几何与圆中档题-2023年温州中考数学复习试题分类汇编（解析版）

专题20几何与圆中档题

1.（2022•温州）如图，在AA8C中，ADA.BC于点D,E,尸分别是/C,N5的中点，。是"'的中点,

的延长线交线段8。于点G,连结。E,EF,FG.

C1）求证：四边形OEFG是平行四边形.

（2）当4D=5,tan/EDC=2时，求尸G的长.

2

【答案】（1）见解析；（2）*

2

【详解】（1）证明：,尸分别是/C,的中点,

:.EF是AABC的中位线，

:.EF//BC,

ZEFO=ZGDO,

是的中点，

OF=OD,

在NOEF和NOGD中,

AEFO=ZGDO

<OF=OD,

ZEOF=ZGOD

AOEF=AOGD（ASA）,

EF=GD,

：.四边形OE尸G是平行四边形.

（2）解：•••ADIBC,

ZADC=90°,

・••E是/C的中点,

:.DE=-AC=CE,

2

ZC=/EDC,

AF）S

/.tanC=——=tmZEDC=-,

CD2

即二=3,

CD2

CD=2,

AC=ylAD2+CD2=A/52+22=V29,

,„_1__V29

..DnE=-AC=-----,

22

由（1）可知，四边形DE尸G是平行四边形，

...F"厂G_=DnzE?_=------.

2

2.（2021•温州）如图，在口45cQ中，E,尸是对角线5。上的两点（点E在点尸左侧），且

/AEB=ZCFD=90°.

（1）求证：四边形4EC尸是平行四边形；

3

（2）当/5=5,tanZABE=-,NCHE=NE4尸时，求5。的长.

4

【答案】（1）见解析；（2）6+y/13

【详解】（1）证明：・.・N4M=NCFD=90。，

AELBD,CF1BD,

AE//CF,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

；.AB=CD,AB//CD,

/.AABE=ZCDF,

在儿45£和\CDF中,

/AEB=ZCFD

<AABE=/CDF,

AB=CD

\ABE=^CDF（AAS）,

AE=CF,

：.四边形AECF是平行四边形；

3Ap

（2）解：在RtAABE中，tanZABE=-=—,

4BE

设/£=3。，则BE=4a,

由勾股定理得：（3a）2+（4a）2=52,

解得：0=1或a=-l（舍去），

AE=3,BE=4,

由（1）得：四边形/£C尸是平行四边形，

ZEAF=ZECF,CF=AE=3,

•••ZCBE=ZEAF,

ZECF=ZCBE,

/.tanZCBE=tanZECF,

CF_EF

CF1=EFxBF,

设EF=x,贝UBF=x+4,

32=x（x+4）,

解得：x=VB-2^x=-V13-2,（舍去），

即£尸=屈-2,

由（1）得：AABE=\CDF,

BE=DF=4,

:.BD=BE+EF+DF=4+y/U-2+4=6+y/]3.

3.（2020•温州）如图，C,。为。。上两点，且在直径两侧，连接CD交N8于点E,G是我;上一

点，NADC=NG.

（1）求证：Zl=Z2.

7

(2)点。关于DG的对称点为尸，连接C尸.当点尸落在直径45上时，C尸=10,tanZl=-,求OO的

5

半径.

【答案】(1)见解析；(2)—

4

【详解】(1)--ZADC=ZG,

AC=AD,

AB为OO的直径，

:.BC=BD,

N1=N2；

(2)如图，连接。/，

VAC=AD,45是OO的直径,

/.ABLCD,CE=DE,

：.FD=FC=\0,

・・,点C,尸关于。G对称，

DC=DF=10.

DE=5,

八2

tan=一,

5

...EB=DE♦tanN1=2,

•・・Z1=Z2,

八2

「.tanZ2=—

5

“q=竺

tanZ22

29

AB=AE+EB=—

2

二。。的半径为?

4.Q019•温州）如图，在A48C中，NA4C=90。，点E在5C边上，且C4=C£,过/,C,E三点的OO

交AB于另一点、F,作直径4。，连接。回并延长交45于点G,连接CD,CF.

（1）求证：四边形。。尸G是平行四边形.

3

（2）当BE=4,=时，求OO的直径长.

