重难点48 概率统计与数列结合八大题型【2024高考数学二轮复习题型突破】（解析版）

高中数学精编资源2/2重难点专题48概率统计与数列结合八大题型汇总题型1基础模型 1题型2传球模型 10题型3游走模型 20题型4药物相关模型 33题型5商场销售模型 44题型6摸球模型 54题型7射击模型 63题型8证明题型 70题型1基础模型在n+1时刻的状态，只跟第n刻的状态有关，与n-1，n-2，n-3...等时刻状态是“没有任何关系的”.【例题1】（2020·全国·高三校联考阶段练习）小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．（1）规定第1次从小明开始．（ⅰ）求前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率；（ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与期望．（2）若第1次从小芳开始，求第n次由小芳投掷的概率Pn【答案】（1）（ⅰ）3964（ⅱ）见解析，2716【分析】（1）（ⅰ）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概率为936=1（2）若第1次从小芳开始，则第n次由小芳投掷骰子有两种情况：1.第n-1次由小芳投掷，第n次继续由小芳投掷，2.第n-1次由小明投掷，第n次由小芳投掷.【详解】（1）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概率为936（ⅰ）因为第1次从小明开始，所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率，P=1（ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X，依题意，X可取0，1，2，3，所以P(X=0)=14×P(X=2)=3964，所以X的分布列为X0123P121393所以E(X)=0×1（2）若第1次从小芳开始，则第n次由小芳投掷骰子有两种情况：①第n-1次由小芳投掷，第n次继续由小芳投掷，其概率为Pn②第n-1次由小明投掷，第n次由小芳投掷，其概率为Pn因为①②两种情形是互斥的，所以Pn所以Pn-12=-12-12为公比的等比数列，所以Pn【点睛】本题考查随机变量的分布列与数列综合应用，涉及到利用递推数列求通项公式，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的综合题.【变式1-1】1.（2024上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）2023年10月7日，杭州第19届亚运会女子排球决赛，中国队以3比0战胜日本队，夺得冠军，这也是中国女排第9个亚运冠军．她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的精神．某学校为了弘扬女排精神，组织高三同学参加《三环杯》排球赛，采用5局3胜制，每局25个回合，决胜局15个回合．在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方．经统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为12；当乙队拥有发球权时，乙队获胜的概率为2(1)在第一局比赛中，求在前三个回合里乙队获得2分的概率；(2)在第二局比赛中，假设由乙队先发球，试比较在第五个回合中，甲乙两队谁发球的概率更大？【答案】(1)79(2)乙队开球的概率更大【分析】（1）考虑甲队先发球和乙队先发球两种情况，根据乙队赢2次输1次计算概率得到答案.（2）确定P5=12P4+131-P4，【详解】（1）当某局比赛开始，甲队先发球，乙队获取2分的概率为：Pa当某局比赛开始，乙队先发球，乙队获取2分的概率为：Pb所以在前三局比赛中，乙队获得2分的概率P=P（2）方法一：设在第i个回合中，甲队开球的概率为Pi在第五个回合中，甲队开球的概率：P5同理：P4=12P故P1=0，P2=13，又P5方法二：设在第i个回合中，甲队开球的概率为Pi由全概率公式得：Pi=1由题意得：P1所以数列Pi-25由是以所以：Pi-2所以：P5故在第五个回合中，乙队开球的概率更大．【变式1-1】2.（2023上·山东·高三校联考阶段练习）某学校新校区在校园里边种植了一种漂亮的植物，会开出粉红色或黄色的花．这种植物第1代开粉红色花和黄色花的概率都是12，从第2代开始，若上一代开粉红色的花，则这一代开粉红色的花的概率是35，开黄色花的概率是25；若上一代开黄色的花，则这一代开粉红色的花的概率为15，开黄色花的概率为4(1)求第2代开黄色花的概率；(2)证明：i=1n【答案】(1)3(2)证明见解析【分析】（1）由条件概率公式以及概率的加法公式计算可得第2代开黄色花的概率为35（2）由题意可求得Pn-13是以16裂项可得1-3Pi5【详解】（1）设事件Ai表示第i代开粉红色花，事件B由题意可得PB所以第2代开黄色花的概率为35（2）由题可知P1=12，设Pn+λ=2则Pn=25P即Pn所以Pn-13是以可得Pn-1因此1-3P由累加法可得：i=1n所以可得i=1n【变式1-1】3.（2020·全国·高三校联考阶段练习）一袋中有大小、形状相同的2个白球和10个黑球，从中任取一球．如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n次这样的操作后，记袋中的白球个数为Xn（1）求EX（2）设PXn=2+k（3）证明：EX【答案】（1）EX1=【分析】（1）根据X1（2）求得当k=0时，以及1≤k≤10时的概率，则问题得解；（3）对第n+1次白球个数的数学期望分为第n+1次取出来的是白球，或者黑球进行讨论，即可证明.【详解】（1）∵X1=2或∴PX1=2∴EX（2）∵当k=0时，PX当1⩽k⩽10时，第n+1次取出来有2+k个白球的可能性有两种：第n次袋中有2+k个白球，显然每次取出球后，球的总数保持不变，即袋中有2+k个白球，10-k个黑球，第n+1次取出来的也是白球的概率为2+k12第n次袋中有1+k个白球，第n+1次取出来的是黑球，由于每次总数为12个，故此时黑球数为11-k个，这种情况发生的概率为11-k12∴PX∴综上可知，P（3）∵第n+1次白球个数的数学期望分为两类情况：第n次白球个数的数学期望为EX第n+1次取出来的是白球的概率为EX第n+1次取出来的是黑球的概率为12-EXn12∴E=EXn【点睛】本题考查概率的计算，数学期望的计算，本题的难点在于分类讨论要仔细严谨，属综合中档题.【变式1-1】4.（2021上·江苏·高三校联考阶段练习）2021年4月23日是第26个“世界读书日”，某校组织“阅百年历程，传精神力量”主题知识竞赛，有基础题、挑战题两类问题.每位参赛同学回答n次n≥3,n∈N*，每次回答一个问题，若回答正确，则下一个问题从挑战题库中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从基础题库中随机抽取.规定每位参赛同学回答的第一个问题从基础题库中抽取，基础题答对一个得10分，否则得0分；挑战题答对一个得30分，否则得0分.已知小明能正确回答基础类问题的概率为35(1)记小明前2题累计得分为X，求X的概率分布列和数学期望；(2)记第k题小明回答正确的概率为ak,k=1,2,⋯,n，证明：当k≥2时，a【答案】(1)X01040P436数学期望为78(2)证明见解析，a【分析】（1）写出X的可能取值，并求出相应的概率，从而求出分布列及期望；（2）根据题意列出ak与ak-1的关系式，利用构造法求出【详解】（1）X的所有可能取值为0，10，40PX=0=PX=40∴X的分布列如下：X01040P436EX（2）根据题意得：第k-1题回答正确的概率为ak-1，则aak-12=-15ak-1+110=-【变式1-1】5.（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）某单位有A、B、C、D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．已知第1周选择使用A密码．(1)求第3周使用A密码的概率；(2)求第k周使用A密码的概率；(3)记前n周中使用B密码的次数为Y，求EY【答案】(1)1(2)3(3)E【分析】（1）根据题意，第3周从上周未选用的三种密码中任选一种即可得解；（2）找出第k周使用A密码的概率ak与第k+1周使用A密码的概率ak+1的关系，根据数列递推关系可得（3）根据题意求出前n周中使用A种密码次数的均值EX，可得E【详解】（1）因为第1周选择使用A种密码，所以第2周不选择使用A种密码，所以第3周从上周未选用的三种密码中任选一种，所以选择使用A密码的概率为13（2）设第k周使用A密码的概率为ak第k+1周使用A密码的概率ak+1整理得ak+1因为a1=1，所以所以数列ak-14是以所以ak-1答：第k周使用A密码的概率为34（3）设第k周使用A种密码的次数为Xkk=1,2,⋯,n，则Xk所以E=EX所以前n周中使用A种密码次数的均值为EX所以EY题型2传球模型传球模式是经典的数列模型.注意寻找里边的数列递关系.