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文档简介
重难点突破07不等式恒成立问题
目录
题型一:直接法
题型二:端点恒成立
题型三:端点不成立
■方法技巧总结____________________
1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略:
(1)通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,从而求出参数的取值范围;
(2)利用可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题;
(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时,一般涉及分离参数法,但压轴试题中很少碰到分离参数后
构造的新函数能直接求出最值点的情况,进行求解,若参变分离不易求解问题,就要考虑利用分类讨论法
和放缩法,注意恒成立与存在性问题的区别.
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立,可根据以下原则进行求解:
(1)Vxe。,m</(x)«m</(x)min;
(2)Vxe。,m>/(x)<^>m>/(x)max;
(3)3x&D,加1mx;
(4)3XED,m>/(x)<^m>/(x)min.
3、不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化:
一般地,已知函数y=/(x),x&[a,b\,y=g(x),xe[c,d].
(1)若V%e[a,b],VX2G[C,J],有/'(石)<g(x?)成立,则/(》)_<g(x)1nhi;
(2)若%e[a,6],3x2&[c,d],有/(再)<g(%)成立,则/(x)11g(4一;
(3)若去1可氏耳,3X2&[c,d],有/(xj<g(x2)成立,则/'(x)min<g(H1mx;
(4)若%e[a,6],Bx2e[c,d],有f(%)=g(9)成立,则/(x)的值域是g(x)的值域的子集.
4、法则1若函数/(x)和g(x)满足下列条件:
(1)lim/(x)=O及limg(x)=O;
x—>ax—
(2)在点〃的去心邻域("£,〃)D(〃M+£)内,/(X)与g(X)可导且g'O)。0;
f(X)
那么lim>==5坐
…g(x)…g'(x)
法则2若函数/(x)和g(x)满足下列条件:⑴!变/(x)=0及!吧g(x)=O;
(2)BA>0,/(x)和g(x)在(一oo,Z)与(4+°°)上可导,且g'(x)wO;
/'(x)
(3)
…g(x)
f(x)/'(x)
那么1面,4=1而修1=/.
Xf8g(x)Xf8g(x)
法则3若函数/(X)和g(x)满足下列条件:
(1)lim/(x)=oo及limg(x)=co;
xfaxTa
(2)在点a的去心邻域(4一£,。)3见〃+£)内,/(x)与g(x)可导且g'(x)wO;
/'(x)
(3)lim^4=/,
-g⑺
那么lim里=lim/^,=/.
xrag(x)5g(X)
注意:利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意:
⑴将上面公式中的x-a,x->+oo,xf—oo,x-a+,xftT洛必达法则也成立.
(2)洛必达法则可处理,,?,0.OO,广,②。,。。,8—8型.
(3)在着手求极限以前,首先要检查是否满足,,?,O.oo,f,8°,0°,8-s型定式,否
则滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,
应从另外途径求极限.
(4)若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止.
lim44=lim,4=lim,?,如满足条件,可继续使用洛必达法则.
一a%—g(X)fg(X)
・必考题型归纳____________________
题型一:直接法
例1.(2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)已知函数
⑴已知函数f(x)在(0J(0))处的切线与圆/+/一2工-2了-3=0相切,求实数。的值.
(2)已知xNO时,/⑴钎丁-6-皿亘成立,求实数”的取值范围.
【解析】(1)依题意,圆(尤-1)2+(了-1)2=5的圆心为(1,1),半径为逐,
对函数/(x)求导得f'(x)=x-ae)则函数/(无)的图象在(0,〃0))处的切线斜率为/⑼=-。,而
/(0)=-a,
于是函数/(x)的图象在(0,/(0))处的切线方程为y+a=-ax,即分+y+“=0,
+1+4
从而=A/5,解得a=2
V^2+i2
所以实数。的值为2.
3
(2)g(x)=/(x)+x2++«=—x2-tzex+tzx+tz(x>0),依题意,当xNO时,g(x)WO恒成立,
求导得g'(x)=3x-Qe*+Q,设%(“二31一湛+tz(x>0),求导得〃(x)=3-ae”,
当Q23时,当丘0时,aex>3ex>3,即有〃(同《0,
因此函数人⑴,即g'(x)在[0,+8)上单调递减,于是当20时,gr(x)<gr(O)=O,
则函数g(')在[0,+功上单调递减,从而当时,g(x)<g(O)=O,因此心3,
当0<”3时,当0<x<ln』时,Ar(x)>0,则函数人⑴,即g'(x)在0,1口3)上单调递增,
于是当0<x<ln。时,g'(x)>g,(O)=O,即函数g(x)在[0,In。]上单调递增,
aLaj
因此当0<x<ln,时,g(x)>g(O)=O,不合题意,
当.40时,〃(x)>0,函数〃(x),即g'(x)在[0,+8)上单调递增,
则当xNO时,g'(x"g'(O)=O,即函数g(x)在[0,+8)上单调递增,
于是当尤>0时,g(x)>g⑼=0,不合题意,
所以实数。的取值范围为[3,+oo).
