配套课件-常微分方程

第1章基本概念

1.1微分方程及其解的定义1.2微分方程及其解的几何解释 1.1微分方程及其解的定义

微分方程是一门十分活跃的数学分支.利用数学手段研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题，一般需要对问题建立数学模型，再对它进行分析求解或近似计算，然后按实际的要求对所得的结果做出分析和探讨.数学模型最常见的表达方式是包含自变量和未知函数的函数方程.在很多情形下，这类方程还包含未知函数的导数，它们就是微分方程.例如，人口定量分析、生物种群的发展变化以及在交通环境下用牛顿第二运动定律列出的质点运动方程等都是微分方程，其中质点运动方程中的未知函数代表质点的坐标，它们对自变量(时间)的一阶导数和二阶导数分别表示质点的运动速度和加速度.

现在，我们给出如下的定义.

定义1.1

凡是联系自变量x，与这个自变量的未知函数y=y(x)和它的导数y′=y′(x)以及直到n阶导数y(n)=y(n)(x)在内的方程F(x,y,y′,…,y(n))=0（1.1）叫做常微分方程，其中导数实际出现的最高阶数n叫做常微分方程（1.1）的阶.注1.1

这里F是一个关于变元x,y,y′,…,y(n)的给定的已知函数。因此，诸如y′(x)=y(y(x))和y′(x)=y(x-1)之类的方程就不是常微分方程.

例如，下面的方程都是常微分方程：(1.2a)(1.2b)(1.2c)(1.2d)在前三个方程中，x是自变量，y是未知函数；在最后一个方程中，t是自变量，θ是未知函数（而a是大于零的常数）.前两个方程都是一阶的,后两个方程都是二阶的.

在常微分方程（1.1）中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数y′,…,y(n)的全体而言是一次的，则称它是线性常微分方程,否则称它是非线性常微分方程.例如，常微分方程(1.2a)、(1.2b)和(1.2d)是线性的,而(1.2c)是非线性的.

我们在定义1.1中给微分方程（1.1）冠以“常”字，指的是未知函数是一元函数.如果未知函数是多元函数，那么在微分方程中将出现偏导数，这种方程自然叫做[HT5H]偏微分方程.例如，方程是一阶线性偏微分方程，其中x、y和z为自变量，而f=f(x,y,z)为未知函数；方程为二阶线性偏微分方程，其中x和y为自变量，而u=u(x,y)为未知函数.

本书主要介绍常微分方程，因此，有时将后面出现的常微分方程简称为方程.定义1.2

设函数y=φ(x)在区间J上连续，且有直到n阶的导数.如果把y=φ(x)及其相应的各阶导数代入方程(1.1),得到关于x的恒等式，即对一切x∈J都成立，则称y=φ(x)为微分方程(1.1)在区间J上的一个解.

（2） 是微分方程(1.2b)在区间(-∞,∞)上的一个解；而 也是这个方程在区间(-∞,∞)上的一个解，其中C为任意常数.但 不是这个方程的解.

（3)函数θ=3sinat和θ=7cosat都是方程(1.2d)在区间(-∞,∞)上的解，而且对任意的常数C1和C2，有也是这个方程在区间(-∞,∞)上的解.

从上面的讨论中可见，微分方程的解可以包含一个或几个任意常数（与方程的阶数有关），而有的解不包含任意常数.为了确切表达任意常数的个数，我们需要下面的定义.

定义1.3

设n阶微分方程(1.1)的解（1.3）其中图1.1注意，落体B作垂直于地面的运动.因此，我们取坐标原点在地面上而且垂直向上为y轴，使落体B的位置为y=y(t).这样，问题就归结为寻求满足自由落体规律的函数y=y(t).

因为y=y(t)表示B的位置坐标，所以它对t的一阶导数y′=y′(t)表示B的瞬时速度v=v(t),而二阶导数y″=y″(t)则表示B的瞬时加速度a=a(t).假设落体B的质量为m，重力加速度为g（在地面附近它近似于常数，通常取g=9.80m/s2），则由牛顿第二运动定律得出：上式右端出现负号，是由于B所受的重力与轴的正方向相反.这样我们得到一个微分方程（1.4）因此，为了得到落体的运动，需要求解这个微分方程.

事实上，只要在微分方程（1.4）的两侧对积分一次，就有（1.5）其中,C1是一个任意常数.对式（1.5）可以再进行积分，即得（1.6）其中,C2是另一个任意常数.易知式(1.6)是微分方程（1.4）的通解.通解式（1.6）所表示的是自由落体的一般运动.在通解式（1.6）中包含两个任意常数，这说明微分方程（1.4）有无穷多个解.对这种求解结果的不确定性该如何解释呢？如果检查一下我们最初对问题的提法，就会发现我们所作的唯一假定是物体作自由落体运动，既没有指明下落物体在初始时刻t0的位置，又没有给出它在初始时刻的速度.而方程（1.4）所表达的只是自由落体在瞬时时刻t的运动规律.然而，在同一初始时刻从不同的高度或初始速度自由下落的物体将表现为不同的运动.因此，为了确定相应的运动，我们需要考虑落体B在初始时刻（不妨设t0=0）的位置和速度，即下面的初值条件：（1.7）其中,y0和v0是已知的数据（通常由测量得到）.

现在，把初值条件式（1.7）分别代入式（1.6）和式（1.5），我们可以得到C2=y0和C1=v0.这样，在初值条件式（1.7）下，微分方程（1.4）有唯一确定的解:（1.8）因此它描述了具有初始高度y0和初始速度v0的自由落体运动.

我们称式(1.8)是初值问题式(1.4)与(1.7)的解，亦即初值问题:（1.9）的解.初值问题又叫柯西问题.

再看一例，一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任意点M(x,y)处的切线斜率为2x，求该曲线的方程.

