反比例函数的应用（专项培优训练）教师版

专题17反比例函数的应用（专项培优训练）

试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.57

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合

题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）

1.（2分）（2023秋•覃塘区期中）当温度不变时，某气球内的气压尸（AR?）与气体体积，（序）成反比例函

数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压Q120A/%时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体

B.大于三讲

55

C.不小于三万D.小于廷讲

55

解：设球内气体的气压0（左?a）和气体体积/（炉）的关系式为。=卒,

:图象过点(1.6,60),

...仁96,

由已知得°=理•图象在第一象限内，

V

随，的增大而减小，

.•.当OW120时，丘当L,

120

年匡，即不小于4炉，

55

故选：C.

2.（2分）（2023•商丘二模）在对物体做功一定的情况下，力FQN）与此物体在力的方向上移动的距离s

（加成反比例函数关系，其图象如图所示，点尸（4,3）在其图象上，则当力达到10%时，物体在力的

方向上移动的距离是（）

F(N)

A.2.4mB.1.2mC.\mD.0.5%

解：设函数的表达式

s

将点9的坐标代入上式得：3=K,

4

解得A=12,

则反比例函数表达式为户=丝，

S

当尸=10时，即6=工^=10,

S

解得s=L2,

故选：B.

3.(2分)(2023•庆元县一模)已知在温度不变条件下，汽缸内气体的体积V(ml)和气体对汽缸壁所产生

的压强夕Qkpa)成反比例，当「=100M时，夕=60%a测得80V夕V90,那么此时体积/的值不可能是

()

A.67B.68C.70D.75

解：设这个反比例函数的解析式为丫书，

100位时，p=60kpa,

：.k=PV=10(W*60切a=6000,

...r=6000,；

P

V80</><90,

体积/的取值范围为晒驷6,

9080

即等<V<75，

o

...此时体积%的值不可能是75,

故选：D.

4.（2分）（2023•兴庆区校级模拟）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产

生一定的大气压，海拔不同，大气压不同.观察图中数据，你发现（）

B.海拔越高，大气压越大

C.海拔为4千米时，大气压约为50千帕

D.图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系

解：海拔越高大气压越低，6选项不符合题意；

代值图中点（2,80）和（4,60）,由横、纵坐标之积不同，说明图中曲线不是反比例函数的图象，4选

项不符合题意；

海拔为4千米时，图中读数可知大气压应该是60千帕左右，C选项不符合题意；

图中曲线表达的是大气压与海拔两个量之间的变化关系，〃选项符合题意.

故选：D.

5.（2分）（2023•鄢陵县二模）如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，后为定值

电阻，A为光敏电阻，A的阻值随光照强度的变化而变化（如图2）,射向光敏电阻的激光（恒定）被烟

雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装

置.下列说法错误的是（）

小贴士

TJ2

电路总功率—,

R+R。

其中〃是电路电源电压

A.该图象不是反比例函数图象

B.7?随£增大而减小

C.当烟雾浓度增大时，⑨示数变小

D.当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大

解：/、该图象与纵轴相交，所以不是反比例函数图象，故本选项说法正确，不符合题意；

及根据图象可知，兄随£增大而减小，故本选项说法正确，不符合题意；

当烟雾浓度增大时，光照强度减小，电流减小，电阻变大，所以定值电阻石两端的电压〃变小，而

电源电压保持不变，电压表测光敏电阻〃的电压，根据少〃总-4可知，电压表⑦示数变大，故本选项

说法错误，符合题意；

D、当光照强度增大时，电流变大，电阻变小，而电源电压保持不变，根据电路总功率可知，

R+R。

电路中消耗的总功率增大，故本选项说法正确，不符合题意.

故选：C.

6.（2分）（2023•大同模拟）远视眼镜的镜片是凸透镜，镜片的度数y（度）（y>0）是关于镜片焦距x（加

（x>0）的反比例函数，当y=200时，x=0.5.下列说法中，错误的是（）

A.y与x的函数关系式为尸以工（x>0）

x

B.y随x的增大而减小

C.当远视眼镜的镜片焦距是0.2时，该镜片是500度

D.若一副远视眼镜的度数不大于400度，则焦距不大于0.25〃

解：•••镜片的度数y（度）（y>0）是关于镜片焦距x（必）（x>0）的反比例函数，当y=200时，x=

0.5,

.,.^=0,5X200=100,

与x的函数关系式为了=以色（x>0）,

x

故/不符合题意；

：A=100>0,x>0,

随着x增大而减小，

故6不符合题意；

当£=0.2时，y=JM=500,

0.2

故C不符合题意；

..•一副远视眼镜的度数不大于400度，y随着X增大而减小,

焦距不小于0.25®

故〃符合题意,

故选：D.

