2024-2025学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.4 三角函数的图象与性质（4）说课稿 新人教A版必修第一册

2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.4三角函数的图象与性质（4）说课稿新人教A版必修第一册一、教学内容

本节课教学内容为新教材高中数学第五章三角函数5.4三角函数的图象与性质（4），涉及人教A版必修第一册的相关内容。主要包括正弦函数的图像和性质、余弦函数的图像和性质、正切函数的图像和性质以及三角函数周期性的概念和证明。通过本节课的学习，学生将掌握正弦、余弦、正切函数的基本图像和性质，并能够运用周期性概念解决实际问题。二、核心素养目标

本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象等核心素养。通过分析三角函数的图像与性质，学生能够提升数学抽象能力，理解函数概念；通过探究三角函数周期性，锻炼逻辑推理和数学建模能力；通过绘制和观察函数图像，增强直观想象能力。此外，通过实际问题解决，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。三、学习者分析

1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在学习本节课之前，已经掌握了高中数学中关于函数的基本概念，包括函数的定义、性质以及函数图像的基本绘制方法。此外，学生对一次函数、二次函数等基本函数的图像与性质有一定的了解，这为学习三角函数奠定了基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

学生对数学学科的兴趣程度不一，部分学生对三角函数较为感兴趣，因为他们发现三角函数在自然界和工程领域的应用广泛。学生的学习能力方面，部分学生具备较强的逻辑思维和空间想象能力，能够快速理解函数图像的变化规律。而在学习风格上，学生既有偏好于通过直观图像理解函数性质的，也有偏好于通过公式推导来掌握知识的学生。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在学习三角函数的图像与性质时，可能会遇到以下困难和挑战：一是对周期性的理解不够深入，难以把握周期函数的特点；二是图像变换的规律掌握不牢固，导致图像绘制不准确；三是将三角函数应用于实际问题解决时，缺乏实际情境的联想和建模能力。针对这些困难，教师需要通过多样化的教学方法和练习设计，帮助学生克服学习障碍。四、教学资源准备

1.教材：确保每位学生都具备人教A版必修第一册数学教材，以便学生能够跟随教材内容学习。

2.辅助材料：准备正弦、余弦、正切函数的图像示例图片，周期性变化演示视频，以及相关的图表和数学软件截图，以帮助学生直观理解函数性质。

3.教学软件：利用数学教学软件如GeoGebra等，为学生提供动态绘制函数图像的工具，便于观察函数图像的变化。

4.教室布置：设置黑板或白板，用于展示关键图像和公式，并预留空间供学生分组讨论和展示学习成果。五、教学过程

一、导入新课

（教师）同学们，我们之前学习了三角函数的基本概念和图像，今天我们将继续深入探讨三角函数的图象与性质，特别是正弦、余弦和正切函数的图像特征。请大家回顾一下，我们已经学习了哪些三角函数的性质？

（学生）老师，我们已经学习了正弦函数和余弦函数的周期性、奇偶性和对称性。

（教师）很好，那么今天我们将重点关注这三个函数的图像特征，尤其是它们的周期性和对称性。首先，让我们来看一下正弦函数的图像。

二、正弦函数的图像与性质

（教师）同学们，正弦函数的图像是怎样的呢？我们知道，正弦函数的周期是$2\pi$，这意味着函数图像每隔$2\pi$个单位长度就会重复一次。现在，请同学们打开教材，找到正弦函数的图像，观察一下它的形状和特点。

（学生）老师，正弦函数的图像是一个波浪形的曲线，它在y轴的正半轴和负半轴之间交替。

（教师）非常好，正弦函数的图像具有周期性和对称性。它的周期是$2\pi$，这意味着图像每隔$2\pi$个单位长度就会重复。同时，正弦函数是偶函数，即图像关于y轴对称。

（教师）接下来，我们通过一个实际例子来加深对正弦函数图像的理解。假设我们有一个正弦波形的振动，其频率为1Hz，振幅为5cm，请问这个波形在5秒内的振动次数是多少？