解设所求曲线方程为y=y(x)，按题意，未知函数y(x)应满足关系式:

此外，y(x)还应满足下列条件：当x=1时，y=2.利用微积分知识易得其解为

从上面简单的实例分析中，可以得到下面的启示：

第一,微分方程的求解与一定的积分运算相联系.因此常把求解微分方程的过程称为积分一个微分方程，而把微分方程的解叫做积分.由于每进行一次不定积分运算，就会产生一个任意常数，因此就微分方程本身的积分（不顾及定解条件）而言，n阶微分方程的解应该包含n个任意常数.第二,微分方程所描述的是物体运动的瞬时（局部）规律.求解微分方程，就是从这种瞬时(局部)规律出发，去获得运动的全过程.为此，需要给定运动的初始状态（即如上面所说的初值条件），借以确定运动的全过程（它的未来，甚至它的过去）.对于n阶微分方程(1.1)，初值条件的一般提法是：(1.10)其中,x0是自变量所取定的某个初值，而y0,y0′,…,y(n-1)0是未知函数及其相应导数所取定的初值.不失一般性，n阶微分方程的初值问题可以写成如下形式：(1.11)那么当函数F满足什么条件时，初值问题式(1.11)的解是存在的，或者更进一步，是存在而且唯一的.这是常微分方程理论中的一个基本问题.在第5章中我们将就n=1的情形证明如下的结果：只要F是连续的，初值问题式(1.11)的解就是(局部)存在的，而且将在某些附加条件下证明解的存在和唯一性.再把这些结果进一步推广到n≥2的情形.

除了初值条件外，另外一种常见的定解条件是边值条件.

最后，我们对n阶微分方程的通解关于n个任意常数的独立性作一点说明.

一个n阶微分方程的通解包含n个独立的任意常数.反之，设y=g(x,C1,C2,…,Cn)是充分光滑的函数族，其中x是自变量，而C1,C2,…,Cn是n个独立的参数(任意常数),则存在一个形如式(1.1)的n阶微分方程，使得它的通解恰好是上面的函数族y=g(x,C1,C2,…,Cn).

我们把这个一般结论的证明留给读者(习题1.1的第4题)，它的证明方法与例1.8的讨论是类似的.例1.1

对于x≥a(a>0),f(x)连续可微且恒有f(x)>0,设y=f(x),x=a,x=b(b>a)及x轴所围图形绕x轴旋转所成体积为试建立的微分方程.

解事实上，，由题设又有上式对于每点b(b>a)都成立，两边对b求导得改用惯用的符号:这就是所要建立的微分方程.例1.2

试求在(x,y)平面上过坐标原点的一切圆所满足的微分方程.

解平面上经过原点的圆族具有方程：(1.12)其中,a和b是两个任意常数.在式(1.12)中，把y看成x的函数，再对x接连求导两次，并且把求导结果与式(1.12)联立，得到：(1.13)从式(1.13)中消去a和b，就得到所求的微分方程：例1.3

求曲率处处为正数a的曲线方程.

解设此曲线方程为y=y(x).由微分学的知识知道，y=y(x)在点x处的曲率为|y″(x)(1+y′2(x))-3/2|.由此知此曲线应满足:它是一个微分方程.下面我们证明：设y=φ(x,C1,C2,…,Cn)是方程(1.1)的通解，则利用初值条件式(1.10)可以确定其中的任意常数:使得y=φ(x,C01,C02,…,C0n)是初值问题式(1.1)与(1.10)的解.

事实上，由于分析方法的限制（这里是由于隐函数存在定理），一般只能在局部范围内讨论通解.例如，我们假定在点的某个邻域N(P)内考虑通解y=φ(x,C1,C2,…,Cn).这样，在N(P)内有(1.14)令因为在P点Jacobi行列式所以利用隐函数存在定理，我们可以在P点近旁从式(1.14)反解出而且满足条件:这样，对(ξ,η,η′,…,η(n-1))近旁的初值(x0,y0,y0′,…,y

(n-1)0可以确定常数:使得 是初值问题(1.1)+(1.10)的解.

由此可见，从微分方程的通解（在局部范围内）可以确定所有的解.这是对通解的一个名副其实的解释.例1.4

在一个市场经济体系中，基本的要素之一是要求市场价格能够促进商品的供给和需求关系相互协调一致，这样的价格就称为均衡价格.然而，通常情形是实际的市场价格与均衡价格并不相同，有一定的偏差，并且，市场价格也不是静态的，而是随着时间发生波动，即所谓随行就市.因此，我们应当视商品价格x为时间t的函数，并且假定价格的变化是正比于需求与供给之差.设f(x,α)和g(x)分别表示需求函数和供给函数，其中α是参数，它表示消费者的收入.那么，其中,r是比例系数.例1.5(复利息)

设A(t)代表存单在时刻t(年)的钱数.假设利息是以每年利率为r连续计息(注意年利率10%是指r=0.10).连续计息是指在较短的时间间隔Δt内，增加到存单中的利息总量,该利息总量近似为ΔA≈rA(t)Δt，因此例1.6

一个质量为m的质点在水中由静止开始下沉，设下沉时水的阻力与速度成正比，试求质点运动规律所满足的微分方程及初始条件.

解设质点的运动规律为x=x(t)，其中t表示时间，x表示下沉距离.质点在水中受到重力mg及水的阻力 (k>0是比例常数)作用，由牛顿第二定律有t=0时，下沉距离x=0，下沉速度为0，因而x=x(t)满足下列微分方程的初值问题:例1.7

由物理学知道，物体冷却的速率与当时的物体温度和周围环境温度之差成正比.今把100℃的沸水注入杯中，放在室温为20℃的环境中自然冷却，5min后测得水温为60℃.求水温u(℃)与时间t(min)之间的函数关系所满足的微分方程.

解设经tmin后水温为u℃，那么水温变化的速率为

根据冷却速度与温差成正比，设比例系数为k(k>0),那么有(1.15)且t=0时u=100,t=5时u=60，式(1.15)右端k的前面置负号是由于当t增加时u减少，即 .初始条件为u|t=0=100,u|t=5=60.

例1.8

求双参数函数族(1.16)所满足的微分方程.

解在式(1.16)中对x先后求导两次，得出(1.17)(1.18)从(1.17)和(1.18)两式可知Jacobi行列式这说明式(1.16)中包含的两个任意常数C1和C2是独立的.据此，可从式(1.16)和式(1.17)中解出C1和C2(作为x、y和y′的函数)，即然后把它们带入式(1.18)，就得到一个二阶微分方程:(1.19)它就是函数族式(1.16)所满足的微分方程；而且函数族式(1.16)是微分方程(1.19)的通解.

1.2微分方程及其解的几何解释

1.1节给出了微分方程及其解的定义，本节将对这些定义就一阶方程的情形给出几何解释.依据这些解释，我们可以从微分方程本身直接获取解的某些性质.

