高考数学重难点突破：不等式恒成立问题（十大题型）（解析版）

重难点突破07不等式恒成立问题

目录

题型一：直接法

题型二：端点恒成立

题型三：端点不成立

■方法技巧总结____________________

1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：

(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；

(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后

构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法

和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

2、利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：

(1)Vxe。,m</(x)«m</(x)min；

(2)Vxe。，m>/(x)<^>m>/(x)max；

(3)3x&D,加1mx；

(4)3XED,m>/(x)<^m>/(x)min.

3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数y=/(x),x&[a,b\,y=g(x),xe[c,d].

(1)若V%e[a,b],VX2G[C,J],有/'(石)<g(x?)成立,则/(》)_<g(x)1nhi;

(2)若％e[a,6],3x2&[c,d],有/(再)<g(%)成立，则/(x)11g(4一；

(3)若去1可氏耳，3X2&[c,d],有/(xj<g(x2)成立，则/'(x)min<g(H1mx；

(4)若％e[a,6],Bx2e[c,d],有f(%)=g(9)成立，则/(x)的值域是g(x)的值域的子集.

4、法则1若函数/(x)和g(x)满足下列条件：

(1)lim/(x)=O及limg(x)=O；

x—>ax—

(2)在点〃的去心邻域("£,〃)D(〃M+£)内,/(X)与g(X)可导且g'O)。0;

f(X)

那么lim>==5坐

…g(x)…g'(x)

法则2若函数/(x)和g(x)满足下列条件：⑴！变/(x)=0及!吧g(x)=O；

(2)BA>0,/(x)和g(x)在(一oo,Z)与(4+°°)上可导，且g'(x)wO；

/'(x)

(3)

…g(x)

f(x)/'(x)

那么1面，4=1而修1=/.

Xf8g(x)Xf8g(x)

法则3若函数/(X)和g(x)满足下列条件：

(1)lim/(x)=oo及limg(x)=co；

xfaxTa

(2)在点a的去心邻域(4一£,。)3见〃+£)内,/(x)与g(x)可导且g'(x)wO；

/'(x)

(3)lim^4=/,

-g⑺

那么lim里=lim/^，=/.

xrag(x)5g(X)

注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

⑴将上面公式中的x-a,x->+oo,xf—oo,x-a+，xftT洛必达法则也成立.

(2)洛必达法则可处理，，?，0.OO,广，②。，。。，8—8型.

(3)在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，?，O.oo,f,8°,0°,8-s型定式，否

则滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，

应从另外途径求极限.

(4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

lim44=lim，4=lim，?，如满足条件，可继续使用洛必达法则.

一a%—g(X)fg(X)

・必考题型归纳____________________

题型一：直接法

例1.(2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)已知函数

⑴已知函数f(x)在(0J(0))处的切线与圆/+/一2工-2了-3=0相切，求实数。的值.

(2)已知xNO时，/⑴钎丁-6-皿亘成立，求实数”的取值范围.

【解析】(1)依题意，圆(尤-1)2+(了-1)2=5的圆心为(1,1),半径为逐，

对函数/(x)求导得f'(x)=x-ae)则函数/(无)的图象在(0,〃0))处的切线斜率为/⑼=-。，而

/(0)=-a,

于是函数/(x)的图象在(0,/(0))处的切线方程为y+a=-ax,即分+y+“=0,

+1+4

从而=A/5,解得a=2

V^2+i2

所以实数。的值为2.

3

(2)g(x)=/(x)+x2++«=—x2-tzex+tzx+tz(x>0),依题意，当xNO时，g(x)WO恒成立,

求导得g'(x)=3x-Qe*+Q,设%(“二31一湛+tz(x>0),求导得〃(x)=3-ae”,

当Q23时，当丘0时，aex>3ex>3,即有〃(同《0,

因此函数人⑴，即g'(x)在［0,+8)上单调递减,于是当20时，gr(x)<gr(O)=O,

则函数g(')在［0,+功上单调递减,从而当时,g(x)<g(O)=O,因此心3,

当0<”3时，当0<x<ln』时，Ar(x)>0,则函数人⑴，即g'(x)在0,1口3)上单调递增，

于是当0<x<ln。时，g'(x)>g,(O)=O,即函数g(x)在［0,In。］上单调递增，

aLaj

因此当0<x<ln,时，g(x)>g(O)=O,不合题意，

当.40时，〃(x)>0,函数〃(x),即g'(x)在［0,+8)上单调递增,

则当xNO时，g'(x"g'(O)=O,即函数g(x)在［0,+8)上单调递增，

于是当尤>0时，g(x)>g⑼=0,不合题意，

所以实数。的取值范围为［3,+oo).