【例题2】（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有13的概率再传给该运动员，有23的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第n次传球传给甲运动员的概率为(1)求p2，p(2)求pn(3)设qn=2【答案】(1)p2=(2)p(3)证明见解析【分析】（1）根据题意，结合互斥事件和独立事件概率公式进行求解即可；（2）根据互斥事件和独立事件概率公式，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可；（3）利用构造函数法，结合导数与函数单调性的关系、等比数列的前n项和公式进行证明即可.【详解】（1）p1=1，p2（2）由已知pn=13p∴pn-1∴pn-1（3）qn设hx=x-sinx，x∈0,1，∴h显然qn>q∴qn-sin即qn+1∴i=1n【点睛】关键点睛：本题的关键是根据题意利用独立事件概率公式得到递推关系式pn【变式2-1】1.（2023上·河南郑州·高三郑州外国语学校校联考阶段练习）2023年10月5日晚，杭州亚运会五人制女篮比赛收官．决赛中，中国女篮74:72战胜日本女篮，以六战全胜的成绩卫冕成功．这也是继亚洲杯决赛后，中国女篮再度击败对手．这也是中国女篮第七次获得亚运会冠军．中国女篮首发五人分别是李梦、韩旭、黄思静、王思雨和金维娜娜．主教练郑薇准备从这五人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．(1)记李梦，韩旭，黄思静三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列：(2)若刚好抽到李梦，韩旭，黄思静三个人相互做传球训练，且第1次由李梦将球传出，记n次传球后球在李梦手中的概率为pn①直接写出p1②求pn+1与pn的关系式n∈N【答案】(1)分布列见解析(2)①p1=0，p2=12，p3【分析】（1）依题意可知X的可能取值为1、2、3，求出所对应的概率，即可得到分布列；（2）①利用古典概型的概率公式计算可得；②记An表示事件“经过n次传球后，球在李梦手中”，由全概率公式可求p【详解】（1）依题意可知X的可能取值为1、2、3，则PX=1=C31所以随机变量X的分布列为：X123P331.（2）①若刚好抽到李梦，韩旭，黄思静三个人相互做传球训练，且第1次由李梦将球传出，n次传球后球在李梦手中的概率为pn则有p1=0，p2②记An表示事件“经过n次传球后，球在李梦手中”，则A所以p=PA即pn+1所以pn+1-1所以数列pn-13表示以所以pn-1即n次传球后球在李梦手中的概率pn【变式2-1】2.（2020·山东青岛·统考二模）中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神.女排精神的具体表现为：扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用，给予全国人民巨大的鼓舞.（1）看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格：月份x12345体重超重的人数y640540420300200若该大学体重超重人数y与月份变量x（月份变量x依次为1，2，3，4，5…）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？（2）在某次排球训练课上，球恰由A队员控制，此后排球仅在A队员、B队员和C队员三人中传递，已知每当球由A队员控制时，传给B队员的概率为12，传给C队员的概率为12；每当球由B队员控制时，传给A队员的概率为23，传给C队员的概率为13；每当球由C队员控制时，传给A队员的概率为23，传给B队员的概率为13.记（i）若n=3，B队员控制球的次数为X，求EX；（ii）若an=23bn-1+23cn-1，附1：回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：附2：参考数据：i=15xi【答案】（1）可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下；（2）（i）1918（ii）证明见解析；a【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，并由此进行预测.（i）利用相互独立事件概率计算公式，计算出分布列，进而计算出EX.（ii）证明部分：法一：通过证明an+1-25=-23求得数列an的通项公式，由此判断出a【详解】（1）由已知可得：x=y=又因为i=15xi所以b=所以a=所以y=当y=-112x+756<10x∈N*所以，可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下.（2）（i）由题知X的可能取值为：0，1，2；PX=0PX=1PX=2X的分布列为：X012P1112所以EX（ii）（法一）由bn=1两式相加得：bn因为an所以bn-1+c代入等式得32a所以an+1因为a1=0，所以an+1+2所以数列an-25是首项为所以an即an因此经过200次传球后A队员控制球的概率a200（法二）由题知：cn=1所以an又因为bn所以cn所以an所以an所以an又因为a1=0，所以所以数列an-25是首项为所以an-2因此经过200次传球后A队员控制球的概率a200【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查根据递推关系证明等比数列，考查随机变量期望值的计算，属于难题.【变式2-1】3.（2021·安徽蚌埠·统考模拟预测）排球队的6名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他5人的概率相等，由甲开始传球（1）求前3次传球中，乙恰有1次接到球的概率；（2）设第n次传球后球在乙手中的概率为Pn，求P【答案】（1）56125；（2）P【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式与互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；（2）求得Pn=1-Pn-1【详解】（1）记事件A为“前3次传球中，乙恰有1次接到球”，PA（2）由题意，P1=1∴Pn-16所以，数列Pn-16是以∴Pn-【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：（1）当出现an（2）当出现an（3）当出现an（4）当出现an【变式2-1】4.（2020·河南·沈丘县第一高级中学校考模拟预测）三人玩传球游戏，每人等概率传给另外两人．第一次球从甲手中传出．（1）第四次传球结束，球恰好传回甲手中的概率；（2）若第n次传球结束后，球在甲手中的概率为an（i）用an表示an＋1（（ii）求{an【答案】（1）38；（2）（i）an+1=-【分析】1依次分析第一次传球给甲、乙、丙的概率，第二次传球到甲、乙、丙的概率，第三次、第四次传球到甲、乙、丙的概率，可得答案；2i根据第n次传球到乙丙手中的概率为1-an2，可得ii由an+1与an的关系得出【详解】1第一次传球给甲、乙、丙的概率分别为0,12,同理，第三次、第四次传球到甲、乙、丙的概率分别为14故第四次传球结束，球恰好传回甲手中的概率为382i第n次传球到乙丙手中的概率为1-an所以an+1iia∴an-13∴a所以an【变式2-1】5.（2020下·广东深圳·高三统考阶段练习）足球运动被誉为“世界第一运动”.为推广足球运动，某学校成立了足球社团由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：（1）下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率.为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，将他在测试中所踢的点球次数记为ξ，求Eξ点球数203030252025进球数101720161314（2）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，接到第n次传球的人即为第n+1次触球者n∈N+，第n次触球者是甲的概率记为（i）求P1，P2，（ii）证明：数列Pn【答案】（1）1.56（2）（i）P1=1，P2【分析】（1）先求出踢一次点球命中的概率，然后根据相互独立事件的乘法公式分别求出ξ取1，2，3的概率，再根据离散型随机变量的期望公式可求得结果；（2）（i）根据传球顺序分析可得答案；（ii）根据题意可得Pn=P【详解】（1）这150个点球中的进球频率为10+17+20+16+13+14150则该同学踢一次点球命中的概率p=0.6，由题意，ξ可能取1，2，3，则Pξ=1=0.6，Pξ=2则ξ的期望Eξ（2）（i）因为从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，所以第1次触球者是甲的概率P1=1，显然第2次触球者是甲的概率P2（ii）∵第n次触球者是甲的概率为Pn所以当n≥2时，第n-1次触球者是甲的概率为Pn-1，第n-1次触球者不是甲的概率为1-则Pn从而Pn-1∴Pn-13是以【点睛】本题考查了样本估计总体，离散型随机变量的期望，考查了递推关系以及等比数列的概念；考查分析问题、解决问题的能力，建模能力，处理数据能力.