高考数学二轮复习专项训练：函数的极值、最值（含答案及解析）

2025二轮复习专项训练7

函数的极值、最值

［考情分析］应用导数研究函数的极值、最值问题，以及利用极值、最值的应用考查函数的

零点、能成立、恒成立、实际生活中的最值问题等，多在选择题、填空题靠后的位置考查,

难度中等偏上，属综合性问题.

【练前疑难讲解】

一、利用导数研究函数的极值

求可导函数式X)的极值的步骤

(1)求定义域;(2)求导；(3)令，(劝=0；

(4)列表，检查r(尤)在方程根左、右值的符号；

(5)得出结论：如果左正右负，那么大劝在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么武尤)在

这个根处取得极小值.

注意：只有极大值无极小值时，要指出“无极小值”.

二、利用导数研究函数的最值

求函数/(x)在团，切上的最大值和最小值的步骤

(1)求函数在(a,6)内的极值.

(2)求函数在区间端点处的函数值五a),».

(3)将函数兀0的各极值与火/，式b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

三、由极值、最值求参数问题

已知函数极值求参数时需注意的问题

(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.

(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.

一、单选题

1.(2023•陕西•一模)函数/(x)=sin(ox+|^(0>O)在［0,1］上有唯一的极大值，则ow

()

2.(21-22高三・北京西城•开学考试)如图所示，已知直线、=辰与曲线y=/(x)相切于两

点，函数g(_r)=Ax+M机>0),则对函数/(x)=g(x)-/(x)描述正确的是()

A.有极小值点，没有极大值点B.有极大值点，没有极小值点

C.至少有两个极小值点和一个极大值点D.至少有一个极小值点和两个极大值点

3.(2022・全国•高考真题)函数/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间［0,2兀］的最小值、最大值

分别为()

兀兀3兀兀兀兀》3兀兀_

A.——，一B.-----，—C.——+2D.-----+2

22222222

二、多选题

4.(24-25高三上广东•开学考试)设函数/(%)=%3_%2+必_i,则()

A.当，=-1时，/(%)有三个零点

B.当时，/(x)无极值点

C.BaeR,使/(x)在R上是减函数

D.VaeR,/(尤)图象对称中心的横坐标不变

5.(2022•山东泰安・二模)已知函数〃x)=lnx-G：2+i,awR,则下列结论正确的是

()

A.对任意的awR,存在%e(0,+oo),使得/■(%)=()

B.若看是的极值点，则〃尤)在(公,y)上单调递减

C.函数的最大值为IT，2。)

D.若f(x)有两个零点，则0<°苦

三、填空题

6.(22-23高三下•山东•开学考试)写出曲线y=d一3x过点(2,2)的一条切线方

程.

7.(2024・上海•三模)若函数/(x)=Tx3+3x在(卅+2)上存在最小值，则实数。的取值范

围是.

四、解答题

8.（2022北京•高考真题）已知函数〃尤）=3±-91y.

（1）若°=0,求曲线y=〃x）在点处的切线方程；

（2）若/（X）在无=-1处取得极值，求/'（X）的单调区间，以及其最大值与最小值.

9.（2022•全国•高考真题）已知函数/（x）=or-L-（a+l）lnx.

X

⑴当a=0时,求当x）的最大值;

（2）若/（》）恰有一个零点，求a的取值范围.

【基础保分训练】

一、单选题

1.（21-22高二下•四川雅安•阶段练习）下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）

A.y-xB.y=ln（-x）C.y=x+exD.y=x+—

X

2.（2023•上海黄浦・一模）已知/3=$指（8+小（0＞0）,且函数y=恰有两个极大

TT

值点在0,-,则。的取值范围是（）

A.（7,13]B.[7,13）C.（7,10]D.[7,10）

3.（2023・全国•模拟预测）已知函数〃x）=xe，+l,过点尸（2,1）可作曲线y=的切线

条数为（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2024・四川宜宾•模拟预测）已知函数〃"=炉+依2+乐+。2在广一1处有极值「贝！j