【答案】（1）见解析；（2）3任

【详解】（1）证明：连接NE,

ABAC=90°,

.•.c尸是。O的直径,

•••AC=EC,

AC=CEf

CFLAE,

是OO的直径,

ZAED=90°,

即GDLAE,

:.CF//DG,

•••4D是OO的直径,

:.ZACD=90°,

:.ZACD+ABAC=1SO°,

/.AB//CD,

/.四边形DCFG是平行四边形;

3

(2)角由：由CQ=—43,

8

设CQ=3x,AB=8x,

：.CD=FG=3x,

♦・♦ZAOF=ZCOD,

/.AF=CD=3x,

BG=Sx-3x-3x=2x,

•・•GE//CF,

BE_BG_2

.•衣一瓦W

♦;BE=4,

/.AC=CE=6,

.•.50=6+4=10,

/.AB="。2-62=8=8x,

..x—1t

在RtAACF中，AF=3,AC=6,

CF=V32+62=375,

即。。的直径长为3石.

5.(2018•温州)如图，。是AA8C的8c边上一点，连接4D,作AA8D的外接圆，将AADC沿直线

折叠，点。的对应点E落在。。上.

(1)求证：AE=AB.

(2)若NG18=90。，cosZADB=-,BE=2,求8c的长.

3

c

D

E

【答案】（1）见解析；（2）BC=3五

【详解】（1）由折叠的性质可知，/^ADEAADC,

:./AED=/4CD,AE=AC,

•・•AABD=ZAED,

NABD=/ACD,

/.AB=AC,

AE=AB；

（2）如图，过Z作于点”,

•;AB=AE,BE=2,

BH=EH=\,

,//ABE=/AEB=NADB,cos/ADB=-,

3

cos/ABE=cosZADB=4，

BH

.布一晨

AC=AB=3,

•・•ABAC=90°,AC=4B,

BC=3g.

6.(2022•鹿城区校级一模)如图，是。。的直径，弦CDL4B于点E,G是劣弧/C上一点，AG,

OC的延长线交于点尸.

(1)求证：2FGC=2AGD.

一.7

(2)若G是4。的中点，CE=—CF=2,求GP的长.

3

10

•••45是OO的直径，弦CD_L45,

AD=AC,

AD=AC,

/.ZADC=ZACD,

•・•点/、D>C>G在0。上，

ZFGC=ZADC,

•・•ZAGD=ZACD,

ZFGC=ZAGD；

(2)解：如图，过点G作G//，。尸于点

A

B

•・•/DAG+Z.DCG=180°,ZDCG+NFCG=180°,

ZDAC=ZFCG,

AG=GC,

:.AG=CG,

•・•ZAGD=ZFGC,

/.\DAG=AFCG(ASA),

CF=AD=3,DG=FG,

•・•GH1DF,

DH=FH,

•••AB上CD,

DE=EC=2,

DF=2+2+3=7,

.\DH=HF=3.5,

AE=4AD1-DE1=A/32-22=75,

AF=^AE2+EF2=J(V5)2+52=730,

-GH//AE,

.GF_FH

GF3.5

.W.7回

..\ir=-------.

10

7.(2022•温州一模)如图，四边形Z5CD内接于。。，/£_LC2的延长线于点E,连结/C,BD,AB

平分ZEBD,

(1)求证：AC=AD.

(2)当夕为4。的中点，BC=3BE,40=6时，求CQ的长.

【答案】(1)见解析；(2)4

【详解】(1)证明：•・•四边形43CQ内接于OO,

ZADC+ZABC=180°f

vZABE+ZABC=180°,

/ABE=/ADC,

VAB平分ZDBE,

ZABE=/DBA,

/ADC=/DBA,

ZACD=/DBA,

ZADC=NACD,

:.AC=AD；

(2)解：过4作/尸_LCD于尸，

•・范为就的中点,

AB=BC,

•・•BC=3BE,

...AB=3BE,

v四边形ABCD是OO的内接四边形，

ZADF=/ABE,

•・•ZAFD=NAEB=90°,

\ABE^M,DF,

.DFBE_1

"AD~AB~3'

AD=6,

DF=2,

AC=AD,

CD=2DF=4.

8.（2022•平阳县一模）数学家庞斯莱发明过一种玩具（如图1）,这种玩具用七根小棍做成，各结点均可活

动，AD=AF,CD=DE=EF=FC,S.OC<AF-CF.使用时，将/,。钉牢在平板上，使/,。间

的距离等于木棍OC的长，绕点。转动点C,则点C在。。上运动，点E在直线8G上运动，BG工AB.图

2是该玩具转动过程中的一幅示意图.

