高考数学一轮专项复习知识清单-复数及其应用（含解析）

复数及其应用

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）

维构建・里里循0永绐

/鼓的定义：形如,+0（.力£对球叫做出、

~\、其中实部是a,虚部是bj

--------------------------------■（诩80））

题型01复数的基本概念及应用

<。知识点一复数的基本概念）一"的分类L：a»（bHO）（a=O眈■《»））

题型02根据复数相等求参数

题型03复数的模长计算

题型04共柜复数及其应用

1球的有关破叶:?数）

L［复数的模）

复

数「‘空面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面口撤复平面

题型01复数与复平面的点——对应

及

-QQ知识点二复数的几何意蚓与丽］1［谢叫叫轴，y轴叫做赢题型02复数与复平面向量——对应

其L复数的几题型03复数的模的几何意义及应用

应

用/二..——,、二复数的运算法则，一：加、减、乘、除）题型01复数的四则运算

Y。知识点三复数的四则运算）一…人力--------->题型02复数的乘方运算

\______________________________/匕艘运算的几个重要结论

题型03复数范围内解方程

复数的辐角

辐角主值

题型01复数的代数式与三角式互化

o知识点四复数的三角形式厂复数的三角物t：z=r（cosO+isin0）题型02复数三角形式乘除法运算

题型03复数的新定义问题

复数的三角腕及运算复数的乘法运算

复数的除法运算」

口以盘点・蛰幅讣煤

知识点1复数的基本概念

1、复数的定义：形如a+6i（a,6GR）的数叫做复数，其中实部是°,虚部是6.

2、复数的分类：

［实数b=0,

复数z~a+hi

［纯虚数4=0

a,6GR虚数b丰0'

I非纯虚数存0

3、复数的有关概念

复数相等。+历=。+%=。=。且b=d(Q,b,c,d£R)

共轨复数a+bi与c+di共甄=a=c且b=-d(〃，b,c,d£R)

向量反的模叫做复数Z=q+6i的模，记作|z|或H+加，

复数的模

即匕=q+bia,b£R）

知识点2复数的几何意义

1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；

2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上

的点都表示纯虚数；

3、复数的几何表示：复数z=a+6i«一一■对应复平面内的点Z(a,b)<..对应〉平面向量衣.

知识点3复数的四则运算

1、复数的运算法则

设Z]=〃+/?i,z2=c+di(a,b,c,d£R),则

(1)zi+z2=(Q+bi)+(c+di)=(Q+c)+(b+(/)i；

(2)z\—Z2=(a+bi)_(c+di)=(a-c)+(Z7-d)i；

(3)21，Z2=(Q+Z?i)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；

z〔a+bi(a+bi)(c-di)ac+bdbc-ad八、

—=----=----------=—；——+——71(。+力。0).

(4)72222

z2c+di(c+di)(c-di)c+dc+d

2、复数运算的几个重要结论

(1)\Z1+Z2|2+|Z1—Z2|2=2(|Z1|2+|Z2|2).

(2)Z.z=|z|2=|Z匕

(3)若Z为虚数，则|z|2先2.

(4)(1土i)2=±2i.

(5)i4w=l；i4w+1=i；i4w+2=-l；i4w+3=-i.

知识点4复数的三角形式

1、复数的辅角

(1)辅角的定义：设复数z=a+bi的对应向量为近，以x轴的非负半轴为始边，向量次所在的射线(射

线。Z)为终边的角仇叫做复数z的辅角.

(2)辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这

些值相差2兀的整数倍.

规定：其中在03。<2兀范围内的辅角8的值为辅角的主值，通常记作argz.

【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的.

2、复数的三角形式及运算

(1)定义：任何一个复数都可以表示成z=r(cos8+is讥。)的形式，其中r是复数的模，。是复数的辅角.

【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连.

(2)复数乘法运算的三角表示：已知Zi=r1(cos01+is沅％),z2=r2(cos02+is讥。2)，

则Z]Zi=rtr2[cos(/+02)+is讥(％+02)]-

这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和.

