2018春北师大版八年级下册数学专题冲刺第一章三角形的证明

第一章三角形的证明专题一本章知识梳理思维导图考纲要求1.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.2.探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等，底边上的高线、中线及顶角平分线重合；探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个底角相等的三角形是等腰三角形；探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°；探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形.考纲要求3.探索并掌握直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.4.探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反之，到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上.5.探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.知识梳理1.等腰三角形的性质定理的推论等腰三角形顶角的__________、底边上的______及底边上的_______互相重合（简称三线合一）.2.等边三角形的性质与判定（1）性质定理：等边三角形的三个内角都______，并且每个角都等于______.（2）判定定理：①三个角都______的三角形是等边三角形.②有一个角等于_______的等腰三角形是等边三角形.角平分线中线高线相等60°相等60°知识梳理3.反证法（1）在证明时，先假设命题的结论_______，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相_______的结果，从而证明命题的结论一定______.这种证明方法称为反证法.（2）用反证法证明的一般步骤：①假设命题的结论不成立（即假设命题的结论的反面成立）.

不成立成立矛盾知识梳理②对该假设进行推理论证，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果.③由此判定假设不成立，而原命题的结论成立.

4.含30°角的直角三角形的性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于__________.斜边的一半知识梳理5.逆命题、互逆命题、逆定理、互逆定理（1）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的__________，那么这两个命题称为_________，其中一个命题称为另一个命题的_________.（2）如果一个定理的逆命题经过证明是________，那么它也是一个定理，这两个定理称为__________，其中一个定理称为另一个定理的_________.结论和条件互逆命题逆命题真命题互逆定理逆定理知识梳理6.线段垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段_________的距离相等.（2）线段垂直平分线性质定理的逆定理到一条线段_________距离相等的点，在这条线段的__________上.（3）三角形三条边的垂直平分线交点的性质三角形三条边的__________相交于一点，并且这一点到__________的距离相等.两个端点两个端点垂直平分线垂直平分线三个顶点知识梳理7.角平分线（1）角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的________的距离相等.（2）角平分线性质定理的逆定理在一个角的内部，到角的________距离相等的点在这个角的________上.（3）三角形三条角平分线交点的性质三角形的三条________相交于一点，并且这一点到_______的距离相等.两边两边平分线角平分线三条边专题二本章易错点归总易错点1对于无图问题，考虑欠周全，造成漏解对于此类无图题目时，需要学生画出满足题目的所有图形来解题，学生往往只会画出一种最常见的图形来解题从而导致漏解.【例1】等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形顶角的度数.易错提示：就此题而言，等腰三角形一腰上的高既可以在等腰三角形内，也可以在等腰三角形外，需分类讨论.易错点正解：如在△ABC中，①当高在等腰三角形内部时，如图Z1-1①，由题设知，∠ACD=45°，故∠A=45°；②当高在等腰三角形外部时，如图Z1-1②，由题设知，∠ACD=45°，故∠DAC=45°，所以∠BAC=180°-45°=135°.故此等腰三角形的顶角为45°或135°.易错点1.已知等腰△ABC，腰AB上的高CD与另一腰AC的夹角为30°，则其顶角的度数为（）A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°学以致用D易错点2误用“三线合一”定理在运用“三线合一”定理时，常因未搞清“三线”具体指的是哪三条线段，而乱用“三线合一”定理，导致解题过程错误.【例2】如图Z1-2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC交AD于点F，求证：△AEF是等腰三角形.易错点易错提示：“三线合一”是指等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线与底边上的高互相重合，并不是针对所有三角形都具有的性质.易错点

正解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABC＋∠C＝90°，∠ABC＋∠BAD＝90°.∴∠BAD＝∠C.又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.而∠AEB＝∠C＋∠CBE，∠AFE＝∠ABF＋∠BAF，∴∠AFE＝∠AEF.∴AE＝AF，即△AEF是等腰三角形.2.如图Z1-3，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为点D，∠A=40°，求∠DBC的度数.学以致用专题三本章重要考点专练——等腰三角形和等边三角形的性质与判定一、选择题1.如图Z1-4，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（）A.40°B.36°C.30°D.25°B2.若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm3.如图Z1-5，已知等腰△ABC，AB=AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A.AE=ECB.AE=BEC.∠EBC=∠BACD.∠EBC=∠ABEAC4.如图Z1-6，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE…，依次作下去，和AB相等的线段（不包括AB）最多可作（）A.3条B.4条C.5条D.6条C二、填空题5.在直角坐标系中，已知点A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有_____个.6.如图Z1-7，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝_____.418°7.如图Z1-8，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝5cm，则AB＝_______.

