反比例函数与几何图形的综合问题（解析版）-2022年中考数学复习专项突围训练（全国版）

备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）

专题14反比例函数与几何图形的综合问题

【典型例题】

1.（2022•内蒙古包头•九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形0/2C的顶点。在坐标原点，边OC

k

在x轴的正半轴上，边CM在y轴的正半轴上，。4=3,AB=4,反比例函数丁=一（左＞0）的图象与矩形两

X

边48,2c分别交于点。，点E,且2D=2/D

⑴求点。的坐标和后的值;

⑵连接OE,DE,求△DOE的面积;

⑶若点尸是线段OC上的一个动点，是否存在点尸，使乙4P£=90。？若存在，求出此时点P的坐标若不存

在，请说明理由.

【答案】（l）o[g,3）,k=4

⑵12

⑶存在，点尸的坐标为（1,0）或（3,0）

【解析】

【分析】

（1）由矩形CM3C中，AB=4,BD=2AD,可得3/。=4,即可求得AD的长，然后求得点。的坐标，即可求

得k的值;

（2）三角形面积定义矩形面积减去周围三个三角形面积；

（3）首先假设存在要求的点尸坐标为（加，0）,OP=m,CP=4-m,由乙4P£=90°,易证得A4O尸

然后由相似三角形的对应边成比例，求得加的值，继而求得此时点P的坐标.

（1）

解：YAB=4,BD=2AD,

AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4,

4

/.AD=-

3

又•.・04=3,

呜3）.

•・•点。在双曲线〉=&上,

X

74r

・•.左=—x3=4zi.

3

⑵

如答案图2

4

AD=—,OA=3,

3

114

-S.=-AD^AO=-X-X3=2.

△"A°O。D223

•・•左=4,

4

・・.反比例函数解析式为歹=—.

x

•・•矩形45CD中，BC=OA=3,OC=AB=4,

4

又•・•点£在反比例函数＞=—的图象上，

.•・£（4,1）.

:.CE=\,

•••BE=2,

：.S.OCE=-OC-CE=2.

4

•・・/5=4,AD=-

3

,叫

1Q

...S人=—BD•BE=—

△BRDn匕F23

•••S矩畛。C8=N0.℃=3X4=12,

816

S4DOE-S矩形/0C6-S^AOD-S^EOC~^BDE—2—2——=—.

（3）

答：存在.假设存在要求的点。坐标为（九o）,

­-OP=m,CP=4-m.

vZ^PE=90°,

・•./APO+ZEPC=90°,

又・.•/APO+ZOAP=90°,

/EPC=ZOAP,

又•・♦ZAOP=ZPCE=90°,

・•・/\AOPs^pcE,

OAOP

''CP~~CE'

-OACE=OPCP.

=3,

解得：冽=1或加=3.

・・・存在要求的点尸，点尸的坐标为（1,0）或（3,0）.

【点睛】

本题考查了待定系数求反比例函数解析式、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质.解题的关键是注意

求得点D的坐标与证得A4O尸〜△尸CE.

【专题训练】

一、选择题

3

1.（2022•河南开封•九年级期末）下列关于反比例函数y=—-的结论中正确的是（）

A.图象过点（1,3）B.图象在一、三象限内

C.当x<0时，>随工的增大而增大D.当%>-1时_y>3

【答案】c

【解析】

【分析】

利用反比例函数的性质解答.

【详解】

,•,^=-3<0,

・•・函数图象位于第二、四象限，故3选项错误；

•••1x3=3声3,

・•・函数图象不经过点（1,3）,故/选项错误；

・••根据反比例函数的性质在函数图象的每一个象限内，了随x的增大而增大，

.•.当x<0时，夕随x的增大而增大，故C选项正确；

当-l<x<0时y>3,但是当x>0时了<0,故。选项错误；

故选：C.

【点睛】

此题主要考查当左<0时的反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键.

