广东省茂名市电白区2024-2025学年高一年级上册期中考试数学试卷（含答案）

广东省茂名市电白区2024-2025学年高一上学期期中考

试

2024-2025学年度第一学期期中考试

局一数学

（考试时间：120分钟，总分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知集合'={刘"叫，"则-5=（）

A.[-1,1]B.[-1,0]C.[0,1]D.(-oo,0]

X2+1

2.函数/（%）=2^―^（%〉0）的最小值为（）

X

A.-1B.0C.1D.2

V—1

3.不等式，—20的解集是（）

2%+3

卜|%〈一^或1；

A.B.{x|x>l)

卜』1}D.卜一

C.

4.已知。w7?,贝1]〃>2是4〉2〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2

5.已知函数/（X）=。X为奇函数，则。―（)

2+1

A.2B.1

C.OD.-1

6.关于x的一元二次不等式5―1〉。的解集为<xo<x<；,,则。=（）

A1B.-1C.1或一1D.0.5

7/(x)-/(x2)

7.函数/(x)=X2—QX+1,对VX],X2£(2,+8)且占w%2，八二;〉0，则实数Q的取值范围为

()

A.(T,4)B.[4,+00)C.(-00,4]D.(4,+00)

8.记实数西,》2,…，X”的最小数为min"],%,…再}，若/(x)=min(x+l,x2-2x+l,-x+8),则函数

/(x)的最大值为()

9

A.4B.-C.1D.5

2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.下列各组函数表示同一函数的是()

A.了=区与>=1

X

B.>=疗与>=x

D./(x)=A/X2-9，g(x)=&+3-Vx-3

4

10.已知函数/(x)=x+—,下面有关结论正确的有()

X

A.定义域为(-叫0)U(0,+与B.值域为(-叫-4]U[4,+8)

C.在(-2,0)U(0,2)上单调递减D.图象关于原点对称

11.若a>0,b>Q,^.ab=a+b,则下列结论正确的是()

A.ab的最大值为4B./+〃的最小值为8

C.a+4b的最小值为9D.。的最小值为1

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数/(月=4+万受的定义域为.

X

13.已知函数/0)=。必+2+1,若/(2)=3,则/(—2)=.

X

14.若命题“VxeR,a(l+x)Wx2+3”为真命题，则实数a的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知集合/={x|a-lWx〈2a+l},B=x2-2x<31.

(1)当a=2时，求/U8和/门(«8)；

(2)若“xeN”是“xe8”的充分不必要条件，求实数”的取值范围.

16.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表:

每户每月用水量水价

不超过1On?的部分2元/m3

超过1On?但不超过18m3的部分4元/n?

超过18m3的部分6元/n?

已知该城市对每户居民每月收取环卫服务费10元、污水处理费1元/n?，如果某户居民某月用水量为

xm3,需徼用水总费用为N元.

(1)求y关于x的函数解析式；

(2)若该城市某户居民本月用水量为15m3,求此户居民本月用水总费用；

(3)若该城市某户居民本月用水总费用为50元，求此用户本月用水量.

(3)若该城市某户居民本月缴纳的用水总费用为50元，求此用户本月用水量.

17.已知函数/(x)=2.(丫.［1,+°°))-

(1)根据函数单调性的定义证明函数/(X)在区间［L+S)上单调递减；

(2)若/(6)〉/(2a+3),求实数口的取值范围.

.1

18.已知二次函数/(x)=2%-(4一2左)x+,.

(1)若函数/(%)是偶函数，求实数人的值；

(2)若存在x使/(x)<0成立，求上的取值范围；

(3)当左=0时，求/(x)在区间［2a,a+1］上的最小值.

19.定义两种新运算“㊉”与“保”，满足如下运算法则：对任意的a/eR,有a^b=ab,

✓7—b

a®b=----——p设全集"={x|x=(a㊉6)+(〃(8)6),一2<a«Z?<1且aeZ,b£Z},

A={x\x=2(a㊉Z?)d--------,-l<a〈b<2且aeZ,beZ］、B=<x|x2-3x+m=0}.

b()

(1)求集合U；

(2)求集合A；

(3)集合48是否能满足(«/)口5=0?若能，求出实数机的取值范围；若不能，请说明理由.

2024-2025学年度第一学期期中考试

局一数学

（考试时间：120分钟，总分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知集合'={中训，”{划41},则，n5=（）

A.[-1,1]B.[—1,0]C.[0,1]D.（—oo,0]

【答案】B

【解析】

【分析】解二次不等式得到集合8,再由集合交集的定义得到结果.

【详解】解Y<1得—即8={x|—

A^n5={x|-l<x<0}=[-l,0].