（学生）老师，振动次数等于频率乘以时间，所以是1Hz乘以5秒，等于5次。

（教师）很好，这个例子展示了正弦函数在实际生活中的应用。现在，请同学们在练习本上绘制一个周期为$2\pi$，振幅为1的正弦函数图像，并标注出它的周期和对称轴。

三、余弦函数的图像与性质

（教师）接下来，我们来探讨余弦函数的图像。与正弦函数类似，余弦函数也是一个周期函数，其周期也是$2\pi$。但是，余弦函数的图像与正弦函数的图像有何不同呢？

（学生）老师，余弦函数的图像比正弦函数的图像向右平移了$\pi/2$个单位。

（教师）正确。余弦函数的图像是正弦函数图像向右平移$\pi/2$个单位得到的。这意味着余弦函数在$x=\pi/2$时取得最小值，而在$x=-\pi/2$时取得最大值。

（教师）现在，让我们通过一个实验来观察余弦函数的图像。请同学们拿出你的数学软件，比如GeoGebra，输入余弦函数的公式，观察并记录下函数图像的特点。

（学生）老师，我发现余弦函数的图像也是波浪形的，但是它的起始点在x轴的正半轴上。

（教师）很好，余弦函数的图像与正弦函数的图像非常相似，只是它们的起始点不同。现在，请同学们在练习本上绘制一个周期为$2\pi$，振幅为2的余弦函数图像，并标注出它的周期和对称轴。

四、正切函数的图像与性质

（教师）正切函数是另一个周期函数，它的周期是$\pi$。与正弦和余弦函数不同，正切函数的图像有垂直渐近线。请大家观察正切函数的图像，思考一下它的周期性和渐近线。

（学生）老师，正切函数的图像是波浪形的，但是它有无数个垂直渐近线，这些渐近线发生在$x$的奇数倍$\pi/2$处。

（教师）正确。正切函数的图像在$x$的奇数倍$\pi/2$处有垂直渐近线，这意味着函数在这些点附近是不连续的。现在，请同学们在练习本上绘制一个周期为$\pi$，振幅为1的正切函数图像，并标注出它的周期、渐近线和对称轴。

五、周期性的概念和证明

（教师）同学们，我们已经学习了正弦、余弦和正切函数的周期性。那么，什么是周期性呢？周期性是指函数图像在某个固定的距离后重复出现。接下来，我们将证明正弦函数的周期性。

（学生）老师，我想知道如何证明正弦函数的周期性。

（教师）很好，证明周期性的方法之一是使用三角恒等式。我们知道，正弦函数满足以下恒等式：$\sin(\theta+2\pi)=\sin(\theta)$。这个恒等式告诉我们，正弦函数在增加$2\pi$后，其值不变，因此正弦函数的周期是$2\pi$。

（教师）现在，请同学们在练习本上用三角恒等式证明正弦函数的周期性。

（学生）老师，我明白了，正弦函数的周期性可以通过这个恒等式来证明。

六、应用与练习

（教师）同学们，我们已经学习了正弦、余弦和正切函数的图像与性质，以及它们的周期性。现在，让我们通过一些实际问题来巩固所学知识。

（学生）老师，我想要练习一下如何将三角函数应用于实际问题。

（教师）很好，这里有一个实际问题：一个弹簧振子的位移随时间变化的函数是$y=5\sin(2\pit)$，其中$t$是时间（秒）。请问，振子的最大位移是多少？它的周期是多少？

（学生）老师，根据函数表达式，振子的最大位移是5cm，周期是1秒。

（教师）正确。这个例子展示了三角函数在描述物理现象中的应用。现在，请同学们在练习本上完成以下练习题：

1.绘制正弦函数$y=\sin(2x)$的图像，并标注出它的周期和对称轴。

2.绘制余弦函数$y=\cos(x+\pi/4)$的图像，并标注出它的周期和对称轴。

3.绘制正切函数$y=\tan(3x-\pi/6)$的图像，并标注出它的周期和渐近线。

七、课堂小结

（教师）同学们，今天我们学习了正弦、余弦和正切函数的图像与性质，以及它们的周期性。我们通过观察图像、使用三角恒等式和解决实际问题来加深对这些概念的理解。希望大家能够将这些知识应用到日常生活中，提高数学素养。