F。）等于（）

A.-4B.16C.T或16D.16或18

5.（2023・广东汕头•二模）给出定义：设「（X）是函数y=/（尤）的导函数，f”（x）是函数

y=f（x）的导函数.若方程f\x）=。有实数解尤=尤。，则称&J（5））为函数＞=/（x）的"拐

点”.经研究发现所有的三次函数了（尤）="3+法2+6：+小＞片0）都有"拐点"，且该"拐点"也是

函数y=/（x）的图象的对称中心.若函数/（%）=尤3-3/,则

/盛"康M壶卜••+『勰卜提11

A.-8088B.-8090C.-8092D.-8096

6.（2021•四川遂宁•二模）若e"—（a—l）x—lnx—lna20,则。的最大值为（）

ee

A.一B.一C.eD.2e

42

二、多选题

7.（2023・安徽•一模）已知函数〃x）=x3-x（xeR）,则（）

A.“X）是奇函数

B.”X）的单调递增区间为-乎］和

c.的最大值为年

D./（X）的极值点为［百逑）产

8.（2021•广东潮州二模）已知函数y=/（x）的导函数y=/'（x）的图象如图所示，则下列

/(e)</(rf)</(c)

C.x=c时，取得最大值D.x=d时，”力取得最小值

9.（2022•重庆•三模）已知函数“尤）=二：：+1（e为自然对数的底数，=2.72）,则关

于函数/（x）,下列结论正确的是（）

A.有2个零点B.有2个极值点C.在（0,1）单调递增D.最小值为1

三、填空题

10.（23-24高二上•吉林长春•期末）若函数〃司=3/一依2+尤+］存在极值点，则实数。的

取值范围为.

11.（2024・安徽二模）已知函数”x）=（x-l）sinx+（x+l）cosx,当xe［0,可时/（x）的最

大值与最小值的和为.

四、解答题

12.（23-24图三上,山东青岛,期中）已知函数/（X）=/—tzx+a.

⑴若x=l是函数“X）的极值点，求“X）在（-lj（-l））处的切线方程.

⑵若a>0,求/（X）在区间［0,2］上最大值.

13.（22-23高二下•陕西宝鸡•期末）已知函数/（尤）=lnx+ar+2（a<0）,若f（x）的最大值为

2.

（1）求。的值；

（2）若f（x）〈云在［1,讨）上恒成立，求6的取值范围.

【能力提升训练】

一、单选题

1.（23-24高三上•北京昌平•期末）已知函数/（力=2,血-2a,则（）

B.”力不是周期函数

C./仃）在区间（0胃）上存在极值

D.〃x）在区间（0,无）内有且只有一个零点

2.（24-25高三上•浙江•阶段练习）将函数g（x）=cos"+1|（0eN*）的图象上所有点的

横坐标变为原来的g,纵坐标变为原来的2倍，得到函数"X）的图象，若/（x）在［o,］］上

只有一个极大值点，则。的最大值为（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2024・全国•模拟预测）己知函数的导函数尸（力=（尤+2乂f+X+"?）,若函数

有一极大值点为-2,则实数机的取值范围为（）

A.(-2,+oo)B.(<-2]

C.(f-2]D.(-oo,-2)

4.（2023•安徽马鞍山•模拟预测）已知函数“X）的导函数尸⑺的部分图象如图，则下列说

A.〃1）>〃3）B./（-1）</（2）

C./（X）有三个零点D./（X）有三个极值点

5.（23-24高三上•云南昆明•阶段练习）函数〃尤）=（3尤2-6x+a+3）e，，若存在x°eR,使

得对任意xeR,都有〃则。的取值范围是（）

A.a>0B.«<0C.a>3D.a<3

二、多选题

6.（2023・重庆・一模）已知函数/。）=-—-+工一1,贝।（）

A./（x）有两个零点B.过坐标原点可作曲线/（x）的切线

C.f（x）有唯一极值点D.曲线/（x）上存在三条互相平行的切线

7.（2024・重庆•一模）已知函数〃引=1+/—一依，则在（0,+e）有两个不同零点

的充分不必要条件可以是（）

A.e-2<tz<e-lB.e-lva<e

C.e<a<e+lD.e+lvave+2

8.（2024・浙江•三模）已知函数/（x）='+‘，贝U（）

sinxcosx

A.的最小正周期为T=TIB.的图象关于（兀,0）对称

C.〃尤）在［go］上单调递减D.当时，/（%）>272

三、填空题

9.（2024・江苏•二模）如果函数/（x）在区间［a,以上为增函数，则记为/（x）"”函数/（为

在区间［a,句上为减函数，则记为，（无儿闻.如果（6+3严力则实数机的最小值

yjx

13

为；如果函数/（幻=§尤3一］62+2/彳，且/（叫印了（无产，则实数。=.

