沪科版九年级数学常见题型专练：锐角的三角函数（5种题型）（解析版）

第10讲锐角的三角函数（5种题型）

O【知识梳理】

锐角三角函数的定义

在Rtz^ABC中，ZC=9O°.

（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做/A的正弦，记作sinA.

即sinA=ZA的对边除以斜边=曳.

C

（2）余弦：锐角A的邻边6与斜边c的比叫做/A的余弦，记作cosA.

即cosA=ZA的邻边除以斜边=上.

c

（3）正切：锐角A的对边4与邻边6的比叫做/A的正切，记作tanA.

即tanA=ZA的对边除以NA的邻边=包.

b

（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做/A的锐角三角函数.

二.锐角三角函数的增减性

（1）锐角三角函数值都是正值.

（2）当角度在0°〜90°间变化时，

①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；

②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；

③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.

（3）当角度在0°W/AW90°间变化时，OWsinAWl,INCOSANO.

当角度在0°</A<90°间变化时，tanA>0.

三.同角三角函数的关系

（1）平方关系：sin2A+cos2A=1；

（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=EZ&

cosA

或sinA=tanA•cosA.

四.互余两角三角函数的关系

在直角三角形中，ZA+ZB=90°时，正余弦之间的关系为：

①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°-ZA）；

②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-ZA）；

也可以理解成若/A+N1B=90°,那么sinA=cos2或sinB=cosA.

五.特殊角的三角函数值

（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值.

1.cos30°=运；tan30°=也

sin30°=

'2,23

sin45°=叵cos45°tan45°=1；

212

sin60°=返.cos60°=-；tan60°=M；

22

（2）应用中要熟记特殊角的二角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切

逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记.

（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三

角形中应用较多.

【考点剖析】

一.锐角三角函数的定义（共4小题）

1.（2023•镜湖区校级一模）如图，Rt^ABC中，ZC=90°,BC=2,AB=3,则cosB的值是（）

A.返B.返C.3D.2

2323

【分析】根据余弦的定义求解.

【解答】解：在RtZXABC中，ZC=90°,BC=2,AB=3,

由锐角的余弦，得cosB=^上，

AB3

故选：D.

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边.

2.（2022秋•蒙城县期末）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,2AB=5BC,则cosB的值为_2_.

B

【分析】首先由己知可得些•上，再根据余弦的定义，即可求得.

AB5

【解答】解：；2AB=5BC,

.BC2

••--=---，

AB5

•.•在Rt^ABC中，ZC=90°,

•RBC2

,，COSB=ABT

故答案为：2.

5

【点评】本题考查了求一个角的余弦值，熟练掌握角的余弦的定义是解决本题的关键.

3.（2021秋•萧县期末）在中，NC=90°,AB=5,BC=3,则tanA的值是（）

A.AB.Ac.3D.旦

5354

【分析】先在Rt^ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

【解答】解：：/C=90°,AB=5,BC=3,

AC=2222

•■•/AB-BC=/S-3=4，

故选：D.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

4.（2021秋•安徽月考）如图，在Rt^ABC中,AC=4,BC=3,ZC=90°,则sinA的值为（）

/4d

旦

A4B4C.AD.

35

【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答.

【解答】解：：AC=4,BC=3,ZC=90",

•■AB=VAC2+BC2=742+32=5，

故选：D.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

二.锐角三角函数的增减性（共5小题）

5.（2021秋•金安区校级月考）已知：cosa=—,则尊范围是（）

3

A.0°<a<30°B.30°<a<45°C.45°<a<60°D.60°<a<90°

【分析】先求出30°角45。角60°角的余弦，然后根据锐角的余弦值随着角度的增大而减小解答即可.

【解答】解：cos30°=1_20.866,cos45°=2Z±L^O.7O7,cos60°=0.5,

22

,锐角的余弦值随着角度的增大而减小，cosa=2心0.67,

3

；.45°<a<Z60°.

故选：C.

【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随

着角的增大而增大，余弦值和余切值都是随着角的增大而减小是解题的关键.

6.（2021秋•淮北月考）已知角a为△ABC的内角，且cosa=2,则a的取值范围是（）

3

A.0°<a<30°B.30°<a<45°C.45°<a<60°D.60°<a<90°

【分析】先求出cos60。=1,cos45°=亚，利用已知三角函数值确定」<2（返，进而求a的范围.