（1）判断点/,C,£在同一条直线上吗？请说明理由，

（2）当点。，C,尸在同一条直线上时.

①求证：CDHAB.

②若OC=2,CD=3,tanZOAC=~,求BE的长.

2

【答案】（1）见解析；（2）4

【详解】（1）解：点4,C,E在同一条直线上，理由如下:

CD=DE=EF=CF,

，四边形CDE尸是菱形，

:.CE工FD,OrF=OfD,

AFO'E=90°,

•/AF=AD,

AO」FD,

AAO'F=90°,

:.ZAO,F+ZFO,E=1SO°,

.•.点Z,C,£在同一条直线上；

(2)设OO与45交于点M,连接CM,

①证明：•.・四边形CD£尸是菱形，

CF=CD,AELFD,

ZCFD=/CDF,

vAM是直径，

AECM,

FD//CM,

ZOCM=ZCFD,ZFDC=ZDCM,

ZDCM=ZOCM,

OC=OM,

ZOCM=ZOMC,

ZDCM=AOMC,

CD!/AB；

・・•四边形CZ>£尸是菱形，

:.FO//EN,ED=CD,

/ECD=ZCED,

-CD//AB,

.•.四边形COND是平行四边形，

/ECD=/CAB,

CD=ON=3,/CAB=ZCED,

AN=EN,

OC=OA=2f

：.EN=AN=AO+ON=2+3=5,

AB=5+x,

BF1

在RtAAEB中，tan/CMC=—=—,

AB2

.了

..------—_—i，

5+x2

在RtAEBN中，EN2=BE2+BN2,

52=/+(2y-5)2,

解得，乂=0（舍去），%=4,

BE=4.

9.（2022•乐清市一模）如图，将矩形ACVPQ按照图1方式剪成4个直角三角形，再将这4个直角三角形

按照图2方式无缝拼接成口48CD,连结。G,BE.

（1）求证：四边形。EBG为平行四边形；

（2）当NE=3,AD=5,ZFAB=ZGDE,求BE的长.

图1图2

【答案】（1）见解析；（2）V5

【详角军】（1）证明：•.•由题意可得N/£Q=NCHD=NBGC=NAra=RTN

:.DE//BG,

ED=BG

/.四边形G为平行四边形；

(2)解：•;AE=3,AD=5,/AED=90。

:.ED=ylAD2-AE2=,52—32=4

/.AF=4,EF=\,

四边形G是平行四边形，

ZGDE=ZEBG,

•・•/FAB=ZGDE,

/FAB=ZEBG,

\FEBs\FBA,

:.EFxAF=BF2,

BF=2,

BE=4EF-+BF2=A/12+22=6.

D

10.（2022•瓯海区一模）如图，四边形4BCD内接于OO,/C是。。的直径，作DE//3C,交8。的延长

线于点E,且8E平分乙480.

（1）求证：四边形2CAE是平行四边形；

3

（2）若4D=8,tan/BDE=—,求/C的长与口8cDE的周长.

【答案】（1）见解析；（2）475+12

【详解】证明：（1）延长3E,交AD于点、F,交。。于点G,

•••BE平分NABD,

.­./ABG=NDBG,

:.AG=DG,

;BE是OO的直径,

BG1AD,

ZBFD=90°,

•・•/C是。O的直径,

ZADC=90°,

...NBFD+NADC=180。,

/.BE//CD,

-DEIIBC,

二.四边形3CDE是平行四边形；

解：（2）DEI/BC,

ZBDE=ZCBD,

•・•ZCBD=ZCAD,

ZBDE=ZCAD,

•・・/c为oo的直径，

ZADC=90°,

3CD

在RtAACD中，tanZCAD=tanABDE=-=——，

48

CD=6,

JC=A/62+82=10,

/.OA=OC=OB=5,

•••O9是A4Q?的中位线，

OF=3,

:.BF=OB+OF=3+5=8,

在RtABDF中，BD=+42=475,

vBF是AD的垂直平分线，

AB=BD=475,

在RtAABC中，BC=A/102-（475）2=275,

•­•Csco£=（275+6）x2=475+12.

11.（2022•瑞安市一模）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CD平分NACB交AB于点、D,交。。于点

E,以。2为直径作。。交于点尸，连结3E,EF.

（1）证明：ZL4=ABEF.

（2）若4c=4,tanZBEF=4,求£尸的长.

