广东省东莞市五校2024-2025学年高一年级上册第二次联考数学试卷（解析版）

广东省东莞市五校2024-2025学年高一上学期第二次联考

数学试卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

1.-2024是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】B

【解析】因为—2024=-6x360°+136°，可知一2024的终边与136°的终边相同，

而136°为第二象限角，所以-2024是第二象限角.

故选：B.

2.“。>6"是“2>从2,,的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】当时,若c=0,^ac2=bc2=0,即不是"42>儿2”充分条件；

当次？>/7c2时，a>b,即“。>6"是"a。？>加2”必要条件,

综上所述，是“比2>历2”的必要不充分条件.

故选：B.

3.已知a=0.7°7,b=lg0.7,C=L7°7,则b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

【答案】C

【解析】因为函数y=x07在xe（0,+8）时单调递增，

所以0<0.7°7<1.7帖，即0<a<c,

因为函数y=lgx是正实数集上的增函数，

所以Igl>Ig0.7,即》<0,因止匕』<0<a<c.

故选：c.

3

4.已知/是函数〃x)=——Inx的一个零点，则()

X-

A.(0,1)B.(l,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【解析】因为函数丁=—,y=—lnx均在(0,+oo)上单调递减，

x

、3

所以函数/(%)二——lux在(0,+8)上单调递减，

x

33

又/⑵=耳—ln2〉0,/(3)=j-ln3<0,

故零点所在区间为(2,3),所以与©(2,3).

故选：C.

5.己知sinacosa=一«e(0,7i),则sina-costz=()

A.立B.一&C.BD.—近

2222

【答案】A

【解析】因为ae(O,兀)，所以sina>0,

又sinacosa=一‘，所以cosavO,所以sine—cosoO,

8

又(sina-cosa)2=sin2a-2smacosa+cos2a=1-2x(-^)=^,

所以sina-cos。=^~.

2

故选：A.

6.已知命题"：“玉$R,双2+双—3之。，，为假命题，则实数o的取值范围是()

A.{。|a<—12或a20}B.{臼〃<一12或0}

C.{a|-12<〃<0}D.{。|一12<〃40}

【答案】D

【解析】因为命题P：“3xwR,苏+双—3\o，，为假命题,

所以命题一JP："X/GR，ax2+办—3<0”为真命题，

当〃=0时，显然一3<0成立，

当时，要想a/+以一3<。对于\/£氏恒成立，

a<0

只需｛2=>-12<〃<。，

△="+12〃<0

综上所述：实数〃的取值范围是｛臼-12<。40｝.

故选：D.

7.已知函数/（尤）=111（7+2公——）在区间［_1可上单调递减，则a的取值范围为（）

A.aW—1B.a2—1

C.-3<a<-lD.-3<a<-1

【答案】C

【解析】二次函数y=7+2ax——的对称轴为％=。，且开口向下，

因为函数y=Inx是正实数集上的增函数,

又函数〃尤）=ln（7+2ax—V）在区间［—1,1］上单调递减，

则y=7+2℃—必在区间［-1,1］上单调递减，且y>0恒成立,

a<-l

只需满足<=>—3<tz<—1

7+2a-l-l2>0

故选：C.

8.某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加大

投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府2024年全年投入资金120万元，在此基

础上，每年投入的资金比上一年增长20%,则该政府全年投入的资金翻两番（即为2024年

的四倍）的年份是（）（参考数据：1g2ao.30,1g3ao.48）

A.2029年B.2030年C.2031年D.2032年

【答案】D

【解析】设第〃（〃eN*）年该政府全年投入的资金翻两番，依题意得:

120(1+20%)"-1=4x120^(n-l)lgl.2=lg4

21g221g221g221g2

=^>n-1=--=-----=-----------n+1«8.5

lgl.2Ig6-ln5Ig2+lg3-(l-lg2)21g2+lg3-l

因此该政府全年投入的资金翻两番(即为2024年的四倍)的年份是2032年.

