广西桂林市2024-2025学年高一年级上册12月联合检测数学试卷（解析版）

广西桂林市2024-2025学年高一上学期12月联合检测

数学试卷

一、单选题(每小题5分，共40分.)

1.已知集合4={目0<%<2},8=<九土」<0〉，则AB=()

x2

A.1x|l<x<21B,{x|l<x?2}

C.1x|0<x<21D.{x[0<xvl}

【答案】A

【解析】由^^<0n(x—l)(x—2)<0nl<x<2,

x2

因此B=,所以AB-|x|l<x<21.

故选：A.

2.设a=ln3,底氏尸，C=3H则()

e

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a

【答案】C

2

【解析】Qa=ln3>lne=l,人=1呜3<皈J=。，c=3-=|,

:.a>c>b.

故选：C.

3.清朝末年，面对清政府的腐朽没落，梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智，少

年富则国富，少年强则国强”的口号.其中“国强”是“少年强”的()

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】少年强则国强；国强不一定少年强，所以“国强”是“少年强”的必要条件.

故选：B.

4.函数=+x—2的零点一定位于下列哪个区间()

【答案】C

【解析】因为函数的图象连续不断，且—2=5+!—2<0,

3

/(1)=1+1-2=-1<0,

，(2)=(£|+2-2=1>0

根据零点存在性定理可知函数y（x）=+x-2的零点一定位于区间停，2）内・

故选：C.

5.下面命题正确的是（）

A.已知尤eR,贝『'九〉1"是"工<1”的充要条件

x

B.命题“玉21,三<2”的否定是“以<1,%2>2"

C.已知尤,yeR,贝iJ"W+M>0”是“尤>0”的既不充分也不必要条件

D.已知a,beR,则“a—35=0?是“2=3”的必要不充分条件

b

【答案】D

【解析】A：显然当x=-1时，!<1成立，但x>l不成立，因此本选项说法不正确;

X

B：命题“土之1,炉<2”的否定是“V%>1,X2>2，因此本选项说法不正确;

C：当％=—3时，显然国+国>0成立，但是x〉0不成立，

当%〉0时，显然W+|y|>0,所以本选项说法不正确；

D：当。=人=0时，显然a—3〃=0成立，但巴没有意义,

b

由‘•=3n〃=3bn〃—3b=0,所以本选项说法正确.

b

故选：D.

6.某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的

飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数y=alog3X+b

来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到

50米的高度，需要（）秒.

A.15B.16C.18D.20

【答案】C

10=alog,2+b

【解析】由题意可得4“,解得a=20力=10-20log32,

30=alog36+b

设达到50米的高度需要x秒，201og3x+10-201og32=50,解得％=18,

所以达到50米的高度需要18秒.

故选：C.

【答案】C

【解析】由函数解析式可得，函数/（x）=lx—II一1

{X

定义域为8,1）（1,+8）,所以排除A；

因为1]\2=忖-』,

(1+x-l)X

所以函数图像关于直线尤=1对称，故排除AD；

又因为/(0)=|0-l|—12=0,所以排除B.

故选：C.

8.制作一个面积为In?且形状为直角三角形的铁支架，则较经济(够用，又耗材最少)的

铁管长度为()

A.4.6mB.4.8mC.5mD.5.2m

【答案】c

2

【解析】设一条直角边为x,由于面积为In?，所以另一条直角边为一，

x

所以斜边长为卜+百，

当且仅当X且­=饕,即x=0时取等号,

所以较经济(够用，又耗材最少)的铁管长度为5m.

故选：C.

二、多选题(每小题6分，两个答案对的，选对一个得3分；三个答案对的，选对一个得2

分；有错选的得。分；共18分.)

ln(x-a)(x>2)

9.已知3是函数/(%)=〈”…的一个零点，则()

e(x<2)

A.a=4B.a=2C.f(6)=e2D.f(f(6))=4

【答案】BD

【解析】显然e%wO，x<2,

当x=3时，代入函数可得ln(3-“)=0,可得。=2,所以/(x)=ln(x—2),(x>2).