E

【答案】（1）见解析；（2）-V34

【详解】（1）证明：连接。尸，

•;BD是OO的直径，

ZDFB=90°,

ZACB=90°,

ZACB=ZDFB=90°,

:.AC//DF,

N4=/FDB,

•・•ZFDB=ZBEF,

/A=ZBEF；

(2)解：过点E作垂足为“,

E

/EHF=90°,

•・・CD平分N4C8,

ZACD=NDCB=-ZACB=45°,

/.ZCDF=90°-ZDCB=45°,

CF=DF,

^CF=DF=xf

•・•ZA=/BEF,

/.tanA=tan/BEF=4,

BC=ACtanA=4x4=16f

:.BF=BC-CF=\6-x,

・・•NACF=/DFB=90°,

/.\ACB^\DFB,

.ACBC

,•而一定’

416

—=-------,

x16-x

16

x=—,

5

经检验，》=竺是原方程的根，

5

:.CF=—,

5

••・8。是OO的直径，

/BED=90°,

ZEBC=90°-ZDCB=45°,

EC=EB,

•・•EH1BC,

:.CH=BH=-BC=S,

2

:.EH=-BC=S

2f

24

:.FH=CH-CF=—,

5

:.EF=NFH2+EH?=/（h+82=|取,

.•.石尸的长为号后.

5

12.（2022•龙港市一模）如图，是半圆。的直径，半径。是OC延长线上任意一点，DE

切半圆。于点连结4E,交。。于点方.

(1)求证：DE=DF.

(2)若CD=2,tan//尸0=3,求跖的长.

【答案】(1)见解析；(2)—

【详解】(1)证明：连接OE,

•・•OE=OA,

N4=ZOEA,

•••DE切半圆。于点E,

ZDEO=90°,

ZDEF+ZAEO=90°,

•・•OC1AB,

:.ZAOC=90°,

/A+ZAFO=90°,

ZAFO=/DEF,

♦・•ZAFO=/DFE,

/DFE=/DEF,

/.DF=DE；

r)A

(2)解：vtmZAFO=——=3,

OF

设。4=3%,OF=x,

OC=OA=3x,

二.DF=2+2x,

•/ZDEO=90°,

OE2+DE2=OD2,

9/+(2+2x)2=(2+3x)2,

x=\,x=0（不合题意舍去）,

z.DE=4,OE=3,OD=5,

过E作于”,

St.xnLFjinnj=-2DE-OE=-2EHOD，

D£,-O£,_3x4_12

OH=ylOE2-EH2=-,

5

EF=NEH〜HF?=.

13.（2022•苍南县一模）如图，是。。的直径，点C在。O上，/E是。。的切线，BE平分N4BC交

/C于点。，交。。于点尸.

（1）求证：AD=AE.

（2）若/5=8,AD=6,求CQ的长.

【答案】（1）见解析；（2）—

25

【详解】（1）证明：・・,/5是。。的直径,

二.N4CB=90。，

/.ZCBD+ZCDB=90°,

•・•BE平分/ABC,

ZCBD=ZEBA,

•・•4E是。O的切线，

/./BAE=90°,

/EBA+ZE=90°,

ZCDB=ZE,

又,:ZCDB=ZEDA,

ZE=/EDA,

AE=AD；

（2）解：由（1）知：AE=AD,

•.•43=8,AD=6,4片是。。的切线，

AE=6,ABAE=90°,

/./BAE=/BCD,

•••BE平分/ABC,

ZCBD=/ABE,

KEAB^KDCB,

.AE_AB

"~CD~~CB'

即2=亍^^=,

CDAB1-AC1

•;AC=AD+CD,

•6_8

CD褥_（6+。。）2’

47

解得CQ=-6（不合题意，舍去）或

25

4?

即CQ的长是丝.

25

14.(2022•温州模拟)如图，A4BC内接于O。，直径所交N8于点延长所与过点C的切线交于点

D.已知N/J3C与4D互余.

(1)求证：ACLEF.

行

(2)连结班，当tanZBME=—,。£=12时，求。。的半径和BE的长.