(3)复数除法运算的三角表示：已知Zi=r1(<cos01+is讥J。,z2=r2(cos92+is讥4)

1

则i=累当鲁誉=?r[cos（%—名）+is出⑸-%）].

Z2r2（COS^2十1S17W2）2

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，

商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差.

云突破・春分•必检

重难点01与复数有关的最值问题

求复数模的范围与最值问题的解题策略

（1）把复数问题实数化、直观化、熟悉化，即将复数问题转化为实数问题来处理，转化为实数范围内，求

模的范围与最值问题来解决；

（2）发掘问题的几何意义，利用几何图形的直观性来解答，把陌生的问题转化为熟悉的问题来解答；

（3）利用三角函数解决.

【典例1】（2024•山东烟台•三模）若复数z满足H=|"2-2i|,则目的最小值为（）

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】B

【解析】若复数z满足闫=匕-2-0，

则由复数的几何意义可知复数z对应的点集是线段3的垂直平分线，其中。（0,0）,/（2,2）,

所以目的最小值为=；也2+22=也.故选:B.

【典例2]（2024・云南•二模）已知i为虚数单位,复数z满足|z-l|=|z+i|,则|z-i|的最小值为（）

B11

A.—B.-C.-D.0

223

【答案】A

【解析】设2=尤+贞,（弘昨2，而|z-[=|z+i|,所以（x-lp+y2=x2+（y+l）2,即y=-x,

所以-《x2+=J2+㈠―]j=也/+2x+l=3卜+[+^,

等号成立当且仅当y=r=（，

综上所述，|z-i|的最小值为也.故选：A.

重难点02共轨复数与复数运算的综合问题

共辗复数问题的求解技巧:

1、若复数Z的代数式已知，则根据共辗复数的定义，可以写出I,再进行复数的四则运算.

2、已知关于z和I的方程，而复数z的代数形式位置，求解z.解决此类问题的常规思路是：设

z=a+bi（a,beR）,则5-历，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解.

【典例1】（2024•福建泉州•一模）（多选）已知复数z满足z=l」，则（）

2

A.z,z=\B.—~zC.z+z=-1D.\z-z|=

【答案】AD

【解析】设复数z=a+bi,Qb£R）,=a2-b2+2abi

因为复数z满足z=l—,可得z2=z—1,则/一/+2〃bi=a+bi-l,

z

可得/一〃=q_i且2ab=b,

由2ab=Z?时，可得。=—或6=0,

2

当。=:时，可得6=±也，止匕时z=L土且i；当6=0时，方程°2_&+1=0,无解；

2222

对于A中，当2=』+且i,Wz=--—i,可得z「=l；

2222

当2=工-"3可得[=^+3i,可得z；=i，所以A正确；

2222一一

对于B中，当2=工+如3可得z2=一L+"i，=则z?片"所以B不正确；

222222

对于C中，当2=1+"3可得三可得z+1=i，所以C不正确；

2222

对于D中，当2=工+且i,可得力=!一且i,可得zq=Gi，贝小=上百；

222211

当Z」一立i,可得也i,可得z二=f/^i,贝“Z二卜百，所以D正确.故选：AD.

222211

【典例2]（23-24高三下•湖南娄底•阶段练习）（多选）己知复数4/2的共钝复数分别为下列结论正

确的是（）

A.若4为纯虚数，则4+1=0

B.若z；+z；=0,则Z]=z?=0

C.若忖―Z2|=0,则Z]—Z2=0

D.若|z-l|=|z+l|,则z在复平而内对应的点的轨迹为直线

【答案】ACD

【解析】对于A,设句=例，=-bi,故Z]+2]=0成立，故A正确，

对于B,设z=i,z2=1,则满足z；+z；=O,但4WZ2WO,故B错误，

对于C,设Z]=Q+bi,z2=c+di,贝ljz]=a-6i,z2=c-di,

故为一Z2=(a-c)+(b-d)i,~z2\='(a-c)?+(b-d?=0,

解得。=。，b=d,则Z]—z2=(a—c)+(d—6)i=0,故C正确，

对于D,设2=x+yi,因为|z_"=|z+l],Iz-11=yj(x-l)2+y2,

|z+l|="(X+l)2+y2,所以J(x+l)2+『=J(x_l)2+y2,

化简得x=0,故2在复平而内对应的点的轨迹为直线，故D正确.故选：ACD.