例2.(2023•山东•山东省实验中学校联考模拟预测)已知函数〃x)=e»-a,g(x)=ln(x+a),其中aeR.
⑴讨论方程/(x)=x实数解的个数;
(2)当X21时,不等式〃x)2g(x)恒成立,求。的取值范围.
【解析】(1)由/'(x)=x可得,ex-a-x>
令s(x)=e*-x-a,d(x)=e*T,令y'=0,可得x=0,
当xe(-oo,0),『(x)<。函数s(x)单调递减,
当xe(0,+oo),s<x)>0,函数s(无)单调递增,
所以函数s(x)在x=0时取得最小值l-a,
所以当a<1时,方程/'(x)=尤无实数解,
当。=1时,方程/(耳=丫有一个实数解,
当。>1时,]-a<0,故s(尤)mjn<0,
而s(-a)=片">0,s(a)=e"—2a,
设〃(〃)=e"-2〃,Q>1,贝I[/(Q)=ea-2>0,
故〃(a)在(1,+s)上为增函数,故〃(Q)〉〃(l)=e—2〉0,
故s(x)有两个零点即方程/卜)二%有两个实数解.
(2)由题意可知,
不等式〃x)2g(x)可化为,Qx-a>ln(x+tz),x>,
即当时,e“-ln(x+a)-恒成立,
所以一av1,即a〉一1,
令/z(x)=e"-ln(x+a)-Q,//(x)=ex------,
则〃(X)在[1,+8)上单调递增,而〃'⑴=e-4,
当a⑴20即a2-1+工时,〃(x)N0,,(x)在[1,+oo)上单调递增,
e
故Mx)min=项)=e-ln(l+a)-a,
e-ln(l+a)-a20
由题设可得1,
a>——
、e
设v(a)=e-ln(l+〃)-〃,则该函数在+8)上为减函数,
而y(e-l)=0,i^--<a<e-l.
e
当力(1)<0即T<a<T+工时,因为〃(同+1)=」恒一T—>°,
Q口|+1+〃
故h\x)在(1,+8)上有且只有一个零点X。,
当1<尤</时,〃'(x)<0,而x>x()时,〃'(x)>0,
故〃(x)在(Lx。)上为减函数,在(X。,+00)上为增函数,
x
^A(x)min=e°-ln(x0+fl)-a>0,
rfUeA°=——,故/=一皿/+力^ex°+x-a>0
ICL0
因为天〉1,故e与+/〉l+e〉〃,故一1<。<一1+—符合,
e
综上所述,实数。的取值范围为(-l,e-1].
例3.(2023•全国•统考高考真题)已知函数〃尤)="-当,
cosxI2
⑴当。=1时,讨论/(X)的单调性;
(2)若/(x)+sinx<0,求。的取值范围.
sinx
【解析】⑴因为"1,所以小)*筋
cosxcos2x-2cosx(-sinx)sinxcos2x+2sin2x
则/'(x)=l-=1-3
cos4XCOSX
cos3x-cos2X-2(1-cos2x]cos3X+cos2x-2
cos3Xcos3X
令/=COSX,由于,所以,=COSX£(0,1),
所以cos3x+cos2x—2=r+/—2=/—y+2t2—2=/(%—1)+2(%+1)(%—1)=+2,+2)(%—1),
因为〃+2/+2=«+1)2+1>0,t-l<0,cos3x=『>0,
匚口、|「,/\cos3x+cos2x-2
所以"力—睛—<0在呜J上恒成立,
所以八龙)在(o,t
上单调递减.
(2)法一:
构建g(x)=/(x)+sinx=+sinxl0<x<-^I,
cosx
1+sin2x
则g,(x)=Q+cosx0<x<—,
cos3XI2J
若g(x)=/(x)+sinx<0,且g(0)=/(O)+sinO=O,
贝i]g'(0)=a-l+l=aV0,解得aWO,
、.,ci•sinx=sinx|1——「
当a=0时,因为smx-----厂
COSXICOSX
又xe*,所以0<sinx<l,0<cosx<l,贝>J—>1,
COSX
所以/(x)+sinx=sinx—~^^<0,满足题意;
COSX
当a<0时,由于显然QX<0,
所以〃x)+sinx=ax--^^+sinx<sinx--^f<0,满足题意;
COSXCOSX
综上所述:若〃x)+sinx<0,等价于a40,
所以。的取值范围为(-8,0].