属于中档题.题型3游走模型【例题3】（2023·广东韶关·统考一模）有一个质地均匀的正方体骰子与一个有61个格子的矩形方格图，矩形方格图上从0，1，2，…，60依次标号.一个质点位于第0个方格中，现有如下游戏规则：先投掷骰子，若出现1点或2点，则质点前进1格，否则质点前进2格，每次投掷的结果互不影响.(1)求经过两次投掷后，质点位于第4个格子的概率；(2)若质点移动到第59个格子或第60个格子时，游戏结束，设质点移动到第n个格子的概率为pn，求p59和【答案】(1)4(2)p59=3【分析】（1）分别求出质点前进1格、前进2格的概率，再利用相互独立事件的概率公式求解即得.（2）求出p1,p2，当3≤n≤59时，探求pn【详解】（1）设事件A1为质点前进1格，事件A2为质点前进2格，则设事件B为质点经过两次投掷后位于第4个格子，所以PB（2）质点移动到第nn=3,4,5,⋅⋅⋅,59由第n-1个格子移动至第n个格子；由第n-2个格子移动至第n个格子，则p1pn=P(A则数列pn-pn-1是以49因此p=1所以p58=3【变式3-1】1.（2020下·河北邢台·高三邢台一中校考阶段练习）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.A市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：消费金额（单位：百元）0,55,1010,1515,2020,2525,30频数20352510551由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z（单位：元）近似地服从正态分布Nμ,σ2，其中μ近似为样本平均数x（每组数据取区间的中点值，σ=660）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X2A市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61个方格.棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是12，其中P0=1），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k到k+1），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k到k+2）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送①设棋子移到第n格的概率为Pn，求证：当1≤n≤59时，P②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ-σ<ξ≤μ+σ=0.6827【答案】116.372；2①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析.【解析】1根据数据算出x=1050，由Z服从正态分布N1050,6602，算出概率，即2①棋子开始在第0格为必然事件，P0=1.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为12，即P1=12.棋子移到第n2≤n≤59格的情况是下列两种，即棋子先到第n-2格，又掷出反面，其概率为12Pn-2；棋子先到第n-1格，又掷出正面，其概率为12Pn-1.所以Pn=12Pn-2+12【详解】解：1x=250×0.2+750×0.35+1250×0.25+1750×0.1+2250×0.05+×0.05=1050，因为Z服从正态分布N1050,6602所以X∼B20,0.8186所以X的数学期望为EX2①棋子开始在第0格为必然事件，P0第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为12，即P棋子移到第n2≤n≤59棋子先到第n-2格，又掷出反面，其概率为12棋子先到第n-1格，又掷出正面，其概率为12所以Pn即Pn-P所以当1≤n≤59时，数列Pn-Pn-1是首项②由①知P1-1=-12，P2-P以上各式相加，得Pn所以Pn=1+-所以闯关成功的概率为P59闯关失败的概率为P60P59所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.【点睛】本题考查了根据已知数据求平均数，正态分布求概率，等比数列的证明以及数学期望的求法，题目较为综合，属于难题.【变式3-1】2.（2012·河北衡水·统考一模）如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步(如由A到B)；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步(如由A到C)，当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步(如由A到D)．在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．(1)求质点P恰好返回到A点的概率；(2)在质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求ξ的数学期望．【答案】(1)P＝P2＋P3＋P4＝13＋19＋181(2)Eξ＝2×37＋3×37＋4×17【详解】本试题主要是考查了古典概型概率的计算公式，以及利用独立事件的概率的乘法公式得到概率值，并且得到随机变量各个取值的概率值，从而得到分布列和期望值．（1）先分析实验中所有的基本事件，然后利用等可能时间的概率公式得到结论．同时要结合独立试验的概率公式表示得到．（2）利用第一问中的结论，可知ξ的可能取值为2,3,4，然后分别得到各自的概率值，求解得到．解析：(1)投掷一次正方体玩具，每个数字在上底面出现都是等可能的，其概率为P1＝26＝1只投掷一次不可能返回到A点；若投掷两次质点P就恰好能返回到A点，则上底面出现的两个数字应依次为：(1,3)、(3,1)、(2,2)三种结果，其概率为P2＝(13)2×3＝1若投掷三次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为：(1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)三种结果，其概率为P3＝(13)3×3＝1若投掷四次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：(1,1,1,1)．其概率为P4＝(13)4＝1所以，质点P恰好返回到A点的概率为：P＝P2＋P3＋P4＝13＋19＋181(2)由(1)知，质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种情况，且ξ的可能取值为2,3,4，则P(ξ＝2)＝37，P(ξ＝3)＝37，P(ξ＝4)＝所以，Eξ＝2×37＋3×37＋4×17【变式3-1】3.（2019上·山东潍坊·高三统考期中）如图，直角坐标系中，圆的方程为x2+y2=1，A1,0，B-12,32，C-12,-32为圆上三个定点，某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子n次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A，B，C处的概率；（2）掷骰子N次时，若以X轴非负半轴为始边，以射线OA，OB，OC为终边的角的余弦值记为随机变量Xn，求X（3）记PnA=an，PnB=b【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）证明详见解析，a2020【分析】（1）由概率的乘法公式，可得所求值；（2）随机变量X4的可能数值为1，-12（3）易知bn=cn，即bn-1=c【详解】（1）P2(A)=12P3(A)=12综上，棋子位置掷骰子次数ABC21113133（2）随机变量X4的可能数值为1，-综合（1）得PX4=1PX4=-故随机变量X4X1-P35EX（3）易知bn=而当n≥2时，bn又an-1即2b因此bn=1故bn-即数列bn-13是以所以bn又an=1-2故a2020【点睛】本题考查数列与解析几何、概率统计的交会、等比数列的定义与通项公式、随机变量的分布列与期望，考查统计与概率思想、函数与方程思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题.【变式3-1】4.（2019上·河北·高三校联考阶段练习）2019年7月1日到3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图的频率分布直方图．（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航量程X近似地服从正态分布Nμ,σ2，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50．