高考数学一轮专项复习练习卷：二次函数与一元二次方程、不等式（原卷版+解析版）

二次函数与一元二次方程、不等式（九大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01解不含参的一元二次不等式（含分式'根式、高次）

♦题型02解含参的一元二次不等式

♦题型03一元二次方程根的分布

♦题型04二次函数定区间定轴型

♦题型05二次函数动区间定轴型

♦题型06二次函数定区间动轴型

♦题型07二次函数与不等式求参综合

♦题型08一元二次不等式恒成立'有解问题

♦题型09一元二次不等式的实际应用

♦题型01解不含参的一元二次不等式（含分式'根式、高次）

1.（2024高三•全国•专题练习）解下列一元二次不等式：

⑴2/-2后+1>0;

⑵/+1_1<0；

（3）-3x2+5x-4>0;

（4）（2X-1）2<4；

（5）（x+1）（x+2）<（x+1）（2—x）+1；

(6)(3X+2)(X+2)>4.

2.（2024高三・全国•专题练习）解不等式:

X+lc

⑵

3.（2021高一•上海•专题练习）关于x的不等式5x+l+j2x—1>4x—2+j2x—1的解集是.

4.（2022秋.陕西宝鸡-高二统考期中）不等式（工+3）（工-1）2（工-2）320解集为（

A.{x\x<-3^x>2]B.{x\x<-3^x>l]

C.{x|-3<x<1x>2}D.{x|x(一3或x=l或x»2}

♦题型02解含参的一元二次不等式

5.（23-24高三上・江苏扬州•阶段练习）若关于x的不等式机+4）x+4〃z<0的解集中恰有3个整数，则

实数机的取值范围为（）

A.（7,8]B.（0,1]

C.(O,l]u[7,8)D.[0,1)37,8]

6.（23-24高三上•山东潍坊・期末）已知甲：乙:关于x的不等式…<0（awR）,若甲是乙的必

x-a-\

要不充分条件，则“的取值范围是（）

A.a>1B.a>1C.a<0D.a<0

7.（23-24高三上•云南德宏•期末）已知关于x的不等式/一依+640的解集为何2W尤43},则关于x的不

等式—+q<0的解集为（

A.何2<%<3}B.{x|l<x<3}

C.何2<%<5}D.{x|l<x<5}

8.（21・22高三上•重庆黔江•阶段练习）已知〃%2+瓜+0>0的解集为{x|—l<x<2},则不等式

Q(%2+l)+Z?(x-l)+c<2〃x的解集为()

A.{x|0<x<3}B.{X|x>0}

C.{x|x<0或x>3}D.{x|x>3}

o4

9.（23-24高三上•福建•期中）已知关于x的不等式f-2〃<o的解集为（私*若"一,〃=2,则彳+言

ab

的最小值是（）

A.3+20B.6+2啦C.6+4亚D.12+8行

♦题型03一元二次方程根的分布

10.（2024高三•全国・专题练习）关于x的方程办②+（a+2）x+9a=0有两个不相等的实数根再,三，且再〈"x2,

那么。的取值范围是（）

2

B.a>一

5

22

C.CL<----D.-----<a<0

711

11.（23-24高三上•四川•阶段练习）若关于x的方程/-2ax+a+2=0在区间（-2,1）上有两个不相等的实数

解，贝I。的取值范围是（）

lx2-4r+3<0

12.（21-22高三上•山东荷泽・期中）已知不等式组2,八的解集是关于％的不等式——3x+〃<0的

［x-6x+8o<0

解集的子集，则实数。的取值范围为（）

A.«<0B.Q〈0C.a<-\D.a<-2

♦题型04二次函数定区间定轴型

13.（22-23高一上•全国•课后作业）已知一元二次函数>=——2x+2,xe（0,3）,则下列有关该函数的最值

说法正确的为（）

A.最小值为2,最大值为5B.最小值为1,最大值为5

C.最小值为1,无最大值D.无最值

14.（22-23高一上•全国•课后作业）函数了=4-x（x>0）的最大值为（）

11

A.-B.0C.-D.1

43

♦题型05二次函数动区间定轴型

15.（22-23高一"全国•课后作业）已知函数y=/（x）的表达式/（x）=f-2尤-3,若xe也t+2］,求函数/（x）

的最值.

