高考数学重难点突破:不等式恒成立问题(十大题型)(解析版)_第1页
高考数学重难点突破:不等式恒成立问题(十大题型)(解析版)_第2页
高考数学重难点突破:不等式恒成立问题(十大题型)(解析版)_第3页
高考数学重难点突破:不等式恒成立问题(十大题型)(解析版)_第4页
高考数学重难点突破:不等式恒成立问题(十大题型)(解析版)_第5页
已阅读5页,还剩68页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

重难点突破07不等式恒成立问题

目录

题型一:直接法

题型二:端点恒成立

题型三:端点不成立

■方法技巧总结____________________

1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略:

(1)通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,从而求出参数的取值范围;

(2)利用可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题;

(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时,一般涉及分离参数法,但压轴试题中很少碰到分离参数后

构造的新函数能直接求出最值点的情况,进行求解,若参变分离不易求解问题,就要考虑利用分类讨论法

和放缩法,注意恒成立与存在性问题的区别.

2、利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立,可根据以下原则进行求解:

(1)Vxe。,m</(x)«m</(x)min;

(2)Vxe。,m>/(x)<^>m>/(x)max;

(3)3x&D,加1mx;

(4)3XED,m>/(x)<^m>/(x)min.

3、不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化:

一般地,已知函数y=/(x),x&[a,b\,y=g(x),xe[c,d].

(1)若V%e[a,b],VX2G[C,J],有/'(石)<g(x?)成立,则/(》)_<g(x)1nhi;

(2)若%e[a,6],3x2&[c,d],有/(再)<g(%)成立,则/(x)11g(4一;

(3)若去1可氏耳,3X2&[c,d],有/(xj<g(x2)成立,则/'(x)min<g(H1mx;

(4)若%e[a,6],Bx2e[c,d],有f(%)=g(9)成立,则/(x)的值域是g(x)的值域的子集.

4、法则1若函数/(x)和g(x)满足下列条件:

(1)lim/(x)=O及limg(x)=O;

x—>ax—

(2)在点〃的去心邻域("£,〃)D(〃M+£)内,/(X)与g(X)可导且g'O)。0;

f(X)

那么lim>==5坐

…g(x)…g'(x)

法则2若函数/(x)和g(x)满足下列条件:⑴!变/(x)=0及!吧g(x)=O;

(2)BA>0,/(x)和g(x)在(一oo,Z)与(4+°°)上可导,且g'(x)wO;

/'(x)

(3)

…g(x)

f(x)/'(x)

那么1面,4=1而修1=/.

Xf8g(x)Xf8g(x)

法则3若函数/(X)和g(x)满足下列条件:

(1)lim/(x)=oo及limg(x)=co;

xfaxTa

(2)在点a的去心邻域(4一£,。)3见〃+£)内,/(x)与g(x)可导且g'(x)wO;

/'(x)

(3)lim^4=/,

-g⑺

那么lim里=lim/^,=/.

xrag(x)5g(X)

注意:利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意:

⑴将上面公式中的x-a,x->+oo,xf—oo,x-a+,xftT洛必达法则也成立.

(2)洛必达法则可处理,,?,0.OO,广,②。,。。,8—8型.

(3)在着手求极限以前,首先要检查是否满足,,?,O.oo,f,8°,0°,8-s型定式,否

则滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,

应从另外途径求极限.

(4)若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止.

lim44=lim,4=lim,?,如满足条件,可继续使用洛必达法则.

一a%—g(X)fg(X)

・必考题型归纳____________________

题型一:直接法

例1.(2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)已知函数

⑴已知函数f(x)在(0J(0))处的切线与圆/+/一2工-2了-3=0相切,求实数。的值.

(2)已知xNO时,/⑴钎丁-6-皿亘成立,求实数”的取值范围.

【解析】(1)依题意,圆(尤-1)2+(了-1)2=5的圆心为(1,1),半径为逐,

对函数/(x)求导得f'(x)=x-ae)则函数/(无)的图象在(0,〃0))处的切线斜率为/⑼=-。,而

/(0)=-a,

于是函数/(x)的图象在(0,/(0))处的切线方程为y+a=-ax,即分+y+“=0,

+1+4

从而=A/5,解得a=2

V^2+i2

所以实数。的值为2.

