沪科版九年级数学常见题型专练：比例线段（5种题型）（原卷版）

第06讲比例线段（5种题型）

O【知识梳理】

相似图形

（1）相似图形

我们把形状相同的图形称为相似图形.

（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：

①相似图形的形状必须完全相同；

②相似图形的大小不一定相同；

③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况.

（3）相似三角形

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.

二.比例的性质

（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做

比例的内项.

（2）常用的性质有：

①内项之积等于外项之积.若包=£,则ad=bc.

bd

②合比性质.若旦=q,则至曳=£曳.

bdbd

③分比性质.若旦=2，则生空=£9.

bdbd

④合分比性质.若2=2,则生曳=£生.

bda-bc-d

⑤等比性质.若旦叫（"d+…+〃WO）,则a+c+.=旦

bdnb+d+...+nn

三.比例线段

⑴对于四条线段服从c、d,如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如ab

=cd（即〃=儿），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.

（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之

比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系.

四.黄金分割

（1）黄金分割的定义：&cB

如图所示，把线段分成两条线段AC和3c（AOBC）,且使AC是AB和BC的比例中项（BPAB：AC

=AC：BC）,叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点.

其中AC=^~1AB^0.618AB,并且线段A3的黄金分割点有两个.

2

（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值.

黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°,顶角为36°.这样的三角形的底与一腰之长之比为

黄金比：近二1；②等腰三角形，两个底角为36°,顶角为108。；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金

2

比：疾T.

2

（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为退士.

2

五.平行线分线段成比例

（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平

行于三角形的第三边.

（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的

三边与原三角形的三边对应成比例.

W【考点剖析】

一.相似图形（共2小题）

1.（2022秋•埔桥区期中）下列各组图形中，一定相似的是（）

A.任意两个正方形B.任意两个平行四边形

C.任意两个菱形D.任意两个矩形

2.（2022秋•泗县期中）下列各组图形中，一定相似的是（）

A.两个矩形B.两个菱形

C.两个等腰三角形D.两个正方形

二.比例的性质（共8小题）

3.（2023•无为市一模）若3a=46（♦W0）,则下列比例式成立的是（)

A.包』B.包上C.包/D.包W

4334b44b

4.（2022秋•蒙城县期末）已知工旦邑，求工的值.

23x

5.（2022秋•宁国市期末）已知：上工三,求x+y+z的值.

2342x

6.（2023•合肥一模）若包也•小，那么电的值等于（）

a4a

A.AB.5c.-2D.--

4252

则里里=

7.（2022秋•安徽期中）若三=工,:()

25X

A.1B.12c.9D.—

2552

8.（2022秋•迎江区期中）已知线段a、b、c满足包上一■,且a+26+c=26.

326

（1）求。、8、c的值；

（2）若线段冗是线段。、b的比例中项，求x.

9.（2022秋•金安区校级月考）已知包=£=且=2,且。+d十尸0.

bdf

（1）求也包的值；

b+d+f

(2)若b-2d+3f=5,求a-2c+3e的值.

10.(2022秋•宣州区期末)(1)若三求x-v+z的值;

357x+y-z

(2)若上^£1^,且2a-b+3c=21,求a：b：c.

346

三.比例线段（共7小题）

11.（2023•庐阳区校级一模）已知线段a=9,6=4,则线段a和匕的比例中项为.

12.（2023•定远县校级一模）已知三条线段a、b、c,其中a=la",b=4cm,c是a、b的比例中项，则c

13.（2022秋•金安区校级月考）已知线段a,b,c满足a：b：c=2：3：4,且a+6-c=3.

（1）求线段a,b,c的长.

（2）若线段机是线段a,b的比例中项，求线段机的长.

14.（2022秋•宣城月考）若a：b=\-2,且。是a,c的比例中项，则b：c等于（）

A.1：3B.1：2C.2：3D.2：1

15.（2023•亳州模拟）如图，点尸把线段A2分成两部分，且2尸为A尸与的比例中项.如果AB=2,那

么AP

APB

16.（2022秋•埔桥区期中）求证：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.

17.（2022秋•无为市期中）（1）已知包上一_,且a+b-2c=6,求a的值.

654

（2）已知线段a=4cm,线段6=9c%,线段c是线段a,b的比例中项，求线段c的长.

四.黄金分割（共7小题）

18.（2023•滩溪县模拟）如图，在△ABC中,D为BC上一点,若AB=AC=CO=2,ZADB=108°,则

AD的值为（）

A.V5-1B.3-遍C.返D.后

2

19.（2022秋•安徽期中）若线段MN的长为2cm,点P是线段MN的黄金分割点，则最短的线段的长

为（）

3Mm

A.(,^5-1)cmB.一]cmC.(3-A/5)cmD.

22

20.（2022秋•宣城期末）如果点C是线段AB的黄金分割点（AOBC）,那么下列结论正确的为（）

儿ACV5-12

^=0,168B.C.BC2=ACABD.AC=BCAB

BC2

21.（2022秋•埔桥区期中）若线段AB=2cm,C是A3的黄金分割点，且BOAC,则BC的长为（）

A.+]cmB.(遮-l)cmC.75TcmD.(V5+l)cm

22

22.（2023•雨山区一模）数学中，把近二1这个比例称为黄金分割比例.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半

2

径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，P是A8的黄金分割点CAP>BP\若线段AB

的长为8cm,贝！JBP的长为______________________cm.