现在，考虑一阶微分方程:(1.20)其中,f(x,y)是平面区域G内的连续函数.假设(1.21)是方程的解（其中I是解的存在区间）,则y=φ(x)在(x,y)平面上的图形是一条光滑的曲线Γ，称它为微分方程(1.20)的积分曲线.

任取一点P0∈Γ，设它的坐标为(x0,y0)，则y0=φ(x0).由于y=φ(x)满足方程(1.20)，因此由微商的几何意义可知，积分曲线Γ在P0点的切线斜率为这个简单的关系式告诉了我们一条重要的信息：积分曲线Γ在P0点的切线方程为即使我们并不知道积分曲线Γ:y=φ(x)是什么.

这样，在区域G内每一点P(x,y)，我们可以作一个以f(P)为斜率的（短小）直线段l(P)，以标明积分曲线（如果存在的话）在该点的切线方向.称l(P)为微分方程(1.20)在P点的线素,而称区域G连同上述全体线素为微分方程(1.20)的线素场或方向场.

由此可见，方程(1.20)的任何积分曲线Γ与它的线素场是吻合的（亦即，在任一点P∈Γ，线素场的线素l(P)与Γ在该点的切线是吻合的）.

反之，若在区域G内有一条光滑（连续可微）的曲线(1.22)它蕴含曲线是微分方程(1.20)的积分曲线.在构造方程(1.20)的线素场时，通常利用由关系式f(x,y)=k确定的曲线Lk,称它为线素场的等斜线.显然，在等斜线Lk上各点线素的斜率都等于k.因此，等斜线简化了线素场逐点构造的方法，从而有助于积分曲线的近似作图.

下面我们对微分方程(1.20)的初值问题进行几何说明：

给定微分方程(1.20),就是在平面区域G上给定一个线素场.因此，求解初值问题:就是求经过点(x0,y0)并与线素场吻合的一条光滑曲线.

尽管人们难以从线素场精确得到这样的光滑曲线，但只要这些小线素取得足够细密，线素场就会非常清晰地显露出积分曲线的草图，从而可以近似地描绘出初值问题式(1.23)的积分曲线.当在无法（或无必要）求得精确解时，线素场可以使问题获得近似的解决.即使在已知微分方程的精确解时，我们也可以从线素场获取解的某些性质，它有时甚至比精确解的作用更有效.

这里须指出，一阶微分方程(1.20)在许多情况下取如下形式：(1.24)其中,P(x,y)和Q(x,y)是区域G内的连续函数.

当Q(x0,y0)≠0时，方程(1.24)的右端函数P(x,y)/Q(x,y)在(x0,y0)点的近旁是连续的.因此，方程的线素场在(x0,y0)点附近是完全确定的.如果Q(x0,y0)=0，那么线素场在(x0,y0)点就失去意义.

但是，只要P(x0,y0)≠0，我们就可以把方程(1.24)改写为(1.25)这里需要把x=x(y)看做未知函数.此时，微分方程(1.25)的右端函数Q(x,y)/P(x,y)在(x0,y0)点近旁是连续的.因此它所在的线素场也是确定的.

当P(x0,y0)和Q(x0,y0)不同时等于零时，我们可以在(x0,y0)点近旁考虑微分方程(1.24)或者微分方程(1.25)，虽然它们的未知函数略有不同,但在这种情况下，我们可以把它们统一写成下面（关于x和y）的对称形式：(1.26)也就是说，当Q（x0,y0)≠0时，方程(1.26)（在(x0,y0)点近旁）等价于方程(1.24)，而当P(x0,y0)≠0时，方程(1.26)（在(x0,y0)点近旁）等价于方程(1.25).

当P(x0,y0)=Q(x0,y0)=0时，方程(1.24)或方程(1.25)或方程(1.26)在(x0,y0)点是不定式，因此线素场在(x0,y0)点没有意义.我们称这样的点(x0,y0)为相应微分方程的奇异点.

例1.9作出微分方程(1.27)的线素场.

解显然，原点O是方程的奇异点，而且线素场的等斜线为 ，即y=kx.这说明线素斜率为k的所有点都在直线y=kx上.另一方面，直线y=kx的斜率也是k.由此可见，直线y=kx与微分方程(1.27)的线素场相吻合（见图1.2）.不难看出，以原点O为中心的射线 是微分方程(1.27)或相应的对称微分方程图1.2例1.10

作出微分方程(1.28)的线素场.的积分曲线.（其实，容易验证x2+y2=C2是上述微分方程的通积分，其中C>0是任意常数.）

例1.11

求二次曲线族(为参数)(1.29)的微分方程，并从微分方程本身证明该曲线族是自正交轨线族，即该曲线族中的任何两条曲线如果相交，则必为正交.

解对式(1.29)两端的x求导得(1.30)从式(1.29)与式(1.30)中消去C，得即所以，曲线族满足的微分方程为如果用代替上述微分方程中的y′，则有整理得所得的微分方程与原方程一致，这说明曲线族是自正交轨线族.例1.12

一单位质量的质点沿x轴运动，所受之力为f(x)=-sinx，若质点的最初位置为原点，初速v(0)=2，证明：时间t→+∞时质点趋近于一个极限位置，并求出此极限位置.

例1.13

条形磁铁的磁场.

假设在平面上安放一个长度为2a的细磁棒，使它的两个端点分别在点(-a,0)和(a,0)，则在平面上会产生一个磁场.若再放上一些短小的铁针，它们将按磁场的方向排列，出现一个具体的线素场模型——磁场.

现在要推导该磁场所对应的微分方程.我们把细磁棒简化为放置于点(-a,0)和(a,0)的两个异性的点磁荷.它们在平面上任意一点(x,y)产生的磁场强度分别为H1和H2（见图1.4）.图1.4由物理学中的定律可知:注意:分别取磁场强度H沿x轴和y轴方向的分量:则描述磁场强度的微分方程为(1.31)亦即它的线素场如图1.5所示（习题1.2的第3题）.由此大致可以看出它的积分曲线（即磁力线）的分布状况.注1.2

微分方程(1.28)有奇异点为O，它是积分曲线族（即圆族）的中心.另外，微分方程(1.27)也有奇异点为O，从它发出的射线族是方程的积分曲线族.而微分方程(1.31)有两个奇异点为(-a,0)和(a,0)，它们是磁力线（即积分曲线）的汇集点.

从这些例子我们看到，虽然在奇异点微分方程是不定式，但是在积分曲线的分布中奇异点是关键性的点.例1.14

长为6m，单位长度质量为P的链自桌上滑下，运动开始时，链自桌上垂下部分有1m长，试求下滑的长度与时间t的关系(不计摩擦力).