用样本平均数x作为μ（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正，反面的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格……第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到k+1），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k到k+2），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第n格的概率为Pn，试证明参考数据：若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ-σ<ξ≤μ+σ≈0.6827【答案】（1）300；（2）0.8186；（3）见解析.【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算方法即可得出x．（2）由X∼N300,502（3）遥控车移到第n2≤n≤49格的情况是下面两种，而且只有两种：①遥控车先到第n-2格，又掷出反面，其概率为12Pn-2．②遥控车先到第n-1格，又掷出正面，其概率为12【详解】（1）x0.001×50×405=300（千米）．（2）由X∼N300,∴P250<X≤400（3）遥控车开始在第0格为必然事件，P0第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即P遥控车移到第n2≤n≤49①遥控车先到第n-2格，又掷出反面，其概率为12②遥控车先到第n-1格，又掷出正面，其概率为12∴Pn∴Pn∴1≤n≤49时，数列Pn首项为P1-P∴P1-1=-1P3-P∴P=-12∴获胜的概率P49失败的概率P50∴P49∴获胜的概率大．∴此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．【点睛】此题考查统计与概率相关知识，根据频率分布直方图求解平均数，利用正态分布求解概率，利用递推数列关系建立等式解决概率相关问题，综合性强.【变式3-1】5.（2021·山东威海·统考一模）现有正整数1，2，3，4，5，…，n，一质点从第一个数1出发顺次跳动，质点的跳动步数通过抛掷骰子来决定：骰子的点数小于等于4时，质点向前跳一步；骰子的点数大于4时，质点向前跳两步.（I）若抛掷骰子二次，质点到达的正整数记为ξ，求Eξ；（II）求质点恰好到达正整数5的概率.【答案】（Ⅰ）113;(2)【分析】（Ⅰ）ξ的可能取值为3,4,5，利用二项分布可求概率.(Ⅱ)按骰子可抛次数（2,3,4）分类讨论即可.【详解】（Ⅰ）ξ的可能取值为3,4,5,Pξ=3=23×所以Eξ=3×4(Ⅱ)质点到达到5有三种情况：（1）抛了4次，则出现的点数每次都是小于等于4，概率为P1（2）抛了3次，则出现的点数有2次小于等于4，有1次是大于4，概率为P2（3）抛了2次，出现的点数每次有2次是大于4，概率为P1所以所求的概率为6181【点睛】在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．【变式3-1】6.（2021·江西·校联考模拟预测）已知正三角形ABC，某同学从A点开始，用擦骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动.设掷骰子n次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为：PnA，PnB，PnC，例如：掷骰子一次时，棋子移动到A，B，C（1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到A，B，C处的概率P3A，P3（2）记PnA=an，PnB=b【答案】（1）P3A=14，P【分析】（1）由题意分别列出到A，B，C的情况，进而可得结果.（2）由题意可得bn=12a【详解】（1）A→B→C→A;A→C→B→A，所以PA→B→A→B;A→C→A→B;A→B→C→B；所以PA→B→A→C;A→C→A→C;A→C→B→C;所以P（2）∵bn=cn，即又bn∴n≥2时b又∵an-1+由b可得数列bn-13是首项为bn-又a故a【点睛】关键点点睛：由递推公式2b题型4药物相关模型【例题4】（2023上·全国·高三专题练习）某种病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染．我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者．已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为p(0<p<1)，某位患者在隔离之前，每天有a位密切接触者，其中被感染的人数为X(0≤X≤a)，假设每位密切接触者不再接触其他患者．(1)求一天内被感染的人数X的概率P(X)与a,p的关系式和X的均值；(2)该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第2天又有a位密切接触者，从某一名患者被感染按第1天算起，第n天新增患者的均值记为En①求数列{En}的通项公式，并证明数列{En}为等比数列；②若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率p'=ln【答案】(1)P(X)=CaXpX(2)①证明见解析；②答案见解析【分析】（1）根据题意，得到被感染人数X∼B(a,p)，结合二项分布的概率和期望的计算公式，即可求解；（2）①由第n天被感染的人数为(1+ap)n-1，第n-1天被感染的人数为（(1+ap)n-2，从而得到E②令fp=ln(1+p)-23p，求得f【详解】（1）解：由题意知，给感染的人之间是相互独立的，可得被感染人数X∼B(a,p)，则P(X)=CaXpX（2）解：①第n天被感染的人数为(1+ap)n-1第n-1天被感染的人数为（(1+ap)由均值的定义可知，En则EnEn-1所以，当n≥2时，En表示以ap为首项，1+ap②令fp=ln当p∈(0,12)时，f'p所以fp在(0,12所以fp因为当a=10时，En所以E'6=10×0.1×又因为E6远大于E【变式4-1】1.（2020·湖南岳阳·统考一模）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病.而今年出现的新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状､发热､咳嗽､气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎､严重急性呼吸综合征､肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有nn∈方式一：逐份检验，则需要检验n次.方式二：混合检验，将其中k(k∈N假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0<p<1).现取其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本，记采用逐份检验，方式，样本需要检验的总次数为ξ1（1）若E(ξ（2）若p与干扰素计量xn相关，其中x1,(i)求证：数列{x(ii)当p=1-1【答案】（1）p=1-1【解析】（1）由题意分析可得Eξ1=k,ξ2的可能取值为1,k+1,即可求得（2）(i)整理xn+12-xn2=((ii)由(i)p=1-13e,由于E(ξ1)>E(ξ2),则k>k+1-k【详解】（1）由已知得Eξ1=k,ξ所以Pξ2=1所以Eξ因为E(ξ1)=E(所以k1-p所以p=1-（2）(i)证明:因为xn+1所以xn+1所以xn+1所以xn+1xn所以xn是以1为首项,以e(ii)由(i)可知xn=en-13由题意可知E(ξ1)>E(整理得lnk-设φx=ln当x∈0,3时,φ'x>0；当故φx在0,3上单调递增,在3,+∞又φ4>0,所以k的最大值为4.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望,考查等比数列的证明,考查利用导函数解决不等式恒成立问题,考查运算能力.【变式4-1】2.（2020·湖南长沙·长郡中学校考二模）2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为p0<p<1，某位患者在隔离之前，每天有a位密切接触者，其中被感染的人数为X(0≤X≤a)（1）求一天内被感染人数为X的概率PX与a、p的关系式和X（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有a位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第n天新增患者的数学期望记为En（i）求数列En的通项公式，并证明数列E（ii）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率p'=ln1+p-23p，当p'取最大值时，计算此时p'所对应的E6（结果保留整数，参考数据：ln5≈1.6,【答案】（1）P(X)=CaX（2）（i）En【解析】（1）由题意，被感染人数服从二项分布：X~B(a,p)，则可求出概率及数学期望；（2）（i）根据第n天被感染人数为(1+ap)n-1，及第n-1天被感染人数为(1+ap)作差可得可得，En=(1+ap)n-1-(1+ap)n-2=ap(1+ap)【详解】（1）由题意，被感染人数服从二项分布：X~B(a,p)，则P(X)=CaXX的数学期望EX=ap.