则/(6)=ln4W2,则/(7(6))=f(ln4)=eln4=4

故选：BD

2r+1

io.关于函数/(%)=------,正确的说法是()

x-l

A./(%)有且仅有一个零点B./（%）的定义域为{x|x#l}

C./(x)在(1,+8)单调递增D./(%)的图象关于点(L2)对称

【答案】ABD

2x+1

【解析】函数/(%)=-----的定义域为{xlx/1},B选项正确;

x-l

f(x)=2X+1=------=2-\—-—，所以/(X)在(一",1)和(L+co)上递减,

X~1X~1X~1

C选项错误；

令/(%)=生口=0,解得了=-5,所以/(X)有且仅有一个零点，A选项正确；

X-12

设点(x,y)是函数/(力图象上的任意一点，则y一,

X-1

且(羽y)关于(1,2)的对称点为(2-%,4-y),

2（2-x）+l_5-2x_2x-5

而“2-%）=

2—x—11—xx~l

口4.2x+l4（x-l）2x+l2x-5

且4—y=4----------=—^------L----------=--------，

x~lx~lx—1X~1

所以点(2-x,4—y)在函数/(x)的图象上，所以D选项正确.

故选：ABD.

11.已知定义在R上的函数y=/(x)满足，x—=-/(X)，且+为奇函数,

〃—l)=—1,"0)=2.下列说法正确的是()

A.3是函数y=f{x}的一个周期

3

B.函数y=/(x)的图象关于直线x=］对称

C.函数y=/(x)的图象关于点对称

D./(1)+/(2)+/(3)++7(2023)=2

【答案】AC

【解析】对于A项，因为—1]=—“X),所以/(》一3)=-/卜一|)=/(%),

所以3是函数y=/(x)的一个周期，故A正确；

对于BC项，因为/(x+j]为奇函数，所以/1—x+'l]=_/[x+T]

所以，点是函数y=/(x)图象的对称中心，故B错误，C正确;

对于D项，因为为奇函数，所以/1―%+区)=—，

所以/f-x+-j=~f(x)，~f(x)>所以/，%+0=

又因为了

即〃%)=〃T),函数t(x)为偶函数,/(l)=/(-l)=-L/(2)=/(-1)=-1,

/(3)=/(0)=2,所以〃1)+〃2)+/(3)=0,

/(1)+/(2)+/(3)++/(2023)=674.[/(1)+/(2)+/(3)]+/(2023)

=0+/(1)=-1,

故选：AC.

三、填空题(每小题5分，共15分.)

%>-1

12.己知函数/Xx)='「，，贝4/(0)—/(一3)=______.

log2(l-x),^<-l

【答案】—1

[解析]/(0)-/(-3)=2^-log2[1-(-3)]=1-2=-1.

13.已知函数/(%)=九2(恁*——)是奇函数，则。=.

【答案】1

【解析】由题知，/(X)的定义域为R,因为/(幻是奇函数，所以/(—x)=-/(x),

所以/(-x)=(-x)2(«e-l-ex)=-%2(«ev-e-x)=-/(x),

所以aer—e'=—恁'+片~所以(a—1把一工=(1—a)e"恒成立,所以a=l.

14.不等式初1/+如+1>0的解集为R,则实数a的取值范围为.

【答案】0Wm<4

【解析】当机=0时，不等式显然恒成立，即xeR,满足条件.

当口学0时，为二次函数，要恒大于零只有开口向上，_<0.

所以m>0,_=机2-4机<0，即0<机<4.

综上所述：0Wm<4.

四、解答题(第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共77分.)

15.己知集合尸={x|212—3x+l<0},Q={x|(x—a)(x—a—1)W0}.

(1)若a=l,求PcQ；

(2)若是xeQ的充分条件，求实数a的取值范围.

,1

解：(1)P={尤|一3x+l<0}={x|—Kx<l},

2

当a=l时，e={x|(^-l)(x-2)<0}={x|l<%<2},

则PcQ={l}.

