黑龙江省大庆市2023-2024学年高一年级上册1月期末考试 数学试卷

高一数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.

全卷共150分，考试时间120分钟.考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工

整、笔迹清楚.

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试

题卷上答题无效.

4.作图题可先使用2B铅笔填涂，然后用黑色字迹的签字笔描黑.

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

第I卷

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,已知集合"R,――则（）

A{0,1,2}B.{-2,-1}C.{1,2}D.0

2.命题“玉>0,%2+2%_520”的否定是（）

A.Vx>0,X2+2X-5>0B.VX>0,X2+2X-5<0

C.3%>0,x2+2x-5<0D.3%<0,x2+2x-5<0

57T

3.若角三的终边上有一点（—3,a）,则实数a的值为（）

R6「V3

A.-A/3L.-----D.

33

|x-l|-2,x<0

4.函数=«的零点的个数为（）

2

log5x+3x-x,x>0

A.1B.2C.3D.4

X

5.已知lga+lgb=0,则(a>0，且awl)与=,且6a1）的图象可能为

()

6.设机=-^—,n=—不上，命题p:a>b,命题q:ab<m〃,则P是q的（）

A充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射

中心点火发射，成功入轨.这次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的第2次载人飞行任务,

是工程立项实施以来的第30次发射任务，也是长征系列运载火箭的第493次飞行.设火箭质量是箭体质量与

燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数

之差成正比•已知某火箭的箭体质量为mkg,当燃料质量为mkg时，该火箭的最大速度为31n2km/s；当

燃料质量为祖（e-1）kg时，该火箭的最大速度为3km/s；当燃料质量为m（e4-l）kg时，则火箭的最大速

度为（）

A.10km/sB.llkm/sC.12km/sD.13km/s

8.已知函数/（x）=x+生，玉1c[2,a],3x2e[a,9]（2<a<9）,使/（%）/（々）2300成立,则实数

a的取值范围是（）

A.（2,3]B.（2,4]C.（4,6]D,（4,9）

二.多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对得2分.

9.已知下列等式左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（）

,cosx1-sin%cl+sin2xl+2tan2x

A.----=------B.-......=---------

1+;sinxcosxsinxcosxtanx

C.sin（53°-光）=8$（37。+%）D.sin（60。=cos（48（T+x）

10.已知0<a<l<),则下列说法正确的是()

A.log/>log/B.ahba<aabh

Clog/+log/<-2D.coscosZ7+—>0

I2

11.已知函数〃x)=logi：t2,则下列说法正确的是(

§2一九

A,函数值域为R

B.函数7(%)是增函数

C.不等式/(3x—1)+/(3力<0的解集为

»d+7］总+…+/㈢+/（T）+"0）+/⑴+/出+…+"击］=0

12.定义在(0,+8)上的函数“X),对Vx,y>0,均有/(盯)=4(丁)+才⑴，当％>1时，/(x)<0,

令g(x)=/@，则下列说法正确的是()

A.g(l)=0B.g(x)gQj>0

C.Va>0,g(a)<g(a+1)D,V«>0,neN*,g[an^=ng(«)

第n卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案写在答题卡相应题的横线上.

13.函数〃x)=4优-3+5.>0),且awl)的图象恒过定点p,点P又在累函数g(x)的图象上，贝U

g(-2)=----------

14.若扇形的周长为10cm,面积为6cm2，圆心角为a[0<a<万J,则夕=.

15.若关于x的不等式21og。%>(x-Ip恰有1个整数解，则实数。的取值范围是.

16.用“(%)表示/(x),g(x)中较大者，记为/(x)=max{/(£),g(x)}.已知函数

M(x)=max{e|x+21+2-e,-x2-4x-1},若关于x的方程"2(可+力0(司+6=0有8个相异实根，则

实数人的取值范围是.

四、解答题：共70分，解答应写出文字说明.解答过程或演算步骤.

17.已知角a满足cosa-sin。.

sin(6/-7i)cos(7i+(7)cosa--

⑴求------------------r~3n----『

的值;

tan(5兀-a)sin1—---fzI

(2)若ae(0,兀)，求sincr+coscr的值.