（2）（i）第n天被感染人数为(1+ap)n-1第n-1天被感染人数为(1+ap)n-2由题目中均值的定义可知，En=(1+ap)n-1-∴{En}是以ap（ii）令f(p)=ln则f'(p)=1∴f(p)在(0,12)f(p)则当a=10，EnE6E6∵E【点睛】本题考查二项分布的概率及期望，数学期望与数列综合，考查综合分析及转化能力，考查知识的迁移能力，属于较难题.【变式4-1】3.（2021·江苏泰州·模拟预测）现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为p(0<p<1)．（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含p的多项式表示）；（2）记该组动物需要注射次数X的数学期望为E(X)，求证：10<E(X)<10(2-p)．【答案】（1）10p【分析】（1）设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则Y～B10,p，则所求概率即P(Y=10)+（2）先求得EX=10+101-p1-p9，由0<p<1显然可得【详解】（1）平均每组1000100设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则Y～B10,p所以P(Y=10)+P(Y=9)=p所以该组试验只需第一轮注射的概率为10p（2）由（1）得PX=10P(X=10+k)=C所以E(X)=10P(X=10)+=10(p设ξ~B10,1-p，则E(ξ)=又k=010所以E(X)=10=10+101-p-101-pp9又E=102-p-10p91-p所以10<EX【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键点是：求得EX【变式4-1】4.（2020·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现，例如，豌豆携带这样一对遗传因子：A使之开红花，a使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：AA为开红花，Aa和aA一样不加区分为开粉色花，aa为开白色花，生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父本的遗传因子和一个母本的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以12的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的，可以把第n代的遗传设想为第n次试验的结果，每一次试验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状Aa的父本来说，如果抛出正面就选择因子A，如果抛出反面就选择因子a，概率都是12，对母本也一样，父本、母本各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状，假设三种遗传性状AA，Aa（或aA），aa在父本和母本中以同样的比例u:v:wu+v+w=1出现，则在随机杂交试验中，遗传因子A被选中的概率是p=u+v2，遗传因子a被选中的概率是q=w+v2，称p、q（1）如果植物的上代父本、母本的遗传性状都是Aa，后代遗传性状为AA，Aa（或aA），aa的概率分别是多少？（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状aa具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父本和母本中仅有遗传性状为AA，Aa（或aA）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子A被选中的概率为p，a被选中的概率为q，其中p、q为定值且p+q=1，求杂交所得子代的三种遗传性状AA，Aa（或aA），aa所占的比例u1，v1，（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除aa的个体.假设得到的第n代总体中3种遗传性状AA，Aa（或aA），aa所占的比例分别为：un，vn，wnun+vn+wn=1，设第n代遗传因子A（ⅰ）证明1q（ⅱ）求un+1，vn+1，【答案】（1）AA，Aa（或aA），aa的概率分别是14，12，14；（2）u1=p2，v1=2pq，w1=q2；（3）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）u【分析】（1）根据上代父本、母本的遗传性状都是Aa可得基本事件的总数，由古典概型的概率公式可得所求的概率.（2）根据独立事件的概率计算方法可求u1，v1，（3）根据un，vn，wn的定义可得三者与pn,qn的关系，结合给定的pn=un+vn2【详解】解析：（1）因为上代父本、母本的遗传性状都是Aa，故子代的遗传性状有：AA，Aa，aA，aa，共4种，故AA，Aa（或aA），aa的概率分别是14，12，（2）由题可得，u1=p2，（3）由（2）知，un+1=pn2∴qn+1则1qn+1=1+1qn=∴1qn=1qpn=1-qn=对于wn+1=q1+nq2，n越大，wn+1越小，所以这种实验长期进行下去，wn【点睛】本题考查古典概型、独立性事件在遗传学中的应用，其中在概率计算的过程中还涉及到递推数列通项的求法、等差数列的证明等，本题的关键是根据所给材料弄清各概率之间的数列关系.【变式4-1】5.（2020下·江西·高三校联考阶段练习）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病.而今年出现的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有nn∈方式一：逐份检验，则需要检验n次.方式二：混合检验，将其中k（k∈N*且若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p0<p<1（1）现有4份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1（i）若Eξ1=Eξ2，试求p（ii）若p=1-14e参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，【答案】（1）16；（2）（i）p=1-1k【解析】（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A，利用古典概型、排列组合能求出恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）（i）由已知得Eξ1=k，ξ2的所有可能取值为1、k+1，求出Pξ2=1和Pξ2（ii）由Eξ1>Eξ2，可得出1k<1-pk【详解】（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A，则PA所以，恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为16（2）（i）由已知得Eξ1=k，ξ2的所有可能取值为Pξ2=1∴Eξ由Eξ1=Eξ2（ii）由题意知Eξ1>Eξ2，则1k<构造函数gx=ln当0<x<4时，g'x>0当x>4时，g'x<0∵g8=ln所以k的最大值为8.【点睛】本题考查概率、函数关系式、实数的最大值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．题型5商场销售模型【例题5】（2024上·广东广州·高三统考阶段练习）某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是12，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是12，若上一次失败则下一次成功的概率是23．记消费者甲第n次获胜的概率为pn，数列pn的前n项和i=1(1)求消费者甲第2次获胜的概率p2(2)证明：pn【答案】(1)P(2)详见解析【分析】（1）应用全概率公式计算可得出P2（2）计算得出pn【详解】（1）P（2）∵∴P∴p∴p∴pn-47∴pTn=4当n为奇数时，Tn=4当n为偶数时，Tn=4所以平均至少要玩9轮才可能获奖.【变式5-1】1.（2019上·北京昌平·高三校联考期末）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：汽车型号