解设链下滑的运动规律为s=s(t)，其中s为链下滑的长度.当链下滑长度为s时，作用在链条上的力为(1+s)Pg.由牛顿第二定律得即s=s(t)满足微分方程:易知它满足下列初始条件：例1.15

某物体含有3kg水分，现把它放置在容积为100m3的室内.假定开始时刻室内湿度为饱和湿度的25%，且在同一温度下，空气的饱和湿度为0.12kg/m3.若经过一天后该物体失掉所含水分的一半，求该物体在时刻t的含水量所满足的微分方程及定解条件.

解我们知道疏松物体中所含水分挥发到周围空气中去的速度，与该物体的含水量成正比，与空气的饱和湿度和周围空气湿度之差成正比.

令W(t)为该物体在t时刻的含水量(单位：kg)，则是在t时刻的挥发速度.第一个正比关系很明确，要写出第二个正比关系，就要找出t时刻时室内空气的饱和湿度与周围空气湿度之差的表达式.

假设空气的饱和湿度是0.12kg/m3，开始时室内湿度是它的25%，即为0.03kg/m3.因此，t时刻时空气饱和湿度与周围空气的湿度差为我们把两个正比关系用一个式子表示出来就得到微分方程(k>0,为比例常数)及边值条件W(0)=3,W(1)=1.5.

例1.16

要建造高h米、水平截面为圆形的桥墩，桥墩承受的载荷为P吨，建筑材料的密度为ρ吨每立方米，允许的压强为k吨每立方米，希望建筑材料的用量最省.这需要求桥墩上底S0与下底S1的面积以及轴截面的形状(即通过桥墩中心轴的平面与桥墩相截所得的外形曲面).

首先求上底面积S0.为了使建筑材料的用量最省，就应要求上底的面积S0(平方米)刚好能承受载荷P，于是S0满足kS0=P，即

再求下底的面积S1.注意到随着水平位置的下移，水平截面的面积必须不断增大.这是因为截面除了承受载荷P外，还要承受它以上那段桥墩的重量.下面来讨论在建筑材料用量最省的条件下，水平截面应按什么样的规律增大.现以上底的圆心为原点，以垂直向下为x轴正方向及任意一条水平线为y轴建立平面直角坐标系.以S=S(x)表示距离上底x米处水平截面的面积(平方米).当Δx>0时，为了使建筑材料的用量最省，就应该使S(x+Δx)比S(x)大的面积刚好能承受从x到x+Δx这一段桥墩的重量，即满足:于是其中,m=ρk-1.令Δx→0，就得到函数S=S(x)所应满足的方程：它也是一个微分方程.S(x)还应满足初值条件S(0)=S0.利用解S(x)即可求得S1的面积以及轴截面的形状.第2章初等积分法2.1变量分离的方程2.2恰当方程2.3一阶线性方程2.4初等变换法2.5积分因子法2.6应用举例

2.1变量分离的方程

1.变量（可）分离的方程

形如的方程称为变量（可）分离的方程.这种方程的特点是：右端是只含x的函数和只含y的函数的乘积.

假设：h(x)在区间a<x<b上连续，g(y)在区间c<y<d上连续，且g(y)≠0.

用dx乘而用g(y)除式(2.1)两端，得(2.2)这叫做分离变量.如果y作为x的函数是方程(2.1)的解，则式(2.2)两端是彼此恒等的.对上述微分方程的两端同时积分就得到y所满足的隐函数方程:(2.3)或(2.4)(2.5)其中,G-1表示G的反函数.

式(2.4)或式(2.5)便是方程(2.1)含任意常数C的解的表达式.设(x0,y0)是域内的任意一点.为了求方程(2.1)所满足的初值条件y(x0)=y0的解，可按以确定常数C，即代入式(2.5)便得(2.6)这就说明，对域R内任意点(x0,y0)，均能选取表达式(2.5)中的任意常数C，使得对应的解满足初值条件y(x0)=y0.可见表达式(2.5)是方程(2.1)的通解，从而表达式(2.4)或(2.3)是方程(2.1)的隐式通解.例2.1

一质量为m的质点，以初速v0垂直上抛，且空气的阻力与质点运动速度的平方成正比(比例系数为k>0)，求该质点从抛出至达到最高点的时间.

解设质点在t时刻的速度为v，v(0)=v0，且有解得因为v(0)=v0，所以解出c=arctanav0.质点达到最高点，即v=0，亦即解得

例2.2

解方程(2.7)解对式(2.7)分离变量，得对上式两端积分后便得隐式通解：为得出显式通解可从上式解出y

：(2.8)其中,常数C1=sinC.容易看出，y=±1也是方程(2.7)的解，但它们不包含在通解式(2.8)中.注意，这是由于y=±1时式(2.7)的分子等于零的缘故.

在前面说明的表达式(2.5)是方程(2.1)的通解的推理中，其实同时指出了在g(y)≠0(c<y<d)的条件下，方程(2.1)的初值问题的解恒存在而且唯一，即对于域R:a<x<b,c<y<d内任意点(x0,y0)，方程(2.1)恒有解满足初值条件y(x0)=y0，并且也只有一解满足该条件.

现在来分析方程(2.1)的积分曲线，即解在(x,y)平面上的图像的分布情况.如果g(y)≠0(c<y<d)，则由于初值问题的解存在而且唯一，经过域R内每一点都恰有方程(2.1)的一条积分曲线，积分曲线在R内彼此不相交.这时，积分曲线的分布情况很简单.但是，如果g(y)为c<y<d上的某些点，比如g(y)=g(y1)=0，在这种情况下，方程(2.1)经过直线y=y1上的点的积分曲线就很可能不止一条

作为例子，我们来考察h(x)≡1的方程(2.1)，即方程(2.9)为简单计，假设g(y)只在y=y1处等于零.

首先，经过域和域内任一点(x0,y0)恰有方程(2.9)的一条积分曲线，它由下式确定：(2.10)这些积分曲线彼此不相交.其次，域R1(R2)内的所有积分曲线都可由其中一条，比如经坐标变换η=y,ξ=x-C-C0，即沿着x轴的方向平移而得到.因此我们只需详细考察经过R1或R2内某点(x0,y0)的一条积分曲线，它由式(2.10)确定.

