7.椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦

22

点（如图）.已知椭圆C："+'=l,。为坐标原点，/是点尸卜2,卡）处的切线，过左焦点片作/的垂

线，垂足为则10M=（）

【答案】c

【解析】

【分析】延长耳0、F2P交于点、N,由光学性质分析可知，则拉为KN的中点，且|尸国=|尸N],利用中

位线的性质结合椭圆的定义可求得的值.

22

【详解】由椭圆C:t+匕=1,则/=16,长轴长2。=8.

168

延长片鸟尸交于点N,连接（W,

由题意可知/与尸M=NNPW,又因为

则M为耳N的中点,且1m|=|PN|,

所以优N|=|尸N|+|%|=|尸片|+|尸周=2a=8,

又因为。为片鸟的中点，则。为△片穹的中位线，

则|（W|=|■优N|=gx8=4.

故选：C.

8.己知斜率为半的直线/过双曲线C：V—片=1（M〉0）的左焦点尸，且与C的左，右两支分别交于A,

3两点，设。为坐标原点，尸为的中点，若△OEP是以EP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率

为（）

A.2B.V2C.3D.V3

【答案】A

【解析】

【分析】由点差法得七0加，由条件知直线。尸的倾斜角为43倾斜角的两倍，由二倍角公式得直

线48,0尸的斜率，代入两直线的斜率关系式生？•人”=机，求得机，进而得离心率.

2

【详解】由双曲线C：/一匕=1（加〉0）,可知/=1万=加,/=]+加.

m

设幺（再，%），3（X2，P2），尸（/，及））,

2

由48均在C：x2—2=1上，尸为48的中点,

m

22

m+y

得《\,则%（再一%2）（再+〃）=（乃一%）（%+%）,

mx2=m+y2

由48分别在C的左，右两支，则为一马70,且石+%。0,

...JlzA.Zi±AAz21.M

m==，••k°p•kAB~m.

xx-x2$+x2再-x22x0

设直线的倾斜角为a,则后会=tana=W5，。为锐角,

AB5

•••△0不了是以依为底边的等腰三角形，则/P尸。=/0尸尸二。，

直线OP的倾斜角为2a,则k=tan2a=2tan。

OP1-tana

77.2tan2a

k-k=tana-tan2a----------=m,

0PAB1-tana

由tana-代入得，m-7=3.

5T

所以椭圆的离心率为e=—=Jl+m=2.

a

故选：A.

【点睛】结论点睛：中点弦定理：若直线与椭圆（双曲线）交于4台不同两点，中点为尸（不为原点），

且48,0尸斜率存在，则有3/°P=e2-1,其中。为坐标原点，e为曲线的离心率.

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的有（）

A.直线的斜率越大，倾斜角越大

B.直线y=3x-2在N轴上的截距为一2

C.直线x—岛+1=0的斜率为追

D.若直线歹=日+6经过第一、二、四象限，则点（左力）在第二象限

【答案】BD

【解析】

【分析】A项举例直线斜率正负特例即可；B项求与N轴交点的纵坐标可得；C项化一般式方程为点斜式可

得；D项结合图象判断左＜0力〉0可得.

【详解】A项，设两条直线斜率分别为勺=1,h=T,k1＞k2,

但斜率为1的直线倾斜角内=而斜率为-1的直线倾斜角为=%-，

4＜。2，故A错误；

B项，直线y=3x—2,令x=0,得y=-2,

即直线在歹轴上的截距为-2,故B正确；

C项，直线x-岛+1=0方程可化为y=叱（》+1）,

所以直线的斜率为，故C错误;

3

D项，若直线＞=依+6经过第一、二、四象限，则左＜0,b＞0,

所以点（左力）在第二象限，故D正确.

故选：BD.

io.已知椭圆a和双曲线c?具有相同的焦点与（-1,0）,6（1,0）,点「是它们的一个公共点，且在圆

X2+y2=1±,椭圆C］和双曲线的离心率分别为02,且02=百,，则下列说法正确的是（）

A瓜

A.e1=T

B.双曲线C2的方程为2/一2了2=1

C.△尸片用的面积为工

-2

D.”岑片的周长为20+2

【答案】ABC

【解析】

【分析】结合对称性，利用椭圆与双曲线的定义可得归胤+|P闻=2%，户用-|尸周=2%，再由点尸在

圆f+、=i上得忸司2+忸闻2=4。2=4,消去忸用，归用可得的关系af+al=2c2,即

—+—=2,联立02=限1解得,建2,进而可得。1，。2442,再依选项逐个求解判断可得.

【详解】由题意知，设焦距为2c,则c=l.