22232

【解答】解：•..cos60°=—,cos45°=1_,

22

.,.A<Z<V3_,

232

/.cos60°<cosa<cos45°,

••.45°<a<60°,

故选：C.

【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

7.（2023•安徽模拟）比较大小：sin81°<tan47°（填”或

【分析】根据sin81°<1,tan47°>1即可求解.

【解答】解：Vsin81°<sin90°=1,tan47°>tan45°=1,

sin81°<l<tan47°，

sin81°<tan47°.

故答案为<.

【点评】本题考查了锐角三角函数值的增减性：当角度在0°〜90°间变化时，

①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；

②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；

③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.

也考查了不等式的传递性.

8.（2022秋•天长市月考）比较大小：tan40°<tan50°（填“>”"=”或“<

【分析】根据正切值随锐角的增减而变化的情况进行解答即可.

【解答】解：由于一个锐角的正切值所这锐角的增大而增大，

所以tan40°<tan50°,

故答案为：<.

【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，掌握一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大是正确解答的

关键.

3

cos30°》早）

9.（2023•安徽一模）解不等式组：

2x-l5x+lrr

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可.

【解答】解：解不等式cos30。力？（x-1）,得：彳忘返+1,

23

解不等式区1L-旦旦<1,得：尤>-i,

32

不等式组的解集为-1〈尤/近+1.

3

【点评】此题考查了解一元一次不等式组和特殊角的三角函数值，熟练掌握不等式组的解法是解本题的

关键.

三.同角三角函数的关系（共6小题）

10.（2021秋•金牛区校级期中）在△A2C中，ZC=90°,tanA=2,则sinA+cosA=宜应

一5

【分析】根据tanA=2和三角函数的定义画出图形，进而求出sinA和cosA的值，再求出sinA+cosA的

值.

【解答】解：如图,

"."tanA=2,

.•.设AB=x,贝！］BC=2x,

AC=VX2+(2X)2=«x

则有：sinA+cosA=^.+^.=_2+_1=_3^5_

ACACV5V55

故答案为：巫.

5

【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，只要画出图形，即可将正弦、余弦、正切函数联系起来，进

而得出结论.

11.（2022秋•宣州区期末）已知a为锐角，cosa=—,求tana-cog'」的值.

3l-sinl：-l

【分析】根据cos2（x+sin2a=1,tana=-^!—,可得答案.

cosa

【解答】解：a为锐角，cosa=L,得

3

sina=11-cos，a=2容'

o

啦

tana==―—=2A/2-

cosa1

3

tana-的4=2近-―当一=-3.

1-sinCl12V2

【点评】本题考查了同角三角函数关系，利用cNa+sin2a=1,tana=Ej&是解题关键.

cosa

12.(2022秋•宿州月考)已知/A是锐角，cos&=3,求siM,tanA的值.

5

【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1和tanA=里处，即可求解.

cosA

【解答】解：Vsin2A+cos2A=l,即sin2A+(-)2=1,

5

/.sin2A=-1^,

25

・・.sinA=匹或-2（舍去），

55

.•人

・・smA—=—4.

5

*.*tanA=^EA~,

cosA

匡

tanA=-^-=—,

3_3

5

,,4.4

故sinA=—,tanA=—.

53

【点评】本题主要考查了同角的二角函数，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一锐角

a,都有sida+cos2a=1,tanA=*i".

cosA

13.（2021秋•安徽月考）若siM=工，则tanA=运.

2—3―

【分析】先根据特殊角的三角函数值求出NA的度数，然后求出tanA的值.

【解答】解：；sinA=」，

2

AZA=30°,

则tanA=Wl.

3

故答案为：JL.

3

【点评】本题考查了同角三角函数的关系，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值.

14.（2023•怀宁县一模）若乙4是锐角，且tanA=2sinA,则/（=60°.

【分析】根据1211^=包生和tanA=2sinA得出电蛇=2sinA,求出cosA=」，再根据特殊角的三角函数

cosAcosA2

值得出答案即可.

【解答】解：「tanA=里处，

cosA

又•・,/?!是锐角，tanA=2sinA,

或他=2sinA,

cosA

・•cosAz=--,

2

AZA=60°.

故答案为：60°.

【点评】本题考查了同角三角函数的关系和特殊角的三角函数值，能熟记tanA=^&是解此题的关键.

cosA

15.（2021•安庆模拟）已知sina=」i-（a为锐角），则tana=.