O1Q

2.（2021・广东禅城•二模）如图，A.8分别为反比例函数y=--（x<0），y=—（x>0）图象上的点,

xx

且0/108,则tan^ABO的值为（）

【答案】A

【解析】

【分析】

如图，过/作/Clx轴于C,过8作轴于。，根据/、3在函数图象上可求出S/OC=4,SABDO=

9,根据相似三角形的判定得出△BDO-aOC/,根据相似三角形的性质得出，鼠%=:，求出”

SODB\OB）9OB

的值，根据tan42O==即可求出角的正切值.

【详解】

解：如图，过4作/Clx轴于C,过8作瓦XLx轴于。

O1O

・・,/、8分别为反比例函数〉=一一(x<0),y=—(x>0)图象上的点

xx

・・.S/OC=4,SABDO=9

山05=90。

:.乙B0D+乙DBO=LBOD+UOC=90°

：/DBO=4OC

:•△BDOFOCA

・打c。/叫二4

S°DB\OB)9

OA2

''OB~3

…八OA2

tanZABO==—

OB3

故选：A.

【点睛】

本题考查了三角形相似的判定与性质，反比例函数，正切.解题的关键在于对知识的灵活运用.

3.(2022•江西萍乡•九年级期末)如图，反比例函数＞=：(4NO)的图象经过/,2两点，过点工作

轴，垂足为C.过点2作ADLx轴，垂足为D连接/。，连接2。交NC于点若OC=CD,四边形3DCE

面积为2,则k的值为()

【答案】D

【解析】

【分析】

先设点8坐标为（“涉），证出△。区/△。。^,利用相似的性质求得梯形3DCE的上下底边长与高，再根据

四边形ADCE的面积求得处的值，最后计算人的值.

【详解】

解：设点8坐标为（明方），则。。=-。，BD=b

■：OC=CD

OC1

"OD~2

.-.CD=--a

2

•・,/C_Lx轴，轴

ZECO=ZBDO=90°

ZEOC=ZBOD

■■■AOCEs^ODB

CEOC£

~DB~~OD~~2

CE=-BD=-b

22

•••四边形ADCE的面积为2

.-X(CE+BD)>CD=2

即：gs+gb)•(-ga)=2

将236）代入反比例函数y=2,得

X

7716

K=ab=---

3

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，解决问题的关键是运用数形结合的思想方法进行求解.

4.（2022•山东泰山•九年级期末）函数歹=-巴与>（〃wo）在同一直角坐标系中的大致图象可能

x

是（）

【答案】A

【解析】

【分析】

根据两个函数的图象得到。的符号，即可判断4根据二次函数了=^2+。得到。的符号，即可判断从C

D,由此得到答案.

【详解】

解：/、由函数>=-色图象得a<0,函数>=^2+4的图象得°<0,故该项正确；

X

B、函数y=+。的图象开口向上得a>0,与y轴交于负半轴得a<0,故该项不正确；

C、函数歹=办2+。的图象开口向下得。<0,与y轴交于正半轴得a>0,故该项不正确：

D、函数y=的图象开口向上得°>0,与y轴交于负半轴得a<0,故该项不正确；

故选：A.

【点睛】

此题考查了依据反比例函数与二次函数函数的图象所经过的象限确定系数的符号，正确掌握各函数的图象

与字母系数的关系是解题的关键.

二、填空题

5.（2022•湖北老河口•九年级期末）如图是反比例函数y="在第二象限内的图象，若图中的矩形O4BC

X

的面积为4,则左等于.

【解析】

【分析】

根据反比例函数左值的几何意义代入计算即可.

【详解】

k

解：因为反比例函数歹=—,且矩形。45。的面积为4,

x

所以I左1=4,即左=±4,

k

又反比例函数的图象y=—在第二象限内，k<0,

X

所以k=-4.

故答案为：-4

【点睛】

本题考查反比例函数左值的几何意义，关键在于熟记性质，判断符号.