设(x0,y0)∈R1，即c<y0<y1.只有下列两种情形：图2.1图2.2图2.3

例2.3

解方程解该方程是变量(可)分离方程.当y≠0时，分离变量得两边积分，得隐式通解:其中,C1是任意实数.上式可以改写为其中,C2=±eC1.注意到y=0也是原方程的解，因此方程通解最终可表示为其中,C是可取正、负和零的任意实数.

2.可化为变量分离方程的某些方程

有些微分方程看上去并不是变量（可）分离的，但是通过一次或一次以上的变量变换就可化为变量分离的方程.下面将介绍一些典型的这类方程.读者应该从中学习利用变量变换解微分方程的技巧.

1)齐次方程

方程(2.11)称为齐次方程，如果右端函数f(x,y)是x,y的零次齐次函数，即(2.12)在恒等式(2.12)中令，则得(2.13)为了解方程(2.13)，自然想到作变换 ，即y=ux.于是，将其代入方程(2.13)便得到u所适合的方程：亦即这就是一个变量分离的方程.若g(u)-u≠0,即，则用分离变量法可求出它的（隐式）通解：或(2.15)例2.4

解方程(2.16)解令y=ux，代入方程(2.16)得分离变量，得对应于u=0(x≠0)得到的函数y=0(x≠0)也是方程(2.16)的解.例2.5

解方程解该方程可以改写为(2.17)分离变量，得两边积分，得即(2.18)其中,C1和C2都是任意常数，C2≠0.注意到(2.19)将式(2.18)和式(2.19)相加除以2，并记C=C2，得

2)可化为齐次方程的方程

如下形式的方程可化为齐次方程：(2.20)

第一种情形:行列式引进新的变量ξ,η：其中，α、β是待定常数，代入方程(2.20)，得(2.21)为使方程(2.21)是齐次的，自然应选α、β使因为Δ≠0，所以这样的α、β可以找到.于是方程(2.21)变成这便是一个齐次方程.

第二种情况:Δ=0,亦即这时方程(2.20)的形式变为(2.22)作未知函数的变换则由方程(2.22)得这显然是变量分离的方程.例2.6

解方程(2.23)解令x=ξ+α,y=η+β,得由得出α=-3,β=-1.即方程(2.23)可化成这是齐次方程，解之得化回原来的变量x、y，便得到方程(2.23)的（隐式）通解:例2.7

人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比.

(1)如果过4小时细菌数即为原来的2倍，那么经过12小时应有多少？

(2)如果在3小时的时候有细菌104个，在5小时的时候有细菌4×104个，那么在开始时细菌有多少个？

解设时刻t单位体积的细菌数为x(t)，增长速度为，则由题意得x(t)满足的方程为(k为一正的常数)所以x(t)的方程为(C为常数)再设初始时刻即t=0时，细菌数为x0，则

(1)由题意知：所以e4k=2，经过12小时后，x=x0e12k=8x0，即经过12小时，细菌数为原来的8倍.(2)由题意知:解得x0=1.25×103(个/单位体积).(3)当时，求.时，求.f(x).

解(1)由题意知：两边微分，得(2)z的微分方程为(3)解关于的微分方程得：即得由初值条件得

下面举几个通过建立数学模型来解决实际问题的例子.

随着科学技术的发展，越来越多的人认识到了“高新技术离不开数学学科的支持”这一精辟的观点。近半个世纪以来，数学与电子计算机技术相结合，在解决自然科学、工程技术乃至社会科学等各个领域的实际问题中大显身手，取得了令人瞩目的成绩.

要用数学技术去解决实际问题，首先必须将所考虑的现实问题通过“去芜存菁，去伪存真”的深入分析和研究，用数学工具将它归结为一个相应的数学问题，这个过程称为数学建模，所得到的数学问题称为数学模型.

数学建模可以使用多种数学方法，甚至对同一现实问题可以建立不同形式的数学模型，而其中最重要、最常用的数学工具是微分.作为数学建模过程的示例，这里我们利用已学过的微分知识，来导出一些简单的微分方程数学模型，为读者今后系统地学习数学模型奠定基础.例2.9(Malthus人口模型）最简单的人口增长模型是：记今年人口为x0,k年后人口为xk，年增长率为r，则(2.24)显然，这个公式的基本条件是年增长率r保持不变.

200多年前英国人口学家马尔萨斯(Malthus，1766-1834)调查了英国100多年的人口统计资料，得出了人口增长率不变的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型.

记时刻t的人口为x(t)，当考察一个国家或一个地区的人口时，x(t)是一个很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将x(t)视为连续、可微函数.记初始时刻(t=0)的人口为x0.假设人口增长率为常数r，即单位时间内x(t)的增量等于r乘以x(t).考虑t到t+Δt时间内人口的增量，显然有令Δt→0，得到x(t)满足微分方程:(2.25)由这个方程很容易解出(2.26)当r>0时,式(2.26)表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型.我们常用的预报公式(2.24)就是指数增长模型式(2.26)的离散近似形式.

但是长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述，也不能预测较长时期的人口演变过程，人口增长到一定数量后增长率会下降.人们注意到，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大.所谓阻滞增长模型,就是考虑到这个因素后对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的.

阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降.若将r表示为x的函数，则它应是减函数.于是方程(2.25)可写作(2.27)对r(x)的一个最简单的假设是，设r(x)为x的线性函数，即(2.28)(2.29)式(2.29)的另一种解释是，增长率r(x)与人口尚未实现部分的比例(xm-x)/xm成正比，比例系数为固有增长率r.

将式(2.29)代入方程(2.27)得(2.30) 2.2恰当方程

考虑对称形式的一阶微分方程：如果存在一个可微函数Φ(x,y)，使得它的全微分为亦即它的偏导数为(2.31)(2.32)则称方程(2.31)为恰当方程或全微分方程.因此，当方程(2.31)为恰当方程时，可将它改写为全微分的形式:从而(2.33)就是方程(2.31)的一个通积分.