3

(2)g(x)=/(x)+x2++«=—x2-tzex+tzx+tz(x>0),依题意,当xNO时,g(x)WO恒成立,

求导得g'(x)=3x-Qe*+Q,设%(“二31一湛+tz(x>0),求导得〃(x)=3-ae”,

当Q23时,当丘0时,aex>3ex>3,即有〃(同《0,

因此函数人⑴,即g'(x)在[0,+8)上单调递减,于是当20时,gr(x)<gr(O)=O,

则函数g(')在[0,+功上单调递减,从而当时,g(x)<g(O)=O,因此心3,

当0<”3时,当0<x<ln』时,Ar(x)>0,则函数人⑴,即g'(x)在0,1口3)上单调递增,

于是当0<x<ln。时,g'(x)>g,(O)=O,即函数g(x)在[0,In。]上单调递增,

aLaj

因此当0<x<ln,时,g(x)>g(O)=O,不合题意,

当.40时,〃(x)>0,函数〃(x),即g'(x)在[0,+8)上单调递增,

则当xNO时,g'(x"g'(O)=O,即函数g(x)在[0,+8)上单调递增,

于是当尤>0时,g(x)>g⑼=0,不合题意,

所以实数。的取值范围为[3,+oo).

例2.(2023•山东•山东省实验中学校联考模拟预测)已知函数〃x)=e»-a,g(x)=ln(x+a),其中aeR.

⑴讨论方程/(x)=x实数解的个数;

(2)当X21时,不等式〃x)2g(x)恒成立,求。的取值范围.

【解析】(1)由/'(x)=x可得,ex-a-x>

令s(x)=e*-x-a,d(x)=e*T,令y'=0,可得x=0,

当xe(-oo,0),『(x)<。函数s(x)单调递减,

当xe(0,+oo),s<x)>0,函数s(无)单调递增,

所以函数s(x)在x=0时取得最小值l-a,

所以当a<1时,方程/'(x)=尤无实数解,

当。=1时,方程/(耳=丫有一个实数解,

当。>1时,]-a<0,故s(尤)mjn<0,

而s(-a)=片">0,s(a)=e"—2a,

设〃(〃)=e"-2〃,Q>1,贝I[/(Q)=ea-2>0,

故〃(a)在(1,+s)上为增函数,故〃(Q)〉〃(l)=e—2〉0,

故s(x)有两个零点即方程/卜)二%有两个实数解.

(2)由题意可知,

不等式〃x)2g(x)可化为,Qx-a>ln(x+tz),x>,

即当时,e“-ln(x+a)-恒成立,

所以一av1,即a〉一1,

令/z(x)=e"-ln(x+a)-Q,//(x)=ex------,

则〃(X)在[1,+8)上单调递增,而〃'⑴=e-4,

当a⑴20即a2-1+工时,〃(x)N0,,(x)在[1,+oo)上单调递增,

e

故Mx)min=项)=e-ln(l+a)-a,

e-ln(l+a)-a20

由题设可得1,

a>——

、e

设v(a)=e-ln(l+〃)-〃,则该函数在+8)上为减函数,

而y(e-l)=0,i^--<a<e-l.

e

当力(1)<0即T<a<T+工时,因为〃(同+1)=」恒一T—>°,

Q口|+1+〃

故h\x)在(1,+8)上有且只有一个零点X。,

当1<尤</时,〃'(x)<0,而x>x()时,〃'(x)>0,

故〃(x)在(Lx。)上为减函数,在(X。,+00)上为增函数,

x

^A(x)min=e°-ln(x0+fl)-a>0,

rfUeA°=——,故/=一皿/+力^ex°+x-a>0

ICL0

因为天〉1,故e与+/〉l+e〉〃,故一1<。<一1+—符合,

e

综上所述,实数。的取值范围为(-l,e-1].

例3.(2023•全国•统考高考真题)已知函数〃尤)="-当,

cosxI2

⑴当。=1时,讨论/(X)的单调性;

(2)若/(x)+sinx<0,求。的取值范围.

sinx

【解析】⑴因为"1,所以小)*筋

cosxcos2x-2cosx(-sinx)sinxcos2x+2sin2x

则/'(x)=l-=1-3

cos4XCOSX

cos3x-cos2X-2(1-cos2x]cos3X+cos2x-2

cos3Xcos3X

令/=COSX,由于,所以,=COSX£(0,1),

所以cos3x+cos2x—2=r+/—2=/—y+2t2—2=/(%—1)+2(%+1)(%—1)=+2,+2)(%—1),

因为〃+2/+2=«+1)2+1>0,t-l<0,cos3x=『>0,

匚口、|「,/\cos3x+cos2x-2

所以"力—睛—<0在呜J上恒成立,

所以八龙)在(o,t

上单调递减.

(2)法一:

构建g(x)=/(x)+sinx=+sinxl0<x<-^I,

cosx

1+sin2x

则g,(x)=Q+cosx0<x<—,

cos3XI2J

若g(x)=/(x)+sinx<0,且g(0)=/(O)+sinO=O,

贝i]g'(0)=a-l+l=aV0,解得aWO,

、.,ci•sinx=sinx|1——「

当a=0时,因为smx-----厂

COSXICOSX

又xe*,所以0<sinx<l,0<cosx<l,贝>J—>1,

COSX

所以/(x)+sinx=sinx—~^^<0,满足题意;

COSX

当a<0时,由于显然QX<0,

所以〃x)+sinx=ax--^^+sinx<sinx--^f<0,满足题意;

COSXCOSX

综上所述:若〃x)+sinx<0,等价于a40,

所以。的取值范围为(-8,0].