6.（2022・陕西雁塔•九年级期末）如图，菱形。/2C的边ON在x轴正半轴上，顶点2、C分别在反比例函

数>=2叵与》=人的图象上，若四边形。N2C的面积为46，则左=.

【答案】-273

【解析】

【分析】

连接08,设直线2c与7轴交于点P,根据菱形的性质可得AO3C的面积为26，结合反比例函数上的几何

意义可得ACOP和A8O尸的面积，利用5.。=$./+$4的建立方程，求解即可.

【详解】

解:如图，连接。，设直线BC与V轴交于点尸，

••,四边形CM8C是菱形，且面积为4g,

SAOBC=2Vs,

vBC//x轴，

3C"轴，

-,-B,C分别在反比例函数歹=38与＞=勺的图象上，

XX

&_阳C/?

»bCOP一万，口20P—YD，

•二S岫CO=S,OB+SACOP=超+5闷=2退

解得左=一26,(正值舍去).

故答案为：-2百.

【点睛】

k

本题考查的是反比例函数系数左的几何意义，即在反比例函数歹=—的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这

X

一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是;陶，且保持不变.也考查了三角形的面积.

7.(2022•湖北江陵•九年级期末)如图，在平面直角坐标系xQy中，已知菱形/BCD的顶点/(0,273)

和C(2,0),顶点3在x轴上，顶点。在反比例函数了=人的图象上，向右平移菱形/2CO,对应得到菱

X

形⑷N当这个反比例函数图象经过的中点£时，点E的坐标是.

【答案】(8,6)

【解析】

【分析】

r)A

连接/C,由题意易得出。4和0c的长，再根据tan//。。=次及特殊角的三角函数值，可确定

乙4co=60。，即可证明A48C和都是等边三角形，还可求出/C的长，即得出4D=ZC=4,从而

得出D点坐标为(4,273).将。点坐标代入反比例函数解析式，即可求出发的值.设菱形/BCD向右平移

。的单位后，反比例函数图象经过C'»的中点E.由此即可用。表示出。和。，的坐标，再由中点坐标公式

即可表示出E点坐标，将E点坐标代入反比例函数解析式，即可求出a,即得出E点坐标.

【详解】

如图，连接/C,

,•%(2,26)、C(2,0),

■•■O/1=2V3>OC=2,

OA2乖>[T

tan/ACO=-----=------=J3,

OC2

.-.ZACO=60°.

OA273,

AC=------二二4

•••sin60°v3•

,・•四边形ABCD是菱形，

：.AB=BC,^ABC和AACD全等,

・•.AABC和LACD都是等边三角形，

AD=AC=4,

・•・。点坐标为(4,273).

k

•・・。点在反比例函数y=£的图象上，

X

.・.2A/3=-,

4

解得：k=8^/3,

・••反比例函数的解析式为J=迪.

X

设菱形/BCD向右平移。的单位后，反比例函数图象经过C'。'的中点E,

・•・此时C'的坐标为C(2+a,0),。蛇勺坐标为(4+a,273)，

・•・此时E点的坐标为(2+a；4+a,0+；q,即矶§+“省)，

解得：a=5,

.■.E点的坐标为(3+5,6),即£(8,右).

故答案为：(8,百).

【点睛】

本题考查菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平移

的性质以及中点坐标公式，综合性强，较难.作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键.

8.(2022•江苏崇川•九年级期末)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数丁=勺(x>0)的图象交矩形

X

O48C的边A8于点M(1,2),交边8c于点N,若点2关于直线的对称点夕恰好在x轴上，则OC

的长为

【答案】V5+l##l+V5

【解析】

【分析】

过点M作MQLOC,垂足为。，连接〃9，NB',由于四边形048c是矩形，且点8和点Q关于直线

对称.且点8,正好落在边OC上，可得LMB'QSAB'NC,然后M、N两点的坐标用含a的代数式表示出来,

再由相似三角形对应边成比例求出夕。和09的长，然后利用勾股定理求出M2'的长，进而求出。。的

长.