事实上，将任意常数C取定后，利用逆推法容易验证：由式(2.33)所确定的隐函数y=u(x)（或x=v(y)）就是方程(2.31)的一个解.反之，若y=u(x)（或x=v(y)）是微分方程(2.31)的一个解，则有例2.10

求解微分方程

观察这个微分方程，我们看到它的左端恰好是函数Φ=x2y3的全微分dΦ因此，上述方程可以写成d(x2y3)=0,从而它的通积分为

上面利用观察法求解微分方程只是一个简单的特例.在一般情况下，我们需要解决的问题是：

(1)如何判断一个给定的微分方程是或不是恰当方程？

(2)当它是恰当方程时，如何求出相应全微分的原函数？

(3)当它不是恰当方程时，能否将它的求解问题转化为一个与之相关的恰当方程的求解问题？

定理2.1

设函数P(x,y)和Q（x,y)在区域上连续，且有连续的一阶偏导数 与，则微分方程(2.31)是恰当方程的充要条件为恒等式(2.34)在R内成立.而且当式(2.34)成立时，方程(2.31)的通积分为(2.35)或者(2.36)其中,(x0,y0)是R中任意取定的一点.

证明先证必要性.设方程(2.31)是恰当的，则存在函数Φ(x,y)，满足(2.37)然后，我们在上面的第一式和第二式中，分别对y和x求偏导数，就可得到(2.38)(2.39)其中函数ψ(y)待定，以使函数Φ(x,y)适合式(2.37)中的第二式.因此，由式(2.39)得到再利用条件式(2.34)得到由此可见，为了使式(2.37)中的第二式成立，只要令ψ′(y)=Q(x0,y),亦即只要取即可.这样，就找到了满足式(2.37)的一个函数：(2.40)

如果在构造时，先考虑使(2.37)的第二式成立，则可用同样的方法，得到满足(2.37)的另一函数(2.41)例2.11

求解微分方程(2.42)解因为所以方程(2.42)是恰当方程.因此，可以利用公式(2.35)或(2.36)直接求得通积分.但是为了进行基本训练，我们仍采用定理在充分性证明中的方法计算通积分.令函数Φ(x,y)满足则对x积分第一式，得到再将它代入上面第二式，即得(2.43)为方程(2.42)的通积分，其中C为任意常数.注2.1

对于某些恰当方程，可以采用更简便的分组凑全微分的方法求解.例如，对于方程(2.42)的左端，可用如下分组求积分的方法：由此可直接得到通积分式(2.43).注2.2

求解恰当方程的关键是构造相应全微分的原函数Φ(x,y).这实际上就是场论中的位势问题.在单连通区域R上，条件式(2.34)保证了曲线积分(2.44)与积分的路径无关.因此，式(2.44)确定了一个单值函数Φ(x,y).注意，公式(2.40)与公式(2.41)所取的积分路径仅仅是便于计算的两种特殊的路径.如果区域不是单连通的，那么一般而言Φ(x,y)也许是多值的.例如，对于方程容易验证条件(2.34)在非单连通的环域R0:0<x2+y2<1上成立.根据我们得到例2.12

流言蜚语(或小道消息)传播问题.假设某地区的人口总数为N，在短期内不变，x(t)表示知道某消息的人数所占的百分比，初始时刻的百分比为x0<1，传播率为h，则可以建立数学模型为求解得于是有此式表明随着时间的增长，消息慢慢地会淡化，逐步被人遗忘，这是符合实际情况的。 2.3一阶线性方程

本节讨论一阶线性方程:(2.45)其中函数p(x)和q(x)在区间I=(a,b)上连续.当q(x)≡0时，方程(2.45)成为(2.46)当q(x)不恒等于零时，称方程(2.45)为非齐次线性方程,而称方程(2.46)为（相应的）齐次线性方程.

我们首先讨论齐次线性方程(2.46)的解法.为此，将方程(2.46)改写为对称形式：这是一个变量分离的方程.当y≠0时，将方程两侧同除以y，得到由此积分后，我们得到方程(2.46)的解:(2.47)因为在上面的解法中假定了y≠0，所以这里的任意常数C≠0.然而，当C=0时，式(2.47)对应于方程(2.46)的特解y=0.因此，当C是任意常数（包括C=0）时，式(2.47)表示齐次线性方程(2.46)的通解.

现在要求解非齐次线性方程(2.45).我们可把它改写为如下的对称形式：(2.48)它是全微分的形式:由此可直接积分，得到通积分:这样，就求出了方程(2.48)的通解:(2.49)其中，C是一个任意常数.上述方法叫做积分因子法.这是因为我们用因子μ(x)乘微分方程(2.48)的两侧后，它就转化为一个全微分方程，从而获得它的积分.

例2.13

一容器内盛盐水100L，含盐50g.现以浓度为c1=2g/L的盐水注入容器内，其流量为Φ1=3L/min.设注入的盐水与原有盐水被搅拌而迅速成为均匀的混合液，同时，此混合液又以流量为Φ2=2L/min流出.试求容器内的含盐量与时间t的函数关系.

解设在时刻t时容器内含盐量为x克.在时刻t，容器内盐水体积为

100+(3-2)t=100+t

(L)

故流出的混合液在时刻t的浓度为

下面我们用定积分中的元素法来建立微分方程.在t到t+dt这段时间内，或将 代入上式，即得或(2.50)初始条件为(2.51)

方程(2.50)是一阶非齐次线性微分方程.在该方程中，故所以有以条件式(2.51)代入，得C=-1.5×106，于是所求函数关系为例2.14

求解微分方程解我们可以直接用公式(2.49)求得通解.但应用积分因子法比记忆一个公式更具有灵活性，在这里积分因子是然后用它乘方程两侧，推出:再由积分可得通解:其中，C为任意常数.

为确定起见，通常把通解式(2.49)中的不定积分写成变上限的定积分，即或(2.52)利用这种形式，容易得到初值问题(2.53)的解为(2.54)其中,p(x)和q(x)在区间I上连续.

性质1

齐次线性方程(2.46)的解或者恒等于零，或者恒不等于零.

易知y=φ(x)≡0为齐次方程(2.46)的一个解；再利用习题2.3中第5题的结果可知，任何其他的解与y=φ(x)没有公共点.故性质1成立.

性质2

线性方程的解是整体存在的，即方程(2.45)或(2.46)的任一解都在p(x)和q(x)有定义且在连续的整个区间I上存在.

性质3齐次线性方程(2.46)的任何解的线性组合仍是它的解，齐次线性方程(2.46)的任一解与非齐次线性方程(2.45)的任一解之和是非齐次线性方程(2.45)的解；非齐次线性方程(2.45)的任意两解之差必是相应齐次线性方程(2.46)的解.

性质4

非齐次线性方程(2.45)的任一解与相应齐次线性方程(2.46)的通解之和构成非齐次线性方程(2.45)的通解.