16.（23-24高一•江苏•假期作业）如果函数/（尤）=（1-1），1定义在区间山+1］上，求“X）的值域.

♦题型06二次函数定区间动轴型

17.（22-23高一上•云南昆明・期末）已知二次函数/（x）=a/+6x+c（"0）的图像过点（-2,0）和原点，对于

任意xeR,都有/（x）N2x.

⑴求函数的表达式；

⑵设g（x）=/（x）+2s,求函数g（x）在区间［0,1］上的最小值.

18.（22-23高一上•全国・单元测试）设函数/（X）=f+2fx+，-l.

⑴当"2时，求函数在区间［-3,1］中的最大值和最小值；

⑵若无e［l,2］时，〃x）>0恒成立，求t的取值范围.

♦题型07二次函数与不等式求参综合

19.（20-21高三上•陕西渭南•阶段练习）若二次函数/（x）=a，+2（a-l）x+2在（-94）上为减函数，则。的取

值范围为（）

A.B.[o,1]C.D.（0,1

20.（2023高三•全国・专题练习）设二次函数/'（x—m-ZE+Sax+Z在R上有最大值，最大值为加（。），当%（。）

取最小值时，。=（）

A.0B.1C.yD.V2

♦题型08—元二次不等式恒成立、有解问题

21.（23-24高三上•山东滨州•期末）若不等式/一办+4"对任意xe[l,3Hl成立，则实数。的取值范围是

（）

A.[0,4]B.（一吃4]C.卜°,葭]D.（-℃,5]

22.（21-22高一上・江苏徐州•阶段练习）若对于任意尤e[私加+1],都有/+mx-1<0成立，则实数机的取值

范围是（）

A.1豹]

C.D.1-W，0

32

23.（2023高三•全国•专题练习）若关于工的不等式/+加工-4>0在区间[2,4]上有解，则实数"的取值范

围为（）

A.（-3,+oo）B.（0,+<»）C.（-8。D.

24.（2022・甘肃张掖•模拟预测）若关于x的不等式/一6x+2-a>0在区间[0,5]内有解，则实数。的取值范

围是（）.

A.（2,+00）B.（-℃,5）C.D.（一°°,2）

♦题型09一元二次不等式的实际应用

25.（23-24高三上•山西吕梁•阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，

参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售

卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价

每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的

销售单价x（单位：元）的取值范围是（）

A.（10,20）B.[15,20）C.（16,20）D.[15,25）

26.（2023高三•全国•专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m?的内接矩形

花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长x（单位：m）的取值范围是（）

A.1x|15<x<20|B.1x|12<x<251

C.1x|10<x<30}D.1x|20<x<301

02模拟精练

一、单选题

1.（2024咛夏银川・一模）设全集。={0,1,2,3,4,5,6},/={1,2,3,4,5},8=&€2|石<2},则集合{4,5}=（）

A.4（/c8）B.瓜冷cB

c./C&B）D.（加）c（*）

2.（2024•北京房山•一模）是“[吊>一1）|=》（1一》）”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2023・福建厦门•二模）不等式办2-2X+1>0（aeR）恒成立的一个充分不必要条件是（）

A.a>2B.a>1C.a>1D.0<6Z<—

2

4.（2024・浙江•模拟预测）若不等式履,+（左-6）x+2>0的解为全体实数，则实数左的取值范围是（）

A.2<A;<18B.—18<左<—2

C.2〈左<18D.0<k<2

5.（2023,陕西,模拟预测）命题“X/x£R,%2一后；+左+320”是假命题，则上的取值范围是（）

A.B.(-2,+co)C.(-2,6)D.(-00,-2)0(6,+oo)