设椭圆的长轴长为2%,短轴长为2々，

双曲线的实轴长为2%，虚轴长为2&,

根据对称性，不妨设椭圆与双曲线的交点P在第一象限，

由椭圆的定义知，附|+|尸用=2%,则（附|+|尸典）2=4/

由双曲线的定义知，I尸用—|P引=2°2，则仍用T尸闻y=4a；

由两式相加化简得|尸片「+|尸7碟=2/+la2,

•.•点P在圆/+/=1上,

222

:.PF}LPF2,.-.|P^|+|P^|=4C=4,

则a；+a；=2c2=2,则二+丁=2,又4=G,,

e\e2

±+±=2

A项，联立＜

e2=

解得,=，，e2=42,故A正确;

B项，由A可知，e2T=收,

解得a=如，a=1,

122

则后=c2-af=1-1=1)

所以双曲线方程为21—2/=1,故B正确；

C项，由|「大|+|尸闾=2巧，|「片卜|尸闾=2出,

则明||%=(附㈤明］(MT*),

所以△尸月片的面积s=J尸用归闻=；,故C正确；

D项，△尸片片的周长为

|尸耳|+|尸鸟|+闺鸟|=2%+2c=2x乎+2=遥+2，故D错误.

故选：ABC.

11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线C:f+/=26W-23就是其中之一，其形状酷似数学符号“8”

（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（）

A.曲线。与直线＞=》有3个公共点

B.曲线C与圆/+/=5有4个公共点

C.曲线C所围成的图形的面积为：一-2V3

3

D.若点尸在曲线C上，点。（0,-2）,线段P。的长度可能为4

【答案】ABD

【解析】

y-x

【分析】对于A,联立12+「=26,卜2回根据解的个数即可判断；对于B,联立

x2+/=5

可得2百国—2|y|=5,再代入/+/=5,得16|、3一20省m+5=0,由

x2+y2=273|X|-2|J|

判别式及韦达定理，可得此方程有4个不同的根，即可判断；对于C,求出一个弓形048的面，则可求出

曲线C所围成的图形的面积，即可判断；对于D,当点尸（26,0）或尸（-2百,0）,满足题意，即可判断.

y=x

【详解】对于A,由《x2+/=2两x|-23'可得2x2=2|x|(GT)'

所以一=国(6—1),gp|x|2=|x|(V3-l),

解得|x|=0或国=百-1,

所以x=0或》=百—1或X=l—G，

所以曲线c与直线y=x有3个公共点，故正确；

x2+y2=5L

对于B,由可得26卜|_2似=5,

x+y=243闰—2仅|

则有3=两司-g,平方得J2=3X2-5A/3|X|+^-,

代入/+「=5,得4》2-56|x|+卷=5,

即16|x『-2073|x|+5=0,

因为A=400x3—4x16x5=880>0,=地〉oJ_〉o,

16416

所以关于Ix|的方程161x|2-20^3|x|+5=0有两个不同的正根,

从而得％有四个不同的解，

所以曲线。与圆一+俨=5有4个公共点，故正确；

x2+y2-2仙x+2j=0,x>0,y>0

x2+y2+2y/3x+2y=O,x(O,y)0

对于C,d+V=2百国一2M

x2+y2+2y/3x-2y=0,x<0,y<0

x2y2-2y[3x-2y=0,x>0,y<0

如图所示:

曲线。所围成的图形的面积为四个全等弓形的面积之和,

设弓形045的面积为，，

因为前所在圆的圆心为。(6,-1)，半径为2,0A=2V3,

4+4-121

在△4。。中，cosZADO=--------=——,乙4DOW(0,TI),

2x2x22

所以N4DO二@，

3

I27r47r

所以扇形幺。。的面积S'=—X22X——=——，

233

S.ADO=1x2V3xl=V3，

所以S1=^—JL

所以曲线C所围成的图形的面积为44=号-4«,故错误；

对于D,当P与2（2括,0）或（―2档,0）重合时，

贝I]|P0=J（±2G）2+2?=4,故正确.

故选：ABD

【点睛】难点点睛：本题的难点是对C选项的判断，求出一个弓形04B的面积.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上.

V221

12.已知椭圆一+乙V=1的焦点在x轴上，离心率为一，则实数机的值为______.

8m2

【答案】6

【解析】

【分析】利用椭圆方程中表示的义“c及关系，即可求得掰的值.

【详解】由椭圆工+亡=1的焦点在x轴上，可知/=8,〃=能，

8m

所以02=/_/=8-加，

再由离心率e=！，即£=号二竺=」，

2/84

解得m=6,

故答案为：6.

13.过点尸（0,2）作直线/,使它被两条相交直线2x-y-2=0和x+.v+3=0所截得的线段，恰好被点尸

平分，则直线/的方程为.