性质5线性方程的初值问题(2.53)的解存在且唯一.

性质5的存在性部分是显然的，因为公式(2.54)就提供了一个解.现在来证明解的唯一性.假设初值问题式(2.53)有两个解y=φ1(x)和y=φ2(x)，则由性质3知是相应齐次线性方程(2.46)的一个解；另一方面，φ1(x)和φ2(x)满足同一个初值条件，即有ψ(x0)=φ1(x0)-φ2(x0)=0.再由性质1可知ψ(x)≡0，即当x∈I时，φ1(x)≡φ2(x).例2.15

设微分方程(2.55)其中a>0为常数，而f(x)是以2π为周期的连续函数.试求方程(2.55)的2π周期解.

解利用式(2.54)，容易写出方程(2.55)的通解为(2.56)现在选择常数C，使y(x)成为2π周期函数，即(2.57)成立.我们先来证明，要使式(2.57)对所有x成立，其实只需对某一特定的x（例如x=0）成立，即只要求(2.58)事实上，因为y(x)是方程(2.55)的解，而且f(x+2π)≡f(x)，所以y(x+2π)也是方程(2.55)的解.令 ，则y=u(x)是相应齐次方程的解.如果式(2.58)成立，则u(x)满足初值条件u(0)=0.因此，由性质1可知u(x)≡0,从而式(2.57)成立.现将公式(2.56)代入(2.58)，得到把它代回式(2.56)，就得到所求的2π周期解y=y(x)；再利用f(x)的2π周期性，就可以把它简化为(2.59)例2.16

RL串联电路如图2.4所示，电感L、电阻R及电源电压E均为正的常数.求电键闭合后电路中的电流强度i=i(t).

解事实上，利用电学中的基尔霍夫定律就可得到微分方程：(2.60)这是一阶线性方程，它显然有特解i=E/R.而相应齐次线性方程的通解为，其中C为任意常数.因此，利用上述线性方程的性质4，可知方程(2.60)的通解为由此可以确定初值条件i(0)=0的解为它的图形见图2.5.图2.4图2.5例2.17

解方程其中,f(x)、f′(x)为已知的连续函数.

解这是线性方程，先求齐次方程的通解.分离变量，得两边积分得设原方程通解为代入原方程，得两边积分得于是，所求方程的通解为例2.18

设y(x)是x的一个连续可微函数，且满足求y(x).

解等式两边关于x求导两次得故例2.19(室内温度的摆动)

下面我们研究线性微分方程解的一个有趣问题，即受室外温度(2.61)的影响，室内温度摆动的问题.如果ω＝π/12，那么温度的摆动为24h一个周期.例如在雅典,正常情况下，7月份上午4:00时温度最低70，下午4:00时温度最高90.根据三角公式有（2.62）所以式(2.60)中的如果把在时刻t的室内温度u(t)写成牛顿冷却定律 （其中T表示物体温度，A表示周围介质的温度，k为正常数）形式，用式(2.61)给出的室外温度A(t)代表周围（介质）不变温度A，那么得到一阶线性微分方程,即(2.63)常数k的取值范围为0.2~0.5（开窗户时会导致k可能比0.5大一些，或窗户封闭得好会导致k可能比0.2小一些）.

假设有一天晚上（在时刻t0=0时），某人的空调坏了，而且该人可能在月末发薪水时才能修理.因此我们要研究以后几天室内温度的变化情况.

首先，求解具有初始条件u(0)=u0（空调坏了时室内的温度）的方程（2.63）.可能需要用到积分公式.可以得到解（2.64）其中若取可得近似解(2.65)

注意到，当t→+∞时，式（2.65）中的衰减指数项趋于零，所以保留“稳定周期”解（2.66）从而室内温度每24h围绕室外平均温度摆动.

2.4初等变换法

例2.20

对于形如的方程，如果引进变换u=x+y，其中u为新的未知函数，则方程立即化为它是一个变量分离的方程，因此不难求得通解.例2.21

对于微分方程如果引进变换v=y2，则方程变为它是一个对v的一阶线性微分方程，它的解法在2.3节中讨论过.

下面介绍几个标准类型的微分方程，它们可以通过适当的初等变换化为变量分离的方程或一阶线性方程.

1.齐次方程

如果微分方程(2.67)中的函数P(x,y)和Q(x,y)都是x和y的同次（例如m次）齐次函数，即(2.68)则称方程(2.67)为齐次方程（注意这与2.3节中定义的齐次线性方程是不同的）.

对于齐次方程(2.67)，标准的变量替换是(2.69)其中:u为新的未知函数;x为自变量.注意，从关系式(2.68)易知(2.70)因此，把变换(2.69)代入方程(2.67)，就得(2.71)这是一个变量分离的方程.注2.3

易知方程(2.67)为齐次方程的一个等价定义式，它可以化为如下的形式：注2.4

容易看出，x=0是方程(2.71)的一个特解.但它未必是原方程(2.67)的解.出现这种情况的原因在于，当x=0时，变换(2.69)不是可逆的.例2.22

求解微分方程解这是一个齐次方程.因此，令y=ux，得到亦即积分此式，可得（C为任意常数，且C>0）.从而将代入上式，可得通积分:如果采用极坐标x=rcosθ与y=rsinθ，则得简单的形式:它是以原点O为焦点的螺线族（焦点的定义以后介绍）.例2.23

讨论形如的方程的求解法，这里设a、b、c、m、n和l为常数.

解当c=l=0时，它是齐次方程.因此可用变换求解.当c和l不全为零时，可分如下两种情形讨论：(1)Δ=an-bm≠0.此时可选常数和，使得然后取自变量和未知函数的（平移）变换：则原方程就化为ξ与η的方程:这已是齐次方程.因此令 ，即可把它化为变量分离的方程.

(2)Δ=an-bm=0.

此时有因此，原方程化为再令v=ax+by为新的未知函数，x为自变量，则上述方程可化为它是一个变量分离的方程.

2.伯努利方程

形如(2.72)的方程称为伯努利方程，其中n为常数，而且n≠0和1.给方程两边同乘以(1-n)y-n，即得然后令z=y1-n，就有这是关于未知函数z的一阶线性方程.例2.24

设可微函数f(x)满足方程：求f(x).