18.已知集合A={x|3a+l<x<2},B=|x|X+^<oj.

(1)当a=-2时，求

(2)若4口3=4,求实数。的取值范围.

3

19.己知定义域为R的函数f(x)=a—gip(aeR).

(1)判断了(九)的单调性，并用单调性的定义加以证明;

(2)是否存在实数a使函数/(%)为奇函数？若存在，求出。的值，若不存在，请说明理由.

20.果园A占地约3000亩，拟选用果树3进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植36棵，种

植成本y(万元)与果树数量了(百棵)之间的关系如下表所示：

X14916

y14.27.410.6

(1)根据以上表格中的数据判断：y=ax+b与y=c«+d哪一个更适合作为>与x的函数模型;

(2)已知该果园的年利润Z(万元)与X,y的关系为z=2y-0.1x,则果树数量X为多少时年利润最大?

21.已知函数了⑺是定义在R上的奇函数，函数g(x)是定义在R上的偶函数，且/(x)+g(x)=e、.

(1)求函数y(x),g(x)的解析式；

’271『x11

(2)解关于x的不等式glogjX-logj—<flog/4og3二+-.

I9x)I927Je

22.已知函数/(%)=(尤2+x)e'+lnx—Lg(x)=xeX,(其中e是自然对数的底数)

(1)判断函数g(x)在(0,+。)上的单调性(不必证明)；

⑵求证：函数了(%)在，内存在零点%,且g(%o+l)=gIn：；

(3)在(2)的条件下，求使不等式2%0出一不如%)+(1—左)%—1之0成立的整数上的最大值・

(参考数据:ln2»0.693,A/3«1.732)

高一数学试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.

全卷共150分，考试时间120分钟.考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷

上答题无效.

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条

形码区域内.

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔

书写，字体工整、笔迹清楚.

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；

在草稿纸、试题卷上答题无效.

4.作图题可先使用2B铅笔填涂，然后用黑色字迹的签字笔描黑.

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

第I卷

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合。=R,A=-}，吟则（）

A.{0,1,2}B.{-2,-1}C.{1,2}D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根据补集、交集的定义进行计算即可.

【解析】由4={引x<0}得e4=何x»0}；

又5={-2,—

所以（七人）门5={0,1,2}.

故选：A.

2.命题“土>0,%2+2%-520”的否定是（）

A.Vx>0,X2+2X-5>0B.Vx>0,X2+2X-5<0

C.3x>0,x2+2x-5<0D.3%<0,x2+2x-5<0

【答案】B

【解析】

【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的关系直接写出原命题的否定.

【解析】原命题的否定是：Vx>0,x-+2x-5<0.

故选：B

57r

3.若角三的终边上有一点（—3,。），则实数。的值为（）

6

A.—有B.一"C.且D.73

33

【答案】D

【解析】

【分析】由三角函数定义列方程即可得解.

【解析】由题意结合三角函数定义得tan2=-3=g，解得a=石.

63-3

故选：D.

z、lx—11—2,x0

4.函数/（%）=1；2c的零点的个数为（）

log5x+3x-x,%>0

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】xWO时，可以直接求出零点，x>0时，通过图象即可得出零点个数，进而得出结

果.

【解析】当尤V0时，

令卜-1|-2=0,解得*=一1或3（舍）,

所以xWO时，/（%）有一个零点;

当%>0时,令/(X)=0,得logs为=炉-31,

作y=log5X和y=f—3x图象如下,

所以x>0时，/（%）有两个零点.

综上，八工）共有3个零点.

故选：C

5.已知lga+lgb=O,则（a>0，且awl）与g（x）=log/（b>0,且8力1）

的图象可能为（）

【答案】D

【解析】

【分析】利用对数运算得到6=—,再结合指数函数与对数函数的性质即可判断选项.

a

【解析】因为lga+lgb=O,

所以一lga=lgb,b=-,

a

若0<6<1,则0<工<1,排除C,

a

若万〉1,则,〉1,排除AB.

a

故选：D

。IQIt<）7.0

6.设根-,n=-12,命题p:a>〃，命题4：。/?<机〃，则。是4的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由题意通过作差法得出命题q：。6<根〃的充要条件为出b,结合充分不必要条

件的定义即可得解.

r加七、4日甬止,,2a+362b+3a6a2+6b~+13ab

【解析】由题扇<mnoab<-----------------------

5525

o6a2+6b2+13ab>25abo(a—>0=aHZ?,

即命题4：必<"2〃的充要条件为标b,

所以命题p：a>b是命题q:ab<mn的充分不必要条件.