【详解】

解：过点初作MQLOC,垂足为Q,连接MB',NB',如图所示：

•反比例函数了="（x>0）的图象过点2）,

X

••"=1X2=2,

,_2

•»y———，

x

2

设N（〃，一），则5（〃，2）,

a

又•・,点B和点Q关于直线MN对称,

:,MB=MB=/B=/MB，N=90°,

VAMQB'=ZBfCN=90°,ZMB,Q+ZNB,C=90°

又•：/NB，C+/B，NC=90°,

,,

・•・ZMBQ=ZBNCJ

：.00s△5WC,

，，Q—1QB

.・•些=迤=丝，即7=高=

NBBCNC2——BC-

aa

,4

解得：B'C=—,QB'=1,

MB'=y/MQ2+QB'2=V22+l2=非，

:.MB'=MB=CQ=M,

：OQ=1,

••ci~1--^5，

OC-u—+1.

故答案为：A/5+1.

【点睛】

本题属于反比例函数与几何综合题，涉及待定系数法求函数表达式，勾股定理，相似三角形的性质与判定

等知识，作出辅助线构造相似是解题关键.

三、解答题

9.（2022•陕西金台•九年级期末）如图，MA/2。的顶点A是双曲线了="与直线y=-x-（左+1）第二象限的

X

3

交点.加二轴于3,且也。="

⑴求这两个函数的解析式；

⑵求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标.

3一

［答案］（l）y=—，y--x+2

x

（2）（3-1）,（2,0）

【解析】

【分析】

3

（1）根据黑”。=:求得上的值，根据函数图象在第二、四象限，可得上=-3,即可求得这两个函数的解析

式;

（2）联立两函数解析式成方程组，解一元二次方程求得点4c的坐标即可.

(1)

3

“F轴于8,且

13

2kl=子解得：k=±3.

•••反比例函数图象在第二、四象限,

:.k<0,

•••k=—3,

3

・・・反比例函数的解析式为歹=-一，一次函数的解析式为歹=f+2.

x

⑵

3

y=一—

联立两函数解析式成方程组，X

y=-x+2

再=-1x=3

解得:2

.必=3

.••点A的坐标为（-1,3）,点C的坐标为（3,-1）.

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数上的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征以

及三角形的面积，解题的关键是（1）根据反比例函数上的几何意义结合反比例函数图象所在象限，求出左

值；（2）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出点A、C的坐标；

k

10.（2022・重庆一中九年级开学考试）如图，一次函数y=ox+6（。*0）的图象与反比例函数了=1（左#0）

的图象相交于/、B两点,以N8为边，在直线N8的左侧作菱形N8CD,边BCL.y轴于点E,若点/坐标

为（加,6）,BE=8,OE=-.

⑴求反比例函数和一次函数的解析式;

⑵求点D的坐标；

39

答

案

[1”12

y「--

x42

(1

29-“o

Daed26

m

2)>±0.

【解析】

【分析】

ae3612

(1)先求解B的坐标为e8,-彳三再求解反比例函数的解析式为＞=-一，再求解A的坐标，再列方程组求

e20x

解一次函数的解析式即可;

(2)先利用勾股定理求解N8的长度，再利用菱形的性质可得=4瓦从而可得答案.

3o-

-.

5aSe---.

K，-

D20

3d

±

人8ae4

砂-i

=K--

D20

12

所以反比例函数为:y=—,

X

Q)(加,6),

、12C

\m=----=-2,

6

\力(-2,6),

1-2。+6=6

\]…八3,解彳

18tz+/7=-—

39

所以一次函数的解析式为：J^=--x+-.

⑵

3“O

Q/6\+

/n-nae^--

\/I2.9

W:DK0

•••四边形/BCD为菱形,

25

\AD=AB=—,AD〃BC,而边5C_Ly轴,

2-25T--29-

2

6

296

aJe,」

IQ2±0.