例2.(2023•山东•山东省实验中学校联考模拟预测)已知函数〃x)=e»-a,g(x)=ln(x+a),其中aeR.

⑴讨论方程/(x)=x实数解的个数；

(2)当X21时，不等式〃x)2g(x)恒成立，求。的取值范围.

【解析】(1)由/'(x)=x可得，ex-a-x>

令s(x)=e*-x-a,d(x)=e*T,令y'=0,可得x=0,

当xe(-oo,0),『(x)<。函数s(x)单调递减，

当xe(0,+oo),s<x)>0,函数s(无)单调递增，

所以函数s(x)在x=0时取得最小值l-a,

所以当a<1时，方程/'(x)=尤无实数解，

当。=1时，方程/(耳=丫有一个实数解，

当。>1时,］-a<0,故s(尤)mjn<0,

而s(-a)=片">0,s(a)=e"—2a,

设〃(〃)=e"-2〃,Q>1,贝I[/(Q)=ea-2>0,

故〃(a)在(1,+s)上为增函数，故〃(Q)〉〃(l)=e—2〉0,

故s(x)有两个零点即方程/卜)二%有两个实数解.

(2)由题意可知，

不等式〃x)2g(x)可化为，Qx-a>ln(x+tz),x>,

即当时，e“-ln(x+a)-恒成立，

所以一av1,即a〉一1,

令/z(x)=e"-ln(x+a)-Q,//(x)=ex------,

则〃(X)在[1,+8)上单调递增，而〃'⑴=e-4，

当a⑴20即a2-1+工时,〃(x)N0,，(x)在[1,+oo)上单调递增,

e

故Mx)min=项)=e-ln(l+a)-a,

e-ln(l+a)-a20

由题设可得1,

a>——

、e

设v(a)=e-ln(l+〃)-〃，则该函数在+8)上为减函数，

而y(e-l)=0,i^--<a<e-l.

e

当力(1)<0即T<a<T+工时,因为〃(同+1)=」恒一T—>°，

Q口|+1+〃

故h\x)在(1,+8)上有且只有一个零点X。，

当1<尤</时，〃'(x)<0,而x>x()时，〃'(x)>0,

故〃(x)在(Lx。)上为减函数，在(X。,+00)上为增函数，

x

^A(x)min=e°-ln(x0+fl)-a>0,

rfUeA°=——,故/=一皿/+力^ex°+x-a>0

ICL0

因为天〉1,故e与+/〉l+e〉〃，故一1<。<一1+—符合，

e

综上所述，实数。的取值范围为(-l,e-1].

例3.(2023•全国•统考高考真题)已知函数〃尤)="-当,

cosxI2

⑴当。=1时，讨论/(X)的单调性；

(2)若/(x)+sinx<0,求。的取值范围.

sinx

【解析】⑴因为"1,所以小)*筋

cosxcos2x-2cosx(-sinx)sinxcos2x+2sin2x

则/'(x)=l-=1-3

cos4XCOSX

cos3x-cos2X-2(1-cos2x]cos3X+cos2x-2

cos3Xcos3X

令/=COSX,由于,所以，=COSX£(0,1),

所以cos3x+cos2x—2=r+/—2=/—y+2t2—2=/(%—1)+2(%+1)(%—1)=+2，+2)(%—1),

因为〃+2/+2=«+1)2+1>0,t-l<0，cos3x=『>0,

匚口、|「，/\cos3x+cos2x-2

所以"力—睛—<0在呜J上恒成立,

所以八龙)在(o，t

上单调递减.

(2)法一:

构建g(x)=/(x)+sinx=+sinxl0<x<-^I,

cosx

1+sin2x

则g，(x)=Q+cosx0<x<—,

cos3XI2J

若g(x)=/(x)+sinx<0,且g(0)=/(O)+sinO=O,

贝i]g'(0)=a-l+l=aV0,解得aWO,

、.，ci•sinx=sinx|1——「

当a=0时，因为smx-----厂

COSXICOSX

又xe*，所以0<sinx<l,0<cosx<l,贝>J—>1,

COSX

所以/(x)+sinx=sinx—~^^<0,满足题意;

COSX

当a<0时，由于显然QX<0,

所以〃x)+sinx=ax--^^+sinx<sinx--^f<0,满足题意;

COSXCOSX

综上所述：若〃x)+sinx<0,等价于a40,

所以。的取值范围为(-8,0].