故选：A.

7.2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在

酒泉卫星发射中心点火发射，成功入轨.这次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发

展阶段的第2次载人飞行任务，是工程立项实施以来的第30次发射任务，也是长征系列运

载火箭的第493次飞行.设火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件

下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的

箭体质量为mkg,当燃料质量为mkg时，该火箭的最大速度为31112km/s；当燃料质量为

机(e-l)kg时，该火箭的最大速度为3km/s；当燃料质量为加(e4-l)kg时，则火箭的最

大速度为()

A10km/sB.11km/sC.12km/sD.

13km/s

【答案】C

【解析】

【分析】燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比，可设出函

数模型，代入可得函数解析式，进而得解.

【解析】设当燃料质量为xkg时，火箭的最大速度为ykm/s,

则y-yQ=^[ln（x+m）-ln（x0+m）],

又当燃料质量为mkg时，该火箭的最大速度为31n2km/s；当燃料质量为，〃（e-l）kg时，

该火箭的最大速度为3km/s；

所以3-31n2=k[ln（«7e—m+7n）—ln（m+根）],

解得左=3,

所以y-31n2=3[ln（x+m）-ln（2m）],

令x=/"（e，—1）,贝！|y-31n2=3[in（me，-m+/n）-ln（2m）J,

y=3[4-ln2]+31n2=12,

故选：C.

8.已知函数〃x）=x+—,羽e[2,a],切e[a,9]（2<a<9）,使〃菁）/（々）2300

X

成立，则实数。的取值范围是（）

A.（2,3]B.（2,4]C.（4,6]D,（4,9）

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的单调性可得函数/（x）=x+史在[2,9]内的单调性与最值情况，所以

X

/（^）max=/（2）=30,"9）=13,根据不等式能成立，可得，3x2e[a,9],所以

/（9）=15,可得4=3,进而可得参数范围.

【解析】由已知当x«2,9]时，/（%）=%+—>2^6=12,当且仅当*=羽，即x=6

时等号成立，

且〃x）=X+生在（2,6）上单调递减,在（6,9）上单调递增，

又f（2）=2+m=20,/（9）=9+^=13</（2）,

所以〃x）=x+史在[2,可上的最大值为"2）=20,

又叫e[2,a],居e[a,9],使/（%）/（々）2300成立,

即/小）3〃切2300,

所以±24a,9］,使/（%）=15,即〃%）在［。,9］上的最大值/（。）215,

即。H215,角军得Q«3或QN12,

a

又2<〃<9,

所以aw（2,3],

故选：A.

二.多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.

9.已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（）

cosx1-sinxl+sin2xl+2tan2x

A.--------二-------B.-----=------

1+sinxcosxsinxcosxtanx

C.sin（53。-%）=8$（37。+%）D.sin（60。-x）=cos（48（T+x）

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A、B,由同角三角函数的基本关系进行化简证明即可，对于C、D,由诱导

公式进行化简证明即可.

【解析】对于A,

cosxcosx（l-sinx）cosx（l-sinx）cosx（l-sinx）1-sinx

1+sinx（l+sinx）（l-sinx）l-sin2xcos2xcosx

对于B,1+sin-_（si^x+cos?X+sii?%_cos?x+Zsii?%_l+Ztan?%.故B正确；

sinxcosxsinxcosxsinxcosxtanx

对于C,sin（53°—x）=sin[90°—（37°+x）]=cos（37°+x）,故C正确；

对于D,cos（480°+x）=cos（120°+x）=cos[180°—（60°-x）]=—cos（60°-x）,故D错

误.

故选：ABC.