7.（2分）（2023•西峡县二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压？

（kPa）是气体体积，（炉））的反比例函数，其图象如图所示.当气球内的气压大于100Va时，气球将

爆炸.为了保证气球不爆炸，气球的体积/应满足的要求是（）

C.7旦D.Y

5

解：设球内气体的气压尸（如为）和气体体积「（炉）的关系式为

v

•；图象过(1.5,80),

.*80X1.5_120

""V

当咫100左％时，仁曳.

5

故选：A.

8.（2分）（2023•仓山区校级三模）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积，（单位：炉）变化

时，气体的密度P（单位：kgg随之变化.已知密度P与体积/是反比例函数关系，它的图象如图所

示,当「=5炉时，P=L98盘/万.根据图象可知，下列说法不正确的是（）

A.P与「的函数关系式是P号2（v>0）

B.当P=9时，「=1.1

C.当P>5时，K>1.98

D.当3<仁9时，P的变化范围是1.1<P<3.3

解：设P=—（A>0）,

V

把（5,1.98）代入上式得，K=L98,

5

:.k=9.9,

P

V

故选项4正确，不符合题意，

当P=9时，—1.1,

故选项6正确，不符合题意，

由图象可得，当F>5时，0<P<1.98,

故选项C不正确，符合题意，

当眸3时，P=3.3,眸9时，P=1.1,

；.3<仁9时，1.1<P<3.3,

故选项2正确，不符合题意，

故选：C.

9.（2分）（2023•商水县二模）如图，甲所示的是一款酒精浓度监测仪的简化电路图，其电源电压保持不变,

后为定值电阻，兄为酒精气体浓度传感器（气敏电阻），E的阻值与酒精浓度的关系如图乙所示，当接通

电源时，下列说法正确的是（）

A.当酒精浓度增大时，A的阻值增大

B.当酒精浓度增大时，电压表的示数与电流表的示数的比值不变

C.当酒精浓度增大时，电流表的示数变小

D.当酒精浓度增大时，电压表的示数变小

解：A.由图乙知人的阻值与酒精浓度是反比例函数，且图象在第一象限，

的阻值随酒精浓度增大而减小，

当酒精浓度增大时，7?的阻值减小，故本选项不符合题意；

B.由图甲可知，定值电阻〃与气敏电阻串联，电压表测量定值电阻k两端电压，

/.电压表的示数与电流表的示数的比值是定值电阻4的值，故本选项符合题意；

C.：当酒精浓度增大时，〃的阻值减小，根据欧姆定律知，电路电流增大，电流表示数增大，故本选项

不符合题意；

D.当酒精浓度增大时，电路电流增大，电流表示数增大，据欧姆定律知，定值电阻7?两端电压增大，故

本选项不符合题意.

故选：B.

10.（2分）（2023•宛城区校级四模）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中

定值电阻凡=10Q,凡是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部,

受力面水平，承受水压的面积S为0.01万，压敏电阻用的阻值随所受液体压力户的变化关系如图2所示

（水深入越深，压力尸越大），电源电压保持6%不变，当电路中的电流为0.34时，报警器（电阻不计）

开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：I=U,F=pS,\QQQPa=\kPa）,则

下列说法中不正确的是（）

A.当水箱未装水(h=Oni)时，压强。为04总

B.当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力/为40"

C.当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度方是0.8〃

D.若想使水深1〃时报警，应使定值电阻々的阻值为12Q

解：A,由图3可知，水箱未装水(为=0加时，压强。为0如泡

故/正确，不符合题意；

B、当报警器刚好开始报警时，根据欧姆定律可知此时电路的电阻：仁U=2=20(Q),

I0.3

比时压敏电阻的阻值：^=R-川=200-lOglOQ,由乙图可知此时压敏电阻受到压力为804

故6不正确，符合题意；

C、当报警器刚好开始报警时，则水箱受到的压强为片上=_®_=8000(Pa),

S0.01

则水箱的深度为方=旦=一纯乎——=0.8(加，

PgIXio3xio

故，正确，不符合题意；

D、水深为为时，压敏电阻受到的压强：P=Pgh=\.OX103X10X7=10000(%),

此时压敏电阻受到的压力：尸=FS=10000X0.01=100(A0,

由图2可知此时压敏电阻的阻值为8Q,

由方知当报警器刚好开始报警时，电路总电阻为200,

根据串联电路电阻规律可知选用的定值电阻的阻值：々=R-后=20-8=12.