故选：B

2.函数/（》）='=（%〉0）的最小值为（）

x

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据基本不等式的性质即可求解.

【详解】根据题意可知/（x）=二^=x+->2.x--=2（x>0）,

XX\X

当且仅当》=L，即X=1时，等号成立.

X

故选：D

x—1

3.不等式-----20的解集是（）

2x+3

A.B.{x|x>l}

C.D.

【答案】A

【解析】

/(x)/(x)g(x)>0x—1

【分析】利用一4>0o<将分式不等式~~->0转化成整式不等式求解.

g(x)、g"02x+3

Y—1(x-l)(2x+3)>03

【详解】----->00'八),解得或一；

2%+32x+3w02

.♦•不等式上的解集为■或X21].

2x+3[2J

故选：A.

4.已知aeR,则a>2是/〉2q的()

A,充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】首先解不等式/〉2a，再根据不等式的解集即可得到答案.

【详解】因为"一2。〉0na(a-2)〉0na〉2或。<0.

所以a>2是/〉2a的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】本题主要考查充分不必要条件，同时考查了二次不等式，属于简单题.

5.已知函数/(x)=a——红为奇函数，则。=()

2+1

A.2B.1

C.0D.-1

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义列式计算即得.

2

【详解】函数/(x)=a——的定义域为R,由函数/(x)为奇函数，得/(-x)+/(x)=0,

2+1

即a-----------Fci---------=2a-(--------1-------)=2a-2=0,

2一工+12X+11+2，2、+1

所以a=1.

故选：B

6.关于x的一元二次不等式①―1>。的解集为<x()<x<g>,则。=()

A.1B.-1C.1或一1D.0.5

【答案】B

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的对应关系可得结果.

【详解】由题意得，0,；为方程(a—1)/+》+片—i=o的根，

tz2—1=0

•1.\11,,解得a=-1.

-(a-l)+-+a2-l=0

14'2

故选：B.

.y(x)-/(x)八

7.函数/(x)=V—"+1,对7玉,%€(2,+8)且X1w%,八上尸7^〉。，则实数。的取值范围为

()

A.(F,4)B.[4,+CO)C.(-oo,4]D.(4,+co)

【答案】C

【解析】

【分析】利用条件分析函数单调性，结合二次函数对称轴可得结果.

/(X)-/(X,)八

【详解】因为对VX1,%e(2,+8)且X产x2,->o,

所以/(x)在(2,+oo)上为增函数.

由/(x)=x2-ax+l得二次函数开口向上，对称轴为直线x=|,

**•—«2,故QW4.

2

故选：C.

8.记实数西,》2,…，X"的最小数为min{X],/，…再J，若/(x)=min(x+l,x2-2》+1,-》+8),则函数

/(X)的最大值为()

9

A.4B.-C.1D.5

2

【答案】B

【解析】

【分析】由题意在同一个坐标系中，分别作出三个函数的图像，再按要求得到/(X)的图象，结合图像易得

函数/(X)的最大值.

如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数月=》+1,/=/一2》+1,8=—x+8的图象,

而/(x)=min{x+l,x2-2x+l,-x+8}的图象即是图中勾勒出的实线部分，

要求的函数/(x)的最大值即图中最高点A的纵坐标.

-7

(,1X=一

y=x+17/、9

由=_x+8联立解得，9,故所求函数/(x)的最大值为：.

>―%j=-

1,2

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.下列各组函数表示同一函数的是()

A,>=区与>=1

X

B.y=疗与J=x

D./(x)=A/X2-9>g(x)=Jx+3-Vx-3

【答案】BC

【解析】

【分析】同一个函数的定义是既有相同的定义域又有相同的表达式.

【详解】A选项：定义域分别为：》/0和口，定义域不同，所以不是同一个函数；

3

B选项：定义域分别为：R和R,定义域相同，表达式分别是：歹二工和^二j±±=x,表达式相同，

x2+l

所以是同一个函数；

C选项：定义域分别为：R和R,定义域相同，表达式分别是：>=X和>=%,表达式相同，所以是同

一个函数；

D选项：定义域分别为：X23或XV-3和X23,定义域不同，所以不是同一个函数；

故选：BC.

4

10.已知函数/(x)=x+—,下面有关结论正确的有()

x

A,定义域为(-叫0)U(0,+s)B.值域为(-叫-4]U[4,+s)

C.在(-2,0)U(0,2)上单调递减D.图象关于原点对称

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意，结合定义域的求法，基本不等式，以及函数单调性的定义和奇偶性的判定的方法，逐

项判定，即可求解.