【答案】2x-3j+6=0

【解析】

【分析】设出直线/与直线4，4的交点坐标小打，月）、8（冷,段），然后根据中点坐标的相关性质得出

2x—y.—2—0

%2=—再，%=4-必，再然后根据A在4上以及5在4上得出<,八，解得A的坐标，由直线

的两点式方程即得.

【详解】设直线4：2x—y—2=0,l2;x+y+3=0

设直线/夹在直线4之间的线段为4B（A在4上，8在4上）,

设力（久1，%）、8（久2，、2），

因为4s被点尸（0,2）平分，所以西+%2=0,弘+%=4,

于是=一苞，为=4-%，

2再—Vj—2=0

由于A在4上，8在4上，则＜

x2+_y2+3=0

2M—v，—2=0

即《口+i+3=。解得…，必=4,

即A的坐标是（3,4）,则直线/的方程是三|=3,

即2x—3y+6=0.

故答案为：2x—3y+6=0.

14.若直线加：x+岛+/=0上存在点。，过点。作圆C:（x—3『+/=8的两条切线，切点分别为

E,F,且N£0E=9O。，则实数f的取值范围为.

【答案】[-11,5]

【解析】

【分析】由已知得圆C的圆心及半径，由条件/£。尸=90°,根据图形结合直线与圆相切性质得

|CQ|=4,可知点。在以C为圆心，4为半径的圆上，结合题意将点的存在问题转化为直线与圆有公共点

来解决，再由圆心到直线的距离与半径关系得出不等式，求解即可.

【详解】圆C:(x—3?+/=8,圆心C(3,0),半径r=2&，

如图，连接CE,CF,由NE勿=90°,结合切线的性质可得,

\CE\=\CF\=r=2y[2,CEVQE,CFLQF,又QE_LQF,

则平面四边形EQ7。既是矩形，又是菱形，即为正方形.

所以|C0|=J5|CE|=4,即点0在以。为圆心，4为半径的圆上.

所在圆的方程为(x—3)2+/=16,

由题意若直线加：x+岛+/=0上存在点。，满足ZEQF=90°,

则直线m:x+y/3y+1=0与圆(x-3)2+「=16有公共点，

所以圆心C(3,0)到直线机的距离

即|3+/|48,解得—HW/W5,

所以/的取值范围为[—11,5].

故答案为：[-11,5].

【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于利用相切性质将条件NEQF=900转化为点。在定圆上运动,

进而将点的存在问题转化为直线与圆有公共点来解决即可.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知V4SC的顶点2(-2,0),5(4,3),C(2,-2).

(1)求N3边上的高所在直线的方程；

(2)求经过点8,且在x轴上的截距是在N轴上的截距的2倍的直线的方程.

【答案】(1)2X+7-2=0

3

(2)y=或x+2y-10=0

【解析】

【分析】(1)求出直线48斜率，由垂直可得高线CD斜率，由点斜式直线方程可得；

(2)按截距是否为0分类讨论.当截距不为0时，设出截距式方程代入点的坐标待定系数可得.

【小问1详解】

如图，过C作CD148,垂足为。，

,3-01

由题思知kAB==-,

4-(-Z)Z

则左8=—2,又C(2,—2),

故直线CD的方程为：y+2=-2(x-2),即2x+y_2=0,

即边上的高所在直线的方程为：2x+y-2=0;

由题意，设直线在歹轴上的截距为。，则在x轴上的截距为2a,

①当a=0时，由直线过8(4,3),则直线方程为y=1x,

②当aw0时，设直线方程为：—+=

2aa

A3

代入点8(4,3),得—+—=1,解得。=5,

2aa

则直线方程为彳+^=1，即x+2y—10=0,

3

综上所述，直线方程为：夕=：X或》+2了-10=0

16.已知圆C的圆心。(1力)在第一象限，半径为石，且经过直线x+3y—2=0与直线3x—2y—6=0的

交点.

(1)求圆C的方程；

(2)过点尸(L-3)作圆C的切线，求切线的方程.

【答案】(1)(X-1)2+(J-2)2=5

(2)y=2x_5或y=_2x—l

【解析】

【分析】(1)根据题意设圆的方程，求出两条直线的交点坐标，将交点坐标代入圆的方程即可;

(2)分切线的斜率是否存在两种情况讨论，根据圆心到切线的距离等于半径即可.