6.（2024・四川宜宾・模拟预测）若P：实数。使得F/eR,x；+2/+。=0”为真命题，4：实数。使得

Vxe[1,+coj,犬-a>0”为真命题，则q是0的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.（2023・河南•模拟预测）某同学解关于x的不等式◎2+乐+，<0。彳0）时，因弄错了常数c的符号，解得

其解集为（-s,-3）u（-2,+w）,则不等式加+cx+a>0的解集为（）

A.（T-（JB.（-oo,-l）u^-1,+oo^

C.[JD.-co,+00）

8.（2023•宁夏中卫•二模）已知点41,4）在直线：+看=1（。>°力>°）上，若关于f的不等式“+叱产+5"3恒

成立，则实数f的取值范围为（）

A.[-6,1]B.[-1,6]

C.(-OO,-1]U[6,+GO)D.(-oo,-6]o[l,+oo)

二、多选题

9.（2024・广东深圳•模拟预测）下列说法正确的是（）

A.不等式4/-5x+l>0的解集是,工卜>；敢

B.不等式2/-工一640的解集是心卜W-|或

C.若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，则a的取值范围是0

D.若关于x的不等式2工2+.-3<0的解集是（％1）,则。+4的值为-;

10.（2022•辽宁丹东一模）如果关于x的不等式f-2"+6-1>0的解集为何X"},那么下列数值中，b

可取到的数为（）

A.-1B.0C.1D.2

11.（2022•全国•模拟预测）已知二次函数/（%）=3：2_4蛆+12冽-3（加<0）,若对任意修。/，贝U（）

A.当A+4=4时，/(X])=y(x2)恒成立

B.当XJ+X2>4时，/(尤])</(々)恒成立

C.大。使得/(%)20成立

D.对任意X],N，均有8ff7-3«=1,2)恒成立

三、填空题

12.(2023・浙江•模拟预测)不等式x(x+2)>x(3-x)+l的充分不必要条件可以为.

13.(2023•上海黄浦•三模)关于x的不等式办2-国+2020的解集是(-<»,+8),则实数。的取值范围

为.

14.(2020•江苏南通•模拟预测)已知函数/(x)=x2+6x+c(|6区5,ce&),记

A={x\f(x)=x],B={x\/(/(%))=x},若集合/={X],无2}*={尤i，X2，X3，xj,且卜-引+k-%区6+1恒成立,

则6+c的取值范围是

四、解答题

15.(2024•云南昆明•模拟预测)我们把劭+平+勺、+...+anx"=0(其中4尸0,〃eN*)称为一元"次

多项式方程.代数基本定理：任何复系数一元M〃eN*)次多项式方程(即小，％,出，…，。"为实数)在

复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元〃(”eN*)次多项式方程在复数集内有且仅有〃个

复数根(重根按重数计算).那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元次多项式在复数集内

一定可以分解因式，转化为〃个一元一次多项式的积.即

2n2

a0+axx+a2x++anx=an(x-a,)*'(x-a2)*•••(x-am)*",其中左，m&N*>kx+k2++km=n,ax,

%,...,%,为方程4+。俨+%/+....+。/'=0的根.进一步可以推出：在实系数范围内(即小，％,

a2,...»为实数)，方程%+...+。/"=0的有实数根，则多项式%+....+%,x"必

可分解因式.例如：观察可知，x=l是方程V-1=0的一个根，则(x-l)一定是多项式/-1的一个因式，

即X，-1=(x-1乂ax~++c),由待定系数法可知，a—b—c=\.

(1)解方程：X3-2X+1=0;

23+

(2)^；f(x)=a0+axx+a2x+a3x,其中4,%,a2,GR,且％+Q]+?+%=1.

(i)分解因式：、一(旬+%%+。2工2+%x3)；

(ii)记点尸(演,乙)是歹=/(x)的图象与直线＞二x在第一象限内离原点最近的交点.求证：当

ax+2出+3441时，%0=1.