10.（2024・广西南宁•一模）已知函数〃x）=（x-l）e'+加的最小值为T,则实数。的取值

范围为.

四、解答题

11.（2024・全国•高考真题）已知函数/（x）=e*-ax-a3.

⑴当。=1时，求曲线丫=/（尤）在点处的切线方程；

（2）若/（X）有极小值，且极小值小于0,求。的取值范围.

12.（2023•北京•模拟预测）已知函数〃x）=21nx+g.

（1）若在（1,〃功处的切线与x轴平行，求a的值；

（2）〃x）是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由；

⑶若2a在区间（0』上恒成立，求a的取值范围.

13.（2024•山东威海二模）已知函数〃x）=lnx-ax+l.

⑴求外力的极值;

(2)证明：lnx+x+l<%e”.

2025二轮复习专项训练7

函数的极值、最值

［考情分析］应用导数研究函数的极值、最值问题，以及利用极值、最值的应用考查函数的

零点、能成立、恒成立、实际生活中的最值问题等，多在选择题、填空题靠后的位置考查,

难度中等偏上，属综合性问题.

【练前疑难讲解】

一、利用导数研究函数的极值

求可导函数式X)的极值的步骤

(1)求定义域;(2)求导；(3)令，(劝=0；

(4)列表，检查r(尤)在方程根左、右值的符号；

(5)得出结论：如果左正右负，那么大劝在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么武尤)在

这个根处取得极小值.

注意：只有极大值无极小值时，要指出“无极小值”.

二、利用导数研究函数的最值

求函数/(x)在团，切上的最大值和最小值的步骤

(1)求函数在(a,6)内的极值.

(2)求函数在区间端点处的函数值五a),».

(3)将函数兀0的各极值与火/，式b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

三、由极值、最值求参数问题

已知函数极值求参数时需注意的问题

(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.

(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.

一、单选题

1.(2023•陕西•一模)函数/(x)=sin(ox+|^(0>O)在［0,1］上有唯一的极大值，则ow

()

2.(21-22高三・北京西城•开学考试)如图所示，已知直线、=辰与曲线y=/(x)相切于两

点，函数g(_r)=Ax+M机>0),则对函数/(x)=g(x)-/(x)描述正确的是()

A.有极小值点，没有极大值点B.有极大值点，没有极小值点

C.至少有两个极小值点和一个极大值点D.至少有一个极小值点和两个极大值点

3.(2022・全国•高考真题)函数/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间［0,2兀］的最小值、最大值

分别为()

兀兀3兀兀兀兀》3兀兀_

A.——，一B.------，—C.——+2D.------+2

22222222

二、多选题

4.(24-25高三上广东•开学考试)设函数/(%)=%3—/+办_1,则()

A.当，=-1时，/(%)有三个零点

B.当时，/(x)无极值点

C.BaeR,使/(x)在R上是减函数

D.VaeR,/(尤)图象对称中心的横坐标不变

5.(2022•山东泰安・二模)已知函数〃x)=lnx-G：2+i,awR,则下列结论正确的是

()

A.对任意的awR,存在%e(0,+oo),使得/■(%)=()

B.若看是的极值点，则〃尤)在(公,y)上单调递减

C.函数的最大值为IT，2。)

D.若f(x)有两个零点，则0<°苦

三、填空题

6.(22-23高三下•山东•开学考试)写出曲线y=d一3x过点(2,2)的一条切线方

程.

7.(2024・上海•三模)若函数/(x)=Td+3x在(卅+2)上存在最小值，则实数。的取值范

围是.

四、解答题

3-9y

8.（2021•北京•高考真题）已知函数〃尤）=±1.