法二:

用出.sinxsinxcos2x-sinxsincosx-1)sin3x

因为smx------=--------；-------=--------5------~----2-'

cosXcosXcosXCOSX

因为所以0<sinx<l,0<cosx<l,

故sinx-金竽<0在(0,与上恒成立，

COSXI2/

所以当〃=0时，/(x)+sinx=sinx-■吗七<0,满足题意；

cosX

IT

当a〈0时，由于0<%<5，显然ax<0,

所以/(x)+sinx=“x-s'”'+sinx<sinx-竽<0,满足题意；

cosxcosx

、［/八门4\•s•mxs•m3x

者Q>UH\T,因为/(xj+smx="x-----+smx=ax------，

cosxcosx

3224

A/\sinx|n兀、miI,z、3sinxcosx+2sinx

令g(x)二办----0<^<-b贝l」g'(X)=Q-----------.---------，

cosxy2)v7cosx

、/4*不H3sin20cos20+2sin40八

汪忌到g(0)=a--------------------=a>0,

若V0<x<］,g'(x)>0,则g(x)在“《J上单调递增，

注意到g(o)=。所以g(x)>g(o)=o,即/(x)+sinx>0,不满足题意；

若前<x0<5，g'(%)<。，贝腐'(0)£&)<0,

所以在［。,£|上最靠近尤=0处必存在零点七€。鼻，使得g'(xJ=0,

此时g'(x)在(0,再)上有g'(x)>。所以g(x)在(0,再)上单调递增,

则在(0,%)上有g(x)>g(O)=。即/(x)+sinx〉0,不满足题意；

综上：〃“0.

变式］(2023・河南・襄城高中校联考三模)已知函数/(x)=Mnx,g(x)=-T.

⑴若曲线了=/(x)在(1,0)处的切线与曲线y=g(x)相交于不同的两点B(x2,y2),曲线了=g(x)在

A,8点处的切线交于点〃(x°,几)，求Xi+Z-Xo的值；

(2)当曲线y=/(x)在(1,0)处的切线与曲线y=g(x)相切时,若Vxe(l,+oo),/(x)+eg(x)>(a+l)e-aer恒

成立，求。的取值范围.

【解析】(1)因为/''(xhE，所以/'⑴=加，

所以曲线了=/(力在(1,0)处的切线方程为〉=〃g-1).

X2-1

由已知得机(X］T)=e*T,m(x2-l)=e,不妨设1<项<々，

又曲线N=g(x)在点/处的切线方程为了=炉-。-占)+。\

在点8处的切线方程为了=力7(》-9)+砂人

两式相减得(e'T-炉一)卜+1)_网户一+/e*2T=0,

X21

将冽(国-1)=,m(x2-1)=e,

代人得(叫-7nx：2)(x+1)-尤i,［机(X］-1)］+/•［机(超-1)］=0，

化简得机(X］—尤2)(%+2—西—Z)=。，

显然加/0,所以加(尤1-马)*0，所以西+%-%=2,又〃(/，九)，所以再+%-%=2.

(2)当直线尸机(x-l)与曲线y=g(x)相切时，设切点为尸«,g⑺)，

则切线方程为>-尸=/«-。，将点(1,0)代入，解得”2,此时加=e,/(x)=elnx,

根据题意得，Vxe(l,+co),/(x)+eg(x)>((z+l)e-aer,

即ei+lnx+办-a-l>0恒成立.

令F(x)=e*r+a(x-l)+lnx-l121),则，=eA'-1+a+—,令6(x)=P(x),则〃(丁)=尸-勺,

易知〃(x)在［1,。)上单调递增，所以〃(x)2〃⑴=0,

所以尸'(x)在［1,+8)上单调递增，所以尸(x)N4'(l)=a+2.

若aN-2,^F'(x)>a+2>0,即尸(x)在［,e))上单调递增,

则尸(x)2/⑴=0,所以/(x)+eg(x)>(a+l)e-aex在(l,+oo)上恒成立，符合题意；

若“<-2,贝！］b'(l)=a+2<0.

又尸(1+In(-油=e"gZ+q+——\~-=——\~->0,

乂II〃l+ln(-a)l+ln(-a)，

所以存在％e(l,l+ln(-<2)),使得尸(%)=0,

当xe(l,x0)时，r(x)<0,尸(x)单调递减，即尸(x)〈尸(1)=0,

所以此时存在xe(l,Xo),使得/(x)+eg(x)<(a+l)e-aex,不符合题意.

综上可得，。的取值范围为12,+8).

题型二：端点恒成立

例4.(2023・四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考模拟预测)设函数

兀3

；A

f(x)=sinx-xcosx0<x<一,g(x)=/(x)+-^sinx-tzx

2

(1)求/(x)在x=］处的切线方程;

(2)若任意xe［O,+s),不等式g(x)VO恒成立，求实数。的取值范围.