法二:

用出.sinxsinxcos2x-sinxsincosx-1)sin3x

因为smx------=--------;-------=--------5------~----2-'

cosXcosXcosXCOSX

因为所以0<sinx<l,0<cosx<l,

故sinx-金竽<0在(0,与上恒成立,

COSXI2/

所以当〃=0时,/(x)+sinx=sinx-■吗七<0,满足题意;

cosX

IT

当a〈0时,由于0<%<5,显然ax<0,

所以/(x)+sinx=“x-s'”'+sinx<sinx-竽<0,满足题意;

cosxcosx

、[/八门4\•s•mxs•m3x

者Q>UH\T,因为/(xj+smx="x-----+smx=ax------,

cosxcosx

3224

A/\sinx|n兀、miI,z、3sinxcosx+2sinx

令g(x)二办----0<^<-b贝l」g'(X)=Q-----------.---------,

cosxy2)v7cosx

、/4*不H3sin20cos20+2sin40八

汪忌到g(0)=a--------------------=a>0,

若V0<x<],g'(x)>0,则g(x)在“《J上单调递增,

注意到g(o)=。所以g(x)>g(o)=o,即/(x)+sinx>0,不满足题意;

若前<x0<5,g'(%)<。,贝腐'(0)£&)<0,

所以在[。,£|上最靠近尤=0处必存在零点七€。鼻,使得g'(xJ=0,

此时g'(x)在(0,再)上有g'(x)>。所以g(x)在(0,再)上单调递增,

则在(0,%)上有g(x)>g(O)=。即/(x)+sinx〉0,不满足题意;

综上:〃“0.

变式](2023・河南・襄城高中校联考三模)已知函数/(x)=Mnx,g(x)=-T.

⑴若曲线了=/(x)在(1,0)处的切线与曲线y=g(x)相交于不同的两点B(x2,y2),曲线了=g(x)在

A,8点处的切线交于点〃(x°,几),求Xi+Z-Xo的值;

(2)当曲线y=/(x)在(1,0)处的切线与曲线y=g(x)相切时,若Vxe(l,+oo),/(x)+eg(x)>(a+l)e-aer恒

成立,求。的取值范围.

【解析】(1)因为/''(xhE,所以/'⑴=加,

所以曲线了=/(力在(1,0)处的切线方程为〉=〃g-1).

X2-1

由已知得机(X]T)=e*T,m(x2-l)=e,不妨设1<项<々,

又曲线N=g(x)在点/处的切线方程为了=炉-。-占)+。\

在点8处的切线方程为了=力7(》-9)+砂人

两式相减得(e'T-炉一)卜+1)_网户一+/e*2T=0,

X21

将冽(国-1)=,m(x2-1)=e,

代人得(叫-7nx:2)(x+1)-尤i,[机(X]-1)]+/•[机(超-1)]=0,

化简得机(X]—尤2)(%+2—西—Z)=。,

显然加/0,所以加(尤1-马)*0,所以西+%-%=2,又〃(/,九),所以再+%-%=2.

(2)当直线尸机(x-l)与曲线y=g(x)相切时,设切点为尸«,g⑺),

则切线方程为>-尸=/«-。,将点(1,0)代入,解得”2,此时加=e,/(x)=elnx,

根据题意得,Vxe(l,+co),/(x)+eg(x)>((z+l)e-aer,

即ei+lnx+办-a-l>0恒成立.

令F(x)=e*r+a(x-l)+lnx-l121),则,=eA'-1+a+—,令6(x)=P(x),则〃(丁)=尸-勺,

易知〃(x)在[1,。)上单调递增,所以〃(x)2〃⑴=0,

所以尸'(x)在[1,+8)上单调递增,所以尸(x)N4'(l)=a+2.

若aN-2,^F'(x)>a+2>0,即尸(x)在[,e))上单调递增,

则尸(x)2/⑴=0,所以/(x)+eg(x)>(a+l)e-aex在(l,+oo)上恒成立,符合题意;

若“<-2,贝!]b'(l)=a+2<0.

又尸(1+In(-油=e"gZ+q+——\~-=——\~->0,

乂II〃l+ln(-a)l+ln(-a),

所以存在%e(l,l+ln(-<2)),使得尸(%)=0,

当xe(l,x0)时,r(x)<0,尸(x)单调递减,即尸(x)〈尸(1)=0,

所以此时存在xe(l,Xo),使得/(x)+eg(x)<(a+l)e-aex,不符合题意.