法二:
用出.sinxsinxcos2x-sinxsincosx-1)sin3x
因为smx------=--------;-------=--------5------~----2-'
cosXcosXcosXCOSX
因为所以0<sinx<l,0<cosx<l,
故sinx-金竽<0在(0,与上恒成立,
COSXI2/
所以当〃=0时,/(x)+sinx=sinx-■吗七<0,满足题意;
cosX
IT
当a〈0时,由于0<%<5,显然ax<0,
所以/(x)+sinx=“x-s'”'+sinx<sinx-竽<0,满足题意;
cosxcosx
、[/八门4\•s•mxs•m3x
者Q>UH\T,因为/(xj+smx="x-----+smx=ax------,
cosxcosx
3224
A/\sinx|n兀、miI,z、3sinxcosx+2sinx
令g(x)二办----0<^<-b贝l」g'(X)=Q-----------.---------,
cosxy2)v7cosx
、/4*不H3sin20cos20+2sin40八
汪忌到g(0)=a--------------------=a>0,
若V0<x<],g'(x)>0,则g(x)在“《J上单调递增,
注意到g(o)=。所以g(x)>g(o)=o,即/(x)+sinx>0,不满足题意;
若前<x0<5,g'(%)<。,贝腐'(0)£&)<0,
所以在[。,£|上最靠近尤=0处必存在零点七€。鼻,使得g'(xJ=0,
此时g'(x)在(0,再)上有g'(x)>。所以g(x)在(0,再)上单调递增,
则在(0,%)上有g(x)>g(O)=。即/(x)+sinx〉0,不满足题意;
综上:〃“0.
变式](2023・河南・襄城高中校联考三模)已知函数/(x)=Mnx,g(x)=-T.
⑴若曲线了=/(x)在(1,0)处的切线与曲线y=g(x)相交于不同的两点B(x2,y2),曲线了=g(x)在
A,8点处的切线交于点〃(x°,几),求Xi+Z-Xo的值;
(2)当曲线y=/(x)在(1,0)处的切线与曲线y=g(x)相切时,若Vxe(l,+oo),/(x)+eg(x)>(a+l)e-aer恒
成立,求。的取值范围.
【解析】(1)因为/''(xhE,所以/'⑴=加,
所以曲线了=/(力在(1,0)处的切线方程为〉=〃g-1).
X2-1
由已知得机(X]T)=e*T,m(x2-l)=e,不妨设1<项<々,
又曲线N=g(x)在点/处的切线方程为了=炉-。-占)+。\
在点8处的切线方程为了=力7(》-9)+砂人
两式相减得(e'T-炉一)卜+1)_网户一+/e*2T=0,
X21
将冽(国-1)=,m(x2-1)=e,
代人得(叫-7nx:2)(x+1)-尤i,[机(X]-1)]+/•[机(超-1)]=0,
化简得机(X]—尤2)(%+2—西—Z)=。,
显然加/0,所以加(尤1-马)*0,所以西+%-%=2,又〃(/,九),所以再+%-%=2.
(2)当直线尸机(x-l)与曲线y=g(x)相切时,设切点为尸«,g⑺),
则切线方程为>-尸=/«-。,将点(1,0)代入,解得”2,此时加=e,/(x)=elnx,
根据题意得,Vxe(l,+co),/(x)+eg(x)>((z+l)e-aer,
即ei+lnx+办-a-l>0恒成立.
令F(x)=e*r+a(x-l)+lnx-l121),则,=eA'-1+a+—,令6(x)=P(x),则〃(丁)=尸-勺,
易知〃(x)在[1,。)上单调递增,所以〃(x)2〃⑴=0,
所以尸'(x)在[1,+8)上单调递增,所以尸(x)N4'(l)=a+2.
若aN-2,^F'(x)>a+2>0,即尸(x)在[,e))上单调递增,
则尸(x)2/⑴=0,所以/(x)+eg(x)>(a+l)e-aex在(l,+oo)上恒成立,符合题意;
若“<-2,贝!]b'(l)=a+2<0.
又尸(1+In(-油=e"gZ+q+——\~-=——\~->0,
乂II〃l+ln(-a)l+ln(-a),
所以存在%e(l,l+ln(-<2)),使得尸(%)=0,
当xe(l,x0)时,r(x)<0,尸(x)单调递减,即尸(x)〈尸(1)=0,
所以此时存在xe(l,Xo),使得/(x)+eg(x)<(a+l)e-aex,不符合题意.
综上可得,。的取值范围为12,+8).