2

【详解】(1)证明：连接。/、OC,如图:

•.•CD与。。相切于点C,

OC1CD,

ZOCD=90°,

ND+NDOC=90°,

•••ZD+/ABC=90°,

/ABC=ZDOC,

:.ZABC=-ZAOC,

2

:.ZDOC=-ZAOC,

2

:.OF平分NAOC,

:.AF=CF,

OFLAC,即/C_LE尸；

(2)解：连接OC、AF、设NC、EF交于点、G,如图:

•・•/ABE=60°,

ZAOE=2/ABE=2x60°=120°,

/.ZAOF=180°-Z^OE=180°-120°=60°,

由（1）知O户平分N/OC,

/.ZCOF=ZAOF=60°,

•・•ZOCD=90°,

ZD=90°-/DOC=90°-60°=30°,

/.OD=2OC,

•/OE=OC,DE=12f

:.EO+DO=12,即OC+2OC=12,

/.OC=4,

.•.O。的半径为4,

OA=OF=OE=4fEF=OE+O厂=4+4=8,

•・•ZAOF=60°,

\AOF是等边三角形，

/.AF=4,

由（1）知4C_L跖于G,

ZAGF=ZAGM=90°9

./.L人AGFG

*.*sin/4FG=-----,cos/4FG------,

AFAF

:.AG=AF-sinZAFG=4xcos60°=2,

在RtAAMG中，

tanZ.AMG=tan/BME=—,tanZAMG=.

2MG

.AG

;.MG=2AG=2X26=4,

V3V3

AM=^AG2+MG2=J(2V3)2+42=277,

ME=EF-GF-MG=4=2.,

根据圆周角的性质可得：NBEM=AEAM,ZEBM=ZAFM,

NBEM^^FAM,

BEEMnnBE2

—=——，即——=—产

FAAM42近

_477

15.（2022•温州模拟）如图，点C,。在以42为直径的半圆。上，AD=BC,切线。E交/C的延长线

于点E,连接。C.

（1）求证：ZACO=ZECD.

⑵若NCDE=45°,DE=4,求直径48的长.

【答案】（1）见解析；（2）48=4及

【详解】证明：（1）如图，连接8,

AD=BC,

:.AC=BD,

ZAOC=ZBOD,

•••OA=OC=OD,

AOAC=AOCA,NOCD=NODC,

ZAOC+ZBOD+ZCOD=180°=ZOCD+NODC+ACOD,

NOCD=ZAOC,

:.AO//CD,

/ECD=ZCAO,

/ACO=/ECD；

(2)月是OO切线,

/EDO=90°,

•・•/CDE=45°，

ZCDO=45°,

:.ZAOC=45°=ZOCD,

"COD=90。,

CD=4ioc,

•・•AAOC=ZCDE=45°,/ACO=ZECD,

/.\AOC^\EDC,

DE型3,

AOCO

.•./O=W=20,

4i

AB=472.

16.（2022•温州模拟）如图，在A42C中，AB=AC,以N8为直径作0。分别交/C,2C于点D,E,

连结EO并延长交。。于点尸，连结/尸.

C1）求证：四边形4CEF是平行四边形；

出

（2）连结。£,若AC0E的面积为20,cosZF=—,求。。的直径.

【答案】（1）见解析；（2）5比6

【详解】（1）和£尸为。。直径,

AB=EF.

•••AB=AC,

:.AC=EF,/C=/ABC.

•「OE=OB,

/ABC=ZOEB,

z.ZC=ZOEB,

:.AC//EF,

.•・四边形ZCW为平行四边形.

(2)由平行四边形4C£尸得NC=ZF.连结BQ,AE,

•・,AB为OO直径，

/.AADB=90°.

..

•cos—，

5

.•.设CQ=x,则CB=&,

BD=2x.

•・•AB为直径，

/.AEYBC,

•・•AB=AC,

.•.£为中点，

••S砧CD=2sApcE=40'

二.一x,2x—40，

2

・「x>0,

x=2V10.

CD=2Vio,BC=y[5x=10y/2fBD=2x=4710,

AB=———=-^=572x75=5710,

cosZ_ABEcosC

。。的直径为5&U.

17.（2022•温州模拟）如图，在菱形4BCL（中，点E,尸分别在/D,CZ＞边上，S.DE=DF,连结

并延长交2c的延长线于点G.

（1）求证：ZG=-ZA.

2

1DF

（2）连结5E,BF,当NEBF=NA,tan/G=一时，求——的值.