综上可得,。的取值范围为12,+8).

题型二:端点恒成立

例4.(2023・四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考模拟预测)设函数

兀3

;A

f(x)=sinx-xcosx0<x<一,g(x)=/(x)+-^sinx-tzx

2

(1)求/(x)在x=]处的切线方程;

(2)若任意xe[O,+s),不等式g(x)VO恒成立,求实数。的取值范围.

【解析】(1)x=2时,/佟]=:;又/'(x)=xsin%i;cosx,贝U左=/(g)=;,

切线方程为:>—:=BPj?=—x+-——

2212J24

(2)g(x)=sinx-xcosx一办3,

则g'(x)-x(sinx-3ax),又令=sinx-3ax,〃(x)=cosx-3a,

①当3aV-l,即aV-g时,”(x)20恒成立,〃(x)在区间电+⑹上单调递增,

〃(力2力(0)=0,g1x)20,二g(x)在区间[0,+8)上单调递增,

.-.g(x)>g(O)=O(不合题意);

②当3。21即。2:时,〃口)40,网可在区间[0,+8)上单调递减,

〃(04〃(0)=0,g'(x)40,二g(x)在区间[0,+8)上单调递减,

.-.g(x)<g(O)=O(符合题意);

③当-1<3°<1,即-g<a<g时,由〃(0)=l-3a>0/(兀)=-1-%<0,

/,3x0e(0,7t),使“伉)=0,且xe(O,x())时,〃(x)>0,/;(x)>伺(0)=0,=(@>0,

.♦.8(尤)在了€(0,%)上单调递增,,8(切>8@=0(不符合题意);

综上,。的取值范围是。2:;

例5.(2023•北京海淀・中央民族大学附属中学校考模拟预测)已知函数〃x)=xlnx-a(/T).

⑴当a=0时,求函数/(x)在点处的切线方程;

(2)若函数了=/'(x)在x=l处取得极值,求实数。的值;

(3)若不等式/(x)W0对尤e[l,+s)恒成立,求实数〃的取值范围.

【解析】⑴当。=0时,〃x)=xlnx,定义域为(0,+s),/'(1)=0,

f\x)—lnx+x---\+\nx,/'⑴=1,

所以函数/(x)在点(1,〃功处的切线方程为y-o=x-l,即X-"1=O.

(2)/'(%)=Inx+x•——2ax=1+Inx-lax,

x

设/'(x)=g(x)=1+Inx—lax,贝!Jg'(x)=--2a,

依题意得g'(l)=O,即。=;,

111-V

当。=—时,g'(x)=—1=----,当0<x<1时,g\x)>0,当x>1时,g'(x)<0,

2xx

所以/'(x)=g(x)在X=1处取得极大值,符合题意.

综上所述:a=1.

(3)当x=l时,/(I)=0,«GR,

当x>l时,fr(x)=l+\nx-2ax,

令h(x)=/r(x)=l+lnx-2ax,x>\,

ni/、1八1-2ax

贝ijh(x)=2a-----,

xx

①当QVO时,〃'(x)〉o在(1,+8)上恒成立,故力(x)=/'(x)在(1,+8)上为增函数,

所以/'(%)>/XI)=i-2a>0,故/(X)在(1,+8)上为增函数,

故/(%)>/⑴=0,不合题意.

②当Q>0时,令力'(%)=0,得、=,,

2a

⑴若241,即时,在x>l时,〃(x)<0,以尤)在@+«>)上为减函数,

2a2

h(x)<h(i)=l-2ai0,即/'(x)<0,AM在(1,用)上为减函数,/(x)</(I)=0,符合题意;

(ii)若—>1,即0<。<一时,

2a2

当时,〃'(x)〉0,〃(x)在上为增函数,/z(x)>A(l)=l-2a>0,

2a2a

/(X)在(1,二)上为增函数,/«>/(1)=0,不合题意.

2a

综上所述:若不等式/(x)W0对xe[l,+3恒成立,则实数短的取值范围是

例6.(2023・湖南•校联考模拟预测)已知函数/'(xblMl+xbgabgjG)与g(x)分别是/(x)与g(x)

的导函数.

(1)证明:当a=1时,方程/(x)=g'(x)在(-1,0)上有且仅有一个实数根;

(2)若对任意的尤e(0,+向,不等式/(x)>g(x)恒成立,求实数a的取值范围.