故选：D.

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)

9.下列说法，正确的是()

A.cos4(z-sin4a=1-2sin2a

B.若角a与角夕的终边在同一条直线上，则夕―»W2E(左eZ)

C.若角a的终边经过点p(—1,3),则----------=—

D.若扇形的弧长为2,圆心角为30。，则该扇形的面积为乜

兀

【答案】ACD

【解析】对于A,cos46Z-sin46r=^cos2cr-sin2cr^cos2cr+sin2cif)

=cos2cr-sin2cir=1-2sin2cir，故A正确;

对于B,因为角。与角夕的终边在同一条直线上，所以角。与角夕的终边可能重合,

此时a—月=2E(0Z),故B错误;

对于C,因为角a的终边经过点p(—1,3),所以tana=—=—3且cosawO,

-1

cosacosa+cosa111、

所以1---------二------------：------=-------7=Q1M-；，故C正确；

sma+cosa(sma+cosq)+cosatana+1-3+12

TT

对于D,设扇形的半径为一，又扇形的弧长为2,圆心角为30。二：,

6

所以2xr=2,解得r=一,所以该扇形的面积为义2义一=一,故D正确.

67127171

故选：ACD.

10.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()

A.丁=%(2*+2-*)B.y=log2%2

3

c.y=lg(l-x)+lg(l+x)D.y=X

x-1

【答案】BC

【解析】对于A,由于丁=/('=%(2£+2-)导致/(l)=gw—g=/(—1),

故,=龙(2'+27)不是偶函数，故A错误；

对于B,由J〉。，解得xwO,所以y=g(x)=1。82必的定义域为(―oo,0)(0,+oo),

关于原点对称.

22

Xg(-x)=log2(-x)=log2x=g(x),所以y=log2%2是偶函数.

而g⑴=10g21=0,所以，=10g2%2是偶函数又存在零点，故B正确；

1-x>0

对于C,由〈，解得一1<%<1,

1+%>0

所以函数y=/i(x)=lg(l—x)+lg(l+x)的定义域为(-I,I),关于原点对称，

Xh(-x)=1g(1+x)+1g(1-x)=h(x),所以y=lg(l-x)+lg(l+x)是偶函数.

而lg(l-O)+lg(l+O)=O,所以y=lg(l—x)+lg(l+x)存在零点X=0.

所以y=lg(l—x)+lg(l+x)是偶函数又存在零点，故C正确；

对于D,由％—I/O,解得xwl,所以y=的定义域为(—，l)u(l，y).

所以定义域不关于原点对称，所以y=不是偶函数，故D错误.

x1

故选：BC.

11.已知a>0,b>0,下列说法正确的是()

A.若2a+b=4,则1+尸的最小值为5

B.若2。+方=4,则logz^+log2b的最大值为1

C.若2。+/?=4,则4"+2"的最小值为8

219

D.若2a+b=4,则一+——的最小值为一

ab+15

【答案】BCD

3Q13

【解析】A：当。=—,。=1时，显然满足2。+/?=4,而。2+/=一+i=_<5,

244

所以本选项不正确；

2ab1(2a+b\

B：a>Q,b>0,log2a+log2Z?=log2ab=log,<log2----=1,

当且仅当2a=6时取等号，即当a=1川=2时取等号，故本选项正确；

C：4a+2b=22a+2b>2y/22a-2b=^>4fl+2*>2y/22a+b=8，

当且仅当2a=b时取等号，即当a=11=2时取等号，故本选项正确;

D：由2。+/?=4,得2a+Z?+l=5,且a>0,b>0,

2141

贝I一+---1----

aZ?+l2ab+1

]_2a4(6+1)9

5+

5b+12aKN居尸5

当且仅当2L=4（6+I）,即当。=2/=2时取等号，故本选项正确.

Z?+l2a33

故选：BCD.

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.己知函数/'（%）=（疗f—为暴函数，且在（0,+“）上单调递增，则实数机的值

是.