10.已知0<。<1<〃，则下列说法正确的是（）

haab

A.log/>log/B.ab<ab

C.log/+log/<-2D.cos^cos/j+-1j>0

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A,C,利用特殊值。=4力=2进行判断；对于B,根据指数函数的单调性

2

进行判断；对于D,根据cos6+^|的范围判断cos[os6+£]的符号.

【解析】对于A,C,由0<。<1<〃，令。=5力=2,则log2=log/=-1,

log步+log/=-2,故A,C错误；

对于B,由0<。<1<〃，0<ab<aa>0<ba<bb<所以故B正确；

〃[a3兀

对于D,由0VQV1<Z?,得0<—<—，—1VcosZ?<1,—l<cosbn—<—<—，所以

22222

cos"osZ?+〉0,故D正确.

故选：BD.

11.已知函数/(x)=logi/二，则下列说法正确的是()

32—X

A.函数/(%)值域为R

B.函数“X)是增函数

C.不等式"3》—1)+〃3力<0的解集为

D.

小盛]+/[圭>…+/㈢+"T+/⑼+/⑴+/出+…+”屈=o

【答案】ACD

【解析】

2+x

【分析】对于A,令/=三三川€(—2,2),利用换元法和对数函数的性质即可求得；对于

2+尤

B,令。=一二，由复合函数的单调性进行判断即可；对于C,利用函数的奇偶性和单调性

2-x

进行解不等式；对于D,由〃-力+/(力=0即可求解.

【解析】对于A,令"岩,2,2),又因为"§三=-1-士在(—2,2)上递增，

所以/e(O,+8),由对数函数的性质可得，>=1°8,的值域为口，故A正确；

对于B,因为/=言=-1-4在(-2,2)上递增，>=腕/在(0,+8)上递减，由复合

函数的单调性可知，/(》)=1。81兰2为减函数，故B错误；

T2-x

对于C,因为〃x）=log1T-的定义域为（—2,2）,且/（一£）=1081；^—,

Zl—XZ+X

2|_-JQ

f（x）+f（-x）=logl--+log,-_-=logj=0,所以“力为奇函数，且〃%）在

3%33

（-2,2）上为减函数，

不等式/（3x—1）+/（3力<0等价于/（3%—1）<—/（3x）即/（3%—1）</（―3司，

3x—1>—3x

1?

等价于〈―2<3x—1<2,解得—<九<—,故c正确；

63

—2<3x<2

对于D,因为〃—）+/（力=。且"0）=0,所以

小盛"［圭卜…+/㈢+"T+/⑼+/⑴+/出+…+”屈=o

,故D正确.

故选：ACD.

12.定义在（0,+8）上的函数了（%）,对Vx,y>0,均有/（盯）=4（y）+W（x），当％〉1

时，/（%）<0,令g（x）=/H,则下列说法正确的是（）

X

A.g（l）=0B.g（x）gR卜0

C.Va>0,g（a）<g（a+l）D.X/Q>0,〃£N,g⑷

【答案】AD

【解析】

【分析】根据对Vx,y>0,均有/(盯)=犷(丁)+讨(力，且g(x)=/^,令x=y=l,

JC

即可得g(l)的值，从而判断A；令y」得了,，［=犷1口+，/("=0,则

XkXJ\XJJC

/(-|=-4/(x)-于是可化简且⑴81］的式子，从而可判断B；令x=a+l,y=L

结合当x〉l时，/(x)<0,可得qf(a+l)—(a+l)/(a)<0，则可得g(a),g(a+l)的

大小关系，从而可判断C；利用归纳法推出/(a")=w"T/g),从而可判断D.