【解析】(1)/(x)=ln(l+x)J(x)=4,

令〃(”=/(可—(到=!-詈="^3+*T),

J."I人CIA"i人JC

令//(x)=e“+x2-1,则”(x)=e"+2x,

显然〃(X)在(T,0)上是单调递增函数,且〃[g]=[-1<0,〃⑼=1>0,

〃(x)在[-;,°]上有唯一零点吃,

且xe(-1,%)时,”(无)<0,〃(x)单调递减,

xe(xo,O)时,〃(%)>0,〃(x)单调递增,

又〃⑼=0,〃432工0

加434

21

匈=e3+——l>e-1-->0

3J33

.•.〃(切=0在-半■上有唯一的根,

.•"(%)=/'(X)-g'(x)在(-1,0)上有唯一零点,

即/'(x)=g'(x)在(-1,0)上有且仅有一个实数根.

(2)•."(x)-g(x)=ln(l+x)-?="[e*ln(l+x)-办],

令G(x)=exln(l+x)-w[0,+8),贝ljG(0)=0,

/(x)>g(x)等价于:G(x)>0,xe(0,+oo),

ln(l+x)+占—a,G(0)=l-a,

令"(x)=

则〃'(x)=e

2i

令?(无)=皿1+尤)+—

贝I]7'()=-------+=

\x'1+x(1+x)2(1+x)3(1+x)3

故7(x)在[0,+s)上单调递增,7(无”7(0)=1,〃'(x"1>0,

故〃(无)即。(》)在(0,+8)上单调递增,G(》)>1-4,

当aV1时,G(x)>0,

.•.GG)在(o,+e)上单调递增,

G(x)>G(O)=O;

当。>1时,G(0)=1-a<0,取而=e-1+Ina>0,

贝1Jln(l+X])=ln(e+Ina)>Ine=1,1—>0,

e"1=ec,e-1+lna>、e^,Ina=a~,

G'(xJ=e*1In(1+&)+----—a>a.Q+O卜a=0,

Me(0,xj,使得G'(X2)=0,

xe(O,x2)时,G'(x)<0,G(x)单调递减,

此时G(x)<G(0)=0,不符合题意.

综上可知:。的取值范围为(―』.

变式2.(2023・四川成都•石室中学校考模拟预测)已知函数/(》)=+/+》,函数g(x)=e'-2x+sinx.

⑴求函数g(x)的单调区间;

⑵记产(x)=g(x)-r(x),对任意的x20,尸(x"0恒成立,求实数。的取值范围.

【解析】(1)g(x)=ex-2x+sinx,函数定义域为R,

则g,(x)=e"-2+cosx且g,(0)=0,

令夕(x)=g'(x),9'(x)=ex-sinx,xG(0,+a?),(p'[x)=^-sinx>l-sinx>0,在(0,+。)上单调递增,

所以夕⑺=g'(x)〉g'(0)=0,所以g(x)的单调递增区间为(0,+8),

XG(-co,0),g'(x)=e"-2+cosx<cosx-l<0,所以g(力的单调递减区间为(一力,0).

(2)/(x)=^ax3+x,=ax1+1,

则/(%)=g(x)-,(x)=e"-2r+sim-〃x2_i,且尸(0)=0,

尸(x)=e“+cosx-2ax-2,xG[0,,

令6(%)二尸'(工),G'(x)=e"-sinx-2a,

令H(x)=G'(x),%>0时/T(x)=G-cosx>1-cosx>0,

所以G'(x)在[0,+动上单调递增,

①若aV;,G,(x)>G,(O)=l-2a>O,

所以尸(x)在[0,+e)上单调递增,所以尸(无"尸(0)=0,

所以尸(x"尸(0)=0恒成立.

②若q>g,Gl0)=l-2a<0,G,(ln(2tz+2))=2-sin(2a+2)>0,

所以存在尤°e(0,In(2a+2)),使G,(x0)=0,

故存在xe(O,x°),使得G'(x)<0,

此时G(x)单调递减,即尸(无)在(0,x。)上单调递减,

所以尸(x)V/'(0)=0,故尸(无)在(0,无。)上单调递减,

所以此时尸(x)〈尸(0)=0,不合题意.

综上,a

—~2z-

实数。的取值范围为,咫:.

变式3.(2023•宁夏银川•校联考二模)已知函数/@)=詈.

⑴讨论“X)在[0,可上的单调性;

(2)若对于任意xe0e,若函数/(x)4丘恒成立,求实数人的取值范围.

【解析】(1)

*(x)>0,则0<x节;/'(x)<0,则:<x<兀,

所以/'(无)在0,;单调递增,在%兀单调递减.