故〃正确，不符合题意.

故选：B.

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上)

11.(2分)(2023•扬州)某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强0

(aa)是气球体积的反比例函数，且当勺3万时，p=8000R2.当气球内的气体压强大于40000户a

时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于0.6nf.

解：设气球内气体的压强0（Pa）与气球体积，（炉）之间的函数解析式为々卷.

:当，=3炉时，0=8000%，

A=少=3X80000=24000,

..M——240—00■

:气球内的气压大于40000R?时，气球将爆炸，

；MW40000时，气球不爆炸，

...24000W40000,

V

解得：吸0.6,

为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于0.6炉.

故答案为：0.6.

12.（2分）（2023•温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对

汽缸壁所产生的压强"（kPa）与汽缸内气体的体积…力成反比例，。关于『的函数图象如图所示.若

压强由754%加压到1004%,则气体体积压缩了20niL.

P

\*V—100/zz7时，p=6Qkpa,

k=pV=1OOMX60kpa=6000,

p

当0=754尸a时，勺史也=80,

75

当0=100左％时，勺则上=60,

100

.,.80-60=20（心,

.•.气体体积压缩了20位，

故答案为：20.

13.（2分）（2023•天桥区三模）如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中宽段可看成是一段双曲线,

建立如图的坐标系后，其中，矩形&W为向上攀爬的梯子，的=5米，进口46〃勿，且4?=2米，出口

C点距水面的距离CD为1米，则B、C之间的水平距离座的长度为8米.

解：•••四边形"他是矩形，

:.BE=OA=5,AB=2,

：.B（2,5）,

设双曲线回的解析式为y=K,

X

4=10,

.V―

••y10,

x

■:CD为1,

.•.当1时，x=10,

.•.庞的长=10-2=8〃，

故答案为：8.

14.（2分）（2023•山西模拟）学校科技兴趣小组为探索如图所示的电路中电压〃（Q、电流/（4）、电阻印

（Q）三者之间的关系，测得数据如下，根据数据猜想得到三者之间为：由此可得，当电阻A=

R

110Q时，电流/=24

7?(Q)100200220400

I(Z)2.21.110.55

导线

1

电阻

____T

导线

解：•.•/=〃，当仁220时，1=1,

R

220

解得〃=220,

.[_22。

丁，

当7?=110时，/=r1=2,

110

故答案为：2.

15.（2分）（2023•定海区模拟）小海利用杠杆平衡原理称药品质量（杠杆平衡时，动力X动力臂=阻力义

阻力臂）：如图1,小海发现天平平衡时左盘药品为勿克，右盘祛码重20克；如图2,仍旧利用此杠杆,

小海将祛码放在左盘，药品放在右盘，此时天平仍旧平衡，测得祛码重5克，右盘药品为〃克.则勿与

解：根据“杠杆平衡时，动力X动力臂=阻力X阻力臂”,

由图1得力的=20•如，

•一2O0B

••111---------,

0A

由图2得5•勿="•利，

.„_5-OA

••11----------,

OB

.*.77277=100,

故答案为：勿〃=100.

16.（2分）（2023•龙岗区校级一模）由电源、开关、滑动变阻器及若干导线组成的串联电路中，己知电源

电压为定值，闭合开关后，改变滑动变阻器的阻值A（始终保持兄＞0）,发现通过滑动变阻器的电流/与

滑动变阻器的电阻A成反比例函数关系，它的图象如图所示，若使得通过滑动变阻器的电流不超过44

则滑动变阻器阻值的范围是杉2.

解：设反比例函数解析式为/=u,

R

将点（2,4）代入，得〃=8,

故百分率函数解析式为/=反；

R

:电流不超过4安培，

则&W4,

R

•••冷2,故滑动变阻器阻值的范围是心2.

故答案为：行2.