【小问1详解】

由圆C的圆心C(l,6)在第一象限，半径为石，

可设圆C的方程为(x—l『+(y—bp=5,其中6＞0,

x+3y—2=0

联立＜，解得两直线的交点为(2,0),

3x-2y-6=0

由(1—2)2+9—0『=(百『得/=4,又因为6＞0,

所以6=2,圆心为(1,2),

所以圆C的方程为(x——2)2=5；

【小问2详解】

①当切线的斜率不存在时，直线为x=l,

此时，圆心(1,2)到直线的距离d=0w不，舍去;

②当切线的斜率存在时，设直线方程为＞+3=左a一1),即日—＞一左一3=0,

..|左一2—左一3|5r

此时，圆心(1,2)到直线的距离d=----],-=I0=\5,

k"+1\k~+1

解得左=±2,

所以切线方程为y=2x_5或y=_2x_l.

17.已知抛物线G的顶点在坐标原点，其焦点R与双曲线6：/-3=1的上焦点重合，48为抛物线G

上两点.

(1)求抛物线G的标准方程及其准线方程；

(2)若|幺同+忸户|=8,求线段43的中点到x轴的距离.

【答案】(1)X2=8v,y=-2

(2)2

【解析】

【分析】（1）利用双曲线的焦点来求抛物线方程；

（2）利用抛物线定义推导的焦半径公式为尸尸=%+5,即可求解问题.

【小问1详解】

由题知双曲线G：/—\=1,

所以/=1万=3,所以°2=/+/=1+3=4,即双曲线的上焦点为（0,2）,

由抛物线的焦点为（0,2）,可设抛物线G的标准方程为：x=2py（p>^,

则］=2,夕=4,

所以抛物线G的标准方程为：X2=8V，

其准线方程为：y=-2；

【小问2详解】

设/（石，7）,B（x2,y2）,线段48的中点记为Af（%,%）,

由|AF|+忸制=8,结合抛物线的焦半径公式得：%+2+%+2=8,

即乂+%=4,所以％="=2,

即线段的中点到x轴的距离为2.

18.已知片（-2,0）,月（2,0）,点尸满足仍用-归阊|=2,记点尸的轨迹为£.

（1）求轨迹E的方程；

（2）直线/经过点2（5,0）,倾斜角为45°,与轨迹E交于两点9在4。之间），若k=痴万，

2eR,求几的值；

（3）已知点7（-1,0）,过点《作直线机与轨迹E交于M,N两点,记直线力％7N的斜率分别为占，

左2,试问：仁•左2是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）x2-^=l

3

（2）1

(3)是，—1

【解析】

【分析】(1)利用定义判断动点轨迹是双曲线，再利用双曲线中基本量的关系求解即可.

(2)依据题意写出直线方程，联立求出交点坐标，再结合给定条件求解即可.

(3)用不同方法设出直线方程，再利用韦达定理求解，最后将结果代入左色中，消去变量，得到定值即可.

【小问1详解】

因为归周一|尸修=2,所以点尸的轨迹为以片(一2,0),£(2,0)为焦点的双曲线，

设此双曲线方程为二一勺=1(。〉0力〉0),

ab

2。=21a?=1

易知｛c，又由/=/—/=3解得

c=2b2=3

即轨迹E的方程为：x2-^=l；

3

【小问2详解】

因为直线/经过点Z(5,0),倾斜角为45°,

X2_2L=1

所以直线/的方程为y=x-5,联立3，

x=2x——7

解得.或,，故得点。(2,-3)和点£>(—7,-12),

b=-3b=-i2

则就=(-3,-3),而=(-12,-12),

由就=£15得(-3,-3)=4(-12,-12),解得4=(,

【小问3详解】

如图，

法一：由题意得直线机不可能与X轴重合，

设为：x=ny+2,四（石,弘），N（x2,y2）,

――4=1得到（3〃2-1）/+12即+9=0,

联立

x=ny+2

而3/—1w0,△=144〃2—36（3〃-—=36n2+36>0

—12n

%+%=1~7

3/2-1

由韦达定理得《

9

372-1

/4=%%==_________JV2_________

12

西+1X2+1（〃%+3）（明+3）〃2%〉2+3心1+%）+9

9

37/—1__________9__________

9〃23〃・（一12〃）9〃2-36/+9（3九2-1）-9

3«2-13«2-1

故尢小2是为定值，且该定值为-1，

法二：①当直线加的斜率不存在时，直线方程为x=2,

可得Af（2,3）,N（2,-3）,此时左沌2=-1，

②当直线机的斜率存在时，设直线方程为＞=左卜-2）,

――4=1,得到（3-k2产+4入_4/_3=0

联立

y=k（x-2）

而3—父/0,A=16A:4+4（3-^2）（4F+3）=36（^2+1）>0

4k②

由韦达定理得

4左2+3

12左2_3

左2（石2）（%—2）x^x22左2（X]+%）+42?

所以/•上7

玉+1%+1（再+1）（%2+1）X1X2+（再+12）+1

22

k（4k+3）—2后2•妹2+4后2（r—3）_^2

4-2+3+422+12-3一螃—

故勺•k2是为定值，