等比数列的概念++限时训练 高二下学期数学苏教版（2019）+选择性必修第一册

作业44等比数列的概念[分值：100分]单选题每小题5分，共45分【基础巩固】1．下列数列是等比数列的是()A．1,11,111,1111 B．1，－2,4，－8C．1,5,25，－125 D．22,32,42,522．已知等比数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通项公式为an＝3n＋2(n∈N*)，则该数列的公比是()A.eq\f(1,9)B．9C.eq\f(1,3)D．33．若2，a,6成等比数列，则a等于()A．1B．±2eq\r(3)C．2D．－24．在各项都为正数的数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4等于()A．108B．54C．36D．185．已知数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))和eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))满足bn＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(an))，则“数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))为等比数列”是“数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))为等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6．等比数列{an}的公比|q|>1，{an}中有连续四项在集合{－54，－24，－18,36,81}中，则q等于()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(3,2)D.eq\f(3,2)7．(5分)若{an}为等比数列，且a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q＝________.8．(5分)在△ABC中，若sinA，sinB，sinC成公比为eq\r(2)的等比数列，则cosB＝________.9．(12分)已知数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通项公式，判断它是否为等比数列．(1)an＝3n；(3分)(2)an＝5×32－n；(3分)(3)an＝n－1；(3分)(4)an＝3.(3分)10．(10分)已知在等比数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a2＝1，求a1＋a3的取值范围．【综合运用】11．“a，b，c成等比数列”是“b＝eq\r(ac)”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件12．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则eq\f(a1＋a2,a5)等于()A．18B．20C．22D．2413．已知不等式x2－5x－6<0的解集中有三个整数解，构成等比数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前三项，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的第四项是()A．8B.eq\f(1,2)C．8或2D．8或eq\f(1,2)14．(5分)在等比数列a,2a＋2,3a＋3，…中，a＝________.【创新拓展】15．(5分)已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列，则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________．(13分)在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求A的大小及eq\f(bsinB,c)的值．等比数列的概念1．B[由等比数列的定义可知，只有B满足题意，其余均不满足．]2．D[设公比为q，等比数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通项公式为an＝3n＋2(n∈N*)，则a1＝33＝27，a2＝34＝81，∴eq\f(a2,a1)＝q＝3.]3．B[由eq\f(a,2)＝eq\f(6,a)，所以a＝±2eq\r(3).]4．B[因为an＋1＝3an，即eq\f(an＋1,an)＝3，所以数列{an}是公比为3的等比数列，所以eq\f(a2,a1)＝eq\f(a3,a2)＝eq\f(a4,a3)＝3，又a1＝2，所以a4＝54.]5．A[若数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))为等比数列，公比为q，则eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(an＋1)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(an)))＝|q|，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))为等比数列，充分性成立，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))为等比数列，设公比q＝2，令数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))为：2,4,8，－16，－32，…，满足eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(an＋1)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(an)))＝2，但eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))不是等比数列，必要性不成立，∴“数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))为等比数列”是“数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))为等比数列”的充分不必要条件．]6．C[∵{an}中的项必然有正有负，∴q<0.又|q|>1，∴q<－1.由此可得{an}的连续四项为－24,36，－54,81.∴q＝－eq\f(3,2).]7．1或－2解析因为eq\f(a3,a2)＝q，所以a3＝a2q＝2q，因为eq\f(a4,a3)＝q，所以a4＝a3q＝2q2，所以2q2＋2q＝4，即q2＋q－2＝0，解得q＝1或q＝－2.8.eq\f(3,4)解析因为sinA，sinB，sinC成公比为eq\r(2)的等比数列，所以sinB＝eq\r(2)sinA，sinC＝2sinA，由正弦定理可知b＝eq\r(2)a，c＝2a，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,2×a×2a)＝eq\f(3,4).9．解由等比数列的定义可知，eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，n∈N*)，若q是一个与n无关的常数，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等比数列．(1)eq\f(an,an－1)＝eq\f(3n,3n－1)，不是常数，故不是等比数列；(2)eq\f(an,an－1)＝eq\f(5×32－n,5×32－n－1)＝eq\f(1,3)，是等比数列；(3)eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n－1－1)＝eq\f(n－1,n)，不是常数，故不是等比数列；(4)eq\f(an,an－1)＝eq\f(3,3)＝1，是等比数列．10．解设等比数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公比为q(q≠0)，由等比数列的定义可知a1＝eq\f(1,q)，a3＝q，所以a1＋a3＝q＋eq\f(1,q)，当q>0时，a1＋a3＝q＋eq\f(1,q)≥2eq\r(q·\f(1,q))＝2，当且仅当q＝1时，等号成立；当q<0时，a1＋a3＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－q＋\f(1,－q)))≤－2eq\r(－q·\f(1,－q))＝－2，当且仅当q＝－1时，等号成立．综上所述，a1＋a3的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．11．D[充分性：若a，b，c成等比数列，则b2＝ac且ac>0，则b＝±eq\r(ac)，即充分性不成立；必要性：若b＝eq\r(ac)，取a＝b＝c＝0，则a，b，c不成等比数列，即必要性不成立．因此，“a，b，c成等比数列”是“b＝eq\r(ac)”的既不充分又不必要条件．]12．D[设这根木棰总长为1,每天截取其一半，剩下的部分记为an，则{an}是首项a1＝eq\f(1,2)，公比q＝eq\f(1,2)的等比数列，所以a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(1,4)，…，a5＝eq\f(1,32)，所以eq\f(a1＋a2,a5)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,4),\f(1,32))＝24.]13．D[不等式x2－5x－6<0的解集为{x|－1<x<6}，其中成等比数列的三个整数为1,2,4，若数列前3项为1,2,4，则第4项为8，若数列前3项为4,2,1，则第4项为eq\f(1,2).]14．－4解析由题意可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋2))2＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a＋3))，解得a＝－4或a＝－1，当a＝－1时，2a＋2＝0,3a＋3＝0，不满足条件；当a＝－4时，等比数列为：－4，－6，－9，…，满足条件．15．275或8解析设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a4＝16，所以a1＋2d＝8，①因为a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，所以(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，②联立①②解得d＝3或d＝0，当d＝3时，a1＝2，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，即a92＝3×92－1＝275；当d＝0时，an＝8，所以a92＝8.16．解(1)∵a，b，c成等比数列，∴b2