2CG

7

【答案】（1）见解析；（2）-

3

【详解】（1）证明：•・・四边形是菱形,

4=ZDCA,AD/IBC,

ZDEF=NG,

•：DE=DF,

/DEF=ZDFE,

♦・•ZDFE=乙CFG,

/.ZCFG=ZG,

•:NDCA=NG+NCFG,

ZDCA=2NG,

/.N4=2ZG,

.\ZG=-ZA；

2

•・•四边形WCD是菱形，

:./EDB=/FDB,AC1BD,DH=-BD,

2

,;DE=DF,BD=BD,

,\DEB=ADFB(SAS),

ZDBE=ZDBF=-ZEBF,EB=EF,

2

•・•ZEBF=ZA,

ZDBE=/DBF=-AA,

2

•・•AG=-AA,

2

NG=ZDBE,

•;DE=DF,EB=BF,

.•.8。是环的垂直平分线，

/.BDLEF,

ZEGD=ZEGB=90°,

'：tanZG=—,

2

tanZDEF=——=—,tan/EBD=—=一,

EG2BG2

.•.设DG=Q,EG=2a,BG=2EG=4a,

BD=DG+BG=5a,

:.DH=-BD=2.5a,

2

:.GH=DH-DG=\.5a,

•••AC上BD,EF工BD,

:.EFIIAC,

DE_DG_(2_2

,耘一市一市一

vAD//BC,

/.四边形ACGE是平行四边形，

AE=CG,

DE_2

-----=-9

CG3

DE占不2

——的值为一.

CG3

18.（2022•永嘉县模拟）如图，在AA8C中，AC=6,AB=8,8c=10,点尸在边/C上运动，

PE//BC,交4B于点E,以4为半径的0c交边/C于点。，延长£尸交0c于点歹，GF±EF,交4c

延长线于点G.

（1）求证：NG=NB.

(2)若尸C=尸。，求G尸的长.

m右/c、24+16y/2]

【答案】(1)见解析；（2）-------------

【详解】(1)证明：VAC=6,4B=8,BC=IO,

AC2+AB2=BC2,

ZA=90°,

•••GF_LEF,

ZGFP=ZA=90°,

PE/IBC,

NGPF=AACB,

NG=ZB；

(2)解：作CH_L尸尸于点〃，连接C尸，如图:

•.•CQ=4,PC=PQ,

/.PC=PQ=2,

'：PE/IBC,

ZCPH=ZBCA,

/.tanZCPH=tanZBCA,即——二——，

PHAC

•CH_8_4

4

:.CH=-PH,

3

在RtACPH中，CH2+PH2=CP2,

:.(^PH)2+PH2=22,

解得尸〃(负值已舍去)，

:.CH=-

在RtACHF中，FH=yJCF2~CH2=

GF4

在RtAGPF中，tanZGPF=——=—,

PF3

…6+4721424+16721

GF=-----------x—=---------------,

答：G厅的长为生譬L

19.（2022•鹿城区校级二模）如图，在。。中，弦C。垂直平分半径。4于8,点E是圆上一点，连结NE

交线段3c于尸，过点E作。。的切线交0c的延长线于点尸，已知。，O,E三点共线.

（1）求证：AC=CE.

（2）若CP=2,求APE户的面积.

D-------

【答案】（1）见解析；（2）473

【详解】（1）证明：连接。E,AC,OC,CE,如图所示:

p

v弦垂直平分半径04,

...CA=CO,

•・•OC=OA,

/.A40c是等边三角形，

..ZAOC=60°,ZOCB=30°,

vD,O,£三点共线，

:.DE为直径,

ZDCE=90°,

/.ZOCE=60°,

•/OC=OE,

/.ACOE为等边三角形，

ZCOE=60°,

ZAOC=ZCOE,

/.AC=CE.

(2)解：•・•点E作。。的切线交。。的延长线于点尸，

/.ZOEP=90°,

ZCEP=30°,

•・•C尸=2,

/.tanZC^P=—=—,

CE3

CE=25

ZAOE=120°,OA=OE,

/OEA=30。,

ZAEC=30°,

：.CF=PC=2,

:ZEF的面积=—X4X26=4G

2

20.2022•温州模拟）如图，4D是RtAABC斜边2c上的中线，£■是/D的中点，过点/作/厂//BC交2E

的延长线于点尸，连结3.

（1）求证：四边形NOC厂为菱形；

（2）若/£=布，tanZABC=-,求菱形4DC尸的面积.