5cm8.如图Z1-9，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的大小为________.45°9.如图Z1-10，△ABC是边长为6的等边三角形，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F，FD⊥AB于点D，则AD=_______.2三、解答题10.如图Z1-11，在△ABC中，点D在BC上，若AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中各内角的度数.解：∵AB＝AC＝CD，∴∠B＝∠C，∠1＝∠2.∵BD＝AD，∴∠B＝∠3.又∵∠1＝∠B＋∠3，∠B＋∠3＋∠2＋∠C＝180°，∴∠B＝36°，∠C＝36°，∠BAC＝108°.11.如图Z1-12，在△ABC中，AB=AC，点Ｅ在ＡＢ上，点Ｄ在ＡＣ的延长线上，且ＣＤ＝ＥＢ，ＥＤ交ＢＣ于点M，求证：EM＝MD.证明：如答图Z1-1，过点E作EF∥AC交BC于点F，∴∠FEM＝∠CDE，∠EFB＝∠ACB.又AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠B＝∠EFB.∴BE＝EF.又BE＝CD,∴EF＝CD.∴△EFM≌△DCM（AAS）.∴EM＝MD.12.如图Z1-13，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AD平分∠CAB，延长AC至点E，使CE＝AC.（1）求证：DE＝DB；（2）连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由.专题四本章重要考点专练——直角三角形全等的判定（HL）、直角三角形的性质与判定、含30°角的直角三角形的性质一、选择题1.直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个锐角的度数是（）A.18°B.36°C.54°D.72°2.将一副直角三角尺如图Z1-14放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）A.140°B.160°C.170°D.150°DB3.某市在旧城改造中，计划在一块如图Z1-15所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）A.300a元B.150a元C.450a元D.225a元B4.如图Z1-16，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，若CD⊥AB，DE⊥BC垂足分别是点D，E.则图中全等的三角形共有（）A.2对B.3对C.4对D.5对A二、填空题5.将两张矩形纸片如图Z1-17所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2=_______.90°6.如图Z1-18是屋顶的“人”字形钢架，其中斜梁AB＝AC，顶角∠BAC＝120°，跨度BC＝10m，AD为中柱（即底边的中线），两根支撑架DE⊥AB，DF⊥AC，则DE＋DF＝________m.57.如图Z1-19，在△ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC，垂足为点E，CF⊥AB，垂足为点F，BE，CF交于点M，如果CM＝4，FM＝5，则BE等于________.128.如图Z1-20是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h＝_______m.4三、解答题9.已知：如图Z1-21，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=15°.过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，求△ACD的周长.10.如图Z1-22，AB=AC，D，E是BC上两点，且BD=CE，作GE⊥BC，FD⊥BC，分别与BA，CA的延长线交于点G，F．求证：GE=FD．证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵BD=CE，∴BD+DE=CE+DE，即BE=CD．∵GE⊥BC，FD⊥BC，∴∠GEB=∠FDC=90°．∴△BEG≌△CDF（ASA）．∴GE=FD．11.如图Z1-23，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上.该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上.船以原速度再继续向东航行2h到达小岛C的正南方D点.求船从A到D一共走了多少海里？解：由题意知，∠CAD=30°，∠CBD=60°，CD⊥BD,∴∠BCD=30°.∴BC=2BD.∵船从B到D走了2h，船速为每小时40海里，∴BD=80（海里）.∴BC=160（海里）.由∠CBD=60°，得∠ABC=120°.∵∠CAD=30°，∴∠ACB=30°.∴AB=BC.∴AB=160（海里）.∵AD=AB+BD，∴AD=160+80=240（海里）.因此船从A到D一共走了240海里.12.如图Z1-24，在△ABC中，BD是AC边上的中线，∠ABD＝30°，∠CBD＝90°，求证：AB＝2BC.13.如图Z1-25，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM．（1）求证：EF＝AC;（2）若∠BAC＝45°，求线段AM,DM,BC之间的数量关系．专题五本章重要考点专练——线段的垂直平分线的性质一、选择题1.如图Z1-26，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，AC＝5，BC＝3，则BD的长为（）A.1B.1.5C.2D.2.5A2.如图Z1-27，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，连接BE.若∠A＝35°，则∠CBE的度数是（）A.20°B.25°C.30°D.35°A3.如图Z1-28，在锐角△ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于点P.若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为（）A.24°B.30°C.32°D.36°C4.如图Z1-29，在△ABC中，∠B＝40°，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，且∠EAB∶∠CAE＝3∶1，则∠C等于（）A.28°B.25°C.22.5°D.20°A二、填空题5.如图Z1-30，在△ABC中，D为BC上一点，且BC＝BD＋AD，则点D在线段________的垂直平分线上.AC6.如图Z1-31，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD=________.35°7.如图Z1-32，在等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是_______.50°8.如图Z1-33，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝3cm，BC＝5cm，点D，E分别在AC，AB上，且△BCD和△BED关于BD对称，则△ADE的周长为_______cm.4三、解答题9.已知：如图Z1-34，AB＝AE，BC＝ED，AF是CD的垂直平分线，求证：∠B＝∠E.10.如图Z1-35，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M.求证：BN＝CM.

专题六本章重要考点专练——角平分线的性质一、选择题1.如图Z1-36，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是（）A.3B.4C.6D.5A2.如图Z1-37，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点.若CD=5，则DE的最小值等于（）A.2.5B.4C.5D.10C3.如图Z1-