(2)Va<a+l,2={x|(x-a)(x-a-l)<0}={x|a<x<a+l},

尸是％wQ的充分条件，2,解得。

1<«+1…

即实数。的取值范围是o,1.

16计算:

i

A<2\2

(1)—3Q3・4〃3b-3

7\7

(2)210g32-log3—+log38-log29-log32；

(3)已知5“=3,5&=4,用a,。表示log2536.

1

(1(2、(1(2、

6、_2、2

-36』，-I--3

解：(1)Ya%*_3a+4凉万=-a^b-2--3a2b-'-4a3b

55

7\77\7

111-2-l+|

9I,3+2-3.9---

一♦a=--a2b2

55

(2)21og32-log3—+log38-log29-log32

=21og32-51og32+2+31og32--^—-log32=0.

I%2

(3)由5"=3,5“=4知：a=log53,Z?=21og52,jfnlog2536=log56=log52+log53,

b

所以log2536=ci+—.

17.若函数/'(x)为R上的奇函数，且当％>0时，/(%)=X2-4%+3.

(1)求;'(x)在R的解析式;

(2)若aeR,g(x)=f(x)-a,试讨论a取何值时g(x)有两个零点？a取何值时g(x)

有四个零点？

解：(1)由于函数y=/(x)为R上的奇函数，则/(。)=0,

当x<0时，可得-x>0,贝|]/(%)=—/(一%)=—[(一%)2—4(一%)+3]=—%2—4%—3,

x2-4%+3,x>0

综上所述，函数/(力的解析式为〃x)=<0,x=0

—X—4x—3,x<0

(2)由函数g(x)=/(x)—a,令g(x)=0,可得a=/(x),

作出函数y=/(x)与直线丁=。的图象，如图所示:

y

结合图象，可得：

当l<a<3或一3<。<一1时，函数g（%）=/（%）-。有2个零点；

当0<。<1或一1<。<0时，函数g（九）=/（%）-。有4个零点.

18.某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大

量投放市场.已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，

该公司一年内生产该车x万台（OWxWlO）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入

%2+6x+4,0<x<3,

的其它成本为C（x）=144（单位：亿元）.（其中，利润=销售收入

'724x+------107,3<%<10

、x

一总成本）

（1）写出年利润S（x）（亿元）关于年产量无（万台）的函数解析式；

（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润；

（3）若该企业当年不亏本，求年产量x（万台）的取值范围.

解：（1）当0WxW3时，销售收入为20%亿元（每台售价20万元，x万台），

总成本为固定研发成本20亿元加上其他成本必+6x+4亿元.

根据利润=销售收入-总成本，可S(x)=20x-(20+/+6x+4)=-%2+14x-24.

当3<xW10时，销售收入为20x亿元,

144

总成本为20+24%H-------107亿兀.

x

144144

则5(%)=20%-(20+24%+------107)=87-4%-------

XX

—%2+14x—24,04xK3

所以S(x)=<144

87-4%------,3<%<10

,14r

(2)当0WxW3时，S(x)=—d+14x—24,图象开口向下，对称轴为〈=一=,八=7.

2x(-1)

但0WxW3,所以在这个区间上函数单调递增，所以5(力2=S(3)=9亿元.

当3aW10时，根据基本不等式，有4x+>2.=48.

所以S(x)=87—(4x+—)487—48=39亿元，当且仅当4x=——，即％=6取等号.

xx

因为39>9,所以当年产量为6万台时，该企业获利最大，最大年利润为39亿元.

(3)当0WxW3时，S(X)=-X2+14X-24>0,即炉—14X+24W0，解得2WxW12.

结合0WxW3,知道此时2WxW3满足题意.

144144

当3<xW10时，S(x)=87—4x------>0,即4x+-------87<0,

当3<xW10时，y=4f—87x+144单调递减，且％=3时,y=4义9—87x3+144<0.

144

则当34W10,4炉—87x+144W0恒成立，即S(x)=87—4x——20恒成立.

综上所得，该企业当年不亏