23.（2022秋•霍邱县期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点尸是线

段ABCAP>BP）上一点，若满足延至NL11,则称点P是AB的一个黄金分割点.黄金分割在日

APAB2

常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好.若

舞台长20米，主持人从舞台一侧点B进入，则他至少走多少米时恰好站在舞台的黄金分割点上？（结果

保留根号）

APB

24.（2023•合肥一模）设点C是长度为8cm的线段AB的黄金分割点CAOBC）,则AC的长为

cm.

五.平行线分线段成比例（共8小题）

25.（2023•镜湖区校级一模）如图，如图，在△ABC中，D、£分别在边AB,AC上，DE//BC,坦星,

DB2

AE=9,则EC的长度为（）

A

B.6C.12D.15

26.（2023•萧县一模）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,

则线段5C的长是（)

7D.3

5

27.（2022秋•霍邱县期中）如图，a//b//c,直线机，〃与a,b,c分别相交于点A,B,C和点。，E,F.若

求E厂的长.

28.（2022秋•潜山市月考）如图，点AD、£■分别在△ABC的边A3、AC上，已知FE//CD,

AF=3,AD=5,求AB的长.

A

已知AB〃CD〃ER那么下列结论正确的是（）

CAD_BEnADBC

CBDFADCE'AF"BCDFCE

30.（2023•蜀山区二模）如图，在△ABC中,ZACB=90°,角平分线BE与中线CO交于点E若AC=

16,BC=n,则型的值为（）

BF

9

c.1D.

325

31.（2022秋•固镇县校级期中）如图，AB//CD//EF,AF与BE相交于点G,且AG=4、GD=2、DF=8,

求BC：CE的值.

A'B

32.(2023•固镇县一模)如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD,其中AB=30米，AD

=20米.现欲将其扩建成一个三角形花园AP。，要求P在射线AM上，。在射线加V上，且尸。经过点

C.

(1)。0=10米时，求△APQ的面积.

(2)当。。的长为多少米时，△AP。的面积为1600平方米.

【过关检测】

一、单选题

1.（2022秋•安徽六安•九年级统考期末）生活中到处可见黄金分割的美，如上图，在设计人体雕像时：使雕

像的腰部以下a与全身6的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感，若图中6为2米，则。约为（）.

A.1.52米B.1.38米C.1.42米D.1.24米

2.（2023春•安徽安庆•九年级统考期末）已知:=三=:=-3,则I+?=（）

bdfa-c+2e

11

A.—3B.3C.—D.—

33

h

3.（2023春•安徽合肥•九年级校考阶段练习）若5。=6人。0,则一的值是（）

a

5611

A.—B.—C.—D.一

6556

4.（2023•安徽蚌埠•校联考一模）主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最

好.若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（BP长为

x）,则x满足的方程是（）

III

APB

A.（20-x）2=20xB.x2=20（20-x）

C.%（20-x）=202D.以上都不对

5.（2022秋・安徽滁州•九年级统考期中）若线段AB=2,点尸是线段A3的黄金分割点，且铲＞3P,则

AP的长为（）

A.3一也B.C.3-如D.75-1

22

6.（2022秋•安徽六安,九年级校考阶段练习）如图，4〃4〃4,两条直线与这三条平行线分别交于点4

B、C和。、E、F.已知==彳，则=的值为（）

nC2Dr

ADj

叱_____A^_/3

3223

A.—B.-C.—[）.-

2355

7.（2023秋•安徽池州•九年级统考期末）如图，已知A?〃CJD〃£F,那么下列结论正确的是（）

CDADDFBCADBLsADBC

A-----=------R-----=-----C-----=----_D.-----=-----

CBDF•ADCE•AFBC；DFCE

8.（2022秋•安徽宿州•九年级统考期末）下列各组线段中,成比例的是（）

A.2cm,3cm,4cm,5cmB.2cm,4crn,6cm,8cm

C.3cm,6cm,8cm,12cmD.leiTI,3cm,5cm,15cm

9.（2022秋•安徽芜湖•九年级校考阶段练习）如图，直线/1〃/2〃，3,若A3等于2,BC=4,DE=3,则线

段EF的长为（）

彳h1A

a

A.5B.6C.7D.8

AT）7

10.（2022秋•安徽滁州•九年级校考阶段练习）如图,,在△ABC中，DE//BC,——若AC=8,则

DB3

EC=（）

16,一8r32

B.—C.—D.——

555

二、填空题

11.（2022秋•安徽宿州•九年级统考期中）若a=4cm,b=9cm,则线段a,b的比例中项是cm.

12.（2023•安徽滁州,校考一模）已知三条线段b、c,其中a=1cm,6=4cm,c是a、匕的比例中

项，贝1|c=cm.

13.（2023春•安徽合肥•九年级校考阶段练习）若线段。、b、c、d成比例，其中。=3cm,b=6cm,

c-2cm,贝!]d=.

14.（2023春•安徽淮北•九年级淮北一中校联考阶段练习）若‘一=J,则巳=________.

a+b4a

15.（2023秋・安徽池州•九年级统考期末）若m=5〃（相片0）,贝吟=.

16.（2023•安徽安庆•统考二模）如图，在AABC中，3D平分/ABC,DE〃AB交BC于点、E,若

AB=9,BC=6,则CE：BC为.

17.（2023•安徽合肥•校考一模）设点C是长度为8cm的线段A