二次函数与一元二次方程、不等式(九大题型+模拟精练)

01题型归纳

目录：

♦题型01解不含参的一元二次不等式(含分式'根式'高次)

♦题型02解含参的一元二次不等式

♦题型03一元二次方程根的分布

♦题型04二次函数定区间定轴型

♦题型05二次函数动区间定轴型

♦题型06二次函数定区间动轴型

♦题型07二次函数与不等式求参综合

♦题型08一元二次不等式恒成立、有解问题

♦题型09一元二次不等式的实际应用

♦题型01解不含参的一元二次不等式(含分式、根式、高次)

1.(2024高三•全国•专题练习)解下列一元二次不等式：

(1)2X2-2^X+1>0;

(2)x2+x-l<0;

(3)-3X2+5X-4>0;

(4)(2X-1)2<4；

(5乂x+1)(x+2)<(x+1)(2—x/；

(6)(3X+2)(X+2)>4.

【答案】

-1-75-1+^5

⑵尤|<x<----->

~2-2

⑶0

(5)%

22

【分析】依据二次不等式解法程序去求解即可.

【解析】(1)二次方程2/一2&工+1=0有二重根，x1=x2=

贝I不等式2——2瓜+1>0的解集为卜>

(2)二次方程/+x-l=O有二根，.=一1丁,尤2=一1；6

贝”不等式x?+xT<0的解集为何三好<x<三且

(3)不等式-3/+5工-4±0可化为3x2-5尤+440

由(一5『一4x3x4=—23<0可知，二次方程3x2-5x+4=0无根，

则不等式3/-5x+4<0的解集为0

故不等式-3f+5x-420的解集为0

(4)不等式(2x-iy<4可化为4--4尤一3<0

13

二次方程4——4%-3=0有二根，玉=-不入2=7

22

贝U不等式4——4x-3<0的解集为jx|-1<x<|j

故不等式(2万一1)2<4的解集为,x|—;<x<|；

(5)不等式(x+l)(x+2)<(x+l)(2-x)+1可化为2%2+2%一1<0

二次方程2X2+2X_1=0有二根，$=―—―,x=-I、6

222

贝U不等式2/+2x一1<0的解集为匚衿<x<三也>

,_1-1+V3

故不等式(x+l)(x+2)<(x+l)(2-x)+l的解集为伊一

2

(6)不等式(3x+2)(x+2)>4可化为3%2+8x>0

Q

二次方程3/+8x=0有二根，Xj=0,x2=--

则不等式3x2+8x>0的解集为卜|x<-1或x>0}

故不等式（3x+2）（尤+2）>4的解集为或x>0}

2.（2024高三・全国•专题练习）解不等式：

'-3尤+6

,\X+lC

2----->2.

3x—2

【答案】（1）{小<2或x>3}；

(2)jx|<x<l}.

【分析】（1）由题可得（x-3）（3x-6）>0,即求;

(2)由题可得产；5)(；X-2)V0,

[3x-2w0

Y—3—3

【解析】(1)由*，<0,可得/x4>0,

—3x+63x—6

(x-3)(3x-6)>0,

解得％<2或x〉3,

所以原不等式的解集为卜归<2或x>3}.

V-L1上__2=士520

(2)由-----22可得,

3%—23x—23x—2

一小°,解得

所以原不等式的解集为存XVI}.

3.（2021IWJ—^上海,专题练习）关于x的不等式5x+l+j2x-1〉4x-2+J2x-1的解集是

【答案】1,+°°

5x+1>4x-2

【分析】不等式可化简为2x-12。,计算即可.

【解析】不等式整理的5x+l>4『2,解得x>-3,又因为2x-120,所以

2

所以不等式的解集为g,+s）,

故答案为：-,+coj

4.（2022秋-陕西宝鸡-高二统考期中）不等式（》+3）（》-1）2（尤-2）七0解集为（）

A.{x|xV-3或xN2}B.{x|x<-3x>1}

C.{x|-3<x<1x>2}D.{x|xV-3或尤=1或x22}

【答案】D

【分析】解高次不等式使用穿根法求解.