（1）若°=0,求曲线y=〃x）在点处的切线方程；

（2）若/（X）在无=-1处取得极值，求/'（X）的单调区间，以及其最大值与最小值.

9.（2022•全国•高考真题）已知函数/（x）=or-L-（a+l）lnx.

X

（1）当4=。时，求当X）的最大值;

（2）若/（》）恰有一个零点，求。的取值范围.

参考答案:

题号12345

答案CCDBDBD

1.C

。+—71>—兀

7T7T

【分析】由题知函数y=sint在§上有唯一极大值，进而得<<，再解不等

兀，5兀

co+—<——

32

式即可得答案.

【详解】解：方法一：当xe［o,l］时，r=++］,

因为函数〃司=行11（8+5］（0>。）在［0』上有唯一的极大值,

ITJT

所以函数，=$皿/在上有唯一极大值，

7171

0)+—>—

32

所以，解得oe

715兀

0)+—<——

故选：C

7T7T7L

方法•_.：令。xH—=2/CJIH—,keZ,则GX=2EH—,keZ,

326

所以，函数〃力=$也（3+的（0>0）在'轴右侧的第一个极大值点为工=4,第二个极

\3J6a）

大值点为尤=子13兀，

6a）

因为函数/（"=$也"+；］（0>0）在［0,1］上有唯一的极大值，

兀1

兀13兀

所以，善解得於

乜1,69~6~

、6。

故选：C

2.C

【分析】由题设尸'（幻=左--（刈，令、=履与y=/（x）切点横坐标为国且不＜々，由图

存在X。W（工,%）使/（％）=0,贝I］/（X）有三个不同零点不＜X。＜%,结合图象判断尸‘（X）的

符号，进而确定尸（X）单调性，即可确定答案.

【详解】由题设,F（x）=kx+m-f（x）,则尸（无）="/"）,

又直线y=近与曲线，=/（%）相切于两点且横坐标为且不＜々,

所以尸鱼）=。的两个零点为七,马，由图知：存在毛€（占,马）使尸'（不）=0,

综上，L（X）有三个不同零点占

由图：（。,不）上尸'（x）＜0,（项,%）上下'（无）＞0,（尤0，%）上尸'（x）＜0,（与+⑹上/'（x）＞0，

所以尸（无）在（0,jq）上递减，（占,七）上递增，9）上递减，（％，+°°）上递增.

故厂（无）至少有两个极小值点和一个极大值点.

故选：C.

3.D

【分析】利用导数求得〃尤）的单调区间，从而判断出/lx）在区间［0,2可上的最小值和最

大值.

【详解】/,（x）=-sinx+sinx+（x+l）cosx=（x+l）cosx,

所以〃x）在区间（0雪和怎,2兀［上〃x）＞0,即〃x）单调递增；

在区间Oi上（⑺即小）单调递减，

又"。）="2兀）=2-国、+2,/用=*+1］+1=4，

所以“尤）在区间［0,2兀］上的最小值为-3，最大值为］+2.

故选：D

4.BD

【分析】利用导数求出函数的极大值判断A；由广(%)之。恒成立判断B；由的解集

能否为R判断C；求出了(九)图象的对称中心判断D.

【详解】对于A,当〃=一1时，f(x)=x3-x2-x-1,求导得/'(%)=3%2一2元-1,

令广食)=0得了=-；或x=l,由/'(x)>。，得尤<一：或X>1,由r(x)<0,

得T<X<1,于是/(X)在(-8,-；),(1,+8)上单调递增，在上单调递减，

/(》)在％=-；处取得极大值/(一；)=一(一^+:-1<0,因此/(X)最多有一个零点，A错

误；

对于B,f\x)=3x2-2x+a,当时，A=4-12a<0,即/'(元)20恒成立，

函数/(无)在R上单调递增，/(x)无极值点，B正确；

对于C,要使/(x)在R上是减函数，则:。)=3--29+。40恒成立,

而不等式3d-2x+“40的解集不可能为R,C错误；

对于D,由/(-1—x)+/(x)=(g—尤y-(［-尤］+a(j—x)—1+x3—x2+<7X—1=,

得/(元)图象对称中心坐标为(1(-II),D正确.