【解析】对Vx,y>0,均有/(盯)=4(y)+W(x),令x=y=l可得

/(1)=/(1)+/(1),所以/(1)=0,则g(i)=平=0,故A正确；

Vx,y>0,可令y=」得/(%一］=?(—］+—/(x)=0,所以/(一］=—^/(工)，

XkXJ\XJX\XJX

小〕

则8(/£1=#,卡=〃"/〔£1=〃“)］一口(”•一口2(”。，

X

故B不正确；

令％=〃+l,y=L可得

a

S+1)。+—/(tz+l)=(Q+1)I0二"+1)—(。+1)”〃)

aa2

因为当％>1时，/(x)<0,

又Va>0,^^=l+，>l,所以

aa\a)

故歹(a+l)—y+l)〃a)<0,所以4(a+l)—(a+l)/(a)<0,

a

所以Va>O,g(a+l)-g(a)=\-+=/(%)〃。,则

g("+l)Vg(Q),故C不正确;

令％=y=a,得/(々2)=4(々)+4(々)=24(々)，贝！J

/(4)二疗(〃2)+//(〃)=3〃2/(々)，/(々4)=12/(〃2)+42/([2)=4〃3/(a),

以此类推可得：=

r*/八f(a)na〃。)也4=饴(。)，故D正确.

所6以rIX/〃>O,〃eN,g(〃)=--~-=------

')an

故选：AD.

【小结】关键小结：本题的关键是利用合理赋值、作差法并结合其所给性质逐项分析即可.

第n卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案写在答题卡相

应题的横线上.

13.函数/(%)=4优-3+5(。＞。)，且a/l)的图象恒过定点p,点尸又在幕函数g(x)的

图象上，则g(-2)=.

【答案】4

【解析】

【分析】由己知求出定点尸的坐标，根据待定系数法求出g(x),从而可得结果.

【解析】由x—3=0,得x=3,所以定点尸(3,9),

设g(x)=x",又g(3)=3"=9,得a=2,所以g(x)=f,

所以g(—2)=(—2)2=4,

故答案为：4.

14.若扇形的周长为10cm,面积为6cm之，圆心角为&］。＜&＜,则夕=.

4

【答案】一

3

【解析】

【分析】由扇形的周长和面积公式进行求解即可.

【解析】设扇形的半径为，

1,

因为扇形的周长为ar+2r=10,扇形的面积为一1广=6,

2

ar+2r=Wr=3

r=2TV4

由<12A得一a=3或4，又因为0＜。＜一,所以&=一.

—ar=o«=-23

I23

4

故答案为：一.

3

15.若关于x的不等式21ogflx>(X-1)?恰有1个整数解,则实数a的取值范围是

【答案】［73,4)

【解析】

【分析】分。<。<1和a>1两种情况作出图象，根据不等式的解集即可求解.

【解析】当。<°<1时，作出y=21og“x和y=(x—I?的图象，

由图像可知210gM>(x-Ip没有整数解，不符合题意;

当时，作出y=21og.x和y=(x—l)2的图象,

因为210gM〉(％-1)?恰有1个整数解，

所以x=2是不等式的整数解,

2

21oga2＞（2-l）

所以《解得上<a<4，

2

21ogfl3＜（3-l）

即实数。的取值范围是［6,4b

故答案为：［6,4)

16.用/(%)表示/(x),g(x)中的较大者，记为"(%)=111作{/(%)送(左)}.已知函数

M(x)=max^e'A+2l+2-e,-x2-4x-1j,若关于x的方程加2(力+旬0(力+6=0有8

个相异实根，则实数h的取值范围是.

【答案】(-5,-276)

【解析】

【分析】由题意设/(x)=J+N+2—e,g(x)=—/—4x—l=—(x+2)2+3,根据对称轴、

单调性等知识画出图象，由题意当且仅当M(X)=%,M(X)=/2是关于M(x)的方程

知2(月+初0(司+6=0的两个根，2</"2<3,/尸小进一步换元分离参数，并结合对

勾函数的性质即可得解.