17.（2分）（2022秋•信都区校级期末）某品牌热水器中，原有水的温度为20℃,开机通电，热水器启动开

始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到80℃时自动停止加热，随

后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）.当水温降至30℃时,

热水器又自动以相同的功率加热至80℃……重复上述过程，如图，根据图象提供的信息，则：

（1）当0WW15时，水温与开机时间x分钟的函数表达式y=4x+20；

（2）当水温为30℃时，t=40

（3）通电60分钟时，热水器中水的温度y约为160-Q

~3~~

解：（1）设直线解析式为将点（0,20）,（15,80）代入可得，（b=20

I15k+b=80

解得仆=4,

lb=20

故答案为：尸4x+20；

（2）当水温下降时，设反比例函数解析式为将点（15,80）代入可得，^=15X80=1200,

X

・"―1200

••--------,

x

当尸30时，30=丝%，

x

解得x=40,

故答案为：40；

（3）当尸30时，30=4产20,解得x=2.5,

...从30℃力口热至I]80℃所需要的时间为15-2.5=12.5（分钟）；从80℃降温到30℃所需要的时间为40-

15=25（分钟）,

.*.40+12.5=52.5（分钟），60-52.5=7.5（分钟）＜25（分钟）,

当通电60分钟时，处于降温过程，即处于函数尸@6上,

X

将x=15+7.5=22.5代入7=1200

X

可得y=丝区L=3/C.

22.53

故答案为：侬。C.

3

18.（2分）（2022秋•海安市期末）如图，一块砖的/、B、。三个面的面积比是4：2：1,如果6面向下放

在地上，地面所受压强为a%,那么力面向下放在地上时，地面所受压强为曳Pa.

一2一

解：设该砖的质量为处则QS=〃g

面向下放在地上时地面所受压强为a帕，A,B,C三个面的面积之比是4：2：1

...把砖的/面向下放在地下上，々告=包.

12

2

故答案为：A.

2

19.（2分）（2023•南充）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000%和0.6〃，当动力臂

由1.5口增加到2必时，撬动这块石头可以节省100%的力.

（杠杆原理：阻力X阻力臂=动力X动力臂）

解：根据“杠杆定律”有也=1000X0.6,

...函数的解析式为尸=迎，

L

当£=1.5时，户=里&=400,

1.5

当£=2时，尸=型&=300,

2

因此，撬动这块石头可以节省400-300=1004

故答案为：100.

20.（2分）（2022秋•代县期末）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物

熏蒸消毒.消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：侬/炉）与时间x（单位：min｝的函数关系如

图所示：校医进行药物熏蒸时y与x的函数关系式为y=2x,药物熏蒸完成后y与x成反比例函数关系,

两个函数图象的交点为/（如〃）.教室空气中的药物浓度不低于2侬/炉时，对杀灭病毒有效.当必=3

时，本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为8min.

：.A(3,6),

设熏蒸完后函数的关系式为：尸

X

•••4=3X6=18,

...熏蒸完后函数的关系式为：尸殁，

X

:药物浓度不低于2mgi碓,

.•.当2x22时，

当尸也22时，K9,

二有效时长为9-1=8（min）,

故答案为：8.

三、解答题（本大题共8小题，共60分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21.（6分）（2023秋•合浦县期中）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强尸（为）是

它的受力面积S（炉）的反比例函数，其函数图象如图所示.

（1）求出?关于S的函数关系式；

（2）当1000〈尸〈4000时，求受力面积S的变化范围.

•.•点(0.1,1000)在这个函数的图象上，

,-,1000=-^.

0.1

.*.^=100.

户与S的函数关系式为：々%.(5>0);

S

(2)令P=1000,S=」^L=0.1(炉)，

1000

令々4000,S=」^-=0.025(讲)，

4000

.•.当1000<p<4000时，0.025<5<0,1.

答：受力面积S的变化范围0.025<S<0.1.

22.(6分)(2023秋•于洪区期中)密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积「(单位：炉)变化

时，气体的密度P(单位：松/炉)随之变化.已知密度P与体积『是反比例函数关系，其图象如图所

示.

(1)求密度P与体积，的函数表达式；

(2)若3W运9,求二氧化碳密度P的变化范围.

解：(1)设密度P与体积『的反比例函数解析式为P=K，把点(5,1.98)代入解p=K,得A=9.9,

VV

•••密度P与体积「的反比例函数解析式为P=29,(00).

v

(2)把勺9代入P=色义，得p=旦旦=1.1裔/万.

V9

把—3代入P=22,得P=219=3.3盘/炉.

V3

：A.1<P<3.3.