【解析】根据高次不等式的解法，使用穿根法如图得不等式的解集为xV-3或x=l或x22}

♦题型02解含参的一元二次不等式

5.（23-24高三上・江苏扬州•阶段练习）若关于x的不等式尤2_（加+4）尤+4m<0的解集中恰有3个整数，则

实数小的取值范围为（）

A.（7,8]B.（0,1]

C.（0,l]u[7,8）D.[0,l）u（7,8]

【答案】D

【分析】根据给定条件，分类解不等式并确定加值的范围即得.

【解析】不等式V-（7"+4）x+47”<0化为：（x-4）（x-M<0,显然〃-4,否则不等式解集为空集，不符

合题意，

当机<4时，不等式的解集为（优,4）,依题意，在（他4）中恰有3个整数，即为3,2,1,则0V冽<1,

当切>4时，不等式的解集为（4,加），显然在（4,加）中恰有3个整数，即为5,6,7,则7〈加48,

所以实数机的取值范围为[04）。（7,8].

故选：D

6.（23-24高三上•山东潍坊•期末）已知甲：x>l,乙：关于尤的不等式“—“<0（aeR）,若甲是乙的必

x-a-1

要不充分条件，则。的取值范围是（）

A.a>\B.a>1C.a<0D.a<0

【答案】A

【分析】将乙中的分式不等式化为二次不等式求解，再由必要不充分条件得到集合的包含关系，结合数轴

求参数范围即可.

【解析】甲：x>l,设此范围对应集合/=[1,内）；

由Q<Q+1,

X-a

则乙：------<0O（X-Q）（x—。-1）V0OQ<Q+1,

X—CL—1

设此范围对应集合5=+1）,

若甲是乙的必要不充分条件，则5A,其中4=3必不成立；

则（a,a+l）[1,+00）,所以aNl.

故选：A.

7.（23-24高三上•云南德宏•期末）已知关于x的不等式尤2一办+心0的解集为{x|2VxV3},则关于x的不

等式，-Zzx+a<0的解集为（）

A.1x|2<x<3}B.{x[l<x<3}

C.何2<尤<5}D.1x|l<x<5j

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根之间的关系求出。、。的值，再解不等式.

【解析】根据题意，方程/-ax+6=0的两根为2和3,

则Q=2+3=5,6=2X3=6,

则一—+a<0为一—6%+5<0,其解集为{x|l<x<5}.

故选：D.

8.（21-22高三上•重庆黔江•阶段练习）已知Q/+H+C〉。的解集为{刘―则不等式

+1）+/）（工一1）+0<2亦的解集为（）

A.{x|0<x<3}B.{x|x>0}

C.{%|%<0或%>3}D.{x\x>3]

【答案】C

【分析】根据二次方程和不等式根与系数的关系确定a,6,c的关系，代入不等式得解集

【解析】已知"2+乐+00的解集为{x|-l<x<2},

贝Uax2++c=0的两根为一1和2,

a<0

所以<—1+2=—,即6=—a,c=-2d,

a

-1x2=-

、a

代入不等式，+i）+b（x-l）+c<2ax化简整理得of-3ax<0，

因为Q〈0,故工2一3%>0,

不等式的解集为{刈％<0或x>3}.

故选：C

74

9.（23-24高三上•福建•期中）已知关于x的不等式/_2依-/<。的解集为（加,〃），若〃一加=2,则与■+V

ab7

的最小值是（）

A.3+2后B.6+2亚C.6+4及D.12+80

【答案】C

【分析】根据V-2办-〃<0的解集为（加,〃）得到加，"是方程--26-〃=0点的两个根，然后根据韦达

定理和2得至l]/+/=i,最后利用基本不等式求最值即可.

【解析】由题意得加，〃是方程/-2ax-〃=0点的两个根，所以〃z+=2a,加〃=-〃，

-mJ=（n+—4mn=4a2+4Z>2=4,即a。+〃=i,

所吟+2W+4+j$6+2楞*=6+4后,

2b2_4a2

当且仅当即02=亚_1，〃=2一血时等号成立.