（学生）老师，今天的学习让我对三角函数有了更深入的了解，谢谢老师！

（教师）不客气，同学们，希望你们能够继续努力，不断探索数学的奥秘。下课！六、教学资源拓展

1.拓展资源：

-三角函数在物理学中的应用：介绍三角函数在振动、波动和流体力学中的角色，如简谐振动、声波传播和流体动力学中的波动方程。

-三角函数在工程学中的应用：探讨三角函数在信号处理、电路分析和结构力学中的重要性，如傅里叶变换和振动分析。

-三角函数在计算机科学中的应用：介绍三角函数在图形学、图像处理和计算机图形学中的使用，如坐标变换和图像的几何变换。

-三角函数在经济学中的应用：讨论三角函数在时间序列分析、经济预测和金融数学中的运用，如周期性经济波动和金融衍生品定价。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：《数学与物理的桥梁》、《工程数学》和《数学在计算机科学中的应用》等书籍，以了解三角函数在不同领域的应用。

-观看教育视频：通过在线教育平台观看关于三角函数在物理、工程和计算机科学中的应用的视频教程，如KhanAcademy、Coursera等提供的课程。

-实践项目：鼓励学生参与实际项目，如设计一个简单的振动分析系统，使用三角函数来模拟和预测振动的行为。

-制作教学工具：学生可以尝试制作一个简单的三角函数图像生成器，使用计算机编程语言如Python或MATLAB来实现。

-参与数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如美国数学竞赛（AMC）或国际数学奥林匹克（IMO），这些竞赛通常包含与三角函数相关的题目。

-探索数学历史：研究三角函数的历史发展，了解历史上著名的数学家对三角函数的贡献，如欧几里得、阿基米德和牛顿等。

-开展小组研究：组织学生进行小组研究，探讨三角函数在特定领域的应用，如音乐理论中的音调分析或建筑设计中的结构稳定性。

-创作数学论文：指导学生撰写关于三角函数在某个特定领域应用的论文，通过文献综述和案例分析来展示他们的研究成果。七、教学反思与总结

同学们，今天我们一起探讨了三角函数的图象与性质，这节课让我收获颇丰，同时也让我对教学有了更深的思考。

首先，我觉得在教学方法上，我尝试了多种教学手段，比如通过图像展示、实际案例分析和小组讨论等方式，来帮助学生更好地理解和掌握三角函数的性质。我发现，这种方法对于提高学生的学习兴趣和参与度非常有效。学生们在讨论和实践中，能够更加主动地去探索和发现知识，而不是被动地接受。

在教学策略上，我注重了知识的连贯性和实用性。比如，在讲解正弦、余弦和正切函数的周期性时，我不仅介绍了理论，还结合了实际生活中的例子，如弹簧振子的振动和地球绕太阳公转的周期性。这样的教学策略让学生们更容易理解抽象的数学概念。

然而，在教学管理方面，我也发现了一些不足。比如，在小组讨论环节，个别学生参与度不高，这可能是因为他们对数学本身就不太感兴趣，或者是因为他们不习惯于在课堂上表达自己的观点。针对这个问题，我将在今后的教学中更加关注学生的个体差异，尝试提供更多的个性化学习支持。

对于本节课的教学效果，我觉得整体上是满意的。大部分学生能够准确地绘制三角函数的图像，并能描述出它们的周期性、奇偶性和对称性。在解决实际问题的部分，学生们也能够运用所学知识来分析和解决简单的物理问题。

当然，也有一些学生在这方面的掌握还不够扎实，特别是在理解和应用周期性概念时。对于这部分学生，我会在课后进行个别辅导，帮助他们巩固基础知识。

在教学总结方面，我认为以下几点是值得肯定的：

1.学生们对三角函数的性质有了更深入的理解，能够灵活运用这些性质来解决实际问题。

2.学生们的数学思维能力得到了提升，他们在观察、分析和推理方面有了明显的进步。

3.学生们的学习兴趣和参与度有所提高，他们在课堂上更加积极和主动。

当然，也存在一些问题需要改进：

1.部分学生对于数学的兴趣不高，需要教师采取更多元化的教学方法来激发他们的学习兴趣。

2.在教学过程中，需要更加注重学生的个体差异，提供更加个性化的学习支持。

3.需要加强对学生解决问题的能力的培养，让他们能够在实际情境中灵活运用所学知识。八、板书设计

①本文重点知识点：

-正弦函数、余弦函数、正切函数的定义

-三角函数的周期性

-三角函数的奇偶性

-三角函数的对称性

-三角函数的图像绘制方法

②关键词：

-周期（Period）

-奇偶性（Odd/Even）

-对称性（Symmetry）