3

【答案】(1)见解析；(2)48

【详解】(1)证明：是的中点，

AE=DE,

丁AF//BC,

/.ZAFE=ADBE,

在AAEF和AZ)防中，

ZAFE=/DBE

<ZAEF=/DEB,

AE=DE

AAEF?ADEB(AAS),

AF=DB,

：.四边形ADCF是平行四边形，

vABAC=90°,。是5C的中点，

AD=-BC=CD,

2

二.四边形4QC尸是菱形；

(2)解：・.・万是40的中点，AE=yfl3,tanZABC=-f

3

;.AD=2而,BC=4岳,

设力3=3x,AC=2xr

由勾股定理得：（2x）2+（3x）2=（4屈）2,

解得：x=4,

「.45=12,AC=8,

・・•。是5C的中点,

**•S菱形zoc尸=2SMDC=SMBC=54B-AC=—xl2x8=48.

21.(2022•文成县一模)如图，在四边形/BCD中，DA=DC,/ADC=/B=J过点。作。于

E.

(1)求证：DE=BE.

(2)连结/。交。E于点尸，若tan/4QE=L,AD=15,求。尸的长.

2

【详解】(1)证明：过点。作。GL5C,交5C的延长线于点G,如图所示:

•/DELAB,AB=90°,DGLBC,

/DEA=/DEB=NB=/BGD=90°,

.•.四边形。£3G是矩形，

ZEDG=90°,DG=BE,

ZEDC+ZCDG=90°,

NADC=90°,

/EDC+/ADE=90°,

NADE=ZCDG,

在和\CDG中，

ZADE=ZCDG

</DEA=ZDGC=90°,

DA=DC

\ADE=\CDG{AAS),

DE=DG,

DE=BE；

(2)解：vt^nZADE=~,ZDEA=90°,

2

AE

----=一,

DE2

DE=2AE,

在RtAAED中，由勾股定理得：AE1+DE1=AD2,

即AE2+(2AE)2=152,

解得：AE=3小,

DE=2AE=675,

由(1)得：\ADE=ACDG,四边形。E8G是矩形，DE=BE,

四边形DEBG是正方形，AE=CG=36

BE=BG=DE=6y[5,

BC=BG-CG=645-345=2,45,AB=AE+BE=3非+6辨=9并，

■：FEVAB,BCVAB,

:.FE//CB,

\AEF^\ABC,

,AEEF

,•南一菽'

解得：EF=y/5,

DF=DE-EF=645-45=5y/5,

即。尸的长是5JL

22.（2022•瑞安市二模）如图，AA8C内接于。。，N8为直径，乙4c8的平分线分别交N8于点。，交

。。于点E,过点E作。。的切线，交CE的平行线/厂于点尸.

（1）求证：四边形4DE尸为平行四边形.

7

(2)若tan/C45=—,AF=5,求四边形尸的面积.

3

【答案】（1）见解析；（2）—

13

【详解】（1）证明：连接OE,如图1,

ZACB=90°,

•・•/ACB的平分线交0(9于点E,

:./ACE=/BCE=45。,

/AOE=2ZACE=90°

EF为OO的切线，

OELEF,

EF//AB,

•・•AF//CE,

/.EF//AD,AFIIDE,

/.四边形ADEF为平行四边形；

(2)解：如图2,过点。作。河_L4C于点DN1BC千点、N,连接OE,

FE

图2

・.・C£平分"C5,DMLAC,DNLBC,

...DM=DN,

S砧DC-BC-DNBCAC3

2

ca

.QAAPC_J

SBDC2

..S^DC_4。,

SgDCBD

AD3

---------———,

BD2

设40=3f,则BD=2t,AB=5t,

:.OE=OB=-AB=-t,OD=OB-BD=-t-2t=-t,

2222

•.•四边形ABCD是平行四边形，

DE=AF=5,

在RtAODE中，

OE2+OD2=DE2,即(|f)2+(go?=52,

解得：/=竺，

13

四边形NOEF的面积=40・。£=3八』/="/29.

2221313

23.（2022•瓯海区模拟）如图，在RtAABC中，ABAC=90°,以N8为一边构造口,DA/IBC,连

结EC交。/的延长线于点尸，DFLEC,延长及4交2C于点G.

（1）求证：点4是EG的中点.

（2）若tanN/3C=L,DA=6,求8c的长.