故选：C.

♦题型03一元二次方程根的分布

10.（2024高三・全国・专题练习）关于工的方程办2+（a+2）x+9o=0有两个不相等的实数根项,吃，且再<l<x2,

那么。的取值范围是（）

222

A.——<a<—B.a>一

755

22

C.a<——D.-----<。<0

711

【答案】D

【分析】说明。=0时，不合题意，从而将办2+(a+2)x+9a=0化为/+11+：]》+9=0,令

了=/+(1+：卜+9,结合其与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案.

【解析】当。=0时，Q/+(。+2卜+9〃=。即为2x=0,不符合题意；

故aw0,QX?+(〃+2)x+9Q=0即Y+[1—]1+9=0,

令y=犬++2)%+9,

由于关于X的方程办2+(。+2)X+9〃=0有两个不相等的实数根项,%2,且再<1<X2,

则歹="2+(〃+2)X+94与、轴有两个交点，且分布在1的两侧，

故x=l时，了<0,即l+(l+2]xl+9<0,解得2<71,故一2<0<0,

<a)a11

故选：D

11.(23-24高三上•四川•阶段练习)若关于云的方程/-2ax+a+2=0在区间(-2,1)上有两个不相等的实数

解，则。的取值范围是()

【答案】A

【分析】

A>0

—2<a<1

令g(x)=--2ar+a+2,依题意可得<g(_2)>°,解得即可.

g(l)>0

【解析】

令g(x)=/一於+a+2,因为方程--2公+4+2=0在区间上有两个不相等的实数解,

A>0A=4a2-4(fl+2)>0

—2<a<1—2<a<16

所以g(-2)>0;即'，解得一二<。<一1,

4+4a+a+2>05

g⑴>。1—2。+。+2>0

所以。的取值范围是P--

故选：A.

X?—4Y+3<0

12.（21-22高三上•山东荷泽・期中）已知不等式组x—x+8〈。的解集是关于'的不等式人3i<。的

解集的子集，则实数a的取值范围为（）

A.a<0B.a<0C.a<-lD.a<-2

【答案】A

【分析】先求出不等式组的解集，然后根据xe（2,3）是/-3x+a<0的解集的子集，用二次函数的性质来列

出不等式组，解出“的取值范围.

x?—4x+3<0

【解析】解得…不3）,因为92,3）是不等式/_3…〈。的解集的子集，故

/（2）<0

/（%）=/—3%+〃要满足：/（3）<0,解得：^<0,

A>0

故选：A

♦题型04二次函数定区间定轴型

13.（22-23高一上•全国•课后作业）已知一元二次函数y=x2—2x+2,xG（O,3）,则下列有关该函数的最值

说法正确的为（）

A.最小值为2,最大值为5B.最小值为1,最大值为5

C.最小值为1,无最大值D.无最值

【答案】C

【分析】结合对称轴，函数的单调性得出结论.

【解析】由已知函数图象对称轴是x=l,在（0,1］上，函数是减函数，在口,3）上是增函数，因此x=l时，函

数取得最小值为1，但无最大值，

故选：C.

14.（22-23高一上•全国•课后作业）函数y=«-x（x>0）的最大值为（）

11

A.—B.0C.—D.1

43

【答案】A

【分析】y=6-x配方化为结合二次函数知识即可得答案.

［解析］因为y=4-X=_(A/T)+6=_(6-g)+:k20),

当6=；,即x=1时，y=4-x(x>0)取得最大值，

即Znax=:，

故选：A

♦题型05二次函数动区间定轴型

15.(22-23高一全国•课后作业)已知函数>=/(x)的表达式/(无)=X2-2X-3,若xe®+2］,求函数/(x)

的最值.

【答案】答案见解析

【分析】分Wl<f+2/Vl<上产」</四种情况讨论求解即可.