DK

【点睛】

本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解决此类题目的关键是能熟练运用待定系数法求函数解

析式及已知函数解析式求出点的坐标.

II.(2022・广东封开•九年级期末)如图，在矩形。/8C中，AB=4,8c=8,点。是边的中点，反比

例函数>(x>0)的图象经过点。，交BC边于点E.

X

X

⑵连结DE,在了轴上找一点尸，使△P0E的周长最小，求出此时尸的坐标.

【答案】⑴反比例函数的解析式为丁=3(x>0),E(4,4).

X

20

⑵点尸的坐标为(0,—).

【解析】

【分析】

(1)根据线段中点的定义和矩形的性质得到。(2,8),利用待定系数法求函数的解析式；

(2)作点。关于y轴的对称点。'，连接D'E交y轴于尸，连接尸D,此时，△「£名的周长最小，求得直线

少£的解析式为%-3+?，于是得到结论.

(1)

•••点。是边的中点，AB=4,

-'-AD=2,

•・•四边形。48。是矩形，BC=8,

:.D(2,8),

k

・••反比例函数>=一(x>0)的图象经过点O,

x

••・七2x8=16,

・••反比例函数的解析式为(x>0),

当x=4时，j/=4,

：.E(4,4).

⑵

如图，作点。关于y轴的对称点。，连接。上交天轴于尸，连接尸

此时，△尸Z组的周长最小,

•・•点。的坐标为(2,8),

・・•点。的坐标为(-2,8),

设直线。的解析式为

{-2a+6=8

・・14。+6=4'

2

a=——

解得:；3，

b=—

[3

770

・・.直线DfE的解析式为"-年,

20

令》=0,得产刀，

3

20

・•・点P的坐标为(0,y).

【点睛】

本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称-最短路线问题，正

确的理解题意是解题的关键.

12.(2021・广东•可园中学二模)如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，菱形0/3C的顶点/的

坐标为(3,4).

⑴求过点B的反比例函数y=£的解析式；

x

⑵连接过点2作交x轴于点D,求直线AD的解析式.

【解析】

【分析】

(1)由N的坐标求出菱形的边长，利用菱形的性质确定出8的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析

式即可；

(2)证明△。8尸，48。尸，利用相似三角形的性质得出点。的坐标，利用待定系数法求出直线3。解析式即

可.

(1)

(1)过点4作NElx轴，过8作"lx轴，垂足分别为£,F,如图，

■■A(3,4),

：.OE=3,AE=4,

O=-JOE2+AE~—J32+4。=5,

••・四边形0/3。是菱形，

；.AO=AB=OC=5,/B||x轴,

■•■EF=AB=5,

.・.0尸=0/£/=3+5=8,

•••B(8,4),

:过B点的反比例函数解析式为了=",

X

把B点坐标代入得上=32,

32

・•・反比例函数解析式为＞=工；

x

⑵

.•・4。5。=90°,

OBF+乙DBF=90°,

•:乙DBF+(BDF=9G0,

(OBF=zJBDF,

又，：")FB=乙BFD=90°,

:.XOBFsXBDF,

OFBF

,茄一而‘

8_4

"4-DF，

解得=2,

：.OD=OF+DF=8+2=10,

：.D(10,0).

设BD所在直线解析式为歹=小+b,

把5(8,4),。(10,0)分别代入得:

监+6=4

10左+6=0

.••直线BD的解析式为y=-2x+20.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的相似，待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，熟练

掌握菱形的性质，灵活运用待定系数法，相似是解题的关键.

13.Q021・湖北鹤峰・模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，点A,。分别是x轴、了轴上的一动点，以

k

为边向外作矩形/BCD,对角线ADIIx轴，反比例函数>=—(左>0)图象经过矩形对角线交点E.

⑴如图1,若点A、。坐标分别是(6,0),(0,2),求8。的长；

⑵如图2,保持点。坐标(0,2)不变，点A向右移移动，当点C刚好在反比函数图象上时，求点A坐标及左

的值.