【解析】(1)x=2时，/佟］=：；又/'(x)=xsin%i；cosx,贝U左=/(g)=；,

切线方程为：>—：=BPj?=—x+-——

2212J24

(2)g(x)=sinx-xcosx一办3,

则g'(x)-x(sinx-3ax),又令=sinx-3ax,〃(x)=cosx-3a,

①当3aV-l,即aV-g时，”(x)20恒成立，〃(x)在区间电+⑹上单调递增，

〃(力2力(0)=0,g1x)20,二g(x)在区间［0,+8)上单调递增,

.-.g(x)>g(O)=O(不合题意)；

②当3。21即。2：时，〃口)40,网可在区间［0,+8)上单调递减，

〃(04〃(0)=0,g'(x)40,二g(x)在区间［0,+8)上单调递减,

.-.g(x)<g(O)=O(符合题意)；

③当-1<3°<1,即-g<a<g时，由〃(0)=l-3a>0/(兀)=-1-%<0,

/,3x0e(0,7t),使“伉)=0,且xe(O,x())时，〃(x)>0,/;(x)>伺(0)=0,=(@>0,

.♦.8(尤)在了€(0,%)上单调递增，，8(切>8@=0(不符合题意)；

综上，。的取值范围是。2：；

例5.(2023•北京海淀・中央民族大学附属中学校考模拟预测)已知函数〃x)=xlnx-a(/T).

⑴当a=0时，求函数/(x)在点处的切线方程；

(2)若函数了=/'(x)在x=l处取得极值，求实数。的值；

(3)若不等式/(x)W0对尤e［l,+s)恒成立，求实数〃的取值范围.

【解析】⑴当。=0时，〃x)=xlnx,定义域为(0,+s),/'(1)=0,

f\x)—lnx+x---\+\nx,/'⑴=1,

所以函数/(x)在点(1,〃功处的切线方程为y-o=x-l,即X-"1=O.

(2)/'(%)=Inx+x•——2ax=1+Inx-lax,

x

设/'(x)=g(x)=1+Inx—lax,贝!Jg'(x)=--2a,

依题意得g'(l)=O，即。=；,

111-V

当。=—时，g'(x)=—1=----，当0<x<1时，g\x)>0,当x>1时，g'(x)<0,

2xx

所以/'(x)=g(x)在X=1处取得极大值，符合题意.

综上所述：a=1.

(3)当x=l时，/(I)=0,«GR,

当x>l时，fr(x)=l+\nx-2ax,

令h(x)=/r(x)=l+lnx-2ax,x>\,

ni/、1八1-2ax

贝ijh(x)=2a-----,

xx

①当QVO时，〃'(x)〉o在(1,+8)上恒成立，故力(x)=/'(x)在(1,+8)上为增函数，

所以/'(%)>/XI)=i-2a>0,故/(X)在(1,+8)上为增函数，

故/(%)>/⑴=0,不合题意.

②当Q>0时，令力'(%)=0,得、=,，

2a

⑴若241,即时，在x>l时，〃(x)<0,以尤)在@+«>)上为减函数，

2a2

h(x)<h(i)=l-2ai0,即/'(x)<0,AM在(1,用)上为减函数，/(x)</(I)=0,符合题意；

(ii)若—>1,即0<。<一时，

2a2

当时，〃'(x)〉0,〃(x)在上为增函数，/z(x)>A(l)=l-2a>0,

2a2a

/(X)在(1,二)上为增函数，/«>/(1)=0,不合题意.

2a

综上所述：若不等式/(x)W0对xe[l,+3恒成立，则实数短的取值范围是

例6.(2023・湖南•校联考模拟预测)已知函数/'(xblMl+xbgabgjG)与g(x)分别是/(x)与g(x)

的导函数.

(1)证明:当a=1时，方程/(x)=g'(x)在(-1,0)上有且仅有一个实数根；

(2)若对任意的尤e(0,+向，不等式/(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】(1)/(x)=ln(l+x)J(x)=4，

令〃(”=/(可—(到=!-詈="^3+*T),

J."I人CIA"i人JC

令//(x)=e“+x2-1,则”(x)=e"+2x,

显然〃(X)在(T,0)上是单调递增函数，且〃[g]=[-1<0,〃⑼=1>0,

〃(x)在[-；，°]上有唯一零点吃,

且xe(-1,%)时,”(无)<0,〃(x)单调递减，

xe(xo,O)时,〃(%)>0,〃(x)单调递增,

又〃⑼=0,〃432工0

加434

21

匈=e3+——l>e-1-->0

3J33

.•.〃(切=0在-半■上有唯一的根,

.•"(%)=/'(X)-g'(x)在(-1,0)上有唯一零点,

即/'(x)=g'(x)在(-1,0)上有且仅有一个实数根.