【解析】解:函数/■。)=%2-2%-3的图像的对称轴为直线》=1.

2

①当132,即Y一1时，/(x)0=/«)=如一2"3,f(x)min=f(t+2)=t+2t-3；

2

②当+即-I〈区0时，f(x)max=f(t)=t-2t-3,f(x)mn=f(l)=-4；

2

③当三1<£±^±2,即0<丝1时，/(x)max=f(t+2)=t+2t-3,/(x)1nl0=/(l)=T；

22

④当1</,即/>1时，f(x)max=f(t+2)=t+2t-3,/(x)mn=f(t)=t-2(-3.

t2+2%-3,%W-1

-4,-1<^<1

t?-2t-3,，>1

16.(23-24高一•江苏•假期作业)如果函数=定义在区间山+1］上，求“X)的值域.

【答案】答案见解析

【分析】根据二次函数对称轴与所给自变量区间分类讨论，由二次函数性质求最值即可得解.

【解析】函数/(x)=(x-iy+l,其对称轴方程为x=l,顶点坐标为(1,1),图象开口向上.

如图所示,

若顶点横坐标在区间/f+1］左侧时，有，＞1,此时，当尤=，时，函数值最小,

/(/)=(/-I)?+1=/-2/+2,当x=/+l时，函数值最大，/(，+!■)=厂+L

...函数的值域为［产-2/+2,产+1］.

若顶点横坐标在区间［。+1］上时，有+即04dl.

当x=l时，函数的最小值为〃1)=1,当;时，最大值为〃/+1)=产+1,

二函数的值域为工一+1］；当时，最大值为/«)=〃一2t+2,

所以在［乎+1］上的值域为［1,产-2f+2］.

若顶点横坐标在区间［0+1］右侧时,有f+BP/＜0.

当x=f+l,函数的最小值为〃/+1)=产+1,最大值为/0)=〃-2f+2,

所以函数/(X)的值域为［r+1/-2/+2］.

综上，当，＞1时，函数/(X)的值域为片-2f+2,户+1］.

当;Wdl时，函数/⑴的值域为口,〃+1］；当04f＜g时，函数/&)的值域为［1,产-21+2］；

当，＜0时，函

数/(x)的值域为3+1--2/+2］.

♦题型06二次函数定区间动轴型

17.(22-23高一上•云南昆明・期末)已知二次函数/(力="2+为+<?(。30)的图像过点(-2,0)和原点，对于

任意xeR,都有f(x)22x.

(1)求函数/(x)的表达式；

⑵设g(无)=/(x)+2mx,求函数g(x)在区间［0』上的最小值.

【答案】(l)〃x)=f+2x

3+2m,m<-2

⑵g(x)min=<-(加+1)2，-2<W<-1

0,m>-1

c=0a>0

【分析】(1)由题意得._八，得/(x)=a/+2ax,从而ax2+2(。一1)%20恒成立,得

4。-278+。=0A=4(〃-1)2«0'

即可求解;

(2)依题意可得g(x)=〃x)+2F=/+(2+2Mx,即可得到对称轴，再对对称轴所在位置分类讨论，即可

求出函数的最小值.

c=0、

【解析】(1)由题意得八，所以6=2a,c=0,f(x)—ax+2ax，

44a-2b7+c=0

因为对于任意XER,都有/(X)22X,即办2+2(q-1)x20恒成立,

a>0

故△=4(1)240'解得。=L二6=2-

所以f(x)=x2+2x；

(2)g(x)=/(x)+2mx=x?+(2+2m)x,

贝！Ig(x)的对称轴为x=-m-1,

当-m—1<0,即a2-1,函数在［05上单调递增,

故g(x)在［0』上的最小值为g(0)=0；

当-加-1>1,即加工-2时，函数在［0,1］上单调递减,

故g(x)在［0,1］的最小值为g(l)=3+2m；

当0〈一加一1<1,即一2<加<一1时,

函数在［0,-加-I)上单调递减，在(-切-1』上单调递增，

故g(x)在［0,1］上的最小值为g(-m-l)=-(w+1)2-

3+2m,m<-2

综上，g。*”=<-(加+1)2，-2<m<-1.