题型二:端点恒成立
例4.(2023・四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考模拟预测)设函数
兀3
;A
f(x)=sinx-xcosx0<x<一,g(x)=/(x)+-^sinx-tzx
2
(1)求/(x)在x=]处的切线方程;
(2)若任意xe[O,+s),不等式g(x)VO恒成立,求实数。的取值范围.
【解析】(1)x=2时,/佟]=:;又/'(x)=xsin%i;cosx,贝U左=/(g)=;,
切线方程为:>—:=BPj?=—x+-——
2212J24
(2)g(x)=sinx-xcosx一办3,
则g'(x)-x(sinx-3ax),又令=sinx-3ax,〃(x)=cosx-3a,
①当3aV-l,即aV-g时,”(x)20恒成立,〃(x)在区间电+⑹上单调递增,
〃(力2力(0)=0,g1x)20,二g(x)在区间[0,+8)上单调递增,
.-.g(x)>g(O)=O(不合题意);
②当3。21即。2:时,〃口)40,网可在区间[0,+8)上单调递减,
〃(04〃(0)=0,g'(x)40,二g(x)在区间[0,+8)上单调递减,
.-.g(x)<g(O)=O(符合题意);
③当-1<3°<1,即-g<a<g时,由〃(0)=l-3a>0/(兀)=-1-%<0,
/,3x0e(0,7t),使“伉)=0,且xe(O,x())时,〃(x)>0,/;(x)>伺(0)=0,=(@>0,
.♦.8(尤)在了€(0,%)上单调递增,,8(切>8@=0(不符合题意);
综上,。的取值范围是。2:;
例5.(2023•北京海淀・中央民族大学附属中学校考模拟预测)已知函数〃x)=xlnx-a(/T).
⑴当a=0时,求函数/(x)在点处的切线方程;
(2)若函数了=/'(x)在x=l处取得极值,求实数。的值;
(3)若不等式/(x)W0对尤e[l,+s)恒成立,求实数〃的取值范围.
【解析】⑴当。=0时,〃x)=xlnx,定义域为(0,+s),/'(1)=0,
f\x)—lnx+x---\+\nx,/'⑴=1,
所以函数/(x)在点(1,〃功处的切线方程为y-o=x-l,即X-"1=O.
(2)/'(%)=Inx+x•——2ax=1+Inx-lax,
x
设/'(x)=g(x)=1+Inx—lax,贝!Jg'(x)=--2a,
依题意得g'(l)=O,即。=;,
111-V
当。=—时,g'(x)=—1=----,当0<x<1时,g\x)>0,当x>1时,g'(x)<0,
2xx
所以/'(x)=g(x)在X=1处取得极大值,符合题意.
综上所述:a=1.
(3)当x=l时,/(I)=0,«GR,
当x>l时,fr(x)=l+\nx-2ax,
令h(x)=/r(x)=l+lnx-2ax,x>\,
ni/、1八1-2ax
贝ijh(x)=2a-----,
xx
①当QVO时,〃'(x)〉o在(1,+8)上恒成立,故力(x)=/'(x)在(1,+8)上为增函数,
所以/'(%)>/XI)=i-2a>0,故/(X)在(1,+8)上为增函数,
故/(%)>/⑴=0,不合题意.
②当Q>0时,令力'(%)=0,得、=,,
2a
⑴若241,即时,在x>l时,〃(x)<0,以尤)在@+«>)上为减函数,
2a2
h(x)<h(i)=l-2ai0,即/'(x)<0,AM在(1,用)上为减函数,/(x)</(I)=0,符合题意;
(ii)若—>1,即0<。<一时,
2a2
当时,〃'(x)〉0,〃(x)在上为增函数,/z(x)>A(l)=l-2a>0,
2a2a
/(X)在(1,二)上为增函数,/«>/(1)=0,不合题意.
2a
综上所述:若不等式/(x)W0对xe[l,+3恒成立,则实数短的取值范围是
例6.(2023・湖南•校联考模拟预测)已知函数/'(xblMl+xbgabgjG)与g(x)分别是/(x)与g(x)
的导函数.
(1)证明:当a=1时,方程/(x)=g'(x)在(-1,0)上有且仅有一个实数根;
(2)若对任意的尤e(0,+向,不等式/(x)>g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】(1)/(x)=ln(l+x)J(x)=4,
令〃(”=/(可—(到=!-詈="^3+*T),
J."I人CIA"i人JC
令//(x)=e“+x2-1,则”(x)=e"+2x,
显然〃(X)在(T,0)上是单调递增函数,且〃[g]=[-1<0,〃⑼=1>0,
〃(x)在[-;,°]上有唯一零点吃,
且xe(-1,%)时,”(无)<0,〃(x)单调递减,
xe(xo,O)时,〃(%)>0,〃(x)单调递增,
又〃⑼=0,〃432工0
加434
21
匈=e3+——l>e-1-->0
3J33
.•.〃(切=0在-半■上有唯一的根,
.•"(%)=/'(X)-g'(x)在(-1,0)上有唯一零点,
即/'(x)=g'(x)在(-1,0)上有且仅有一个实数根.