(2)•."(x)-g(x)=ln(l+x)-?="[e*ln(l+x)-办],

令G(x)=exln(l+x)-w[0,+8),贝ljG(0)=0,

/(x)>g(x)等价于:G(x)>0,xe(0,+oo),

ln(l+x)+占—a,G(0)=l-a,

令"(x)=

则〃'(x)=e

2i

令？(无)=皿1+尤)+—

贝I]7'()=-------+=

\x'1+x(1+x)2(1+x)3(1+x)3

故7(x)在[0,+s)上单调递增,7(无”7(0)=1,〃'(x"1>0,

故〃(无)即。(》)在(0,+8)上单调递增,G(》)>1-4,

当aV1时,G(x)>0,

.•.GG）在（o,+e）上单调递增,

G（x）＞G（O）=O；

当。>1时,G(0)=1-a<0,取而=e-1+Ina>0,

贝1Jln(l+X])=ln(e+Ina)>Ine=1,1—>0,

e"1=ec,e-1+lna>、e^,Ina=a~,

G'(xJ=e*1In(1+&)+----—a>a.Q+O卜a=0,

Me(0,xj，使得G'(X2)=0,

xe(O,x2)时,G'(x)<0,G(x)单调递减，

此时G(x)<G(0)=0,不符合题意.

综上可知：。的取值范围为(―』.

变式2.(2023・四川成都•石室中学校考模拟预测)已知函数/(》)=+/+》，函数g(x)=e'-2x+sinx.

⑴求函数g(x)的单调区间；

⑵记产(x)=g(x)-r(x),对任意的x20,尸(x"0恒成立，求实数。的取值范围.

【解析】(1)g(x)=ex-2x+sinx,函数定义域为R,

则g，(x)=e"-2+cosx且g，(0)=0,

令夕(x)=g'(x),9'(x)=ex-sinx,xG(0,+a?),(p'[x)=^-sinx>l-sinx>0,在(0,+。)上单调递增,

所以夕⑺=g'(x)〉g'(0)=0,所以g(x)的单调递增区间为(0,+8),

XG(-co,0),g'(x)=e"-2+cosx<cosx-l<0,所以g(力的单调递减区间为(一力,0).

(2)/(x)=^ax3+x,=ax1+1,

则/(%)=g(x)-,(x)=e"-2r+sim-〃x2_i,且尸(0)=0,

尸(x)=e“+cosx-2ax-2,xG[0,,

令6(%)二尸'(工),G'(x)=e"-sinx-2a,

令H(x)=G'(x),%>0时/T(x)=G-cosx>1-cosx>0,

所以G'(x)在[0,+动上单调递增，

①若aV；,G,(x)>G,(O)=l-2a>O,

所以尸(x)在[0,+e)上单调递增，所以尸(无"尸(0)=0,

所以尸(x"尸(0)=0恒成立.

②若q>g,Gl0)=l-2a<0,G,(ln(2tz+2))=2-sin(2a+2)>0,

所以存在尤°e(0,In(2a+2)),使G，(x0)=0,

故存在xe(O,x°),使得G'(x)<0,

此时G(x)单调递减，即尸(无)在(0,x。)上单调递减，

所以尸(x)V/'(0)=0,故尸(无)在(0,无。)上单调递减,

所以此时尸(x)〈尸(0)=0,不合题意.

综上，a

—~2z-

实数。的取值范围为，咫:.

变式3.(2023•宁夏银川•校联考二模)已知函数/@)=詈.

⑴讨论“X)在［0,可上的单调性；

(2)若对于任意xe0e,若函数/(x)4丘恒成立，求实数人的取值范围.

【解析】(1)

*(x)>0,则0<x节；/'(x)<0,则:<x<兀，

所以/'(无)在0,；单调递增，在%兀单调递减.

(2)令8(%)=当匚h，有g(0)=0

e

当上V0时，X>0,e%>0,sinx>0,g(x)>0,不满足;

当人>0时，g'(x)=c°s:sinx/,

令/⑴=g，(x)=cos；sinx”

所以〃(x)=匚泮V0在［o,3恒成立，

则g'(x)在0胃单调递减，

g<0)=T,g［，［*。，

①当1-左VO,即左21时,g,(x)<g,(o)<o,

所以g(x)在0卷单调递减,

所以g(x)4g(O)=O,满足题意；

②当1-左>0,即0<左<1时，

因为g'(x)在问单调递减，g，(0)=l-A>0,=

2

L」e

所以存在唯一X。e(。，!'),使得g'(Xo)=O,

所以g(x)在(0，%)单调递增，

所以g(x0)>g(O)=O,不满足，舍去.