故选：BD

5.BD

【分析】先求导得/'口)=工_2内=匕空，分和。>0讨论函数的单调性及最值，

XX

依次判断4个选项即可.

}ar

【详解】由题意知：x>0,f'(x}=--2ax=~-,当a40时，r(x)>0,/(x)单

XX

增，无最大值，故C错误；

当。>0时，在°，伍j上，f(x)>0J(x)单增；在］

上，/'(x)<0,/(x)单减；

故/(X)max=f(\F)=ln\g+；,当In、口+;<。'

即。时，/(九)无零点，故A错

V2a\2a2\2a2

误；

若不是〃x)的极值点，则“>o,］，故在卜

T-，+°0单减，B正确；

2a,

若〃尤）有两个零点，则4>0,且/（X：U=/（j3）=lnjj+1>0,解得0<4<1,

V2a\2a22

又xfO时，/（x）fYo,xf+8时，/（x）f一00,此时“X）有两个零点，D正确.

故选：BD.

6.y=2或9x-y—16=0（写出其中的一个答案即可）

【分析】首先判断点（2,2）在曲线上，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出

切线方程，再说明函数的单调性，即可得到函数的极大值，从而得到曲线的另一条切线方

程.

【详解】解：因为点（2,2）在曲线y=V-3尤上，所以曲线〉=9-3尤在点（2,2）处的切线方

程符合题意.

因为y'=3尤2-3,所以—=3x22-3=9,

所以曲线y=d-3x在点（2,2）处的切线方程为y—2=9（x—2）,即9x-y-16=0.

因为当或x>l时，/>0；当一Ivxvl时，y<o,

所以函数y=V-3x在》=-1处取得极大值2,又极大值恰好等于点（2,2）的纵坐标，所以

直线y=2也符合题意.

故答案为：y=2或9x-y-16=0（写出其中的一个答案即可）

*一1

7.

2,

【分析】根据题意，函数〃x）=TV+3x的极小值点在（4M+2）内，再结合/⑴=/

即可求出实数a的取值范围.

【详解】因为〃尤）=TV+3X,所以尸（无）=—12/+3,

令/'（"=。得，x=±|,

当时，尸（x）<0,/（X）单调递减，

当TU）时，尸（为>0,单调递增，

当1寸，（（%）<0,f（x）单调递减，

所以当X=时，“X）有极小值，

因为函数/(%)=-4丁+3%在(°,4+2)上存在最小值,

又〃1)=力卜1,

所以〃<—，<Q+2W1,解得一

22

所以实数。的取值范围是.

故答案为：］-I^T.

8.(1)4x+y-5=0；(2)函数/⑺的增区间为(―s,-L)、(4,+oo),单调递减区间为

(-1,4),最大值为1,最小值为-；.

【分析】(1)求出了。)、「⑴的值，利用点斜式可得出所求切线的方程;

(2)由/''(-1)=0可求得实数。的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此

可得出结果.

【详解】(1)当”=。时，则r(x)=^^,.•.“1)=1,r(i)=y,

XX

此时，曲线y=〃x)在点处的切线方程为y—1=T(A1),即4x+y-5=0；

⑵因为小)=会

由题意可得-，/-1、)2(=4-"=依解得"4,

,,.3-2x_2(x+l)(尤-4)

故"尤卜V"一，+4了，列表如下:

-1(-1,4)4(4,+8)

广⑴+0-0+

/W增极大值减极小值增

所以，函数〃x)的增区间为(为,-!)、(4,+00),单调递减区间为(-1,4).

当X<；时，〃x)>o；当时，/(x)<0.

1

所以，/«™x=/(-)=l>/Wrai„=/(4)=4-

9.(D-l

⑵(O,y)

【分析】(1)由导数确定函数的单调性，即可得解；

(2)求导得广(刈=("一?(“一1),按照。(0、0<。<1及结合导数讨论函数的单调

性，求得函数的极值，即可得解.