(2)•."(x)-g(x)=ln(l+x)-?="[e*ln(l+x)-办],
令G(x)=exln(l+x)-w[0,+8),贝ljG(0)=0,
/(x)>g(x)等价于:G(x)>0,xe(0,+oo),
ln(l+x)+占—a,G(0)=l-a,
令"(x)=
则〃'(x)=e
2i
令?(无)=皿1+尤)+—
贝I]7'()=-------+=
\x'1+x(1+x)2(1+x)3(1+x)3
故7(x)在[0,+s)上单调递增,7(无”7(0)=1,〃'(x"1>0,
故〃(无)即。(》)在(0,+8)上单调递增,G(》)>1-4,
当aV1时,G(x)>0,
.•.GG)在(o,+e)上单调递增,
G(x)>G(O)=O;
当。>1时,G(0)=1-a<0,取而=e-1+Ina>0,
贝1Jln(l+X])=ln(e+Ina)>Ine=1,1—>0,
e"1=ec,e-1+lna>、e^,Ina=a~,
G'(xJ=e*1In(1+&)+----—a>a.Q+O卜a=0,
Me(0,xj,使得G'(X2)=0,
xe(O,x2)时,G'(x)<0,G(x)单调递减,
此时G(x)<G(0)=0,不符合题意.
综上可知:。的取值范围为(―』.
变式2.(2023・四川成都•石室中学校考模拟预测)已知函数/(》)=+/+》,函数g(x)=e'-2x+sinx.
⑴求函数g(x)的单调区间;
⑵记产(x)=g(x)-r(x),对任意的x20,尸(x"0恒成立,求实数。的取值范围.
【解析】(1)g(x)=ex-2x+sinx,函数定义域为R,
则g,(x)=e"-2+cosx且g,(0)=0,
令夕(x)=g'(x),9'(x)=ex-sinx,xG(0,+a?),(p'[x)=^-sinx>l-sinx>0,在(0,+。)上单调递增,
所以夕⑺=g'(x)〉g'(0)=0,所以g(x)的单调递增区间为(0,+8),
XG(-co,0),g'(x)=e"-2+cosx<cosx-l<0,所以g(力的单调递减区间为(一力,0).
(2)/(x)=^ax3+x,=ax1+1,
则/(%)=g(x)-,(x)=e"-2r+sim-〃x2_i,且尸(0)=0,
尸(x)=e“+cosx-2ax-2,xG[0,,
令6(%)二尸'(工),G'(x)=e"-sinx-2a,
令H(x)=G'(x),%>0时/T(x)=G-cosx>1-cosx>0,
所以G'(x)在[0,+动上单调递增,
①若aV;,G,(x)>G,(O)=l-2a>O,
所以尸(x)在[0,+e)上单调递增,所以尸(无"尸(0)=0,
所以尸(x"尸(0)=0恒成立.
②若q>g,Gl0)=l-2a<0,G,(ln(2tz+2))=2-sin(2a+2)>0,
所以存在尤°e(0,In(2a+2)),使G,(x0)=0,
故存在xe(O,x°),使得G'(x)<0,
此时G(x)单调递减,即尸(无)在(0,x。)上单调递减,
所以尸(x)V/'(0)=0,故尸(无)在(0,无。)上单调递减,
所以此时尸(x)〈尸(0)=0,不合题意.
综上,a
—~2z-
实数。的取值范围为,咫:.
变式3.(2023•宁夏银川•校联考二模)已知函数/@)=詈.
⑴讨论“X)在[0,可上的单调性;
(2)若对于任意xe0e,若函数/(x)4丘恒成立,求实数人的取值范围.
【解析】(1)
*(x)>0,则0<x节;/'(x)<0,则:<x<兀,
所以/'(无)在0,;单调递增,在%兀单调递减.
(2)令8(%)=当匚h,有g(0)=0
e
当上V0时,X>0,e%>0,sinx>0,g(x)>0,不满足;
当人>0时,g'(x)=c°s:sinx/,
令/⑴=g,(x)=cos;sinx”
所以〃(x)=匚泮V0在[o,3恒成立,
则g'(x)在0胃单调递减,
g<0)=T,g[,[*。,
①当1-左VO,即左21时,g,(x)<g,(o)<o,
所以g(x)在0卷单调递减,
所以g(x)4g(O)=O,满足题意;
②当1-左>0,即0<左<1时,
因为g'(x)在问单调递减,g,(0)=l-A>0,=
2
L」e
所以存在唯一X。e(。,!'),使得g'(Xo)=O,
所以g(x)在(0,%)单调递增,
所以g(x0)>g(O)=O,不满足,舍去.