综上：k>\.

变式4.(2023・四川泸州・统考三模)已知函数/(关)=(尤-1)二+办+2.

⑴若/'(x)单调递增，求。的取值范围；

(2)若x20,/(x)>sinx+cosx,求a的取值范围.

【解析】(1)由/(x)=(x-l)eX+ax+2,得/''(x)=xe*+a,

由于f(x)单调递增，则r(%)20即.上一犹，恒成立，

令g(尤)=-xex,则g'(x)=-(尤+l)ex,

可知尤<-1时，g'(x)>0,则g(x)在(-oo,-l)上单调递增；

x>T时，g'(x)<0,则g(x)在(T+«)上单调递减,

故x=-l时，g(x)取得极大值即最大值g(-l)=，，

故所以a的取值范围是|.

eLeJ

(2)由题意xNO时,/(x)2sinx+cos尤恒成立，即(尤-l)e*+办-sinx-cosx+2>0；

令/z(x)=(x-l)e"+ax-sinx-cosx+2,原不等式即为20恒成立，

可得〃(0)=0,h\x)=xex+a-cosx+sinx,〃'(0)=a-\,

令〃(x)=h'(x)=xex+a-cosx+sinx,贝！j/(%)=(x+l)ex+sinx+cosx,

又设心)=(x+l)e",则/(x)=(x+2)e)

则x»0,「(x)〉0,可知心)在［0,+8)上单调递增，

若XE0,^-j,有(x+l)e，>0,sinx+cosx>0,则〃'(x)〉0；

若xep+coj,有(x+l)e-e+1卜2>e,

贝1]/(工)=(工+1,”+sinx+cosx>0,

所以，x>0,u\x)>0,则〃(x)即〃(x)单调递增，

(i)当〃一120即aNl时,/zr(x)>^(0)>0,则力(%)单调递增,

所以，〃(x)N〃(0)=0恒成立,则a并符合题意.

(ii)当Q-1<0即a<1时，〃'(0)<0,

〃'(2-a)=(2-a)e2~a+a-cos(2-a)+sin(2-a)>2-a+a-cos(2-a)+sin(2-a)>0,

存在%©(0,2-0),使得“(Xo)=O,

当0cx时，h\x)<0,贝！]〃(x)在(0,x0)单调递减，

所以力(x)<〃(0)=0,与题意不符,

综上所述，a的取值范围是[1,+8).

题型三：端点不成立

例7.(2023・重庆•统考模拟预测)已知函数〃x)=aln尤-尤(a/0).

⑴讨论函数"X)的极值；

(2)当x>0时，不等式毛-2/(x)2sin[/(x)]+l恒成立，求a的取值范围.

e%

【解析】(1)由题意可得："X)的定义域为(0,+。)，且/(》)=2-1=q二三，

XX

①当a〈0时，则x>0,”—x<0,可得/'(x)<0,

所以/(X)在(0,+“)上单调递减，无极值；

②当a>0时，令r(x)>0,解得0<x<a；令/'(x)<0,解得无>。；

则/«在(0,a)上单调递增，在(«,+«)上单调递减，

所以/(x)有极大值/(a)=alna-a,无小极值；

综上所述：当a<0时，/(x)无极值；

当。>0时，/(口有极大值/(°)=。111。一。，无极小值.

(2)因为、—2/(x)2sin[/(x)]+l,则"⑶-2/(x)-sin[/a)]-120,

ex'