I

II

III

IV

V回访客户（人数）

250

100

200

700

350满意率

0.5

0.3

0.6

0.3

0.2满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值.假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等.(1)从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；(2)从I型号和V型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；(3)用“η1=1”,“η2=1”,“η3=1”,“η4=1”,“η5=1”分别表示I,II,III,IV,V型号汽车让客户满意，“η1【答案】(1)111320(2)见解析；(3)【分析】（1）求出样本中的回访客户的总数和满意的客户人数，即可求出概率；（2）由题求出满意的人数为ξ的分布列，继而求出期望;（3）根据公式直接得出结果，然后作比较.【详解】（1）由题意知，样本中的回访客户的总数是250+100+200+700+350=1600，满意的客户人数250×0.5+100×0.3+200×0.6+700×0.3+350×0.2=555，故所求概率为5551600（2）ξ=0,1设事件A为“从I型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，事件B为“从V型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且A、B为独立事件.根据题意，P(A)估计为0.5，P(B)估计为0.2.则P(ξ=0)=P(AP(ξ=1)=P(ABP(ξ=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.2=0.1.ξ的分布列为ξ012P0.40.50.1ξ的期望E(ξ)=0×0.4+1×0.5+2×0.1=0.7（3）由题，I型号的平均数为0.5,所以Dη1=同理Dη2=同理Dη3=0.24；Dη所以Dη【点睛】本题考查了概率统计和离散型随机变量的分布列和期望以及方差的求法，属于中档题.【变式5-1】2.（2019·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）据长期统计分析，某货物每天的需求量rr∈N*在17与26之间，日需求量r需求量r17181920212223242526频率P0.120.180.230.130.100.080.050.040.040.03已知其成本为每件5元，售价为每件10元.若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件2元.假设每天的进货量必需固定.（1）设每天的进货量为XnXn=16+n,n=1,2,⋯,10，视日需求量riri=16+i,i=1,2,⋯,10的频率为概率Pi（2）在（1）的条件下，写出EZn和EZ【答案】（1）当1≤n≤9时，EZn=i=1n（2）EZn+1=E【分析】（1）分日需求量与进货量的大小关系，确定日销售量，从而得出日销售量Zn（2）由（1）可得EZn+1=i=1n+116+iPi+i=n+21016+n+1Pi，可得【详解】（1）当日需求量r≤Xn时，日销售量Zn为r；当日需求量r>Xn时，日销售量Z当n=1时，每天的进货量为X1∴EZ当n=2时，每天的进货量为X2此时日销售量为17件的概率为P1，日销售量为18件的概率为P∴EZ当n=3时，每天的进货量为X3此时日销售量为17件的概率为P1，日销售量为18件的概率为P2，日销售量为19件的概率为∴EZ3=EZEZ所以当1≤n≤9时，EZn=i=1n（2）EZn+1=i=1n+1设每天进货量为Xn时，日利润为ξEξn=5E∴Eξn+1-E由Eξ又∵P1+P即Eξ∴Eξ【点睛】本题考查实际问题中的期望值的问题的处理，关键在于对实际问题的理解，如何将生活实际中的数据转化为数学概率中的数据，并且注意对抽象问题的处理的方式，逐一推导找到一般的规律和利用递推之间的关系，属于难度题.【变式5-1】3.（2020上·湖南长沙·高三浏阳一中校考阶段练习）随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次类推；y表示人数)：x12345y(万人)2050100150180（1）试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进.若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元.已知骰子出现奇数与偶数的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从k到k+1）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从k到k+2），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第n(1≤n≤19)格的概率为Pn，试证明附：在线性回归方程y=bx+【答案】（1）y=42x-26（2）约400元.【解析】（1）依题意，先求出x=3,y=100,i=15xiyi=1920,i=15（2）遥控车移到第n（2⩽n⩽19）格的情况是下列两种，而且也只有两种.①遥控车先到第n-2格，又掷出偶数，其概率为1②遥控车先到第n-1格，又掷出奇数，其概率为1所以Pn=1利用累加法求出数列Pn【详解】解：（1）xy=20+50+100+150+1805=100所以所求线性回归方程为y=42x-26令42x-26>300,x∈N*，解得故预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人（2）遥控车开始在第0格为必然事件，P0=1，第一次掷骰子出现奇数，遥控车移到第一格，其概率为12,即P1=①遥控车先到第n-2格，又掷出奇数，其概率为1②遥控车先到第n-1格，又掷出偶数，其概率为1所以Pn=1∴当1⩽n⩽19时，数列{Pn-∴P1-1=-1∴Pn=∴获胜的概率P失败的概率P∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为X元，X=200或500∴X的期望EX=500×∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为1004-【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，等比数列的证明，等比数列求和公式，累加法求数列的通项公式以及数学期望的计算，属于难题．【变式5-1】4.