(2)令8(%)=当匚h,有g(0)=0

e

当上V0时,X>0,e%>0,sinx>0,g(x)>0,不满足;

当人>0时,g'(x)=c°s:sinx/,

令/⑴=g,(x)=cos;sinx”

所以〃(x)=匚泮V0在[o,3恒成立,

则g'(x)在0胃单调递减,

g<0)=T,g[,[*。,

①当1-左VO,即左21时,g,(x)<g,(o)<o,

所以g(x)在0卷单调递减,

所以g(x)4g(O)=O,满足题意;

②当1-左>0,即0<左<1时,

因为g'(x)在问单调递减,g,(0)=l-A>0,=

2

L」e

所以存在唯一X。e(。,!'),使得g'(Xo)=O,

所以g(x)在(0,%)单调递增,

所以g(x0)>g(O)=O,不满足,舍去.

综上:k>\.

变式4.(2023・四川泸州・统考三模)已知函数/(关)=(尤-1)二+办+2.

⑴若/'(x)单调递增,求。的取值范围;

(2)若x20,/(x)>sinx+cosx,求a的取值范围.

【解析】(1)由/(x)=(x-l)eX+ax+2,得/''(x)=xe*+a,

由于f(x)单调递增,则r(%)20即.上一犹,恒成立,

令g(尤)=-xex,则g'(x)=-(尤+l)ex,

可知尤<-1时,g'(x)>0,则g(x)在(-oo,-l)上单调递增;

x>T时,g'(x)<0,则g(x)在(T+«)上单调递减,

故x=-l时,g(x)取得极大值即最大值g(-l)=,,

故所以a的取值范围是|.

eLeJ

(2)由题意xNO时,/(x)2sinx+cos尤恒成立,即(尤-l)e*+办-sinx-cosx+2>0;

令/z(x)=(x-l)e"+ax-sinx-cosx+2,原不等式即为20恒成立,

可得〃(0)=0,h\x)=xex+a-cosx+sinx,〃'(0)=a-\,

令〃(x)=h'(x)=xex+a-cosx+sinx,贝!j/(%)=(x+l)ex+sinx+cosx,

又设心)=(x+l)e",则/(x)=(x+2)e)

则x»0,「(x)〉0,可知心)在[0,+8)上单调递增,

若XE0,^-j,有(x+l)e,>0,sinx+cosx>0,则〃'(x)〉0;

若xep+coj,有(x+l)e-e+1卜2>e,

贝1]/(工)=(工+1,”+sinx+cosx>0,

所以,x>0,u\x)>0,则〃(x)即〃(x)单调递增,

(i)当〃一120即aNl时,/zr(x)>^(0)>0,则力(%)单调递增,

所以,〃(x)N〃(0)=0恒成立,则a并符合题意.

(ii)当Q-1<0即a<1时,〃'(0)<0,

〃'(2-a)=(2-a)e2~a+a-cos(2-a)+sin(2-a)>2-a+a-cos(2-a)+sin(2-a)>0,

存在%©(0,2-0),使得“(Xo)=O,

当0cx时,h\x)<0,贝!]〃(x)在(0,x0)单调递减,

所以力(x)<〃(0)=0,与题意不符,

综上所述,a的取值范围是[1,+8).

题型三:端点不成立

例7.(2023・重庆•统考模拟预测)已知函数〃x)=aln尤-尤(a/0).

⑴讨论函数"X)的极值;

(2)当x>0时,不等式毛-2/(x)2sin[/(x)]+l恒成立,求a的取值范围.

e%

【解析】(1)由题意可得:"X)的定义域为(0,+。),且/(》)=2-1=q二三,

XX

①当a〈0时,则x>0,”—x<0,可得/'(x)<0,

所以/(X)在(0,+“)上单调递减,无极值;

②当a>0时,令r(x)>0,解得0<x<a;令/'(x)<0,解得无>。;

则/«在(0,a)上单调递增,在(«,+«)上单调递减,

所以/(x)有极大值/(a)=alna-a,无小极值;

综上所述:当a<0时,/(x)无极值;

当。>0时,/(口有极大值/(°)=。111。一。,无极小值.

(2)因为、—2/(x)2sin[/(x)]+l,则"⑶-2/(x)-sin[/a)]-120,

ex'

构建g(x)=eR-2尤一sinx-1,贝ijg'(无)=6工一2—cosx,

①当xW0时,则e*Vl,-cosxWl,则8'(尤)=6*-2-0^<0,等号不能同时取到,

所以g(x)在(-8,0]上单调递减;

②当x>0时,构建0(x)=g<x),则”(x)=e'+sinx,

因为e*>l,sinxN-l,则“(x)=e*+sinx>0,

所以°(x)在(O,+⑹上单调递增,

且9(0)=-2<0,0⑴=e-2-cosl>e-2-cos:=e-2->0,

故9(x)在(0,+(»)内存在唯一零点/e(O,l),

当0<x</时,则夕卜)<0;当尤〉无o时,则(p[x}>0;

即当0<x</时,贝iJg'(x)<0;当x〉/时,则g'(x)>0;

所以g(x)在(0,尤。)上单调递减,在(%,+8)上单调递增;