【解析】由题意设/(x)=eHl+2—e,g(x)=—/—4x—i=—(x+2)2+3,

由此可知f(x),g(x)的对称轴均为x=-2,

且当尤<—2时，/(九)单调递减，g(x)单调递增，

当x>-2时，/(%)单调递增，g(x)单调递减，

且/(-3)=g(-3)=/(-l)=g(-l)=2,由此可以画出这两函数的大致图像如图所示：

eM+2-e,x<-3

所以M(x)=max+2-e,-4%-=<-%2-4x-l,-3<x<-l,

/+2+2—e,x>一1

所以直线y=与函数y=V(x)至多有4个不同交点，

关于“(九)的方程"2(%)+初0(力+6=0至多有2个不同的根，

由题意若关于X的方程“2(X)+旬0(力+6=0有8个相异实根，

则当且仅当两个关于x的方程M(x)=4，M(x)=/2共有8个不同的根，

其中3)=g(—3)=/(—l)=g(—l)=2<./2<g(—2)=3/户小

2

=(x)=t2是关于M(x)的方程M(X)+/JM(X)+6=0的两个根，

令/=Af(x),则关于『的方程/+4+6=0有两个不同的根2<%/<3,%wJ，

即6=有两个不同的根2〈九弓<3,4/J，

设力(‘)=—'+：]，由对勾函数性质得，

当2</<几时，丸(。=—[+■1]单调递增，当«</<3时，/?(/)=—[+：]单调递减,

所以//("max=丸(布)=一2斯，/l(2)=/l(3)=-5,

所以6=-。+]]有两个不同的根2<t[,t]<3,：wt2,

当且仅当“(2)=/z(3)=-5</?<W)max=k(巫)=-2底,

综上所述：实数b的取值范围是”,-2").

故答案为：卜5,-2").

【小结】关键小结：关键是分析出直线y=，/eR与函数y=M(x)至多有4个不同的交

点，

关于“(九)的方程"2(%)+初0(力+6=0至多有2个不同的根，

由此可将题目等价转换为6=一有两个不同的根2<aJ2<3,4w凸，从而即可顺利

得解.

四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.

17.已知角。满足cosa-sina=—.

sin(。一兀)cos(兀+a)cosa--

(1)求------------------(37tl的值;

tan(5兀一a)sin[----orI

（2）若二£（0,兀），求sino+cosa的值.

【答案】（1）--

【解析】

【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的关系进行化简，再由

（cosa-sina）2=l-2sinacosa即可得到结果.

(2)由(cosa+sina)2=l-2sinacosa及sinacos。>0,ae(0,7i)即可得到结果.

【小问1解析】

一sina(-cosa^sina

原式二

一tanacos。

Sin26ZCOS6Z

—：---------=-sincrcoscr.

sin。

-------coscr

cosa

1

,/cos。-sina=—

5

/.(cosa-sin"=1-2sinacose=sinocosa=-

2525

原式=.

25

【小问2解析】

1249

(sin。+coscif)2=1+2sinocosor=l+2x—=—

/\12

•「ae(0,7i)且sinacoscif=—>0,

GI0,-1-1,/.sina+cosa>0,

,sin…a=、僧」

V255

18.已知集合4={乂3。+1<%<2},3=1%|^~|40

（1）当。=—2时，求Au8;

（2）若=求实数。的取值范围.

【答案】（1）AoB={^|-5<x<3}

⑵[-1,+»)

【解析】

【分析】（1）化简集合，利用并集运算求解即可;

（2）由=4可得然后利用A=0与A/0两种情况讨论即可.

【小问1解析】

x+2,八

-------<0,

x-3

(%+2)(%—3)<0且1w3,

—2<jvv3,

B={x|-2<x<3},

当〃二一2时，A={x|—5<x<2},

AoB={x|-5<x<3}.

【小问2解析】

•：Ar\B=A.:.A(^B.

由(1)知5={犬|一2<%<3},XA={x\3a+1<%<2}.

则当3a+l<2即时，A/0,

3

3a+12—2

要使AoB,则1^-l<a<~.

〃<一3

I3

当3。+122即1时，A=0,满足AuB.

3.

综上所述，实数。的取值范围为[-1,”)

3

19.已知定义域为R的函数/(x)=a—右ip(aeR)-

(1)判断了(%)的单调性，并用单调性的定义加以证明；

(2)是否存在实数。使函数7(%)为奇函数？若存在，求出。的值，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)/(%)是R上的增函数，证明见解析

3

(2)存在实数。=不

2

【解析】

【分析】(1)根据单调性的定义直接证明即可；

(2)法一：利用奇函数的定义可得参数值；法二：利用特值法，令/(0)=0可得解.

【小问1解析】

由/'(x)=a—下工可知，"％)是R上的增函数.