（2020上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降价飞入寻常百姓家．某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广．（1）公司内部测试的活动方案设置了第ii∈N+①请求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率分别是多少?②请求甲参加抽奖活动次数的分布列和期望?（2）由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广．报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第ii∈N+次抽奖中奖的概率为pi=9+-1【答案】（1）①甲在第一次中奖的概率为13，乙在第二次中奖的概率为1639；②分布列见解析，【分析】（1）①确定参与抽奖人数和中奖人数，可得概率，其中乙第二次中奖，是在第一次不中奖的基础上才能第二次抽中奖，由条件概率公式计算；②设甲参加抽奖活动的次数为X，则X=1,2,3，注意第2次中奖是在第一次未中奖的条件下才发生，同样第3次中奖是在前2次都未中奖的条件下才可能发生．由条件概率公式计算出概率的分布列，由期望公式可计算期望；（2）丙在第奇数次中奖的概率为15，在第偶数次中奖的概率为14．“丙中奖”为事件A，则PA=1-45×34n=1-35n，设丙参加抽奖活动的次数为Y，求出丙在第2m和2m-1次中奖的概率P(Y=2m)和【详解】（1）①甲在第一次中奖的概率为p1乙在第二次中奖的概率为p2②设甲参加抽奖活动的次数为X，则X=1,2,3，PX=1=515=X123P11610∴EX（2）证明：丙在第奇数次中奖的概率为15，在第偶数次中奖的概率为1设丙参加抽奖活动的次数为Y，“丙中奖”为事件A，则PA令m≤n,m∈N*，则丙在第2m-1在第2m次中奖的概率PY=2m即PY=2m-1在丙中奖的条件下，在第2m-1，2m次中奖的概率为15则丙参加活动次数的均值为EY设S=3+7×3则35∴25S=45所以EY=45【点睛】本题考查条件概率，考查随机事件的概率分布列和数学期望，难点是理解中奖规则，得出P(Y=2m-1)和P(Y=2m)，考查了数据处理能力，运算求解能力，属于难题．题型6摸球模型【例题6】（2024上·贵州贵阳·高三统考期中）有n个编号分别为1,2,⋯,n的盒子，第1个盒子中有2个红球和1个白球，其余盒子中均为1个红球和1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，现从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，⋯⋯，依次进行．(1)求从第2个盒子中取到红球的概率；(2)求从第n个盒子中取到红球的概率；(3)设第n个盒子中红球的个数为X，X的期望值为E(X)，求证：32【答案】(1)5(2)1(3)证明见解析【分析】（1）由题意，记“从第i个盒子中取到红球”为事件Ai（2）结合（1）中所得信息以及等比数列的定义可得数列{P(An)-12（3）先得到X的所有可能取值，结合（2）中信息得到相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中再进行求解即可．【详解】（1）记“从第i个盒子中取到红球”为事件Ai此时P(A1)=则P(A（2）因为P(=P(A所以P(A则数列{P(An)-12此时P(A即P(A当n=1时，P(A综上，从第n个盒子中取到红球的概率为12（3）证明：易知X的所有可能取值为1，2，此时P(X=1)=P(An-1)=1-P(则X的分布列为：X12P11所以E(X)=1×[12-故32【变式6-1】1.（2024上·湖北武汉·高三统考开学考试）有编号为1，2，3，...，18，19，20的20个箱子，第一个箱子有2个黄球1个绿球，其余箱子均为2个黄球2个绿球，现从第一个箱子中取出一个球放入第二个箱子，再从第二个箱子中取出一个球放入第三个箱子，以此类推，最后从第19个箱子取出一个球放入第20个箱子，记pi为从第i(1)求p2(2)求p20【答案】(1)P2=8(2)P【分析】（1）分第一次取出黄球和绿球两种情况，再由互斥事件概率加法公式计算可得答案；（2）由题意可得Pi+1【详解】（1）从第二个箱子取出黄球的概率P2从第三个箱子取出黄球的概率P3（2）由题意可知，Pi+1即Pi+1-1P1【变式6-1】2.（2020·高二课时练习）一个袋子中装有n个红球(n⩾5,n∈N)和5个白球，一次摸奖是从袋中同时摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（1）试用n表示一次摸奖就中奖的概率；（2）若n=5，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P，当n取多少时，P最大？【答案】（1）P(n)=10n(n+5)(n+4)(n⩾5,n∈N)；（2）80【解析】（1）一次摸奖从n+5个球中任选两个，有Cn+52种，它们等可能，其中两球不同色有Cn（2）根据（1）的结果，即可求出三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有1次中奖的概率；（3）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有一次中奖的概率P=C311-pn2pn=3pn3-2pn2【详解】（1）一次摸奖是从(n+5)个球中同时选两个球，有Cn+52种方法，它们是等可能的，其中两球不同色有C5（2）当n=5时，P(5)=59，由于摸奖是有放回的，因此三次摸奖可看作三次独立重复试验，三次摸奖恰有一次中奖的概率为（3）记（1）中的P(n)=t=10n∵P(n+1)-P(n)=10(n+1)∴P(n+1)<P(n)⩽P(5)=59，即∵P=C31在0,13上单调递增，在∴当t=13时，P取得最大值．由t=10n(n+5)(n+4)=∴当n=20时，三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有一次中奖的概率P最大．【点睛】本题是一个在等可能性时间基础上的独立重复试验问题，体现了不同概型的综合，第三小题中的函数是三次函数，运用了导数求三次函数的最值，如果直接用10nn+5n+4代替p，函数将比较繁琐，这时需要运用换元的方法，将【变式6-1】3.（2020上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）新冠抗疫期间，某大学应用数学专业的学生希望通过将所学的知识应用新冠抗疫，决定应用数学实验的方式探索新冠的传染和防控.