法技巧•苗裒学露

一、复数的分类

对于复数a+bi,

(1)当且仅当6=0时，它是实数；

(2)当且仅当a=b=0时，它是实数0；

(3)当厚0时，叫做虚数；

(4)当a=0且厚0时，叫做纯虚数.

【典例1】(2024•广东东莞•模拟预测)若复数z满足自+i)(l+i)=4,则复数z的虚部是()

A.2B.-2C.3D.-3i

【答案】C

【解析】设z=a+6i,根据题意，可得(。-历+i)(l+i)=4,

化简为+6-1)+(a-6+1)i=4,

..fa+b-l=4\a=2

根据复数相等，得入|…解得八「

[a-6+l=0[6=3

所以z=2+3i,即复数z的虚部是3.故选：C

【典例2](23-24高三上•甘肃庆阳•阶段练习)(多选)下列各式的运算结果是实数的是()

A.z=i(l-i)2B.z=(l+i『

C.z=(l+i)(l+2i)(l+3i)D.z=U

【答案】AC

【解析】A项中，z=i(l-i)2=i(-2i)=-2i2=2,故A正确；

B项中,z=(l+i)2=2i,故B错误；

C项中，z=(l+i)(l+2i)(l+3i)=(-l+3i)(l+3i)=-10,故C正确；

D项中，z=》=、6i)(34i)=包=2,故D错误.故选：AC.

3+4i2525

二、求复数标准代数式形式的两种方法

1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；

2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的

方程(组)，通过解方程(组)求出复数的实部与虚部.

【典例1】(2024•新疆・三模)复数z满足|z+2i|=|z|,贝"的虚部为()

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】C

【解析】设z=a+6i且,则z+2i=a+6i+2i=a+0+2)i,

因为|z+2i|=p],所以/+0+2)2=/+/,解得：b=-l,贝的虚部为-i.故选：c

【典例2】(2024•福建泉州•模拟预测)已知复数z满足目=2,|z-2|=2,则z+』=()

A.2A/3B.2C.-2D.-273

【答案】B

【解析】设复数z=a+6i,a,beR,

由匕月W=2,得-2)2+5=\la2+b2=2>解得。=1,b=+V3,

••・z=l土&，z+I=2.故选：B.

三、复数的几何意义

('1)任一个复数z=a+6i(a,6GR)与复平面内的点Z(a,6)是一一对应的.

(2)一个复数z=a+6i(a,6GR)与复平面内的向量次=(a,6)是一一对应的.

【典例1】(2024・四川自贡•三模)在复平面内，复数4，z?对应的向量分别是方=(-2,3),丽=(3,-2),

则复数对应的点位于()

Zl+Z2

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】因为复数4，Z2对应的向量分别是。3=(-2,3),砺=(3,-2),

所以■=-2+3i,z2=3—2i,

所以z，=3-2i=(3-2i)(l-i)=J__5.

Z1+z2-2+3i+3-2i(l+i)(l-i)22，

所以复数对应的点为一百，位于第四象限.故选：D

Zl+Z2(21)

【典例2】(2024•安徽马鞍山•三模)已知复数z满足zN=2(z+7)=4,若z在复平面内对应的点不在第一

象限，贝1Jz=.