证明：设VXp/eR,且看<々，

则上)—小)="上田―

八"J(3^+lJ[3^+1)付+1)(3*+1)

^.^y=3x在R上单调递增，且石<々，

...3%<3也，即3.一3*<0，

又•.3'+1>0，3*+1>0，

，/(%)一/(%2)<。，即/(%)</(々)，

・•・当。为任意实数时，“X)是R上的增函数.

【小问2解析】

法一：假设存在实数。使〃可为奇函数.

3<3

对VxeR,由=得=

3-3x3

Cl—=—dH-----

3X+13V+1

3-3x333+33

即2a=-----------1-----------Cl——,

3、+l3l+l3X+12

3

存在实数。,使/（%）为奇函数.

法二：假设存在实数。使〃可为奇函数.

・•・〃龙）的定义域为R,

/（0）=a—T--=0,:.a=—,

''3°+12

当"5时‘小）=5一门’

则人—工=£3小3>3

1723-x+l23X+121+3，

=--3+^-=--+^—=-/（x）,

23X+123V+1'）

3

存在实数a=5使/（%）为奇函数.

20.果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多

可种植36棵，种植成本y（万元）与果树数量x（百棵）之间的关系如下表所示：

X14916

y14.27.410.6

（1）根据以上表格中的数据判断：y=ax+人与y=c«+d哪一个更适合作为y与x的函

数模型；

（2）已知该果园的年利润Z（万元）与X,y的关系为z=2y—0.5,则果树数量X为多

少时年利润最大？

【答案】（1）y=cgd比y=ax+b更适合作为y与x的函数模型.

（2）1024百棵

【解析】

【分析】（1）分别代入数据，确定对应回归方程，进而确定模型;

（2）根据确定的函数模型，进而可得z=-64«+44）,再利用换元法，结合二次

函数性质可得最值情况.

【小问1解析】

①若选择y=ox+人作为y与x的函数模型：

16

CL---

1=a+b"，所以

将点（1,1）,（4,4.2）的坐标分别带入y=+得＜c,解得,

4.2=4〃+/?

b=---

15

161

y=—x----

1515

143

此时当x=9时，y=—^9.53,当x=16时，y=17,所得数据分别与表格中的7.4和

10.6相差较大.

②若选择y=c4+d作为＞与x的函数模型:

16

c=一

1=c+d5

将（1,1）,（4,4.2）的坐标分别带入＞=°«+1，得＜,ccJ解得＜

4.2=2c+d,11

a二--------

5

16厂11

y——Vx----,

55

3753

此时当x=9时，丁=彳=7.4,当x=16时，y=《=10.6,所得数据分别与表格中的7.4

和10.6相符合.

综上所述，y=cgd比y=ox+人更适合作为，与x的函数模型.

【小问2解析】

由题意，该果园最多可种3000x36=108000棵该品种果树，故xe[0,1080],

由（1）知，需选用的y与X的模型为y=—与，

z=2y-0.1x=]«-g一±*=一*卜一64。+44）,

令/=[0,1080],6回]

64/+44)=」”32)2+98,回0,6炳］.

10V)10V)

当/=32,即尤=1024时，zmax=98(万元).

又•.•102400+3000a34,

••・当果树数量为1024百棵(每亩约34棵)时，年利润最大.

21.已知函数/(%)是定义在R上的奇函数，函数g(x)是定义在R上的偶函数，且

/(x)+g(x)=ev.

(1)求函数/(%),g(x)解析式；

’27、(x)1

(2)解关于x的不等式glog/」og3——<flog^-logj—+-.

I9x)I9271e

【答案】(1)

e'+e^

g(x)=

2

(2)(3,9).

【解析】

【分析Ml)由题意，根据奇偶函数的定义，可得/(—x)+g(-x)=-/(x)+g(x)=eT,

结合已知解方程组可解;

(2)由题意得,glOg/」Og3——-fTog/・log3一<-,令

I9XI9X)e

t=\og1X-\og3一—,解得看<一1,再解log]%」og3—<—1即可.

§%e9x

【小问1解析】

是奇函数,g(%)是