高考数学一轮专项复习讲义-等和（高）线定理与奔驰定理（北师大版）

等和（高）线定理与奔驰定理

1.等和（高）线定理

⑴由三点共线结论推导等和（高）线定理：如图，由三点共线结论可知，若而5=%为+〃为（九

〃6R）,贝族+〃=1,由△0/5与△CM'B'相似，必存在一个常数左，左GR,使得赤=kOP,

则赤=kOP=kXOA+kiLiOB,又5a=xOA+yOB（x,y£R）,：.x+y=Jd+k^i=k；反之也

成立.

（2）平面内一组基｛的，而｝及任一向量M,oF=AOA-\-/LiOB^,〃GR）,若点、P在直线

上或在平行于的直线上，贝以+〃=网定值）；反之也成立，我们把直线以及与直线

AB平行的直线称为等和（高）线.

①当等和线恰为直线时，k=l；

②当等和线在。点和直线之间时，左6（0,1）；

③当直线48在。点和等和线之间时，左6（1,十8）；

④当等和线过。点时，k=Q；

⑤若两等和线关于。点对称，则定值依互为相反数；

⑥定值k的变化与等和线到。点的距离成正比.

2.奔驰定理

如图，已知尸为△N8C内一点，则有SYBC•法+品碇•访+&B©讫=0.

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定

理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题,

有着决定性的基石作用.

题型一利用等和线求基的系数和的值

例1如图，在平行四边形48CD中，AC,8。相交于点。，£为线段N。的中点.若前=收4

+〃5。（九〃£R）,则等于（）

A

E

----乂

321

A.1B.-C.-D.-

432

答案B

解析方法一（常规方法）

・・・E为线段4。的中点，

方法二（等和线法）

如图，为值是1的等和线，过点E作4。的平行线，设2+〃=左,

由图易知，—即2+〃=左=3

BF44

思维升华利用等和线求基的系数和的步骤

（1）确定值为1的等和线；

（2）平移该线，作出满足条件的等和线；

（3）从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.

跟踪训练1设D,£分别是△48。的边48,8c上的点，AD=UB,AE=2BC若m=九寿+

23

九乂。（九，助为实数），则加+%2=

宏案-

2

解析方法一（常规方法）

由题意作图如图.

:在△NBC中，流=加+前=；石+：诙=卜+：（就一叁）=一洒+汴=九成+；1次,

•'•Al=----,22=—.

63

故九十丸2=1.

2

方法二（等和线法）

如图，过点Z作成=力方，连接。足

「A工

BECH

设4月与5C的延长线交于点H,易知AF=FH,

.,.AF=^AH,因此为十七二。

题型二利用等和线求基的系数和的最值（范围）

例2如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆。，尸为圆。上任一点，若成=x益+病,

则2x+2y的最大值为（）

C

84

A.-B.2C.-D.1

33

答案A

解析如图，作的平行线与圆相交于点P,与直线相交于点£,与直线4C相交于点

设4尸=/UE+〃AF,贝（U+〃=1,

「04

•:BCJ/EF,・••设孑!=一1=佐贝1左£厂'3」，

:.AE=kAB,AF=kAC,AP—XAE+fiAF=XkAB+[ikAC,：・x=/k,y=/ik,

：.2x+2y=2（2+〃）后=2左

思维升华求解步骤：

⑴确定值为1的等和线;

（2）平移（旋转或伸缩）该线，结合动点允许存在的区域，分析何处取得最大值和最小值；

（3）从长度比或点的位置两个角度，计算最大值和最小值.

跟踪训练2在扇形042中，ZAOB^60°,C为叁上的一个动点，若元=苫的+y加，则

3x+y的取值范围是.

答案[1,3]

-►1-A-A-►-►-►-A

解析如图，取点。使得OC^xOA+yOB=3xOD+yOB,作一系列与AD平行的

直线与圆弧相交，当点C与点8重合时，3x+y取得最小值1；当点C与点/重合时，3x+y

取得最大值3,故3x+y的取值范围是[1,3].

题型三奔驰定理

例3已知。是内部一点，满足/+2宓+加女=0,且%则实数加等于（）

S^ABC7

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析由奔驰定理得品8℃・a+&/℃•宓•历=0,

又54+2而+加女=0,

S^BOC:S^AOC:S^AOB=1：2：冽.

.S“OB_m_4

S4ABe1+2+冽7

解得m=4.

思维升华利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点尸

为△45。内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比.

跟踪训练3已知点4,5,C,P在同一平面内,超=轲，QR=^QB,淳=取,则品”。：SAPBC

等于（）

C.24：5D.29：6

答案B

解析由。氏可得依一P。

=^1P-B*,-P~Q*■）,

~►1—►0~►1—►0—►

整理可得尸尺=沙+?0=沙+件

>A1>A1AA

由RP=；RC可得RP=：（PC-PR）,

-A1-A

整理可得产尺=一PC,

2

所以一1丽=1越+%,

239

整理得4万+6而+9无=0,

由奔驰定理可得

SAABC:S△咏=（4+6+9）：4=19：4.