【答案】1-gi

【解析】设z=a+6i,Q,b£R,则亍=。一为，

因为z•三=2(z+z)=4,

z-z=(^a+bi)(^a-bi)=a2+b2=4/a=1a=1

2(z+亍)=2[(q+6i)+(q-6i)]==4，角牛将6=G戈b=-y/3

又因为z在复平面内对应的点不在第一象限，可知640,

4=1

可知〈厂，所以z=l-后.

b=73

故答案为：1-ei.

四、虚数单位i的乘方

计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，i〃有如下性质：

P=i,i2=­1,i3=ii2=—i,i4=i3-i=—ii=1,

从而对于任何〃£N+，都有i4n+1=i4,2-i=(i4)z/-i=i,

同理可证i4"+2=—1,j4〃+3=—j,j4〃+4=].

这就是说，如果〃£N+，那么有i4〃+i=i,i4/?+2=-1,i4n+3=—i,i4w+4=l.

由此可进一步得(l+i)2=2i,(1—i)2=—2i,-―—1,^=i,i.

1+i1—ii

【典例1】(2024•湖北•二模)已知复数z=%+i),则产=()

A.1B.-1C.-iD.i

【答案】A

【解析】因为z=%+i),所以z2=g(l+2i+i2)=i,

所以Z2024Mz2厂2=(了。口=1.故选：R

【典例2】(2024•河北・三模)已知复数1满足2。2°23+[2必)=[2。25,则1的共轲复数的虚部是()

1.

BC.——1D.

-I22

【答案】D

【解析】由Z。2°23+12。24)=12025,可得7(j3+4x505+「+4x506)=产4x506,

i(l+i)_-l+i11.

所以z(l-i)=i所以2=白二------1—i

(1—i)(l+i)222

_111

所以z=-3-3,所以I的共辄复数的虚部是故选：D.

五、复数方程的解

在复数范围内，实系数一元二次方程a/+版+c=0(a40)的求解方法：

C1)求根公式法：

①当△20时，X="±"2-4ac②当△<()时，X=f(b

2a2a

(2)利用复数相等的定义求解，设方程的根为％=TH+ni(7H,n6/?),

将此代入方程a%2+版+。=OQw0),化简后利用复数相等的定义求解.

【典例1】(23-24高三下•西藏拉萨•阶段练习)已知z=l-i是方程Z2+2QZ-b=0(〃/£R)的根，则〃+b=()

A.-3B.-1C.2D.3

【答案】A

[解析]由题意，得(1—i)2+2o(l—i)—6=0,即2Q_6+(_2_2〃)i=0,

所以2a—b=0,且一2—2。=0,解得。=—1,6=—2,

所以。+6=-3.故选：A.

【典例2】(2024•江苏盐城•模拟预测)(多选)已知为,%?为方程/+2、+3=0的两根，则()

A.1^-z2U272B.上+'=一1'

11

zxz2J

C.|Z1|+|Z2|=2V3D.Z]—z2—Zj+z?

【答案】BC

【解析】方程/+2x+3=0的两根分另1J为一1+Vii和一1-",且Z[+Z]=-2,44=3,

所以不妨设马=-1+,z2=-1-V2i,

^=-l+V2i,所以,_司=卜1+匈_(_1+网=0,故A错误；

11_zx+z22

-1--=----故B正确;

Z\Z2Z1Z2

22

|zj+|z2|=2^(-I)+(V2)=25/3,故C正确;

Z]_z?=_,Z]+z2=-1—y/^21—]-2,

所以4-Z2w4+Z2,故D错误.故选：BC.

六、复数的三角表示

将复数z=a+bi(a,beR)化为三角形式z=r{cos9+isizi。)时，要注意以下两点：

(1)r=Va2+b2,

(2)cos。="ne=[,其中e终边所在象限与点(a,6)所在象限相同，

当a=0,6>0时，argz=]

【注意】每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，

两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等.

