八年级数学下册 第17章 单元综合测试卷（人教版 2025年春）

八年级数学下册第17章单元综合测试卷（人教版2025年春）限时:90分钟满分:120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．在平面直角坐标系中，点P(1，2)到原点的距离是()A．1 B．eq\r(13) C．eq\r(5) D．eq\r(2)2．若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足(a－3)2＋|b－4|＋eq\r(c－5)＝0，则这个三角形的形状是()A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断3．下列真命题中，它的逆命题也是真命题的是()A．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方B．等边三角形是锐角三角形C．对顶角相等D．如果三角形的三个内角的度数之比为2∶3∶5，那么这个三角形是直角三角形．4．[2024吕梁期中]如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OB落在x轴上，顶点A落在第一象限．若OA＝AB＝5，OB＝8，则点A的坐标是()A．(8，5) B．(4，5) C．(4，3) D．(3，4)5．如图，点O为数轴的原点，点A和点B分别对应的实数是－1和1.过点B作BC⊥AB，以点B为圆心，OB长为半径画弧，交BC于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是()A．eq\r(5)－1 B．eq\r(5) C．eq\r(3) D．eq\r(3)－16．[2024昆明期末]如图，为了测量学校景观池的长AB，在BA的延长线上取一点C，使得AC＝5米，在点C正上方找一点D(即DC⊥BC)，测得∠CDB＝60°，∠ADC＝30°，则景观池的长AB为()A．5米 B．6米 C．8米 D．10米7．[2024锦州期末]如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C均在正方形格点上，连接AB，AC，则点C到AB的距离为()A．eq\f(3\r(5),10) B．eq\f(2\r(5),5) C．eq\f(5\r(5),4) D．eq\f(6\r(5),5)8．将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把45°和60°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是()A．(2－eq\r(3))cm B．(2eq\r(3)－2)cmC．2cm D．2eq\r(3)cm9．[2024郑州期末]固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为()A．2eq\r(2)＋2eq\r(6) B．4eq\r(2)＋4 C．4eq\r(2)＋2 D．2eq\r(6)＋410．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的图形，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是()A．22024 B．22025 C．2024 D．2025二、填空题(每小题3分，共15分)11．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，请你写出一组“勾股数”：____________．12．[2024连云港期末]如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，且都是小正方形边的中点．将△ABC的三边长a，b，c按照从小到大的顺序排列为____________．13．[2024台山期末]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，AB＝10cm，分别以点A，B为圆心，大于eq\f(1,2)AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是________cm.14．如图所示，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC，交AC于点M，若CM＝7，则CE2＋CF2的值为________．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝5，点D在边BC上．将△ACD沿AD所在直线折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为________．三、解答题(共75分)16．(9分)如图，已知在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，若AB＝5，CD＝3，求BC的长．17．(9分)阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，①∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．②∴c2＝a2＋b2.③∴△ABC是直角三角形．回答下列问题：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：________；(2)错误的原因为__________________；(3)请你将正确的解答过程写下来．18．(9分)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：(1)在图①中画一条线段MN，使MN＝eq\r(17)；(2)在图②中画一个三边长均为无理数，且各边都不相等的Rt△DEF.19．(10分)如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角处建造了一块绿化地(阴影部分)．已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°.(1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C的位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿化地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？(2)这块绿化地的面积是多少？20．(10分)(1)如图①，在△ABC中，AC＝13，AD＝5，CD＝12，BC＝20，求△ABC的面积；(2)如图②，在△EFG中，EF＝13，EG＝20，FG＝11，求△EFG的面积．21．(12分)如图是超市购物车侧面示意图，测得支架AC＝4dm，BC＝3dm，AB，DO均与地面平行．(1)若支架AC与BC之间的夹角(∠ACB)为90°，则两轮轮轴A，B之间的距离为________；(2)在(1)的情况下，若OF的长度为3eq\r(2)dm，∠FOD＝135°，求扶手F到AB所在直线的距离．22．(16分)[2023扬州期中]如图①是著名的赵爽弦图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×eq\f(1,2)ab＋(a－b)2，由此推导出重要的勾股定理：若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2＝c2.(1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．(2)如图③，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，且CH⊥AB.测得CH＝1.2km，HB＝0.9km，新路CH比原路CA少多少千米？(3)在第(2)问中，若AB≠AC，CH⊥AB，AC＝4km，BC＝5km，AB＝6km，设AH＝ykm，求y的值．