13.12一

【分析】（1）利用锐角三角函数的定义和勾股定理，求出各条边的长，再求出答案.

【解答】解：如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=a,

由于sina=9-=aC,因此设BC=5左，则AB=13左，

13AB

由勾股定理得，AC=MAB2-BC2=J（13k）2-（5k）2=12公

tana=tanA=理＞=至电=至-,

AC12k12

【点评】本题考查锐角三角函数的定义，利用勾股定理求出各条边的长是解决问题的关键.

四.互余两角三角函数的关系（共3小题）

16.（2023春•金安区校级月考）如图，在RtZkABC中，NC=90°,tanA=2,则sinB=近..

—5—

A

【分析】根据勾股定理，可得A8与8c的关系，根据正弦函数的定义，可得答案.

【解答】解：：/C=90°,tanA=2,

：.BC=2AC,

AB=VAC2+BC2=V5AC-

..DAC-ACV5

故答案为：返.

5

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确利用勾股定理求出边长是解题关键.

17.（2022秋•怀宁县月考）在RtZXABC中，ZC=90°,sin4=A,则cosB的值为（）

13

【分析】根据互余两角的三角函数的关系即可以求解.

【解答】解：：在RtA4BC中，/C=90。，sinA--）

13

.°・人5

•,cosD=sinA=7j7y-

故选：c.

【点评】本题考查了互为余角的两角的三角函数的关系，掌握一个角的正弦等于它余角的余弦是关键.

18.（2022秋•池州期末）在RtZVICB中，ZC=90°,tanA=2&，则sinB的值为（）

A.AB.AC.72D.V3

52

【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可.

【解答】解：设Rt^ACB中，ZC=90°,/&、NB、/C的对边分别为a、b、c,

由于tanA=—=2-\/6，

b

可设4=2粕笈，b=k,由勾股定理得，

c=Va2+b2=5^r

/.sinB=—=—,

c5

故选：A.

【点评】本题考查互余两角三角函数之间的关系，掌握锐角三角函数的定义是正确解答的关键.

五.特殊角的三角函数值（共16小题）

19.（2023•亳州模拟）计算2sin30°的值（）

A.3B.1C.近D.73

2

【分析】根据特殊角的正弦值解决此题.

【解答】解：2sin30°=2x1=1.

2

故选：B.

【点评】本题主要考查特殊角的正弦值，熟练掌握特殊角的正弦值是解决本题的关键.

20.（2022秋•宣城期末）在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=1,AC=2,下列各式中，正确的是（）

A-tanA=yB-cosA=-^c-sinA=/D-tanB=-^

【分析】先用勾股定理求出AB,再利用三角函数的定义逐一判断即可.

【解答】解：l/C=90°,BC=1,AC=2,

AB=VAC2+BC2=^22+l2=V5，

..BC1V5,AC22V5BC1_AC2

•,sinA=—^7=-=-^-，cosA--^-7=-=—―»tanA=—^77，t+anRb——=2n-

ABV55ABV55AC2BC1

故选：A.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正弦、余弦、正切函数的定义是解决问题的关键.

21.（2020秋•蚌埠月考）在△ABC中，若卜inA-」|+（叵-cosB）2=0,则NC的度数是（）

22

A.45°B.75°C.105°D.120°

【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的二角函数值求出/A、的度数，根据二角形内

角和定理计算即可.

［解答］解：由题意得，sinA-a=0,山,_cosB=0,

22

即sinA=-,Y_^_=COSB,

22

解得，ZA=30°,ZB=45°,

AZC=180°-ZA-ZB=105°,

故选：C.

【点评】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，

熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

22.（2012秋•根阳县月考）若AABC中，锐角A、B满足|sinA-喙|+（cosB-*）2=0，贝QABC是

（）

A.钝角三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

【分析】根据非负数的性质得到sinA=1_,cosB=」，再根据特殊角的三角函数值得到锐角A=60°,

22

锐角8=60。，然后根据等边三角形的判定方法进行判断.

【解答】解：根据题意得sinA-1=0,cosB-」=0,

22

/.sinA=^LzL,cosB=—,

22

锐角A=60°,锐角8=60°,

AABC为等边三角形.

故选：D.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：sin30°=1；cos30°=返；tan30°=1_；sin45°=1；

2232

cos450=1­；tan450=1；sin60°cos60°=—；tan60°=/3；

222

23.(2023•合肥一模)若0°<a<45°,且式门20.=亨，则式=30度.