综上所述:8("在(-8,%)上单调递减,在(%,+8)上单调递增,

则g(x)Ng(3)=e'-23一sin4—1,且g(%)<g(0)=0,

g(x)的图象大致为:

对于函数/(x),由(1)可知:

①当a<0时,/(x)在(0,+e)上单调递减,

且当X趋近于0时,/(X)趋近于+00,当X趋近于+00时,/(X)趋近于-8,

即/㈤的值域为R,则g(〃x))20不恒成立,不合题意;

②当。>0时,“X)在(0,a)上单调递增,在(a,+00)上单调递减,

则/(x)V/(“)=“lna-a,且当X趋近于。时,/(x)趋近于-co,当X趋近于+oo时,/(x)趋近于-co,

即/W的值域(falna-a],

若g(7(X)”0恒成立,则/(x)WO恒成立,

BP«Ina-a<0,解得0<aVe;

综上所述:a的取值范围(0,e].

例8.(2023•江苏南京•高二南京市中华中学校考期末)已知函数f(x)=lnx+lna+(a-l)x+2(a>0).

⑴讨论"X)的单调性;

(2)若不等式e-2f(x)恒成立,求实数”的取值范围.

【解析】(1)“X)的定义域为(0,+8),f\x)^-+a-\,

X

当时,f\x)>0,/⑶在(0,+8)上为增函数;

当0<a<1时,由,'(x)>0,得0<x<^—,由,'(x)<0,得x>^—,

l-a\-a

所以/(x)在(0,3)上为减函数,在(J,+8)上为增函数.

1一。\-a

综上所述:当〃21时,/(%)在(0,+8)上为增函数;当0<4<1时,/(%)在(0,J—)上为减函数,在(J—,+8)

l-al-a

上为增函数.

(2)ex~2>/(x)oe"-221nx+lno+(〃一l)x+2<^>ex_2+x-2>In(tzx)+ax

=Inex-2+ex~2>ln(ax)+ax,

设g(x)=Inx+x,则原不等式恒成立等价于g(e^2)>g(办)在(0,+与上恒成立,

gXx)=-+l>0,g(x)在(0,+oo)上为增函数,

X

则g(ei)>g(ax)在(0,+s)上恒成立,等价于2"在(0,+8)上恒成立,

等价于aV目;在(0,+8)上恒成立

X

人7/、e>2ex-2x-ex~2ex-2(x-l)

令h(x)=---(x〉0),h(x)=----------=---------,

xxx

令h\x)<0,得令h\x)>0,得x〉1,

所以〃(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+8)上为增函数,

所以〃(无)min=〃a)=1,故Owl.

ee

Iny

例9.(2023•江西・校联考模拟预测)已知函数/(无

(1)求/(月的单调区间;

(2)若对于任意的xe(0,+oo),/(x)+:+x4aeX恒成立,求实数。的最小值.

【解析】(1)由/(》)=?一》+1定义域为xe(O,+s)

1,,

.—•x-lux-11I2

又=——1=1弋乜

令Mx)=l-lnx-%2,显然在(0,+力)单调递减,且人(1)=0;

.,•当x£(0,1)时,A(x)>0=>/r(x)>0;

当x£(l,+oo)时,/z(x)<0n/x(x)<0.

则;'(X)在(0,1)单调递增,在(1,+⑹单调递减

(2)法一::任意的xe(0,+co),/(x)+g+xVae”恒成立,

・••一尤2+X+In尤V"d-尤2_1恒成立,即a>叶吗土1恒成立

xe

令且匕”则以加{+肥+欣).

令力(x)=x+lnx,则A(x)在(0,+oo)上单调递增,

V/2^=l-l<0,〃⑴=l>0.

存在毛,使得6(%)-%+叫=0

当无€(0户0)时,/?(x)<0,g,(x)>0,g(x)单调递增;

当xe(x(),+co)时,A(x)>0,g/(x)<0,g(x)单调递减,

由%+1啄=0,可得/=-1叫,

(.x0+lnx0+l

.•.g(x)一gW"。

「、%+Inx+1

又〃2------7一

xe

:.a>l,故。的最小值是1.

法二:

.一+X+M,―恒成立,即。2五P恒成立

x+lux+1x+lux+1_x+Inx+1

令g(x)=

」nx—X,nx+x

xeeee

不妨令,=x+to^(x>0),显然"x+lnx在(0,+e)单调递增n/eR.

a>——在E£7?怛成立.

e

令〃«)=与1="«)==

ee

当/£(一8,0)时,;

当££(0,+8)时,“⑺<0即为0在(-8,0)单调递增

力⑺在(0,+劝单调递减

••a>\,故。的最小值是1.