4

【详解】对于A中，函数/(x)=x+—有意义，则满足XW0,

X

所以函数/(x)定义域为(-co,0)U(0,+co),所以A正确；

4I4

对于B中，当x>0时，可得X+—N2,义一二4,

当且仅当》=&时，即x=2时，等号成立，所以/(x)24；

X

41I

当x<0时，可得%+—=-[(-x)+-]<-2A(-x)x——=—4,

XXV-X

当且仅当—X=—3时，即x=—2时，等号成立，所以/(x)〈一4,

X

所以函数/(x)的值域为(―co,-4]U[4,+co),所以B正确；

4

对于C中，函数/(x)=x+—在(-2,0),(0,2)上单调递减，所以C不正确；

x

对于D中，函数/(x)定义域为(-叫0)11(0,+8),关于原点对称，

且满足/(-x)=-x--=-(x+-)=—/(x)，所以函数/(x)为奇函数，

XX

函数的图象关于原点对称，所以D正确.

故选：ABD.

11.若a>0,b>0,^.ab=a+b,则下列结论正确的是（）

A.ab的最大值为4B./+〃的最小值为8

C.a+4b的最小值为9D.。的最小值为1

【答案】BC

【解析】

【分析】利用基本不等式可得ab22J茄，利用换元法解不等式得4,可得选项A错误；利用

/+〃22仍可得选项8正确；由a+b=ab得5+工=1,结合基本不等式可得选项C正确；原式可变

ba

形为6=」一，根据a〉0,6>0可得选项D错误.

a-1

【详解】由=。+仇。+63得，ab>2sl~ab.

令，=«K（%〉0）,则/一2/20，

>2,ab>4,当且仅当a=6=2时ab取得最小值4,选项A错误.

/+/22^22x4=8，当且仅当Q=6=2时，/+〃取得最小值8,选项B正确.

由Q+b=〃b得'+'=1,

ba

.・.Q+46=（Q+初［工+』］=@+竺+522^^+5=9，

\ba）ba\ba

n4b3

当且仅当g=」，即b=—,a=3时a+43取得最小值9,选项C正确.

ba2

由。+6=。6得6=&,

a—1

•：a>0,b>0,：.a>\,选项D错误.

故选：BC.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数/（》）=4+万受的定义域为.

X

【答案】{x|x<2且XH0}

【解析】

【分析】由定义域的定义可知：①分母不为0；②偶次根式被开方数为非负数，列出不等式解得范围即可.

【详解】八，；.卜,42且xwO}.

2-x>0'

故答案为：卜,《2且》片0}.

ab

13.已知函数/(X)=Q/+—+1,若/(2)=3,则/(—2)=.

X

【答案】—1

【解析】

【分析】构造奇函数，由奇函数的性质求/(-2)的值.

【详解】令g(x)=/(x)-l=ax3+—,

X

定义域为：(-8,O)U(O,+8),定义域关于原点对称，

则g(一工)=Q(一X)H----——ax—二—g(x),

—XX

则g(x)为奇函数，

.­.g(-2)=-g(2)=-(/(2)-l)=-2

故答案为：-1.

14.若命题“VxeR,a(l+x)<x2+3”为真命题，则实数a的取值范围是.

【答案】[—6,2]

【解析】

【分析】利用判别式法即可得到答案.

【详解】由题意得VxeR,f一。。+力+320,

即VxeR,/一办一。+320,

则△=/—4(3-a)40,解得—6<a<2.

故答案为：[-6,2].

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知集合2=何a-lWx〈2a+l},B=x2-2x<31.

(1)当a=2时，求/U8和/门(«8)；

（2）若“xeN”是“xeB”的充分不必要条件，求实数”的取值范围.

【答案】（1）AV]B={x\-1<x<5},Nc（Q8）={x|3<x<5}；

（2）{a|a<-2或0<aW1}.

【解析】

【分析】（1）根据不等式求解集合A、B,由集合的交、并、补运算即可求解；

（2）由题意得A是8真子集，讨论A为空集，A为非空集两种情况，再根据集合的包含关系求解.

【小问1详解】

a=2时，A={x\l<x<5},

-2x—3=（x—3）（x+l）40,所以可得一1WXW3,

则8=卜|一1<%<3},所以NU8={x|—l〈x<5},

。5={》|》<一1或》〉3},所以Zc（Q8）={x|3<x<5}；

【小问2详解】

若“xeN”是“xeB”的充分不必要条件，则A是5的真子集，

若。一1〉2。+1,即a<—2,则N=0满足题意，

a—12—1

若a2—2,则此时〈°,、且两等号不能同时取得，解得OWaWl,

2a+l<3

所以OWaWl,

综上。的取值范围是{。|。<一2或OWaWl}.