【分析】先根据60。的正弦值得到2a=60。，则a=30°,然后利用30度的正切值求解.

【解答】解：•.'sin2a=」l_,0°<a<45°,

2

.*.2a=60°,

a=30°.

故答案为：30.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：要熟记特殊角的三角函数值是解题关键.

24.(2022秋•宣城期末)在△ABC中，若sinA=L,cosB=亚，N4都是锐角，则NC的度数是

22

105°

【分析】根据特殊角的三角函数值求得/A=30°,ZB=45°,根据三角形内角和定理即可求解.

【解答】解：...sinA=],cosB=*~,ZA,NB都是锐角，

AZA=30°,ZB=45°,

AZC=180°-45°-30°=105°,

故答案为：105°.

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键.

25.(2023•涡阳县模拟)(1)计算：2cos?45°-l+tan30°tan60°；

(2)(x-1)-4-

【分析】(1)根据实数的混合运算法则，先计算特殊角的三角函数值，再计算乘方、乘法，最后计算加

减.

(2)通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1解决此题.

【解答】解：(1)2COS245°-l+tan30°tan60°

=2X(喙)2-1有

=1-1+1

=1.

⑵33(x-1)-41

去分母，得x+l>6(x-1)-8.

去括号，得尤+l>6x-6-8.

移项，得x-6x>-6-8-1.

合并同类项，得-5x>-15.

x的系数化为1,得x<3.

这个不等式的解为x<3.

【点评】本题主要考查实数的混合运算、特殊角的三角函数值、解一元一次不等式，熟练掌握实数的混

合运算法则、特殊角的三角函数值、一元一次不等式的解法是解决本题的关键.

26.(2022秋•宁国市期末)计算：(-1)2023+2sin45°-cos30°+sin60°+tan260°.

【分析】根据有理数的乘方法则、特殊角的三角函数值计算.

【解答】解：(-1)2023+2sin45°-cos30°+sin60°+tan260°

=-1+2X、2-愿+通+(«)2

222

=-1+&+3

=2+V2-

【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

27.(2022秋•长丰县校级期末)计算：cos60°-2sin245°+^tan230°-sin30°.

2

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案.

【解答】解：原式=工-2义(亚)2+lx(返)2-1

22232

_19X1+3X11

22232

,11+11

222

=_2

~2

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

28.(2022秋•池州期末)计算：2sin45°-7(cos60°-sin600.

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案.

【解答】解：原式="返•一|工

2'2

=料2M也

v222

=2^2+1

~2~,

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

29.（2022秋•宣城期末）计算:COS230°+sin245°-tan60°•tan30°

【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案.

【解答】解：原式=（1）2+（1）2一近.叵

223

_3,11

42

—_—1.

4

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

30.（2022秋•定远县期末）计算：

（1）cos30°sin45°+sin30°cos450；

⑵sin600-1

tan600-2tan450

【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入求解；

（2）将特殊角的三角函数值代入求解.

【解答】解：（1）原式=返*亚+工*亚=逅逅；

22224

工

（2）原式=，=---=—.

V3-22

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.

31.（2023•庐阳区一模）计算:6tan230°-Esin60°+2tan45°.

【分析】tan30°=W_,sin60°=1_,tan45°=1,代入后运算即可.

32

【解答】解：原式=6义（篝）-VSX^,+2X1=2-1-+2=-|-

【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角

函数值.

32.（2023•池州模拟）计算：（-2022）°-2tan45°+卜2|+百.

【分析】直接利用零指数幕的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简，进

而计算得出答案.

【解答】解：原式=l-2Xl+2+3

=1-2+2+3

=4.

【点评】此题主要考查了零指数幕的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根，正确

化简各数是解题关键.

33.（2023春•蚌埠月考）计算：sin45°*cos45°-tan60°3cos30°.

【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可.

【解答】解：sin45°*cos45°-tan60°4-cos30°

=亚><注_返

222

=」-2

2

=-3.

2

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

34.（2023•庐阳区校级一模）计算：2tan45°-——^―-2sin260°.

sin30

【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简得出答案.

【解答】解：原式=2Xl-《-2X（1_）2

12

2

=2-2-2X&

4

=2-2-旦

2

=_3.

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

一【过关检测】

一、单选题

1.（2023春•安徽安庆•九年级统考期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，若连接格点

AB.CD,AB与CD交于点O,则tan/AOD的值为（）

【答案】D

【分析】如图，连接3C,由正方形的性质可得：NOCB=90°,OC=-DC=—,BC=也,再求解

22

—3OC的正切即可.