构建g(x)=eR-2尤一sinx-1,贝ijg'(无)=6工一2—cosx,

①当xW0时，则e*Vl,-cosxWl,则8'(尤)=6*-2-0^<0,等号不能同时取到,

所以g(x)在(-8,0]上单调递减；

②当x>0时，构建0(x)=g<x),则”(x)=e'+sinx,

因为e*>l,sinxN-l,则“(x)=e*+sinx>0,

所以°(x)在(O,+⑹上单调递增，

且9(0)=-2<0,0⑴=e-2-cosl>e-2-cos：=e-2->0，

故9(x)在(0,+(»)内存在唯一零点/e(O,l),

当0<x</时,则夕卜)<0；当尤〉无o时，则(p[x}>0；

即当0<x</时，贝iJg'(x)<0；当x〉/时，则g'(x)>0；

所以g(x)在(0,尤。)上单调递减，在(%,+8)上单调递增；

综上所述：8("在(-8,%)上单调递减，在(%,+8)上单调递增，

则g(x)Ng(3)=e'-23一sin4—1,且g(%)<g(0)=0,

g(x)的图象大致为：

对于函数/(x),由(1)可知：

①当a<0时，/(x)在(0,+e)上单调递减，

且当X趋近于0时，/(X)趋近于+00,当X趋近于+00时，/(X)趋近于-8,

即/㈤的值域为R,则g(〃x))20不恒成立，不合题意；

②当。>0时，“X)在(0,a)上单调递增，在(a,+00)上单调递减，

则/(x)V/(“)=“lna-a,且当X趋近于。时，/(x)趋近于-co,当X趋近于+oo时，/(x)趋近于-co,

即/W的值域(falna-a],

若g(7(X)”0恒成立，则/(x)WO恒成立，

BP«Ina-a<0,解得0<aVe；

综上所述：a的取值范围(0,e].

例8.(2023•江苏南京•高二南京市中华中学校考期末)已知函数f(x)=lnx+lna+(a-l)x+2(a>0).

⑴讨论"X)的单调性；

(2)若不等式e-2f(x)恒成立，求实数”的取值范围.

【解析】(1)“X)的定义域为(0,+8),f\x)^-+a-\,

X

当时，f\x)>0,/⑶在(0,+8)上为增函数；

当0<a<1时，由，'(x)>0,得0<x<^—,由，'(x)<0,得x>^—,

l-a\-a

所以/(x)在(0,3)上为减函数，在(J,+8)上为增函数.

1一。\-a

综上所述：当〃21时，/(%)在(0,+8)上为增函数；当0<4<1时，/(%)在(0,J—)上为减函数，在(J—,+8)

l-al-a

上为增函数.

(2)ex~2>/(x)oe"-221nx+lno+(〃一l)x+2<^>ex_2+x-2>In(tzx)+ax

=Inex-2+ex~2>ln(ax)+ax,

设g(x)=Inx+x,则原不等式恒成立等价于g(e^2)>g(办)在(0,+与上恒成立,

gXx)=-+l>0,g(x)在(0,+oo)上为增函数，

X

则g(ei)>g(ax)在(0,+s)上恒成立，等价于2"在(0,+8)上恒成立,

等价于aV目;在(0,+8)上恒成立

X

人7/、e>2ex-2x-ex~2ex-2(x-l)

令h(x)=---(x〉0),h(x)=----------=---------,

xxx

令h\x)<0,得令h\x)>0,得x〉1,

所以〃(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数，

所以〃(无)min=〃a)=1,故Owl.

ee

Iny

例9.(2023•江西・校联考模拟预测)已知函数/(无

(1)求/(月的单调区间；

(2)若对于任意的xe(0,+oo),/(x)+：+x4aeX恒成立，求实数。的最小值.

【解析】(1)由/(》)=?一》+1定义域为xe(O,+s)

1,,

.—•x-lux-11I2

又=——1=1弋乜

令Mx)=l-lnx-%2,显然在(0,+力)单调递减,且人(1)=0；

.,•当x£(0,1)时，A(x)>0=>/r(x)>0；

当x£(l,+oo)时，/z(x)<0n/x(x)<0.

则;'(X)在(0,1)单调递增，在(1,+⑹单调递减

(2)法一：：任意的xe(0,+co),/(x)+g+xVae”恒成立，

・••一尤2+X+In尤V"d-尤2_1恒成立，即a>叶吗土1恒成立

xe

令且匕”则以加｛+肥+欣).

令力(x)=x+lnx,则A(x)在(0,+oo)上单调递增,

V/2^=l-l<0,〃⑴=l>0.

存在毛,使得6(%)-%+叫=0

当无€(0户0)时,/?(x)<0,g,(x)>0,g(x)单调递增；

当xe(x(),+co)时，A(x)>0,g/(x)<0,g(x)单调递减,

由％+1啄=0,可得/=-1叫，

(.x0+lnx0+l

.•.g(x)一gW"。

「、％+Inx+1

又〃2------7一

xe

：.a>l,故。的最小值是1.

法二：

.一+X+M，―恒成立，即。2五P恒成立

x+lux+1x+lux+1_x+Inx+1

令g(x)=

」nx—X,nx+x

xeeee

不妨令，=x+to^(x>0),显然"x+lnx在(0,+e)单调递增n/eR.

a>——在E£7?怛成立.

e

令〃«)=与1="«)==

ee

当/£(一8,0)时，；

当££(0,+8)时,“⑺<0即为0在(-8,0)单调递增

力⑺在(0,+劝单调递减

••a>\,故。的最小值是1.

变式5.(2023・四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考模拟预测)已知函数/(x)=ax-lnx,«eR.