【答案】3

【解析】由题意可知〃/—“2—5=1，解之得加=—2或m=3,

当m=—2时，f（x）=x\此时函数/（X）在（0,+8）上单调递减，不符题意;

当771=3时，/（x）=x3,此时函数/（可在（0,+8）上单调递增，满足题意.

所以实数机的值是3.

13.己知函数/("=加+法+4(a,6为常数)，且〃ln3)=l,则/.

【答案】7

【解析】因为〃ln3)=l,

所以有a(ln3y+bln3+4=lna(ln3)3+Z?ln3=—3,

于是有小n*/(—In3)=a(—In3)3+b(一In3)+4=4一[a(In3)3+Rn3]=4一(一3)=7.

八/、1(5-〃)x+5,x<2

14.己知函数/(%)='J.(其中a>0,且awl).

[a,x>2

(1)若/[/(0)]=点，则实数a的值是；

(2)若〃力的值域为R,则实数。的取值范围为.

【答案】|(1,3]

【解析】(1)由解析式可得：/(0)=5,

所以/[/(0)]=/(5)=。5=5,所以“=

(2)当0<a<l时，y=a',x22的值域为(0,/],

y=(5—a)x+5,x<2,函数在(-00,2)单调递增，值域为：(—8,15-2。)，

显然不符合函数/(x)的值域为R；

当1<。<5时，y=2的值域为[〃,+8),

y=(5—a)x+5,x<2,函数在(-00,2)单调递增，值域为：(-co,15-2a),

若函数的值域为R，则需满足/W15-2a，解得：—5WaW3,

故实数a的取值范围为l<a?3；

当a=5时，显然不符合题意；

当a>5时，丁=优,工22的值域为

y=(5-a)x+5,x<2,函数在(-co,2)单调递减，值域为：(15-2a,-Ko),

显然不符合函数/(x)值域为R；

综上实数。的取值范围为(L3].

四、解答题：(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

2

15.(1)计算坨25+§坨8+3”31哂2.

已知了+』=求2的值•

(2)3,'2一"-2

%-%

9723

解：(1)lg25+-lg8+31+310&2=ls52+~lg23+31x331O&2=21g5+-x31g2+3x3log32

=21g5+21g2+3x23=2(lg5+lg2)+24=2+24=26.

(2)因为X+XT=3，

_,,x3—x~3(x—x-1)(x2+x»x~l+x~2)x2+x»x-1+x~2

所以—5——ZT=--------------------------------=-------------zi------

X~-X2(x-Xl)(x+x1)x+x1

_(X+X-1)2-X—T_32-1_8

x+x-133

16.己知集合A={尤Id<3尤+4},5={x[a<x<a+2}.

(1)当a=l时，求A低8)；

(2)若A3=0,求实数a的取值范围.

解：(1)由X2<3X+4,得(％-4)(%+1)<。，解得一1cx<4,所以A={N-l<x<4},

当a=l时，B=|x|a<x<a+2^=|x|l<x<3},所以=或x>3},

所以741n(a5)={彳|一1<兀<1或3<]<4}.

(2)由(1)可得A={x|—l<x<4},因为。<。+2,所以6/0,

因为AB=0,所以a+2W—1或。24,解得aW—3或。之4,

所以实数a的取值范围{a|aW—3或4}.

17.已知二次函数〃尤)满足〃1)=—1,且/(x+1)-〃x)=2x—1,g(x)为R上的奇

函数，且当％>0时，g(x)=/(x).

⑴求函数g(x)在R上的解析式，在给定的坐标系中画出g(x)的图象，并根据图象写出

函数g(x)的单调增区间；

(2)讨论关于x的方程2g(x)+n?—l=0(mGR)的根的个数.

