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文档简介
作业44等比数列的概念[分值:100分]单选题每小题5分,共45分【基础巩固】1.下列数列是等比数列的是()A.1,11,111,1111 B.1,-2,4,-8C.1,5,25,-125 D.22,32,42,522.已知等比数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通项公式为an=3n+2(n∈N*),则该数列的公比是()A.eq\f(1,9)B.9C.eq\f(1,3)D.33.若2,a,6成等比数列,则a等于()A.1B.±2eq\r(3)C.2D.-24.在各项都为正数的数列{an}中,若an+1=3an,a1=2,则a4等于()A.108B.54C.36D.185.已知数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))和eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))满足bn=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(an)),则“数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))为等比数列”是“数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))为等比数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.等比数列{an}的公比|q|>1,{an}中有连续四项在集合{-54,-24,-18,36,81}中,则q等于()A.-eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C.-eq\f(3,2)D.eq\f(3,2)7.(5分)若{an}为等比数列,且a3+a4=4,a2=2,则公比q=________.8.(5分)在△ABC中,若sinA,sinB,sinC成公比为eq\r(2)的等比数列,则cosB=________.9.(12分)已知数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通项公式,判断它是否为等比数列.(1)an=3n;(3分)(2)an=5×32-n;(3分)(3)an=n-1;(3分)(4)an=3.(3分)10.(10分)已知在等比数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中,a2=1,求a1+a3的取值范围.【综合运用】11.“a,b,c成等比数列”是“b=eq\r(ac)”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件12.“一尺之棰,日取其半,万世不竭”这句话出自《庄子·天下》,其意思为“一根一尺长的木棰,每天截取其一半,永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺,第二天被截取剩下的一半剩下a2尺,…,第五天被截取剩下的一半剩下a5尺,则eq\f(a1+a2,a5)等于()A.18B.20C.22D.2413.已知不等式x2-5x-6<0的解集中有三个整数解,构成等比数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前三项,则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的第四项是()A.8B.eq\f(1,2)C.8或2D.8或eq\f(1,2)14.(5分)在等比数列a,2a+2,3a+3,…中,a=________.【创新拓展】15.(5分)已知在等差数列{an}中,a2+a4=16,a1+1,a2+1,a4+1成等比数列,把各项按如图所示排列,则从上到下第10行,从左到右的第11个数值为________.(13分)在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,若a,b,c成等比数列,且a2-c2=ac-bc,求A的大小及eq\f(bsinB,c)的值.等比数列的概念1.B[由等比数列的定义可知,只有B满足题意,其余均不满足.]2.D[设公比为q,等比数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通项公式为an=3n+2(n∈N*),则a1=33=27,a2=34=81,∴eq\f(a2,a1)=q=3.]3.B[由eq\f(a,2)=eq\f(6,a),所以a=±2eq\r(3).]4.B[因为an+1=3an,即eq\f(an+1,an)=3,所以数列{an}是公比为3的等比数列,所以eq\f(a2,a1)=eq\f(a3,a2)=eq\f(a4,a3)=3,又a1=2,所以a4=54.]5.A[若数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))为等比数列,公比为q,则eq\f(bn+1,bn)=eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(an+1)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(an)))=|q|,∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))为等比数列,充分性成立,若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))为等比数列,设公比q=2,令数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))为:2,4,8,-16,-32,…,满足eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(an+1)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(an)))=2,但eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))不是等比数列,必要性不成立,∴“数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))为等比数列”是“数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))为等比数列”的充分不必要条件.]6.C[∵{an}中的项必然有正有负,∴q<0.又|q|>1,∴q<-1.由此可得{an}的连续四项为-24,36,-54,81.∴q=-eq\f(3,2).]7.1或-2解析因为eq\f(a3,a2)=q,所以a3=a2q=2q,因为eq\f(a4,a3)=q,所以a4=a3q=2q2,所以2q2+2q=4,即q2+q-2=0,解得q=1或q=-2.8.eq\f(3,4)解析因为sinA,sinB,sinC成公比为eq\r(2)的等比数列,所以sinB=eq\r(2)sinA,sinC=2sinA,由正弦定理可知b=eq\r(2)a,c=2a,所以cosB=eq\f(a2+c2-b2,2ac)=eq\f(a2+4a2-2a2,2×a×2a)=eq\f(3,4).9.解由等比数列的定义可知,eq\f(an,an-1)=q(n≥2,n∈N*),若q是一个与n无关的常数,则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等比数列.(1)eq\f(an,an-1)=eq\f(3n,3n-1),不是常数,故不是等比数列;(2)eq\f(an,an-1)=eq\f(5×32-n,5×32-n-1)=eq\f(1,3),是等比数列;(3)eq\f(an,an-1)=eq\f(n-1,n-1-1)=eq\f(n-1,n),不是常数,故不是等比数列;(4)eq\f(an,an-1)=eq\f(3,3)=1,是等比数列.10.解设等比数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公比为q(q≠0),由等比数列的定义可知a1=eq\f(1,q),a3=q,所以a1+a3=q+eq\f(1,q),当q>0时,a1+a3=q+eq\f(1,q)≥2eq\r(q·\f(1,q))=2,当且仅当q=1时,等号成立;当q<0时,a1+a3=-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-q+\f(1,-q)))≤-2eq\r(-q·\f(1,-q))=-2,当且仅当q=-1时,等号成立.综上所述,a1+a3的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).11.D[充分性:若a,b,c成等比数列,则b2=ac且ac>0,则b=±eq\r(ac),即充分性不成立;必要性:若b=eq\r(ac),取a=b=c=0,则a,b,c不成等比数列,即必要性不成立.因此,“a,b,c成等比数列”是“b=eq\r(ac)”的既不充分又不必要条件.]12.D[设这根木棰总长为1,每天截取其一半,剩下的部分记为an,则{an}是首项a1=eq\f(1,2),公比q=eq\f(1,2)的等比数列,所以a1=eq\f(1,2),a2=eq\f(1,4),…,a5=eq\f(1,32),所以eq\f(a1+a2,a5)=eq\f(\f(1,2)+\f(1,4),\f(1,32))=24.]13.D[不等式x2-5x-6<0的解集为{x|-1<x<6},其中成等比数列的三个整数为1,2,4,若数列前3项为1,2,4,则第4项为8,若数列前3项为4,2,1,则第4项为eq\f(1,2).]14.-4解析由题意可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a+2))2=aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a+3)),解得a=-4或a=-1,当a=-1时,2a+2=0,3a+3=0,不满足条件;当a=-4时,等比数列为:-4,-6,-9,…,满足条件.15.275或8解析设等差数列{an}的公差为d,因为a2+a4=16,所以a1+2d=8,①因为a1+1,a2+1,a4+1成等比数列,所以(a2+1)2=(a1+1)(a4+1),②联立①②解得d=3或d=0,当d=3时,a1=2,an=3n-1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项,即a92=3×92-1=275;当d=0时,an=8,所以a92=8.16.解(1)∵a,b,c成等比数列,∴b2
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