2

【详解】（1）证明：•.•四边形是平行四边形,

BD//AE,BD=AE,

:.BDI/AG,

,:DA//BG,

二.四边形4D5G是平行四边形，

:.BD=AG,

AE=AG,

.•.点4是EG的中点；

(2)解：・・•四边形5G是平行四边形，

BG=DA=6,

•/DA/IBC,DFLEC,

/.BC1EC,

NECG=90。,

由(1)可知，点4是EG的中点，

:.AC=-EG=AG,

2

/ACG=NAGC,

•・•ABAC=90°,

ABAC=/ECG,

/.KBACs.CG,

.ACCG

'~AB~~CE'

vtanZ^5C=—

AB2

CG1

-----=—,

CE2

设/C=a,贝!J48=2a,EG=2AC=2a,

设CG=6,则CE=26,

•••CE2+CG2=EG1,

即(26>+62=(2a)2,

•••AB2+AC2=BC2,

即(2a)2+a2=(6+?个疗,

解得：a=2A/5,

2代

BC=6+^-x2V5=10.

24.(2022•鹿城区二模)如图，AA8C内接于0O(/C>3C),是。。的直径，E,C,。是。。上的

点，EC=CB=BD,连结分别交4C,幺8于点F,G.

(1)求证：\EFA^NBCA.

(2)若3C=5,2G=4,求的长.

17

【答案】（1）见解析；（2）—

2

【详解】（1）证明：•.・比=a=叁，

NEAC=ABAC,/E=ZCBA,

..\EFAS^BCA.

(2)解：••・48为OO直径，

:.ZACB=90°.

AEFASMCA.

FFRC

AEFA=AC=90°,——二——.

AEAB

又,；/CAE=/CAB,AF=AF,

\AEF=AAFG(ASA),

:.AE=AG,EF=FG.

•;ZAEG=/ABD,/AGE=/BGD,

\AEGs^DBG,

.BD_AE_5

.瓦一荡—a’

^EF=FG=2x.AE=AG=5x,

.e.A,B—5x+4,

BCEF5_2

~AB~^E~~5x+4~~5

17

x——

10

A.E—5x——.

2

25.（2022•鹿城区校级二模）如图，43是。。的直径，弦于点E,尸是筋上一点，连结/尸

并延长，与CD的延长线交于点G.连结FD,FC,AC.

(1)求证：NDFG=NAFC.

——1

(2)若方是4。的中点，CE=-DG=2,求G/的长.

3

【详解】（1）证明：・・・/5是。。的直径，弦CD_L45,

AC=AD,

ZAFC=ZACD,

•・•四边形ACDF内接于019,

:.ZACD+ZAFD=\SO0,

ZDFG+ZAFD=1SO0,

ZDFG=ZACD=ZAFC；

（2）解：•・•尸是弱的中点,

...AF=FD,

AF=FD,

・・•四边形/CD厂内接于OO,

/.ZCAF+ZCDF=1SO0,

ZFDG+ZCDF=1SO0,

ZFDG=ZCAF,

由(1),WZDFG=ZAFC,

ACAF=AGDF(ASA),

/.CF=FG,

•/CE=-DG=2,

3

AC=DG=6,

•.•48是。。的直径，弦C£>_L/8,

DE=CE=2,

AE74c2-CE?=4逝,CG=CE+DE+DG=IO,EG=ED+DG=S,

AG=[AE?+EG?=476,

GH=-CG=5,FH/IAE,

2

,FG_GH5

一而一方一W'

_576

26.(2022•苍南县二模)如图，在。O的内接AA8C中，AB=AC,直径/。交8c于点£,连结co.

(1)求证：\ACEsACDE.

⑵若AE=BC,AD=\Q,求/C的长.

【答案】（1）见解析；（2）4#）

【详解】（1）证明：连接05,OC,

•/AB=AC,OB=OC,

AD是BC的垂直平分线，

/AEC=/DEC=90°，BE=EC,

AB=AC,

:.AB=AC,

AACE=ZADC,

\ACE^\CDE.；

(2)解：BE=EC=-BC,AE=BC,

2

:.CE=-AE,

2

CE1

tanZCAE=——=一，

AE2

•・・4D是OO的直径，

:.ZACD=90°,

CD1

在RtAACD,tan/CAD=——=—,

AC2

设CD=Q,AC=2a,

:.AC2+CD2=AD\

(2«)2+tz2=100,

a=2A/5或a=-2-\/5（舍去）,

，/C=2Q=4行,

.•./C的长为4行.

27.(2022•龙湾区模拟)如图，在RtAABC中，AABC=90°,AB=BC.点/,。落