1111—v

【详解】(1)当a=0时，/(x)=一—lnx,x>0,则:=f—=三，

XXXX"

当无«0,1)时，r(x)>0,〃x)单调递增；

当xe(l,+oo)时，/,(%)<0,/(x)单调递减；

所以〃xL」")一1；

(2)/(x)=6?x---(a+l)lnx,x>0,则:(x)=a+±_"L1)9",

XXXX

当aWO时，ar-KO,所以当xe(0,l)时，广(耳>0,/(尤)单调递增；

当xe(l,y)时，/(%)<0,/(x)单调递减；

所以/(力1mx=/(1)="一1<°，此时函数无零点，不合题意；

当0<。<1时，)>1,在(0』)［：,+s］上，F'(x)>0,/(x)单调递增；

在口‘J上，尸(司<°，“X)单调递减；

又41)="1<0,

由(1)得工+ln尤21,gpln->l-x,所以lnx<x,ln五<4,lnx<26，

X%

当光>1时，f(x)=ax---(a+I)lnx>or---2(fz+l)Vx>ox-(2。+3)石,

xX

则存在%=(3+2］>-,使得/(租)>0，

\a)a

所以/(X)仅在有唯一零点，符合题意；

当4=1时，r⑺所以“X)单调递增，X/(l)=a-l=0,

所以/（X）有唯一零点，符合题意;

当口>1时，|<i,在]。,+⑹上，r（x）>o,/（X）单调递增;

在U上，f'（x）<o,单调递减；此时41）=。—1>0,

由（1）得当O<X<1时，lnx>l-4Iny[x>1——,所以Inx>2

Xy/x

止匕时f（%）—------（a+1）Inx<ax-------2（a+1）1—T=<---1----T=—,

XXyyjx）XVx

存在〃使得加）<°,

所以/（x）在（o—J有一个零点，在+^]无零点，

所以/（X）有唯一零点，符合题意；

综上，a的取值范围为（0,+8）.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点

问题转化为函数的单调性与极值的问题.

【基础保分训练】

一、单选题

1.（21-22高二下•四川雅安•阶段练习）下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）

A.>=九B.>=ln（一C.y=x+exD.y=x+—

2.（2023•上海黄浦・一模）已知/（x）=sin"+|^（0>O）,且函数y=〃x）恰有两个极大

TC

值点在0,-,则。的取值范围是（）

A.（7,13]B.[7,13）C.（7,10]D.[7,10）

3.（2023•全国•模拟预测）已知函数/⑺=屁工+1,过点尸（2,1）可作曲线y=〃x）的切线

条数为（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2024・四川宜宾•模拟预测）已知函数/（尤）=丁+依2+区+。2在k=一1处有极值8：,贝IJ

"1）等于（）

A.-4B.16C.T或16D.16或18

5.(2023•广东汕头,二模)给出定义：设(。)是函数y=f(x)的导函数，尸(X)是函数

y=f\x)的导函数.若方程_r(x)=0有实数解彳=X。，则称(m"5))为函数y=/(X)的“拐

点”.经研究发现所有的三次函数/(x)=ax3+bx2+cx+d(a^0)都有"拐点"，且该"拐点"也是

函数>=/(x)的图象的对称中心.若函数/(%)=尤3一31，贝U

d--]+D++D+H()

<2023j1.2023J1,2023J1.2023J(2023)

A.-8088B.-8090C.-8092D.-8096

6.(2021・四川遂宁•二模)若e龙一(a—l)%—lnx—lnaN0,贝的最大值为()

ee

A.—B.-C.eD.2e

42

二、多选题

7.(2023•安徽•一模)已知函数"x)=V—x(xeR),则()

A.y(x)是奇函数

B.的单调递增区间为-%-等卜口号,+8

C.〃尤)的最大值为平

D.〃x)的极值点为Jg，法竿)

8.(2021・广东潮州•二模)已知函数y=的导函数y=/'(x)的图象如图所示，则下列

结论正确的是()

A./(a)</(&)</(c)B./(e)</(J)</(c)

C.x=c时，/(x)取得最大值D.x=d时，/(x)取得最小值

9.(2022•重庆・三模)已知函数〃司='：：+1”为自然对数的底数，e“2.72),则关

于函数/(x),下列结论正确的是()

A.有2个零点B.有2个极值点C.在(。,1)单调递增D.最小值为1

三、填空题

10.(23-24高二上•吉林长春•期末)若函数-6?+尤+1存在极值点，则实数。的

取值范围为.