实验设计如下：在不透明的小盒中放有大小质地相同的8个黑球和2个红球，从中随机取一球，若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则黑球替换该红球重新放回小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治.(注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，用黑球代替红球)(1)记在第nn≥2次时，刚好抽到第二个红球，试用n表示恰好第n(2)数学实验的方式约定：若抽到第2个红球则停止抽球，且无论第10次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第10次时，即停止抽球；记停止抽球时已抽球总次数为X，求X的数学期望.(精确到小数点后1位)参考数据：k=29910k=29k9【答案】（1）15【解析】（1）根据题意可得若第k（k<n）次是第一次取到红球，第n次是第二次取到红球则对应地有：P=45k-1⋅1（2）根据题意X的可能取值依次是2，3，…，9，10，求出相对应的概率，再利用期望公式，直接带入即可得解.【详解】(1)若第k（k<n）次是第一次取到红球，第n次是第二次取到红球则对应地有：P=则第n次取球时2个红球都被取出的所有可能情况的概率和为：45450⋅15⋅910n-2⋅特别地，当X=10时，对应的P由参考数据可得：PX对应的数学期望为：EX=【点睛】本题考查了类几何分布的概率和期望，考查了较高的计算能力，属于难题.解决此类问题的关键点有：（1）全面性，所有可能情况必须考虑到，做到不重不漏；（2）补集思想的应用，根据全概率为1进行求概率.【变式6-1】4.（2023上·山东青岛·高三青岛二中校考期中）一个袋子里有大小相同的黑球和白球共10个，其中白球有a0<a<10,a∈N*(1)当a取a0时，事件A发生的概率最大，求a(2)以（1）中确定的a0作为a的值，甲有放回地从袋子中摸球，如果摸到黑球则继续摸球，摸到白球则停止摸球，摸球的次数记为X，求X的数学期望E参考：（1）若PX=k=akk=1,2,3⋯【答案】(1)5(2)2【分析】（1）根据二项分布的概率公式表示出PA（2）根据题意可知PX=k=ak=【详解】（1）每次随机摸出1个球，摸到白球的概率为a10，摸到黑球的概率为1-所以PA因为a10⋅1-a10则PA所以当a0=5时，事件（2）由（1）知，每次随机摸出1个球，摸到白球的概率为12，摸到黑球的概率为1则PX=1=aPX=3=a则PX=kk=1n则12两式相减得，12所以k=1n所以EX【变式6-1】5.（2023上·广东·高三广州市第一中学统考阶段练习）现有甲、乙两个不透明盒子，甲盒子装有2个红球和2个白球，乙盒子装有4个白球，这些球的大小、形状、质地完全相同．在一次球交换过程中，从甲盒子与乙盒子中各随机选择1个球进行交换，重复n次这样的交换过程后，甲盒子里装有红球的个数为Xn(1)求X2(2)求PX【答案】(1)概率分布见解析，E(2)P【分析】（1）由题意可知，X2（2）由已知条件推导得出PXn=1=1【详解】（1）由题意可知X1且PX由题意可知X2且PXPXX012P3911EX（2）当n≥2时，由题意可知XnPXn=1=PXn故PXn=1-4故PXPXn=1=47【例题7】（2021上·湖北·高三校联考期末）射击是使用某种特定型号的枪支对各种预先设置的目标进行射击，以命中精确度计算成绩的一项体育运动.射击运动不仅能锻炼身体，而且可以培养细致、沉着、坚毅等优良品质，有益于身心健康.为了度过愉快的假期，感受体育运动的美好，法外狂徒张三来到私人靶场体验射击运动.（1）已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有kk∈N*发子弹，假设张三每次打靶的命中率均为p0<p<1，靶场主规定：一旦出现子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量（2）张三在休息之余用手机逛B站刷到了著名电视剧《津门飞鹰》中的经典桥段：中国队长燕双鹰和三合会何五姑玩起了俄罗斯轮盘.这让张三不由得想起了半人半鬼，神枪第一的那句家喻户晓的神话“我赌你的枪里没有子弹”.由此，在接下来的射击体验中，张三利用自己的人脉关系想办法找人更换了一把型号为M1917，弹容为6发的左轮手枪，弹巢中有m发实弹，其余均为空包弹.现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹.假设每次射击相互独立且均随机.在进行nn∈N次射击后，记弹巢中空包弹的发数X（ⅰ）当n∈N*时，探究数学期望EX（ⅱ）若无论m取何值，当射击次数达到一定程度后都可近似认为枪中没有实弹（以弹巢中实弹的发数的数学期望为决策依据，当弹巢中实弹的发数的数学期望<1时可近似认为枪中没有实弹），求该种情况下最小的射击次数n0.（参考数据：lg2≈0.301、【答案】（1）分布列见详解；数学期望为p-pk+11-p；（2）（ⅰ）EXn【解析】（1）根据题中条件，得到X的所有可能取值，分别求出对应的概率，即可得出分布列，再由离散型随机变量的期望公式，结合错位相减法，即可求出期望；（2）（ⅰ）讨论第n次射出空包弹或第n次射出实弹，分别求出对应的概率，以及射击后对应的空包弹数量，即可得出EXn和（ⅱ）根据题中条件，先得到EX0=6-m，由（ⅰ）的结果，通过构造法，结合等比数列的通项公式，求出EXn【详解】（1）由题意，X的所有可能取值为：0，1，2，…，k-1，k，因为张三每次打靶的命中率均为p0<p<1则PX=m=p所以X的分布列为X012...k-1kP1-pp(1-p)p...pp所以X的数学期望为EX令M=p+2p则pM=p所以①-②可得，1-pM=p+则EX（2）（ⅰ）第n次射击后，可能包含两种情况：第n次射出空包弹或第n次射出实弹；因为第n次射击前，剩余空包弹的期望为EX若第n次射出空包弹，则此时对应的概率为EXn-16若第n次射出实弹，则此时对应的概率为1-EXn-1综上，EX（ⅱ）因为当n=0时，弹夹中有6-m发空包弹，则EX由（i）可知：EXn=56EXn-1+1n∈则EXn-6=-m56因此弹巢中实弹的发数的期望为6-EX为使弹巢中实弹的发数的数学期望小于1，只需m56n<1，则为使log65m<n而log65m又n∈N，所以最小的射击次数n0【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）【变式7-1】1.（2023·全国·高三专题练习）2021年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我国射击也是一项历史悠久的运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习.若某种型号的枪支弹巢中一共可装填6发子