变式5.(2023・四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考模拟预测)已知函数/(x)=ax-lnx,«eR.

(1)若求函数/(x)的最小值及取得最小值时的x值;

⑵若函数/(x)Vxe'-(a+l)lnx对xe(0,+s)恒成立,求实数0的取值范围.

【解析】(1)当。=1时,/(x)--x-lnx,定义域为(0,+"),

ee

所以r(x)=工-工=0,令/。)=0得1=6,

exex

所以,当x«0,e)时,/(%)<0,/(%)单调递减;

当丁£(e,+8)时,/(%)>0,/(x)单调递增,

所以,函数在%=e处取得最小值,/(、).=/⑻=0.

(2)因为函数/(x)d-(a+l)ln%对x£(0,+oo)恒成立

所以xe"—a(x+lnx)20对x£(0,+oo)恒成立,

令〃(%)=xe"—+Inx),x>0,贝ijh\x)=(x+l)ex-«(1+—)=(x+l)(ex--),

xx

①当a=0时,〃(x)=(x+l)eX>0,〃(x)在(0,+e)上单调递增,

所以,由"(x)=xe*可得力(x)>0,即满足xe*-a(x+lnx)20对xe(0,+oo)恒成立;

②当a<0时,则-a>0,h'(x)>0,在(0,+e)上单调递增,

因为当x趋近于0+时,〃(x)趋近于负无穷,不成立,故不满足题意;

③当a>0时,令/㈤=0得”=xe*

令Mx)=e,q,〃(x)=e,+点>0恒成立,故左卜)在(0,+e)上单调递增,

因为当x趋近于正无穷时,左口)趋近于正无穷,当x趋近于o时,左口)趋近于负无穷,

x

所以玉0e(0,+oo),使得〃伉)=0,a=xoe°,

所以,当xe(O,x(,)时,h'(x)<0,人(无)单调递减,

当xe(x(),+co)时,h'(x)>0,无)单调递增,

所以,只需防(力皿=%(%)=卒fI+ln%)=%e%(l-%“即可;

所以,1-Xo-lnXoNO,l>x0+lnx0,因为毛=。-频,所以In/,

所以Inxo+Ao=lnaWl=lne,解得0<aVe,所以,ae(0,e],

综上所解,实数a的取值范围为[0,e].

变式6.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/■(x)=ei-alnx,其中aeR.

⑴当。=1时,讨论/'(x)的单调性;

⑵当xe[O,可时,2〃尤+1)-<:(^21恒成立,求实数a的取值范围.

【解析】(1)当。=1时,/(x)=eI-1-lnx,函数/(x)的定义域为(0,田>),

求导得了'a)=ei-L

显然函数/(X)在(0,+8)上单调递增,且广⑴=0,

因此当工£(0,1)时,/a)<0J(x)单调递减,当X£(1,+8)时,/'(')〉o,/(x)单调递增,

所以/(%)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8).

(2)XG[0,K],令g(x)=2/(x+l)-cosx=2e"-2aln(x+l)-cosx,求导得g'(%)=2e”-------+sinx,

当a<0时,g(x)>0,则g(x)在[0,7i]上单调递增,g(x)>g(0)=2e°—2QIn1-cos0=1,满足题意,

当a>0时,设〃(x)=g'(x),则//0)=2,"+2a

+cosx>0,因此函数>(x),即g'OO在[0,兀]上单调递增,

(x+1)

而g'(0)=2e°-2〃+sin0=2-2a,

⑴当0<a<1时,g'(x)>gf(0)=2-2a>0,g(x)在[0,兀]上单调递增,

于是g(x)2g(0)=2e°—2alnl—cos0=l,满足题意,

(ii)当g'O)=2e冗-----+sin7i<0,即a2(兀+1犬兀时,对VXE[0,兀|,g'(x)V0,则g(x)在(0,兀)上单调递减,

71+1

此时g(x)<g(0)=2e°-In1-cos0=1,不合题意,

(iii)当1<a<(乃+l)eK时,因为g'O)在[0,兀]上单调递增,

且g'(0)g'(无)=(2-2a)(2e"—=)<0,于是%,日0,兀],使g'(x0)=0,且当xe(0,%)时,g,(x)单调递减,

此时g(x)<g(0)=2e°-2«lnl-cos0=l,不合题意,

所以实数。的取值范围为(-*1].

题型四:分离参数之全分离,半分离,换元分离

例10.(2023・湖北武汉・武汉二中校联考模拟预测)已知函数/(x)=ln子+

(1)若a<0J(x)的极大值为3,求实数。的值;

⑵若Vxe(0,+e)J(x)<a尤-l]x--,求实数。的取值范围.

【解析】(1)因为。<0,由三>0,得x<0,即/(尤)的定义域为(-8,0).

a

因为+

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论