【典例1](23-24高三下•江苏苏州•阶段练习)(多选)任何一个复数z=a+6i6eR,i为虚数单位)

都可以表示成z=r(cos6+isin。)(r>0,0eR)的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫

弗发现：[r(cose+isine)]"=r"(cos”e+isin〃e)(〃eN*),我们称这个结论为棣莫弗定理，则下列说法正

确的有()

A.复数z=l-gi的三角形式为z=2(cos：-isin：]

TT

B.当，=1,时，z+z23+.-+z2024=0

2+z

TT

C.当r=2,§时，z3=—8

D.当，，=3,e=:TT时，"〃为偶数”是"z"为纯虚数”的充分不必要条件

4

【答案】BC

【解析】复数z=l-后的三角形式为z=2"*sin歌，故A错误；

、[,八兀rL71..兀.

当”1,6=一时，z=cos—+isin—=i,

222

因为i4Al+i钦+2+i4k+3+i4M=0,keZ,

所以Z+Z2+Z3+,・・+Z2°24=0,故B正确；

当尸=2,。=乌时，z=2\cos—+isin—I,

3<33J

33

z=2^cosy+isiny^=2(cosTI+isinTT)=-8,故C正确;

当尸=3,。=四时，z=3|cos—+isin—I，

4I44)

z"3Jcos—兀+i.si.n

I4

rm八

cos——=0

,则—=—卜所以〃=

若z"为纯虚数,则4kit,4k+2,keZ■,

.rm.42

sin——H0

4

虽然〃=4左+2,左eZ是偶数，但是偶数还有〃=4鼠左eZ的形式的数，

所以“〃为偶数”是“z"为纯虚数”的必要不充分条件，故D错误.故选：BC.

【典例2】(2024•黑龙江哈尔滨•三模)复数2=。+历(“)€氏1是虚数单位)在复平面内对应点为2,设

r=|OZ|,6是以x轴的非负半轴为始边，以0Z所在的射线为终边的角，贝ljz=a+6i=r(cose+isin。)，把

r(cosO+isinO)叫做复数。+用的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，

[r(cos8+isin。)]"=r"(cos〃e+isinw<9)(〃eN*),例如：与:=^cosisin=cos2K+isin27t=1,

(1+i)4=jV2[cos：+isi吗=4(cost-Hsin7i)=4,复数z满足：z=l+i，则z可能取值为()

A.亚(cosg+isinB.8(cos+isin

C.啦(cos1+isin]]D.V2^cos+isin

【答案】D

【解析】设z=r（cose+isine）,

则z3=l+i=V2cos—+isin—I=/(cos39+isin36),

TT7IcTTTT

所以r=蚯，3e=2ht+：#eZ,即夕=学+音水eZ,

所以2=蚯cos［学+^|）+isin［当+专］］,左eZ

故左=2时，。=詈，故z可取痣［cos詈+isin詈］,故选：D

庇笏错・睢券另幅

易错点1忽视复数2=。+次是纯虚数的充要条件

a=0

点拨：对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数2=。+初为纯虚数八，往往容易忽略虚部不等于0.

b彳0

【典例1］（24-25高三上•湖南•开学考试）已知复数Z1=2-i,Z2=a+i（aeR）,若复数4七为纯虚数，则

实数。的值为（）

A.--B.vC.-2D.2

22

【答案】A

【解析】由已知，复数z/Z2=（2-i）（a+i）=（2a+l）+（2-a）i为纯虚数，

一（2a+l-0,1

所以'八得.=-：.故选：A.

2-a^0,2

【典例2］（23-24高三上•广西•开学考试）已知i是虚数单位，若z=K是纯虚数，则实数。=

1-1

13£

A.-B.—C.1D.

222

【答案】C

1+ai(l+〃i)(l+i)1-Qa+1.

【解析】z=------------------------------------------1----------1

1-i(l-i)(l+i)22

4=0

因为Z=，%是纯虚数，所以＜,2

解得。=1.故选：C.

1-1。+八

-----1W0

[2

易错点2错误的理解复数比大小

a＜c

点拨：两个复数不能直接比大小，但如果。+