解对方程两边求导得此为伯努利方程，解得由f(1)=1，得C=1.则f(x)为

3.里卡蒂方程

假如一阶微分方程的右端函数f(x,y)是一个关于y的二次多项式，则称此方程为二次方程；它可写成如下形式：(2.73)其中,函数p(x)、q(x)和r(x)在区间I上连续，而且p(x)不恒等于零.方程(2.73)通常又叫做里卡蒂（Riccati，1676-1754）方程.这是形式上最简单的非线性方程.但是，一般而言，它已不能用初等积分法求解.在下述两个定理的证明中，请读者体会初等变换的技巧.定理2.2

设已知里卡蒂方程(2.73)的一个特解y=φ1(x)，则可用积分法求得它的通解.

证明对方程(2.73)作变换y=u+φ1(x)，其中u是新的未知函数.代入方程(2.73)，得到由于y=φ1(x)是方程(2.73)的解，从上式消去相关项后，就有这是一个伯努利方程.因此，由前面对方程(2.72)的讨论可知，此方程可以用积分法求出通解.定理2.3

设里卡蒂方程(2.74)其中,a≠0,b、m是常数.又设x≠0和y≠0.则当(2.75)时，方程(2.74)可通过适当的变换化为变量分离的方程.

证明不妨设a=1（否则作自变量变换 即可）,将其代入方程(2.74)即得(2.76)当m=0时，式(2.76)是一个变量分离的方程，即当m=-2时，作变换z=xy，其中z是新未知函数.然后代入方程(2.76)，得到这也是一个变量分离的方程.当 时，作变换其中,ξ和η分别为新的未知函数，则方程(2.76)变为(2.77)其中 .再作变换其中t和z分别是新的自变量和未知函数，则方程(2.77)变为(2.78)其中， .

方程(2.78)与方程(2.76)在形式上一样，只是右端自变量的指数从m变为l.比较m与l对k的依赖关系不难看出，只要将上述变换的过程重复k次，就能把方程(2.76)化为m=0的情形.

当 时，微分方程(2.74)就是方程(2.77)的类型，因此可以把它化为微分方程(2.78)的形式，从而可以化归到m=0的情形.至此定理证完.

注2.5

定理2.3是由JohannBernoulli之子DanielBernoulli(1700-1784)在1725年得到的.这个定理指出，对于里卡蒂方程(2.74)能用初等积分法求解，条件式(2.75)是充分的.实际上，时隔一百多年之后刘维尔在1841年进而证明了条件式(2.75)还是一个必要条件.有兴趣的读者可以参阅参考文献［2］.刘维尔的这一工作，在微分方程的发展史上具有重要意义.在此之前，人们把主要注意力放在微分方程的（初等积分）求解上，而刘维尔的研究结果说明，即使形式上很简单的里卡蒂方程（例如y′=x2+y2），一般也不能用初等积分法求解.这就迫使人们另辟新径，例如：从理论上研究一般微分方程初值问题的解是否存在，是否唯一？怎样从微分方程本身的特点去推断其解的属性（周期性、有界性、稳定性等）？在什么条件下微分方程的解可以用收敛的幂级数表示?怎样求出微分方程的近似解？等等.这就促使微分方程的研究进入一个新的发展时期.在随后的章节中将或多或少地涉及上述的一些论题.注2.6

里卡蒂方程在历史上和近代都有重要应用.例如，它曾用于证明贝塞尔方程的解不是初等函数，另外它也出现在现代控制论和向量场分支理论的一些问题中.

例2.25

解方程解这是里卡蒂方程，观察出 是它的一个解.于是作变换代入原方程，得到这是伯努利方程，再作变换代入方程，即得解此线性方程得化简得带回原变量，得原方程的解为及例2.26

经济增长模型.发展经济、提高生产力主要有以下手段：增加投资、增加劳动力、技术革新。这里暂不考虑技术革新的作用，一是因为在经济发展的初期(如资本主义早期社会)或者在不太长的时期内，技术相对稳定，二是由于技术革新量化比较困难。

1)道格拉斯(Douglas)生产函数

用Q(t)、K(t)、L(t)分别表示某一地区或部门在时刻t的产量、资金和劳动力，它们的关系可以一般地记作Q(t)=F［K(t),L(t)］(2.79)其中,F为待定函数.对于固定的时刻t，上述关系可写作Q=F(K,L)(2.80)为寻求F的函数形式，引入记号(2.81)z是每个劳动力的产值，y是每个劳动力的投资.如下的假设是合理的：z随着y的增加而增加，但增长速度递减.进而简化地把这个假设表示为(2.82)显然函数g(y)满足上面的假设，常数c>0可看做技术的作用.由式(2.81)和(2.82)即可得到式(2.80)中F的具体形式为(2.83)由式(2.83)容易知道Q有如下性质:(2.84)请读者解释式(2.84)的含义.记表示单位资金创造的产值；表示单位劳动力创造的产值，则从(2.83)式可得(2.85)(2.85)式可解释为：是资金在产值中占有的份额，是劳动力在产值中占有的份额.于是的大小直接反映了资金、劳动力二者对于创造产值的轻重关系.

(2.83)式是经济学中著名的Cobb-Douglas生产函数，它经受了资本主义社会一些实际数据的检验.更一般形式的生产函数表为(2.86)

2)资金与劳动力的最佳分配

这里将根据生产函数式(2.83)讨论，怎样分配资金和劳动力，使生产创造的效益最大.

假设资金来自贷款，利率为γ，每个劳动力需付工资ω，于是当资金K、劳动力L产生产值Q时，得到的效益为(2.87)问题化为求资金与劳动力的分配比例K/L(即每个劳动力占有的资金)，使效益S最大.

这个模型用微分法即可解得(2.88)再利用式(2.85)，有(2.89)这就是资金与劳动力的最佳分配.从式(2.89)可以看出，当α、ω变大,γ变小时，分配比例K/L变大，这是符合常识的.

3)劳动生产率增长的条件

常用的衡量经济增长的指标包括总产值Q(t)和每个劳动力的产值 .这个模型讨论K(t)、L(t)满足什么条件才能使Q（t)、z(t)保持增长.

首先需要对资金和劳动力的增加作出合理的简化假设：

(1)投资增长率与产值成正比，比例系数λ>0，即用一定比例扩大再生产；

(2)劳动力的相对增长率为常数μ,μ可以是负数，表示劳动力减少.这两个条件的数学表达式分别为(2.90)(2.91)方程(2.91)的解为(2.92)将式(2.82)和式(2.83)代入式(2.90)