0,m>-\

18.(22-23高一上•全国•单元测试)设函数/(无)=苫2+2n+/-1.

(1)当/=2时，求函数/(外在区间［-3,1］中的最大值和最小值；

⑵若xe［l,2］时,/(尤)>0恒成立，求f的取值范围.

【答案】⑴最大值为6,最小值为-3；

(2)(0,+00).

【分析】(1)结合二次函数的图象可求得函数的最大值和最小值；

(2)由/(尤)=/+2坛+-1=(》+)工+-1,根据当xe［l,2］时，函数/(x)>0恒成立，分类讨论，使得

/(x)min>0,即可求解，得到答案.

【解析】(1)由题意，当1=2时，函数/(无)=x2+4x+l=(尤+2丫-3,

由二次函数的性质可知，〃x)在［-3,-2)上递减，在(-2,1］上递增，

当x=-2时，函数取得最小值，最小值为/(-2)=-3,

"1)=6,/(-3)=-2,当x=l时，函数取得最大值，最大值为〃1)=6；

(2)由/(x)=x~+2/x+f—1=(x+f—广+/—1,

因为当xe［1,2］时，函数f(x)>0恒成立，

当VW1时，即才2-1时，/(x)mn=/(l)=3Z>0,解得/>0；

当1<—f<2时，即—2<r<—1时，=/(—，)=―/+，—1>°，

即r7+1=［一:1+!<0,此时解集为0；

当V22时，即:V-2时，/（^=/（2）=5/+3>0,解得不符合题意.

所以实数f的取值范围（O，+s）.

♦题型07二次函数与不等式求参综合

19.（20-21高三上•陕西渭南•阶段练习）若二次函数/⑺=。/+2（°-1卜+2在（-叱4）上为减函数，则。的取

值范围为（）

A•停+°°）B-［°4_°4

C.-0055D.

【答案】D

q〉0

【分析】根据题意，由1-求解.

---->4

、a

【解析】解:因为二次函数/3=&+2（°-1"+2在（-8,4）上为减函数,

q>0

所以<1-4，解得0<6Z<y,

---->45

、a

所以。的取值范围为［of,

故选：D

20.（2023高三・全国•专题练习）设二次函数/（x）=（"2）x2+3ax+2在R上有最大值，最大值为加（。），当加（。）

取最小值时，a=（）

A.0B.1C.yD.y/2

【答案】A

【分析】根据二次函数的性质求出机（。），然后利用基本不等式即得.

【解析】f（x）=（a-2）x2+3ax+2在R上有最大值m（a）,

.•.。一2<0且当》=-产不时，仆）的最大值为8。2）；了,

2（。-2）4（。-2）

即2-a>0且加⑷=2-虚万=：（2-0）+六-72251/彳［-7=2,

当且仅当式咨="时，即“=0时，"有最小值2,

42-a

故选：A.

♦题型08一元二次不等式恒成立'有解问题

21.（23-24高三上•山东滨州•期末）若不等式/一办+4W0对任意恒成立，则实数。的取值范围是（）

13

A.[0,4]B.(-oo,4]C.一双了D.(-8,5]

【答案】B

【分析】根据给定条件，分离参数再利用基本不等式求出最小值即得.

【解析】不等式/-分+4»0对任意丁目1同恒成立，则Vxe[l,3],I+3成立,

X

x~=4,当且仅当尤=3,即x=2时取等号，因此。44,

而XH—22,

X无x

所以实数。的取值范围是4].

故选：B

22.（21-22高一上・江苏徐州•阶段练习）若对于任意尤《孙〃7+1],都有/+“a_1<0成立，则实数〃7的取值

范围是（）

A.B.f收o]

受0

C.■?°D.

【答案】B

【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.

【解析】由题意，对于机+1]都有/（x）=x2+mx-l<0