沪科版九年级数学重难点专项突破：相似三角形中的“一线三等角”模型（原卷版）

重难点专项突破08相似三角形中的“一线三等角”模型

D【知识梳理】

一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，

也可以是锐角或钝角。或叫“K字模型”。

三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形

形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：

当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往

是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

一般类型：

同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”

【考点剖析】

4DRFq

例1.如图，直角梯形ABCD中，AB//CD,NABC=90。，点E在边BC上，且一=——=-,AD10,

ECCD4

求AAED的面积.

例2.已知：如图，是等边三角形，点小£分别在边宽；AC±,//庞=60°.

(1)求证：AABD^丛DCE；

(2)如果/8=3,£0=2,求加的长.

3

E

60°

BD

例3.已知，在等腰AABC中，AB=AC=10,以BC的中点。为顶点作NEDF=NB,分别交AB、AC于点

E、F,AE=6,AF=4,求底边BC的长.

【过关检测】

—.选择题（共3小题）

1.（2020•安徽•校联考三模）如图，。为AABC的边AC上一点，AB=BC=CD=4,ZDBC=2ZA,则

3。的长为（）

A.-2+2石B.-2-275C.2+2百D.君-1

2.（2017•利辛县一模）如图，D、E、尸分别是等腰三角形ABC边BC、CA.AB上的点，如果AB=AC,

BD=2,C0=3,CE=4,AE=3,ZFDE=ZB,那么AE的长为（）

3.（2022秋•瑶海区校级期中）如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=4,点。是边BC上一动点（不

与B,C重合），ZADE=45°,OE交AC于点E,下列结论：①△AQE与△ACO一定相似；②△ABO

与△DCE一定相似；③当4。=3时，CE=-L；④0CCEW2.其中正确的结论有几个？（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题（共2题）

4.（2022•安徽•九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=4,E为边AD上一个动点，连接BE,

取BE的中点G,点G绕点E逆时针旋转90。得到点尸，连接CF,在点E从A到。的运动过程中，点G的

运动路径=,ACEF面积的最小值是.

5.（2022秋•安徽淮北•九年级校考阶段练习）如图，在四边形ABC。中，0A=0D=12O°,AB=6、AD=4,点

E、E分别在线段A。、DC±（点E与点4。不重合），若回BEF=120。，AE=x,DF=y,则y关于x的函数

关系式为

三.解答题（共5小题）

6.（2021秋•大观区校级期中）已知矩形ABC。的一条边AD=8,将矩形A2CD折叠，使得顶点B落在C。

边上的P点处.如图，已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA.

(1)求证:OC=OP.

PDAP,

(2)若OP与孙的比为1：2,求边AB的长.

7.(2022•硕山县模拟)如图1,在四边形ABCZ)中，AC是对角线，且AB=AC.尸是BC边上一动点，连

接AP,DF,。尸交AC于点E,其中/QAF=90°,ZAFD=ZB.

(1)求证：AOEC=BF・CF；

(2)若AB=AC=10,BC=16.

①如图2,若DF//AB,求更的值；

AB

8.(2017秋•固镇县月考)已知：如图.△ABC是等边三角形，点D、£分别在边BC、AC上，ZADE=60°

(1)求证：Z\ABDsADCE；

(2)如果，AB=3,EC=2,求OC的长.

3

9.（2022秋•安徽滁州•九年级校联考期中）如图，在AABC中，8，至于。，班，4。于£,试说明:

(1)xABE〜4CD

(2)ADBC=DEAC

10.（2020•安徽合肥•校联考一模）如图，在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，连接2E,作

CF^\BE分别交BE于点G,