20

【答案】⑴勖=不；

⑵A坐标为(2百，0),左=孚

【解析】

【分析】

(1)通过证得入4。。6,尸，得到3歹=3/斤，根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，则

2220

BF=OD=2fAF=~,从而求得3。=。/=。4+4尸=6+—=——；

333

IW4-77、

(2)设A、C坐标分别为(〃?,0),(%4),则点E坐标可表示为［三,21过点C作轴于点G.同

(1)易得ACGDSADOA,根据相似三角形的性质得到加〃=4,由点C、£均在函数了="图象上，则有:

X

4n=k厂厂

<m+n,7，可得加=3〃，即可得至U加〃=3〃・〃=4,进而求得〃=2■巨，加=2百，得至！J左=4几=§_」，

——x2=k33

点A坐标为（20，°）.

⑴

过点8作轴于点产，由点A、。坐标分别为（6,0）、（0,2）可得，。。=2,04=6,

图1

••・四边形”CQ为矩形，

/DAB=90。,

ZDAO+ZBAF=90°,

•・•/DAO+NADO=90。,

/.ZADO=NBAF,

•・・NAOD=/BFA=90。,

AADO^ABAF,

•ODAF_2_1

"~OA~^F~~6~39

BF=3AF,

又•.•&)//%轴，

/.BF=OD=2f

,AF=~,

3

BD=OF=OA+AF=6+—=；

33

⑵

••・四边形/BCD为矩形，

・・・点E为/C中点，由乃=0,yE=yD=2,

凡=4，

设A、C坐标分别为（私0）,（〃,4）,则点E坐标可表示为［I三+%,2

过点C作CG，y轴于点G.

图2

同理ACGDsAZ）。4,

.CGDG

"~OD~~OA'

m2

"，一丁

/.mn=4,

4n=k

由点C、£均在函数^=上图象上，则有：\m+n。7,可得加=3%

x-------x2=上

I2

mn=3n•n=4,

由〃>0,故〃=,m-2-\/3，

3

.•%=4〃=手，点A坐标为（26，0）.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，三角形相似的判断和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比

例定理等知识，表示出E点坐标是解题的关键

24

14.（2022•广东•重庆巴蜀中学九年级开学考试）如图是反比例函数歹=—与反比例函数y=—在第一象限中

xx

42

的图象，点尸是>=一图象上一动点，尸/lx轴于点4,交函数>=一图象于点C,尸51y轴于点5,交函数

XX

2

歹=一图象于点D,点、D的横坐标为a.

x

⑴求四边形ODPC的面积；

⑵连接DC并延长交x轴于点E,连接PE,求证：四边形尸是平行四边形.

【答案】（1）四边形ODPC的面积为2；

⑵证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据题意，先求出点。的纵坐标得到点尸的纵坐标，代入解析式即可得到点尸的横坐标；利用矩形

的面积计算公式及反比例函数左值的几何意乂，利用S四边形O0PC=S四边形-SAOBD-SAO/C，求解即可得;

（2）根据题意可得点C的坐标为（2a,-）,得出PC=C4=,，结合图象可得〃/E,利用平行线的

aa

性质及全等三角形的判定可得△。夕C四△E4C,根据全等三角形的性质得出。尸=4£,由一组对边平行且相

等的四边形是平行四边形即可证明.

⑴

2

解：•・•点。的横坐标为〃，且点。在函数〉=—图象上,

x

2

・••点D的纵坐标歹=一，

a

4

又心心轴，且点。在y=—图象上，

x

2

・••点P的纵坐标歹=一，

a

・••点P的横坐标为％=2〃,

2

••P（2a,一）；

a

212

S四边形O力=2〃X,=4,SbOBD=SkOAC=]Xaxq=\,

•••S四边形皿＞c=4-2x1=2

四边形ODPC的面积为2；

⑵

2

证明：轴于点4,交函数丁二一图象于点C,

x

.•.点C的坐标为（2a,-）,

a

2

又”（2。，-），

a

PC=CA=~,

a

・・・PB_Ly轴,

:.DP〃AE,

/PDE=/DEA,/DPA=/PAE,

在△。尸。与中，

ZPDE=/DEA

<NDPA=NPAE,

PC=AC

：.ADPC%EAC,

•*.DP=AE,

••・四边形D4阱是平行四边形.