综上:k>\.
变式4.(2023・四川泸州・统考三模)已知函数/(关)=(尤-1)二+办+2.
⑴若/'(x)单调递增,求。的取值范围;
(2)若x20,/(x)>sinx+cosx,求a的取值范围.
【解析】(1)由/(x)=(x-l)eX+ax+2,得/''(x)=xe*+a,
由于f(x)单调递增,则r(%)20即.上一犹,恒成立,
令g(尤)=-xex,则g'(x)=-(尤+l)ex,
可知尤<-1时,g'(x)>0,则g(x)在(-oo,-l)上单调递增;
x>T时,g'(x)<0,则g(x)在(T+«)上单调递减,
故x=-l时,g(x)取得极大值即最大值g(-l)=,,
故所以a的取值范围是|.
eLeJ
(2)由题意xNO时,/(x)2sinx+cos尤恒成立,即(尤-l)e*+办-sinx-cosx+2>0;
令/z(x)=(x-l)e"+ax-sinx-cosx+2,原不等式即为20恒成立,
可得〃(0)=0,h\x)=xex+a-cosx+sinx,〃'(0)=a-\,
令〃(x)=h'(x)=xex+a-cosx+sinx,贝!j/(%)=(x+l)ex+sinx+cosx,
又设心)=(x+l)e",则/(x)=(x+2)e)
则x»0,「(x)〉0,可知心)在[0,+8)上单调递增,
若XE0,^-j,有(x+l)e,>0,sinx+cosx>0,则〃'(x)〉0;
若xep+coj,有(x+l)e-e+1卜2>e,
贝1]/(工)=(工+1,”+sinx+cosx>0,
所以,x>0,u\x)>0,则〃(x)即〃(x)单调递增,
(i)当〃一120即aNl时,/zr(x)>^(0)>0,则力(%)单调递增,
所以,〃(x)N〃(0)=0恒成立,则a并符合题意.
(ii)当Q-1<0即a<1时,〃'(0)<0,
〃'(2-a)=(2-a)e2~a+a-cos(2-a)+sin(2-a)>2-a+a-cos(2-a)+sin(2-a)>0,
存在%©(0,2-0),使得“(Xo)=O,
当0cx时,h\x)<0,贝!]〃(x)在(0,x0)单调递减,
所以力(x)<〃(0)=0,与题意不符,
综上所述,a的取值范围是[1,+8).
题型三:端点不成立
例7.(2023・重庆•统考模拟预测)已知函数〃x)=aln尤-尤(a/0).
⑴讨论函数"X)的极值;
(2)当x>0时,不等式毛-2/(x)2sin[/(x)]+l恒成立,求a的取值范围.
e%
【解析】(1)由题意可得:"X)的定义域为(0,+。),且/(》)=2-1=q二三,
XX
①当a〈0时,则x>0,”—x<0,可得/'(x)<0,
所以/(X)在(0,+“)上单调递减,无极值;
②当a>0时,令r(x)>0,解得0<x<a;令/'(x)<0,解得无>。;
则/«在(0,a)上单调递增,在(«,+«)上单调递减,
所以/(x)有极大值/(a)=alna-a,无小极值;
综上所述:当a<0时,/(x)无极值;
当。>0时,/(口有极大值/(°)=。111。一。,无极小值.
(2)因为、—2/(x)2sin[/(x)]+l,则"⑶-2/(x)-sin[/a)]-120,
ex'
构建g(x)=eR-2尤一sinx-1,贝ijg'(无)=6工一2—cosx,
①当xW0时,则e*Vl,-cosxWl,则8'(尤)=6*-2-0^<0,等号不能同时取到,
所以g(x)在(-8,0]上单调递减;
②当x>0时,构建0(x)=g<x),则”(x)=e'+sinx,
因为e*>l,sinxN-l,则“(x)=e*+sinx>0,
所以°(x)在(O,+⑹上单调递增,
且9(0)=-2<0,0⑴=e-2-cosl>e-2-cos:=e-2->0,
故9(x)在(0,+(»)内存在唯一零点/e(O,l),
当0<x</时,则夕卜)<0;当尤〉无o时,则(p[x}>0;
即当0<x</时,贝iJg'(x)<0;当x〉/时,则g'(x)>0;
所以g(x)在(0,尤。)上单调递减,在(%,+8)上单调递增;
综上所述:8("在(-8,%)上单调递减,在(%,+8)上单调递增,
则g(x)Ng(3)=e'-23一sin4—1,且g(%)<g(0)=0,
g(x)的图象大致为:
对于函数/(x),由(1)可知:
①当a<0时,/(x)在(0,+e)上单调递减,
且当X趋近于0时,/(X)趋近于+00,当X趋近于+00时,/(X)趋近于-8,
即/㈤的值域为R,则g(〃x))20不恒成立,不合题意;
②当。>0时,“X)在(0,a)上单调递增,在(a,+00)上单调递减,
则/(x)V/(“)=“lna-a,且当X趋近于。时,/(x)趋近于-co,当X趋近于+oo时,/(x)趋近于-co,
即/W的值域(falna-a],
若g(7(X)”0恒成立,则/(x)WO恒成立,
BP«Ina-a<0,解得0<aVe;
综上所述:a的取值范围(0,e].