23.(8分)(2023春•淮安区期末)我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃,

加热到100℃,停止加热，水温开始下降，此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系.直至水

温降至20℃时自动开机加热，重复上述自动程序.若在水温为20℃时，接通电源后，水温y(°C)和时

间x(min)的关系如图所示.

(1)a—8,b—40.

(2)直接写出图中y关于x的函数表达式.

(3)饮水机有多少时间能使水温保持在50℃及以上？

(4)若某天上午7：00饮水机自动接通电源，开机温度正好是20℃,问学生上午第一节下课时(8：

40)能喝到50℃以上的水吗？请说明理由.

...从20℃到100℃需要8分钟,

设一次函数关系式为：y=k^b,

将（0,20）,（8,100）代入尸尢x+6,得左=10,6=20.

.•.尸10x+20（0W启8）,

设反比例函数关系式为：尸K,

x

将（8,100）代入，得4=800,

•・•yl--8-0-。-,

x

当尸20时，代入关系式可得x=40；

故答案为：8；40.

，10x+20（0<x<8）

（2）由（1）中计算可得，尸|go。

------（8<-x440）

Ix

（3）在y=10x+20（0WK8）中，

令y=50,解得x=3；

反比例函数尸里［&中，令y=50,解得：x=16,

x

学生在每次温度升降过程中能喝到50℃以上水的时间有16-3=13分钟.

（4）由题意可知，饮水机工作时40分钟为一个循环，

上午七点到上午第一节下课时（8：40）的时间是100分钟，是2个40分钟多20分钟，

℃）,

A800=40

20

.•.学生上午第一节下课时（8：40）不能喝到超过50℃的水.

24.（8分）（2023•淮阳区三模）如图1,将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录

桌面所受压强0（Pa）与受力面积S（曲）的关系如下表所示.

受力面积S（成）210.50.4a

桌面所受压强P（外）100200400500800

（1）根据表中数据，求桌面所受压强。（Pa）与受力面积S（炉）之间的函数表达式及a的值.

（2）现想将另一长、宽、高分别为0.4加，0.2/，0.1处且与该长方体相同重量的长方体按如图2所示

的方式（即4面向上）放置于该水平玻璃桌面上.若该玻璃桌面能承受的最大压强为4000%,请你判断

这种摆放方式是否安全？并说明理由.若将此长方体6面向下摆放，请直接判断是否安全.

解：（1）由表格可知，压强户与受力面积S的乘积不变，故压强户是受力面积S的反比例函数,

设々K,将（400,0.5）代入得：

解得4=200,

桌面所受压强0（%）与受力面积S（炉）之间的函数表达式为々空色,

S

把（a,800）代入户=%_得，a=0.25；

S

（2）这种摆放方式安全，理由如下：

由图可知5=0.3X0.4=0.12（行），

.,.将长方体放置于该水平玻璃桌面上，々上生--1667（Pa）,

0.12

V1667<4000,

这种摆放方式安全.

25.（8分）（2023•方城县模拟）喝茶前需要烧水和泡茶两个工序，电热水壶将水烧到100℃,然后继续加

热1分钟后断电，烧水时水温y（°C）与时间x（加加成一次函数关系；断电后，水壶中水的温度（°C）

与时间近似于反比例函数关系（如图）.已知水壶中水的初始温度是20℃,降温过程中水温不

低于20℃.

（1）分别求出图中4?段和切段所对应的函数关系式;

(2)从水壶中的水烧开(100℃)降到80℃就可以进行泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？

由题意得：50=」£_,

18

解得："=900,

•・•“一-9-0-0-,

X

当尸100时，解得：x=9,

・•・「点坐标为(9,100),

・・・8点坐标为(8,100),

当加热烧水时，设尸ax+20,

由题意得:100=8卅20,

解得：5=10,

・•・当加热烧水，函数关系式为尸10x+20(0WW8)；

当停止加热，得y与x的函数关系式为尸100(8〈后9)；尸(9VxW45)；

(2)把尸80代入尸迪，得了=里，

x4

因此从烧水开到泡茶需要等待至-8=至(分钟).

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26.(8分)(2023•亭湖区校级三模)阅读与思考

下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务，今天是2023年6月8日(星期四)，

在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了一次“探索电压一定时，输出功率尸与电阻氏函

数关系的数学活动”.

第一步，我们设计了如图1所示的电路，电压为定值6%不变.

第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化.

第三步，我们根据物理知识々以，通过测量电路中的电流计算电功