11.(2024・安徽•二模)已知函数/(x)=(x-l)sinx+(x+l)cosx,当xe［0,可时的最

大值与最小值的和为.

四、解答题

12.(23-24三上,山东青岛，期中)已知函数/(%)=-ax+a.

(1)若x=l是函数“X)的极值点，求“X)在(-lj(-l))处的切线方程.

⑵若。＞0,求“X)在区间［0,2］上最大值.

13.(22-23高二下•陕西宝鸡・期末)已知函数/(尤)=lnx+or+2(a＜0),若f(x)的最大值为

2.

(1)求。的值；

(2)若/(%)〈云在［1,+^)上恒成立，求b的取值范围.

参考答案:

题号123456789

答案DBBABCABABBC

1.D

【分析】利用基本初等函数的奇偶性及函数的极值与导数的关系可判断各选项.

【详解】对于A选项，函数y=x为奇函数，且该函数在R上单调递增，A项不满足条件;

对于B选项，函数y=ln(-x)的定义域为(-j0),该函数为非奇非偶函数，B选项不满足

条件；

对于C选项，函数y=x+e'的导数为y'=l+e，＞0,该函数在R上单调递增，C选项不满

足条件；

对于D选项，令〃x)=x+：,该函数的定义域为{x|xwO},

4/4、4

f{-x)=-x+—=-x+—|=,即函数了=尤+一为奇函数，

-xvx)x

f'(x\=X-±=^1,当0<x<2时，r(x)<0,当尤>2时，r(x)>0,

XX

所以，x=2为函数/'(X)的极小值点，D选项满足条件.

故选：D.

2.B

【分析】运用整体思想法，求得+台TT的范围，再运用正弦函数图象分析即可.

6

TT

【详解】回G>0,

兀，兀,697171

^—<a)x+—<-----F—,

6636

又回/(X)在［0,自恰有2个极大值点，

国由正弦函数图象可知，+解得：7Vo<13.

故选：B.

3.B

【分析】求出的导函数，设切点坐标为(%,为^+1),写出切线方程，把(2,1)代入,

得到关于修的方程，根据方程解的个数即可得出切线的条数.

【详解】解法一由〃x)=xe，+l,得r(x)=(x+l)e1设切点坐标为+1),

则切线方程为丁一5*-1=e&(%+1)(了-%)，

把(2,1)代入可得-$3=e*(%o+D(2-~),即其一2%-2=0,

因为△=12>0,所以该方程有2个不同的实数解，故切线有2条.

解法二由〃x)=xe*+l,得法⑺=(x+l)e"令法(力=0,得x=-1.

当光〈一1时，/'(%)V0,当x>0时，/'(%)>0,

故/(x)在(-8,-1)上单调递减，在(-1,依)上单调递增,

故〃x)的极小值为=1-L且/'(0)=1,则点*2,1)在曲线y=/(x)的下方，

e

y

o

数形结合可知,过点P可作曲线y=/(x)的2条切线.

故选：B

4.A

【分析】求导,即可由/(-I)=8且/\-1)=0求解。,6,进而代入验证是否满足极值点即可.

［详解［f\x)=3x2+2ax+b,

若函数在％=-1处有极值8,

则/(-l)=8H./，(-D=0,即

13-2a+Z?=0

解得：〃=3力=3或a=-2,b=-7,

当。=3,6=3时，=3x2+6x+3=3(x+l)2>0,此时尤=一1不是极值点，故舍去，

当a=-2,b=-7时，/(龙)=3尤2-4x-l=(3无一7)(尤+1),

77

当或x<—1时，/,(x)>0,当-1<尤J'(x)<。，故犬=一1是极值点，

故。=-2力=-7符合题意，

故/(x)=d-2x2-7x+4,

故/⑴f

故选：A

5.B

【分析】通过二次求导可得尸(x)=6x-6,求出y=〃x)的图像的对称中心为(L-2),得

至U/(I-x)+/(I+尤)=-4,据此规律求和即可.

【详解】由尸(x)=3f-6x,可得/〃(x)=6x-6,

令尸(x)=0,可得x=l,又/⑴=1-3=-2,

所以>=/(%)的图像的对称中心为(1，-2),

即f(l-x)+f(l+x)=-4,

(4044A(40451

【2023广，［2023)

4044\(2024\20231

2023J12023)2023J

2

故选：B.