11能力提升

1.在△48。中，已知。是边上一点，若db=gN+；l无，贝!U等于（）

211?

A.-B.-C.-1D.--

3333

答案A

解析由于。是45边上一点，所以4,B,。三点共线，所以1+2=1,2=2.

33

2.已知△45C和点M满足疝+施+证=0,若存在实数加，使得麻+就=加就/,则冽

等于（）

A.2B.3C.4D.5

答案B

解析方法一（常规方法）

9：MA+MB+MC=O,

・・・M为△45。的重心，

如图，连接4M并延长交5c于。，则。为5C的中点，

A

C

BD

:.AM=~AD

39

又AD=：(/2+/C),

：.AM=^A^+AC),

即就=3.，:.m=3.

方法二（等和线法）

3c是值为1的等和线，过河作8C的平行线,

AM=-AB+-AC,

mm

\AM\

易知M=z9，

\AD\3

.•・2=2,

mm3

・••加=3.

3.在△/8C中，M为边3c上任意一点，N为的中点，AN=L^+^iAC,贝以十〃的值为

（）

A.-B-C.-D.1

234

答案A

解析方法一（常规方法）

设BM=tBC,

则病=［京J（就+嬴）=1益+既=1叁+4衣一函=卜叁+且就，

22222223

•1_1__t__t•i_i___1

..Z—，u——,・・/t十〃——.

2222

方法二（等和线法）

3

如图，2C为值是1的等和线，过N作2C的平行线，设力+〃=左，贝|左=_.

\AM\

⑷V|1I

由图易知，_=匕即%+〃=左=2

\AM\22

4.点尸在△48C内部，满足屈+2/+3讫=0,贝U品/BC：$》?°为（）

A.2：1B.3：2C.3：1D.5：3

答案C

解析根据奔驰定理得，S+BC:S+AC:S^PAB=1：2：3,所以S^ABC:S"PC=3：1.

5.如图，△BCD与△/BC的面积之比为2,点尸是区域/8OC内的任一点（含边界），且/力=

XAB+kiAC,贝！U+〃的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,2]

C.[0,3]D.[0,4]

答案C

解析如图，过点P作G〃〃3C,分别交NC,的延长线于点G,H,设成而,

则x+y=l,当点P位于点。时，G,〃分别位于点C',点次，

,.,△BCD与△43C的面积之比为2：1,

：.AC=3AC,AB'=3AB,

J.AP=xAC'+yAW^3xAC+3yAB=AAB+/xAC,

-3y»〃=3x0%+〃=3x+3y=3.

当点P位于N点时，显然有4+〃=0,

综上，2+〃的取值范围是[0,3].

6.已知点C为扇形/。8的弧48上任意一点，且/4。8=120。，若比=4①+〃而（九〃GR）,

贝以+〃的取值范围是（）

A.[-2,2]B.（1,电]

C.[1,也]D.[1,2]

答案D

解析方法一（常规方法）

设圆。的半径为1,由已知可设03为x轴的正半轴，。为坐标原点，建立直角坐标系（图略）,

其中工［2,

0,

2J,B（l,0）,C（cos0,$也。）1其中/3。。=0,6>efl

有次:=位+〃南;I,〃£R）,

即（cosasin8）=[292]+〃（1,。），

整理得一；%+〃=cosa?^=sine,

初用12sindzj.sin0

解侍/!=■—厂,/z=cos

则/l+〃=^|^+cosO+号=3sin6+cosO=2sinK+J,昨_°'易得力+〃G[1,2].

方法二（等和线法）

设丸+〃=鼠

如图，当C位于点4或点5时，A,B,。三点共线,

所以左=2+〃=1,

当点C运动到48的中点时，左=%+〃=2,

所以

7.如图所示，在△/BC中，D,尸分别是48,4C的中点，BF与CD交于点、0,设法=”，AC

=b,向量后=痴+〃b,则%+〃的值为.

冬空-

3

解析如图，5c是值为1的等和线，过点。作5C的平行线，延长4。交5C于点M,

、.\4Q[

设丸+〃=鼠则k=_.

\AM\

由题设知。为△45。的重心,

殴=2

所以

\AM\3

8.已知。是面积为4的△/2C内部一点，且有a+而+2比=0,则△/。。的面积为

答案1

解析方法一如图，设NC的中点为M,8c的中点为N.

因为己+由+2次=%+女+为+女=0,

所以2而+2赤=0,

即血+痂=0,

所以。为线段"V的中点，

所以SANOC=3S/VC=!X1品43°=3X1x4=l.

22222

方法二