例8.(2023•江苏南京•高二南京市中华中学校考期末)已知函数f(x)=lnx+lna+(a-l)x+2(a>0).
⑴讨论"X)的单调性;
(2)若不等式e-2f(x)恒成立,求实数”的取值范围.
【解析】(1)“X)的定义域为(0,+8),f\x)^-+a-\,
X
当时,f\x)>0,/⑶在(0,+8)上为增函数;
当0<a<1时,由,'(x)>0,得0<x<^—,由,'(x)<0,得x>^—,
l-a\-a
所以/(x)在(0,3)上为减函数,在(J,+8)上为增函数.
1一。\-a
综上所述:当〃21时,/(%)在(0,+8)上为增函数;当0<4<1时,/(%)在(0,J—)上为减函数,在(J—,+8)
l-al-a
上为增函数.
(2)ex~2>/(x)oe"-221nx+lno+(〃一l)x+2<^>ex_2+x-2>In(tzx)+ax
=Inex-2+ex~2>ln(ax)+ax,
设g(x)=Inx+x,则原不等式恒成立等价于g(e^2)>g(办)在(0,+与上恒成立,
gXx)=-+l>0,g(x)在(0,+oo)上为增函数,
X
则g(ei)>g(ax)在(0,+s)上恒成立,等价于2"在(0,+8)上恒成立,
等价于aV目;在(0,+8)上恒成立
X
人7/、e>2ex-2x-ex~2ex-2(x-l)
令h(x)=---(x〉0),h(x)=----------=---------,
xxx
令h\x)<0,得令h\x)>0,得x〉1,
所以〃(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+8)上为增函数,
所以〃(无)min=〃a)=1,故Owl.
ee
Iny
例9.(2023•江西・校联考模拟预测)已知函数/(无
(1)求/(月的单调区间;
(2)若对于任意的xe(0,+oo),/(x)+:+x4aeX恒成立,求实数。的最小值.
【解析】(1)由/(》)=?一》+1定义域为xe(O,+s)
1,,
.—•x-lux-11I2
又=——1=1弋乜
令Mx)=l-lnx-%2,显然在(0,+力)单调递减,且人(1)=0;
.,•当x£(0,1)时,A(x)>0=>/r(x)>0;
当x£(l,+oo)时,/z(x)<0n/x(x)<0.
则;'(X)在(0,1)单调递增,在(1,+⑹单调递减
(2)法一::任意的xe(0,+co),/(x)+g+xVae”恒成立,
・••一尤2+X+In尤V"d-尤2_1恒成立,即a>叶吗土1恒成立
xe
令且匕”则以加{+肥+欣).
令力(x)=x+lnx,则A(x)在(0,+oo)上单调递增,
V/2^=l-l<0,〃⑴=l>0.
存在毛,使得6(%)-%+叫=0
当无€(0户0)时,/?(x)<0,g,(x)>0,g(x)单调递增;
当xe(x(),+co)时,A(x)>0,g/(x)<0,g(x)单调递减,
由%+1啄=0,可得/=-1叫,
(.x0+lnx0+l
.•.g(x)一gW"。
「、%+Inx+1
又〃2------7一
xe
:.a>l,故。的最小值是1.
法二:
.一+X+M,―恒成立,即。2五P恒成立
x+lux+1x+lux+1_x+Inx+1
令g(x)=
」nx—X,nx+x
xeeee
不妨令,=x+to^(x>0),显然"x+lnx在(0,+e)单调递增n/eR.
a>——在E£7?怛成立.
e
令〃«)=与1="«)==
ee
当/£(一8,0)时,;
当££(0,+8)时,“⑺<0即为0在(-8,0)单调递增
力⑺在(0,+劝单调递减
••a>\,故。的最小值是1.
变式5.(2023・四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考模拟预测)已知函数/(x)=ax-lnx,«eR.