16.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表:

每户每月用水量水价

不超过1On?的部分2元/m3

超过1On?但不超过18m3的部分4元/n?

超过18m3的部分6%/m3

已知该城市对每户居民每月收取环卫服务费10元、污水处理费1元/n?，如果某户居民某月用水量为

xm3,需徼用水总费用为歹元.

（1）求N关于x的函数解析式;

(2)若该城市某户居民本月用水量为15m3,求此户居民本月用水总费用;

(3)若该城市某户居民本月用水总费用为50元，求此用户本月用水量.

3x+10,0<x<10

【答案】(1)J=J5X-10,10<X<18；

7x-46,x>18

(2)65元；

(3)12m3.

【解析】

【分析】(1)分段写出歹关于x的解析式，再写成分段函数即可；

(2)将x=15代入y=5x-10,求解即可；

(3)由题意可知当10<x<18时，40<j^<80,令5x—10=50,求解即可.

【小问1详解】

解：当0<x410时，j=2x+x+10=3x+10；

当10<工<18时_};=20+4(x-10)+x+10=5x-10；

当x〉18时，y=2xl0+8x4+6(x-18)+x+10=7x-46.

3x+10,0<x<10

所以y=<5x-10,10<x<18；

7x-46,x>18

【小问2详解】

解：把x=15,代入y=5x-10,得y=65.

所以此户居民本月用水费用为65元.

【小问3详解】

解：当10<x<18时，40<了480,

所以令5x—10=50,得x=12,

所以此户居民本月用水量为12m3.

(3)若该城市某户居民本月缴纳的用水总费用为50元，求此用户本月用水量.

17.已知函数/(x)=2.(xe[l,+co)).

X+1

(1)根据函数单调性的定义证明函数/(X)在区间[L+S)上单调递减；

(2)若/(/)〉/(24+3),求实数口的取值范围.

【答案】(1)证明见详解

(2)[1,3)

【解析】

/\I\(》2一X)(国心-1)

【分析】(1)任取王〉々21,作差/&)一/(》2)=(7+1：了+1),分析每一个因式的正负，进而

得到/(xj—/(%)<0,可判断单调性；

a2>1

(2)根据第一问得到的函数单调性以及函数定义域可列式<2a+321,解不等式即可得到答案.

a“<2cl+3

【小问1详解】

任取x1>x2>l,

x+X；-xx^-X_(x-Xj)(%1%-1)

则/(xj-/(々)=等2_XJXJ2222

因为再>/21,则(x：+1)>0,x2-X,<0,%[X2-1>0,

则/(西)一/(》2)<0，故/GO在［1,+°°)上单调递减.

【小问2详解】

由(1)得，/(X)在［1,+8)上单调递减,

a2>la<-1或a>1

所以，《2a+3>l,解得<a>-1

a2<2a+3—1<Q<3

所以lWa<3,即所求范围是［1,3).

,1

18.已知二次函数/(x)=2/一(4-2左)x+,.

(1)若函数/(x)是偶函数，求实数左的值；

(2)若存在x使/(x)<0成立，求人的取值范围;

(3)当)=0时,求/(x)在区间［2a,。+1］上的最小值.

【答案】(1)2(2)(3,+00)o(-oo,l)

(3)答案见解析

【解析】

【分析】(1)根据偶函数的定义列出等式求解即可；

(2)依题意可知对应方程2/—(4-2左)x+,=0有两个不等的根，所以A〉0；

(3)/(x)是对称轴为x=l开口向上的抛物线，该题属于定轴动区间类型，只需讨论对称轴在

里面还是外面即可知道/(x)的单调性，进而知道/(x)的最小值.

【小问1详解】

若函数/⑴是偶函数，则/(—x)=/(x),故有2/+(4-2左)》+：=2/一(4一2左)x+g,

得2(4—2左)x=0对任意x都成立，

所以4—2左=0,得左=2

【小问2详解】

91

若存在X使/(x)<0成立，则八=(4—2k)—4乂2义5〉0,

解得左>3或左<1,所以人的取值范围是(3,+co)U(—8,1)；

【小问3详解】

193

当左=0时，/(X)=2X2-4X+-=2(X-1)

为对称轴是x=1开口向上的抛物线，

因为a+l>2a,所以。<1,

当。+1<1即aWO时，/(x)在［2a,a+1］单调递减，

/(X)血n=/(a+l)=2(a+lT)-5=2°2一5；

当2a21即g<a<1时，/(x)在［2a,a+1］单调递增，

31