6.C

【分析】将原不等式化为改+1口依，构造函数/(尤)=尤+山］(%>0)，由单调性

的性质可知产之依，即44《，构造函数"x)=C,利用导数得出"(%)的最小值，即可

XX

得出〃的最大值.

【详解】原不等式化为尤+/之ox+ln以，即Nox+lnor,令

/(x)=j;+lnx(x>0),

知〃久)在(。,+?)上单调递增，原不等式转化为了")，所以,上办，即

设“x)=F，则/(XU。,当0<x<l时，〃'(x)<0,"(x)单调递减；当x>l时，

M(X)>0,"(x)单调递增，故当x=l时“X)取得最小值刈1)=«,所以。的最大值为e.

故选：C

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用函数单调性的定义以及导数证明不等式，从

而得出。的最大值.

7.AB

【分析】根据函数奇偶性定义即可判断f(尤)是奇函数，利用导数研究函数f(无)的单调性

可知，/(x)的单调递增区间为-程)和［?，+s］,单调减区间为卜手，亭，所以

/(X)无最大值，极大值点为彳=一4,极小值点为耳=乎.

【详解】因为对VxeRJ(f)=r3+x=-〃x),根据奇函数定义可知函数〃x)是R上的

奇函数，即A正确;

令尸(x)=3f—1>0可得一点或x>#,即〃x)的单调递增区间为|-1J和

(6)

工-,+00,故B正确；

由B可知，/(%)在事,+8单调递增，所以“力无最大值，即C错误；

由广(耳=3/-1=0得了=土弓，结合选项B可知，A-1是函数〃x)的极大值点，

工=日是函数/(X)的极小值点，极值点不是点，所以D错误.

故选：AB

8.AB

【分析】由尸(x)图象可确定〃x)的单调性，结合单调性依次判断各个选项即可得到结果.

【详解】由广(X)图象可知：当xe(e,c)(e,心)时，r(x)>0：当尤w(c,e)时，

\在(Y»,C),(自用)上单调递增,在(c,e)上单调递减；

对于A,-a<b<c,.,./(a)</(/?)</(c),A1E?1；

对于B,c<d<e,/./(e)</((/)</(c),B正确;

对于C,由单调性知〃c)为极大值，当尤>e时，可能存在〃与)>〃。)，C错误；

对于D,由单调性知"e)<f(d),D错误.

故选：AB.

9.BC

【分析】先求定义域，再求导，求出单调区间和极值，最值情况，判断BCD,A可以证明

出函数值恒正，A错误.

【详解】/(x)=」+：+1定义域为R,尸(x)「(l),

ee

令/'(%)=。得：%=。或1,

当兀£(0,1)时，/r(x)>o,当X£(-8,0)D(l,+8)时，/f(x)<o,

如下表:

X(-8,0)0(0,1)1(l,+oo)

r(x)-0+0-

3

/W递减极小值1递增极大值之递减

e

从而判断出函数有两个极值点，在(。,1)上单调递增,

BC正确，

由于,、尤2+x+l|-X+11+1恒成立，所以函数/Q)无零点，A错误,

fx)=——--=1-->0

')exex

当x-+8时，〃同f0,故函数无最小值，D错误；.

故选：BC

10.(-co,-l)u(l,+co)

【分析】求导，根据题意知方程尸(x)=0有两个不等的实根，可得出A>0,从而得解.

【详解】因为/(X)=1■尤3_依2+无+1,可得/'(%)=无2—26+1,

因为函数/■(X)存在极值点，所以ra)=o有两不等实根，

贝必=4/-4>0,解得。<-1或

所以"的取值范围是(T»,T)U(1,+CO).

故答案为：(YO,T)U(1,+<»).

11.亨-1)兀-1

【分析】求导，可得函数的单调性，即可求解极值点以及端点处的函数值，即可求解最值.

【详角军】/r(x)=sinx+(x-l)cosx+cosx-(x+l)sinx=x(cosx-sinx),

当时，尸(x)>0,/(x)递增；当时，f'(x)<0,