答案一、1．C2．B【点拨】∵(a－3)2＋|b－4|＋eq\r(c－5)＝0，∴a－3＝0，b－4＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝25＝52，∴这个三角形是直角三角形．3．A4．C【点拨】如图，过点A作AD⊥OB于点D.∵OA＝AB，OB＝8，∴OD＝eq\f(1,2)OB＝4.在Rt△OAD中，由勾股定理得AD＝eq\r(OA2－OD2)＝eq\r(52－42)＝3.∴点A的坐标是(4，3)．5．A6．D7．D【点拨】连接BC，由题知，△ABC的面积＝4×4－eq\f(1,2)×2×4－eq\f(1,2)×2×4－eq\f(1,2)×2×2＝6，AB＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，设点C到AB的距离为h，则△ABC的面积＝eq\f(1,2)·AB·h＝6.∴h＝eq\f(12,2\r(5))＝eq\f(6\r(5),5).故选D.8．B【点拨】如图，由题知CD＝2cm.在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∴∠CAD＝45°＝∠ACD，∴AD＝CD＝2cm.在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°，∴BC＝2CD＝4cm，∴BD＝eq\r(BC2－CD2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)(cm)，∴AB＝BD－AD＝(2eq\r(3)－2)cm.9．A【点拨】如图，设正方体木块上表面的对角线为CD，将题图②部分展开，连接AB交CD于点E，线段AB的长度即为蚂蚁爬行的最短路程．由题意可知：△ACD为等边三角形，△CBD为等腰直角三角形，∴AC＝AD＝CD，BC＝BD.又∵AB＝AB，∴△ACB≌△ADB(SSS)，∴∠CBE＝∠DBE，∴BA为∠CBD的平分线，∴AB⊥CD.∵正方体木块的棱长为4，∴BC＝BD＝4，∴AC＝CD＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2).在Rt△CEB中，易得BE＝CE＝eq\f(1,2)CD＝2eq\r(2).∴在Rt△CEA中，AE＝eq\r(AC2－CE2)＝2eq\r(6)，∴AB＝BE＋AE＝2eq\r(2)＋2eq\r(6).∴一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为2eq\r(2)＋2eq\r(6).10．D【点拨】由勾股定理知：“生长”1次，“生长”出的两个小正方形的面积和等于原来正方形的面积，所有正方形的面积和为2；“生长”2次，新“生长”出的四个小正方形的面积和等于第1次“生长”出的两个小正方形的面积和，所有正方形的面积和为3；…；依次类推，经过n次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是n＋1.∴经过2024次“生长”后形成的图形中所有的正方形的面积和是2025.二、11．3，4，5(答案不唯一)12．c＜a＜b13．eq\f(7,4)【点拨】连接AD，如图．∵∠C＝90°，AC＝6cm，AB＝10cm，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(102－62)＝8(cm)．由题意得PQ垂直平分AB，∴DA＝DB.设CD＝xcm，则AD＝DB＝(8－x)cm，在Rt△ACD中，x2＋62＝(8－x)2，解得x＝eq\f(7,4)，即CD的长为eq\f(7,4)cm.14．196【点拨】∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE＝∠BCE＝eq\f(1,2)∠ACB，∠ACF＝∠DCF＝eq\f(1,2)∠ACD，∴∠ACE＋∠ACF＝eq\f(1,2)(∠ACB＋∠ACD)＝90°，即∠ECF＝90°.∵EF∥BC，∴∠MEC＝∠BCE，∴∠ACE＝∠MEC，∴EM＝CM＝7.同理可得FM＝CM＝7，∴EF＝14，∴在Rt△ECF中，CE2＋CF2＝EF2＝142＝196.15．5eq\r(2)－5三、16．【解】在Rt△CDA中，∵AC＝AB＝5，CD＝3，∴AD＝eq\r(AC2－CD2)＝4，∴BD＝AB－AD＝5－4＝1.∴在Rt△CBD中，BC＝eq\r(CD2＋BD2)＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10).17．【解】(1)③(2)忽略了a2－b2＝0的可能(3)∵a2c2－b2c2＝a4－b4，∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．∴c2(a2－b2)－(a2－b2)(a2＋b2)＝0.∴(a2－b2)[c2－(a2＋b2)]＝0.∴a2－b2＝0或c2－(a2＋b2)＝0.∴a＝b或c2＝a2＋b2.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．18．【解】(1)如图①所示．(2)如图②所示．19．【解】(1)连接AC.∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(92＋122)＝15(m)，∴AB＋BC－AC＝9＋12－15＝6(m)．答：居民从点A到点C将少走6m路程．(2)∵CD＝17m，AD＝8m，AC＝15m，∴AD2＋AC2＝289＝DC2，∴△ADC是直角三角形，且∠DAC＝90°，∴S△DAC＝eq\f(1,2)AD·AC＝eq\f(1,2)×8×15＝60(m2)．又∵S△ACB＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)×9×12＝54(m2)，∴S四边形ABCD＝60＋54＝114(m2)．答：这块绿化地的面积是114m2.20．【解】(1)∵AC＝13，AD＝5，CD＝12，∴CD2＋AD2＝122＋52＝169，AC2＝132＝169，∴CD2＋AD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝90°.∴在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝eq\r(BC2－CD2)＝eq\r(202－122)＝16，∴AB＝AD＋BD＝5＋16＝21，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)×21×12＝126.(2)如图，过点E作EM⊥FG，交GF的延长线于点M.设FM＝x，则GM＝11＋x，∵在Rt△FEM和Rt△GEM中，由勾股定理得EM2＝EF2－FM2，EM2＝EG2－GM2，∴EF2－FM2＝EG2－GM2，即132－x2＝202－(11＋x)2，解得x＝5，∴FM＝5，∴EM＝eq\r(132－52)＝12，∴S△EFG＝eq\f(1,2)FG·EM＝eq\f(1,2)×11×12＝66.21．【解】(1)5dm(2)如图，过C点作CH⊥AB于H，过F点作FG⊥DO，交DO的延长线于G，则扶手F到AB所在直线的距离为FG＋CH的值．∵∠FOD＝135°，∴∠FOG＝180°－135°＝45°