(1)若求函数/(x)的最小值及取得最小值时的x值；

⑵若函数/(x)Vxe'-(a+l)lnx对xe(0,+s)恒成立，求实数0的取值范围.

【解析】(1)当。=1时，/(x)--x-lnx,定义域为(0,+"),

ee

所以r(x)=工-工=0,令/。)=0得1=6,

exex

所以，当x«0,e)时，/(%)<0,/(%)单调递减；

当丁£(e,+8)时，/(%)>0,/(x)单调递增，

所以，函数在％=e处取得最小值，/(、).=/⑻=0.

(2)因为函数/(x)d-(a+l)ln%对x£(0,+oo)恒成立

所以xe"—a(x+lnx)20对x£(0,+oo)恒成立，

令〃(%)=xe"—+Inx),x>0,贝ijh\x)=(x+l)ex-«(1+—)=(x+l)(ex--),

xx

①当a=0时，〃(x)=(x+l)eX>0,〃(x)在(0,+e)上单调递增，

所以，由"(x)=xe*可得力(x)>0,即满足xe*-a(x+lnx)20对xe(0,+oo)恒成立；

②当a<0时，则-a>0,h'(x)>0,在(0,+e)上单调递增，

因为当x趋近于0+时，〃(x)趋近于负无穷，不成立，故不满足题意；

③当a>0时,令/㈤=0得”=xe*

令Mx)=e，q,〃(x)=e，+点>0恒成立，故左卜)在(0,+e)上单调递增，

因为当x趋近于正无穷时，左口)趋近于正无穷，当x趋近于o时，左口)趋近于负无穷，

x

所以玉0e(0,+oo),使得〃伉)=0,a=xoe°,

所以,当xe(O,x(,)时，h'(x)<0,人(无)单调递减，

当xe(x(),+co)时，h'(x)>0,无)单调递增，

所以,只需防(力皿=%(％)=卒fI+ln%)=%e%(l-%“即可；

所以，1-Xo-lnXoNO,l>x0+lnx0,因为毛=。-频，所以In/,

所以Inxo+Ao=lnaWl=lne,解得0<aVe,所以，ae(0,e],

综上所解，实数a的取值范围为[0,e].

变式6.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/■(x)=ei-alnx,其中aeR.

⑴当。=1时，讨论/'(x)的单调性；

⑵当xe［O,可时，2〃尤+1)-<:(^21恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】(1)当。=1时，/(x)=eI-1-lnx,函数/(x)的定义域为(0,田>),

求导得了'a)=ei-L

显然函数/(X)在(0,+8)上单调递增，且广⑴=0,

因此当工£(0,1)时,/a)<0J(x)单调递减，当X£(1,+8)时,/'(')〉o,/(x)单调递增,

所以/(%)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8).

(2)XG［0,K］,令g(x)=2/(x+l)-cosx=2e"-2aln(x+l)-cosx，求导得g'(%)=2e”-------+sinx,

当a<0时,g(x)>0,则g(x)在［0,7i］上单调递增，g(x)>g(0)=2e°—2QIn1-cos0=1,满足题意,

当a>0时，设〃(x)=g'(x),则//0)=2，"+2a

+cosx>0,因此函数>(x),即g'OO在［0,兀］上单调递增,

(x+1)

而g'(0)=2e°-2〃+sin0=2-2a,

⑴当0<a<1时,g'(x)>gf(0)=2-2a>0,g(x)在［0,兀］上单调递增,

于是g(x)2g(0)=2e°—2alnl—cos0=l,满足题意，

(ii)当g'O)=2e冗-----+sin7i<0,即a2(兀+1犬兀时，对VXE［0,兀|,g'(x)V0,则g(x)在(0,兀)上单调递减,

71+1

此时g(x)<g(0)=2e°-In1-cos0=1,不合题意，

(iii)当1<a<(乃+l)eK时，因为g'O)在［0,兀］上单调递增,

且g'(0)g'(无)=(2-2a)(2e"—=)<0,于是％,日0,兀］,使g'(x0)=0,且当xe(0,%)时,g，(x)单调递减，

此时g(x)<g(0)=2e°-2«lnl-cos0=l,不合题意，

所以实数。的取值范围为(-*1］.

题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离

例10.(2023・湖北武汉・武汉二中校联考模拟预测)已知函数/(x)=ln子+

(1)若a<0J(x)的极大值为3,求实数。的值；

⑵若Vxe(0,+e)J(x)<a尤-l］x--,求实数。的取值范围.

【解析】(1)因为。<0,由三>0,得x<0,即/(尤)的定义域为(-8,0).

a

因为+