(1)若求函数/(x)的最小值及取得最小值时的x值;
⑵若函数/(x)Vxe'-(a+l)lnx对xe(0,+s)恒成立,求实数0的取值范围.
【解析】(1)当。=1时,/(x)--x-lnx,定义域为(0,+"),
ee
所以r(x)=工-工=0,令/。)=0得1=6,
exex
所以,当x«0,e)时,/(%)<0,/(%)单调递减;
当丁£(e,+8)时,/(%)>0,/(x)单调递增,
所以,函数在%=e处取得最小值,/(、).=/⑻=0.
(2)因为函数/(x)d-(a+l)ln%对x£(0,+oo)恒成立
所以xe"—a(x+lnx)20对x£(0,+oo)恒成立,
令〃(%)=xe"—+Inx),x>0,贝ijh\x)=(x+l)ex-«(1+—)=(x+l)(ex--),
xx
①当a=0时,〃(x)=(x+l)eX>0,〃(x)在(0,+e)上单调递增,
所以,由"(x)=xe*可得力(x)>0,即满足xe*-a(x+lnx)20对xe(0,+oo)恒成立;
②当a<0时,则-a>0,h'(x)>0,在(0,+e)上单调递增,
因为当x趋近于0+时,〃(x)趋近于负无穷,不成立,故不满足题意;
③当a>0时,令/㈤=0得”=xe*
令Mx)=e,q,〃(x)=e,+点>0恒成立,故左卜)在(0,+e)上单调递增,
因为当x趋近于正无穷时,左口)趋近于正无穷,当x趋近于o时,左口)趋近于负无穷,
x
所以玉0e(0,+oo),使得〃伉)=0,a=xoe°,
所以,当xe(O,x(,)时,h'(x)<0,人(无)单调递减,
当xe(x(),+co)时,h'(x)>0,无)单调递增,
所以,只需防(力皿=%(%)=卒fI+ln%)=%e%(l-%“即可;
所以,1-Xo-lnXoNO,l>x0+lnx0,因为毛=。-频,所以In/,
所以Inxo+Ao=lnaWl=lne,解得0<aVe,所以,ae(0,e],
综上所解,实数a的取值范围为[0,e].
变式6.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/■(x)=ei-alnx,其中aeR.
⑴当。=1时,讨论/'(x)的单调性;
⑵当xe[O,可时,2〃尤+1)-<:(^21恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当。=1时,/(x)=eI-1-lnx,函数/(x)的定义域为(0,田>),
求导得了'a)=ei-L
显然函数/(X)在(0,+8)上单调递增,且广⑴=0,
因此当工£(0,1)时,/a)<0J(x)单调递减,当X£(1,+8)时,/'(')〉o,/(x)单调递增,
所以/(%)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8).
(2)XG[0,K],令g(x)=2/(x+l)-cosx=2e"-2aln(x+l)-cosx,求导得g'(%)=2e”-------+sinx,
当a<0时,g(x)>0,则g(x)在[0,7i]上单调递增,g(x)>g(0)=2e°—2QIn1-cos0=1,满足题意,
当a>0时,设〃(x)=g'(x),则//0)=2,"+2a
+cosx>0,因此函数>(x),即g'OO在[0,兀]上单调递增,
(x+1)
而g'(0)=2e°-2〃+sin0=2-2a,
⑴当0<a<1时,g'(x)>gf(0)=2-2a>0,g(x)在[0,兀]上单调递增,
于是g(x)2g(0)=2e°—2alnl—cos0=l,满足题意,
(ii)当g'O)=2e冗-----+sin7i<0,即a2(兀+1犬兀时,对VXE[0,兀|,g'(x)V0,则g(x)在(0,兀)上单调递减,
71+1
此时g(x)<g(0)=2e°-In1-cos0=1,不合题意,
(iii)当1<a<(乃+l)eK时,因为g'O)在[0,兀]上单调递增,
且g'(0)g'(无)=(2-2a)(2e"—=)<0,于是%,日0,兀],使g'(x0)=0,且当xe(0,%)时,g,(x)单调递减,
此时g(x)<g(0)=2e°-2«lnl-cos0=l,不合题意,
所以实数。的取值范围为(-*1].
题型四:分离参数之全分离,半分离,换元分离
例10.(2023・湖北武汉・武汉二中校联考模拟预测)已知函数/(x)=ln子+
(1)若a<0J(x)的极大值为3,求实数。的值;
⑵若Vxe(0,+e)J(x)<a尤-l]x--,求实数。的取值范围.
【解析】(1)因为。<0,由三>0,得x<0,即/(尤)的定义域为(-8,0).
a
因为+
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