【点睛】

此题考查反比例函数的性质、反比例函数图象与几何图形、坐标与图形、平行线的性质、全等三角形的判

定与性质、平行四边形的判定定理等知识，熟练掌握反比例函数的性质及计算方法是解题的关键.

15.（2021・广东•二模）如图1,点尸是反比例函数夕=8（后>0）在第一象限的点，P/lv轴于点/,PBLx

X

轴于点2,反比例函数y=9的图象分别交线段NP、BP于C、D,连接CD,点G是线段CD上一点.

图1图2

⑴若点P(6,3),求的面积；

⑵在(1)的条件下，当PG平分NCP。时，求点G的坐标；

⑶如图2,若点G是。尸与CD的交点，点M是线段0P上的点，连接MC、MD.当4。儿。=90。时，求诬

MG=^CD.

【答案】⑴4

⑵G(y.1)

(3)见解析

【解析】

【分析】

(1)先求出点C,点。坐标，可得尸C=4,PD—2,即可求解；

(2)过点G作GM1P2于“，GNBP于N,由角平分线的性质可证GM=GN,由面积法可求GM=GN=

4

即可求解；

(3)先求出直线0尸，直线CD的解析式，可得点G坐标，可证点G是。的中点，由直角三角形的性质

即可证明.

(1)

解：：点尸(6,3),尸/ly轴于点轴于点8,乙408=90。，

.•・点N(0,3),点8(6,0),四边形NO8尸是矩形，

二点。纵坐标为3,点。的横坐标为6,乙4p8=90。，

•・•点C,点。在反比例函数y=9的图象上，

二点C(2,3),点。(6,1),

••.CP=4,PD=2,

:.XPCD的面积=1xPCxPD=1x4x2=4.

⑵

解：如图1,过点G作GM/B于GNLAP于N,

图1

•:PG平分乙CPD,GM工PB,GNLAP,

:・GM=GN,

-SAPCD^yxC尸xGN+；PDxGM,

・・・8=4GN+2GN,

4

:.GN=-=GM,

3

•••点G（y,|）.

⑶

证明：设点尸（a,—），则点C（空,—）,点。（a,一

akaa

k

,・•点0（0,0）,点尸（a,—）,

a

・•・直线OP解析式为y=—^x,

a

点C（~~,一）,点。（a,—）,

kaa

••・直线CD解析式为尸-与田叱，

aa

•・•点G是直线OP与直线CD的交点，

kk6+k

•••~rX——~y%+---，

aaa

6a+ak

••«X

2k

6a+ak6+k）

・•・点G

2k2a

点C（~~，—）,点、D（a,

kaa

,i、Ln-JL,_ij、上,6Q+ak6+k

.•・线段co的中点为（———

2。

•••点G是CD的中点,

又•.zC〃D=90°,

■■.MG=^CD.

【点睛】

本题属于反比例函数与几何的综合题，主要涉及反比例函数的性质、矩形的性质以及运用待定系数法求一

次函数解析式等知识点，正确作出辅助线成为解答本题的关键.

16.（2021・山东历下•九年级期中）己知，矩形。CA4在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的

k

正半轴上，点/在y轴的正半轴上，已知点8的坐标为（4,2）,反比例函数》=—的图象经过N3的中点

D,且与8C交于点£,设直线的解析式为y=mx+〃，连接。。，OE.

备用图

k

⑴求反比例函数y=—的表达式和点E的坐标；

x

⑵直接写出不等式人>"X+"的解集；