【详解】解：如图，连接2C,

BC-A/12+12—V2，

回tanZAOD=tanZBOC==2,

CO

故选D.

【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，求解锐角的正切，熟练构建需要的直角三角形是

解本题的关键.

2.（2022秋•安徽六安•九年级统考阶段练习）已知g<cosA<sin80。，则锐角A的取值范围是（）

A.60°<A<80°B.30°<A<80°C.10°<A<60°D.10°<A<30°

【答案】C

【分析】首先把所有的三角函数都化成余弦函数，然后利用余弦函数的增减性即可求解.

【详解】解：=cos60",sin80°=cos10°,

/.cos60°<cosA<cos10°,

,\10°<A<60°.

故选：c.

【点睛】本题主要考查了余弦函数的增减性及互余三角函数之间的关系，尤其余弦函数的增减性容易出

错.

（2023春・安徽安庆・九年级统考期末）如图，在R£ABC中，ZC=90°,sinA=1,贝lj有（）

3.

C.cosB=^

D.tanB=2A/2

3

【答案】D

11______________

【分析】由sinA=w，可得黑=:，设BC=x,则AB=3x,可得AC=府—BC?=2岳，再利用锐角

3A/JJ

的三角函数的定义逐一求解即可.

【详解】解：ElsinA=1,

设BC=x，则AB=3X,

团AC=y/AB2-BC-=2瓜，

l,2缶2&,“x0

团cosA=-------=------,tanA=-—二—，

3%32y12x4

E>%]n2\/2xrr

cosB=-—=~,tanB--------=2j2；

3x3x

团A,B,C不符合题意，D符合题意；

故选D.

【点睛】本题考查的是求解锐角的三角函数值，熟记锐角的三角函数的定义是解本题的关键.

4.（2022秋•安徽安庆•九年级统考阶段练习）在咫ABC中，/C=90°,sinA=1，则gsB的值为（）

13WWWV

131255

A.—B.—C.—D.—

5131312

【答案】C

【分析】根据互余两角的三角函数的关系即可以求解.

【详解】解：在MABC中，/C=90°,sinA=1,

/.cos6C=sm.AA=——5,

13

故选：C.

【点睛】本题考查了互为余角的两角的三角函数的关系，一个角的正弦等于它余角的余弦.

5.（2022秋•安徽安庆・九年级统考阶段练习）如图，点A为/。边上的任意一点，作AC13C于点C,

于点。，下列用线段比表示出sina的值，正确的是（）

BDADCD

A.----B.-----D.——

BCACC・器AC

【答案】B

【分析】由同角的余角相等可得NACD=tz,在三个直角三角形中由正弦函数的定义即可确定答案.

【详解】QACLBC,CD1AB,

ZBAC+a=ABAC+ZACD=90°,

:.ZACD=a,

.ACCDAD

sina===

ABBCAC

故正确的是B选项;

故选：B.

【点睛】本题考查了正弦函数的定义，同角的余角相等，掌握正弦函数的定义是关键.

ABC中，ZA4都是锐角，sinA=」LtanB=l,则

6.（2023春•安徽滁州•九年级校考阶段练习）在

2

ABC是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形

【答案】D

【分析工

V3

【详解】解：回在ABC中，ZA都是锐角,sinA=——,tan5=1,

2

EINA=6O°,ZB=45°,

0ZC=180°-ZA-ZB=75°,

fflABC是锐角三角形,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，三角形内角和定理，三角形的分类，熟知30。,45。,60。等特殊

角的三角函数值是解题的关键.

7.（2023•安徽合肥•一模）一个钢球沿坡角31。的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位:

sin31°

【答案】B

【分析】铁球上滚的距离，铁球距地面的高度，可看作直角三角形的斜边与已知角的对边，可利用正弦函

数求解.

【详解】铁球上滚的距离xsin3r=铁球距地面的高度，

•••铁球距地面的高度=5sin31。.

故选：B.

【点睛】本题考查了一个角的正弦等于这个角的对边比斜边，熟知三角形的正弦函数是解题的关键.

8.（2023•安徽淮北•淮北市第二中学校考二模）如图，。为Rt^ABC的AC边上一点，ZC=90°,

4

ZDBC=ZA,AC=4,cosA=-,贝l]CD=（）

【答案】A

4一

【分析】根据AC=4,cosA=-,可求出A3=5,BC=3,再证明,即可作答.