解：⑴设二次函数〃工)=加+Zzx+c(aW0),则/⑴=a+b+c=-l,

因为+=[a(x+l)2+人(尤+1)+1]—(txv?+&%+1)=2ax+a+b,

^2ax+a+b=2x-l,

2a=2[a=1

所以《,,,解得<c，则c=0,

a+b=-l[b=-2

所以/(x)=d—2x；

当％〉0时，g(x)=/(x)=x2-2x,

当x<0时，一x>0,贝!Ig(-x)=(-x『—2(-x)=无？+2无，

g(x)为R上的奇函数，故g(—x)=-g(x),g⑼=0,

故g(x)=_%2_2x,

x~-2x,%>0

综上，g(x)=<0,x=0,

-%2一2x,x<0

画出函数图象如下:

函数g(%)的单调增区间为(―8,T],[1,+").

⑵由图可知，g(l)=-l,g(-l)=l,

方程2g(x)+"?—l=O,即g(x)=y^,

1—m1—rn

当——>1,即加<—1时，或当——-<-1,即田>3时，方程有一个根；

22

1-rn

当——■=+1,即爪=—1或m=3时，方程有两个根；

2

]—TYI

当一1<----<1,即-1<〃2<3时，方程有三个根.

2

18.东莞广播电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，

主要销售东莞制造的优质产品及东莞对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云

南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云

南野苹果，，等农特产品在东莞热销.通过对过去的一个月(以30天计)的“广西小砂糖橘”的销

售情况的调查发现：每千克的销售价格P(x)(单位：元/千克)关于第x天

(1WXW30,尤eN*)的函数关系近似满足P(x)=10+A(左>0,且为常数)，日销售量

。(无)(单位：千克)关于第X天的部分数据如下表所示：

X914182229

Q(x)5459635952

已知第9的日销售收入为552元.

(1)求左的值；

（2）给出以下四种函数模型:

①Q（x）=ar+6；®Q{x）=a\x-ni\+b③。（x）=a，+b；©C（x）=Z?logax.

请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日

销售量。（X）关于第X天的变化关系，并求出该函数的解析式；

（3）设该工艺品的日销售收入为函数y=/（x）（单位:元）；求函数/（x）的最小值.

解：（1）因为第9的日销售收入为552元，

所以有P（9）-Q（9）=552O54X|10+：）=552=Z:=2.

（2）由函数y=ox+b、>=优+6、y=blog”的解析式可知：这三个函数的单调性要

么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内，即有单调递减又有

递增的情况，

而函数y=。卜一"+》在a<0时，在（TO,加）时是单调递增，在（w,tvq）上单调递减，

由列表可知：Q（x）的单调性是先增后减，因此Q（x）=a|x—加|+》合适，

把(14,59),(18,63),(22,59)代入,

a14-m|+Z?=59m=18

得<a18-机|+6=63n任=63nQ(x)=-|x-18|+63,

a22-m\+b=59a=-1

显然（9,54）,（29,52）也满足函数的解析式.

(3)由题意可知：/(x)=P(x)2(x)=flO+-j(-|x-18|+63),

当l<x<18,xeN*时,

/(x)=h0+|V-(18-x)+63]=9090

452+10%+—>452+2410x•——=512,

xX

90

当且仅当10%=——时取等号，即当x=3时，取等号，此时/（xLnUSlZ；

JC

j^lO+-^[-(x-18)+63]=808-10%+—,

当18cx<30,xeN*时，/(%)=

显然此时函数/(X)单调递减，此时〃x)1nm=7(30)=513.4,

综上所述：函数/(x)的最小值512元.

<7,ev—2+<7

19.己知函数/(%)=为奇函数，其中e^2.718为自然对数的底数.

7+i

(1)求实数。的值，并用定义证明函数/(%)的单调性；

(2)解不等式/(2，M)+/(3—4，)>0；

(3)已知函数h(x)与/(%)的图象关于点(0,-2)对称，设函数

2总、加€：,32,使得/z(xi)=g(%2)成

g(x)=log2(4x)-log42+机，若对“©R，

立，求实数机的取值范围.

解：⑴因为的定义域为R且函数为奇函数,

所以/（0）=0n