4

【详解】ISRtZkABC,AC=4,cosA=-,

EIAB=5,BC=>jAB2-AC2=A/52-42=3>

SZDBC=ZA,ZDCB=ZBCA,

回△DCBsABCA,

CD_BC

回--------,

CBAC

^BC2=CDAC,

团8=蛤9

4

故选：A.

【点睛】本题考查了三角函数、相似三角形的判定与性质等知识，证明△OCBSZ\JBC4是解答本题的关

键.

9.（2021•安徽•九年级专题练习）如图，在AABC中，0ACB=9O°,0ABC=26°,BC=5.若用科学计算器求边

AC的长，则下列按键顺序正确的是（

B.5^sin26°=C.5xcos26°=

D.5xtan26°=

【答案】D

AT

【详解】由tan配=£,得

nC

AC=BC*tanB=5xtan26=.

故选D.

10.（2023•安徽蚌埠•校考二模）E,歹分别是正方形ABCD的两边BC,CD的中点，AE,3尸相交于

P,M,N分别是AE,的中点，连接MN,DP.则下列结论错误的是（）

A.AE±BFB.DP=ADC.糕/D.嗤力

【答案】C

【分析】证明△ABE四△BCF（SAS）,根据全等三角形的性质得出=,进而得出

ZBPE=90。,即可判断①，延长9'交AD的延长线于。，证明3b■蛮尸（AAS）,得出

DQ=BC=AD,即可判断②，设正方形的边长为2a,则郎=/C=a,勾股定理得出=AE=，

1ppR

tanZFBC=-=tanZPBE=--,得出进而勾股定理求得初V,即可求解.

2BP5

【详解】解：如图所示,

D

回E,尸分别是正方形ABC。的两边5C,CD的中点,

出CF=BE

^\AB=BC,ZABC=ZBCF=90°

^ABCF(SAS)

出NBAE=NCBF

团NA4石+NB£A=90。

⑦NCBF+NBEA=9。。

即N3尸石=90。

^\AE±BF

故A正确；

如图所示，延长5尸交AD的延长线于。，

正方形ABC。中，AD//BC,

NQ=ZCBF,

方是8的中点，

:.DF=CF,

又,ZDFQ=ZCFB,

:「BCF-QDF(AAS),

DQ=BC=AD,

是AQ的中点,

.•.RL.APQ中，PD=AD^AB.故B正确;

设正方形的边长为2“，则3E=FC="，

团BF=AE={AB2+BE2=&1，

1pF

团tanZFBC=—=tan/PBE=——

2BP

ABxBE245

@BP=-----Q

AE5

^PE=—a,

5

0M,N分别是AE,B尸的中点,

^PM=-AE-PE=—a--a=—a,

22510

PN=BN-BP=-BF-BP=—a-^-a=~a,

22510

__________B

在Rt^PMN中，MN=yJPM2+PN2=—a,

2

72

PE7”回

a,故错误，正确;

国而一0一号MN_^CD

—a~\B~2a

故选：C.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正切的定义，熟练掌握勾股定

理是解题的关键.

二、填空题

11.（2023•安徽亳州•统考模拟预测）如图，已知—ABC的三个顶点均在格点上，则cosC=

【答案】寺

【分析】作「ABC的高A”.利用勾股定理求出AC,可得结论.

【详解】解：如图，作一ABC的高A”,

^AC=A/AH2+C=V22+42=2A/5，

r厂4_2百

0cosC=-C--H-

AC2^5~~T

故答案为：平.

【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

12.（2022秋•安徽合肥•九年级期末）比较大小：si"48°—cos48。（填或

【答案】＞

【分析】作一个含有48。的直角三角形，根据大角对大边可知，BOAB,再根据三角函数的定义有

sin48°=,cos48°^,即可比较出大小.

ACAC

【详解】解：作一个含有48。的直角三角形，如图，

回48。＞42。，

^\BC>AB,

.BCAB

回sm4A8OO=--,cos4J8OO=,

ACAC

回sin480>cos480,

故填：＞.

【点睛】本题考查了三角函数的定义，解题关键是掌握三角函数的定义；在直角三角形中，任意一锐角

Na的对边与斜边的比叫做的正弦，记作sina；在直角三角形中，任意一锐角/a的邻边与