高考数学二轮复习专练：聚焦热点情境弘扬数学文化（含答案及解析）

2025二轮复习专项精练3

聚焦热点情境，弘扬数学文化

【模拟精练】

一、单选题

1.（23-24高一上•山东青岛•期中）十七世纪，数学家费马提出猜想："对任意正整数

n>2,关于x，XZ的方程x"+y'=z"没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁

怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（）

A.对任意正整数2,关于尤,y，z的方程x"+y"=z"都没有正整数解

B.对任意正整数〃>2,关于x,y,z的方程x"+y"=z"至少存在一组正整数解

C.存在正整数〃W2,关于x，y，z的方程x"+y”=z”至少存在一组正整数解

D.存在正整数〃>2,关于％y,z的方程x"+y"=z"至少存在一组正整数解

2.（2024・四川成都•模拟预测）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科

研成果有“华氏定理""华氏不等式”“华氏算子""华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推

崇.他曾说："数缺形时少直观，形缺数时难入微"，告知我们把"数"与"形"，"式"与"图"结

合起来是解决数学问题的有效途径.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数

的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征.已知函数，=〃尤）的图象如图所

示，则/（x）的解析式可能是（）

A./（x）=3皿B./（x）=3co»C./（x）=RjD./（x）=l11

3.（2024・重庆•一模）英国著名数学家布鲁克・泰勒（TaylorBrook）以微积分学中将函数展

开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连

加式来表示一个函数，如：sinA=x-—+,其中加=lx2x3x…X”.根据该展

3!5!7!

开式可知，与2-々+二-2+…的值最接近的是（）

3!5!7!

A.sin2°B.sin24.6°

C.cos24.6°D.cos65.4°

4.（2024・宁夏•一模）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，

图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2,若

正八边形ABCDEFGH的边长为2,尸是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，贝|

图1图2

B.0C.-2^2D.-472

5.（2023・湖北武汉•二模）"中国剩余定理"又称"孙子定理"，1852年英国来华传教士伟烈亚

力将《孙子算经》中"物不知数"问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符

合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，

“中国剩余定理"讲的是一个关于同余的问题.现有这样一个问题：将正整数中能被3除余

1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列｛%,｝,贝！］%＜）=（）

A.55B.49C.43D.37

6.（2024•陕西西安•一模）"中国剩余定理"又称"孙子定理"，最早可见于中国南北朝时期的

数学著作《胁子算经》卷下第二十六题，叫做"物不知数"，原文如下：今有物不知其数，

三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?现有这样一个相关的问题：被3

除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列｛%｝,记数列｛%｝的

前〃项和为S“，则至上色的最小值为（）

n

A.60B.61C.75D.76

7.（2024•黑龙江•二模）祖唯是我国南北朝时期伟大的数学家.祖晅原理用现代语言可以描

述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截

得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等".例如，可以用祖晒原理推导半球的体积

公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在

圆柱内挖去一个半径为R,高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面

的平面a去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几

何体的体积相等.若用平行于半球底面的平面。去截半径为R的半球，且球心到平面a的

距离为正R,则平面a与半球底面之间的几何体的体积是（

D..

8.（22-23高三上•江西抚州•期中）数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e=。（其中

的椭圆为黄金椭圆‘现有一个黄金椭圆方程为1+%=人＞。）’若以原

点。为圆心，短轴长为直径作。。尸为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过尸作。。的两条

22

切线，切点分别为A3,直线A3与龙广轴分别交于两点，贝|二b^+^a^=

|0M||ON|

（）

1

A.—B.刃C.一3D.

CDco

9.（2024•辽宁沈阳•二模）我国古代典籍《周易》用"卦”描述万物的变化，每一"重卦"由从

下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻",和阴爻"------------"，如图就

是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，记事件A="取出的重卦中至少有1个阴爻"，事

件3="取出的重卦中至少有3个阳爻贝”国力=（）

10.（2024•内蒙古赤峰•一模）棣莫弗公式（cos%+i-sin%）〃=cos5x）+Lsin（〃x）（其中i为虚

数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数

fcos-|-+i-sin-|-^在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、多选题

11.（2024・湖北•模拟预测）对于正整数小。⑺是小于或等于〃的正整数中与〃互质的数

的数目.函数。⑺以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如夕（9）=6（1,2,4,5,7,8

与9互质），贝I（）

A.若〃为质数，则=〃-1B.数列｛夕（叫单调递增

C.数列l斌的最大值为1D.数歹|｛。（3"）｝为等比数列

12.（23-24高二上•江苏南京•阶段练习）由倍角公式cos2x=2cos2尤-1可知，cos2x可以表

示为cosx的二次多项式.一般地，存在一个w（〃eN*）次多项式

x

P„（t）=ant"+an_f~+---+a0（aQ,al,...,aneR）,使得cosnr=勺（cos^r）,这些多项式月⑺称

为切比雪夫（P.LTschebyscheff）多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得（）

A,《（r）=4/_3rB.4［）=8/-8/+1

C.cos54°=D.sin54°=^^-

64

13.（2024•江西宜春•三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波

罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A,B之间的距离为。（非零常数），动点M到

A,8的距离之比为常数4（2>0,且/wl）,则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆.在平

面直角坐标系中，已知A（T,0）,B（2,0）,点M满足1MAi=2|MB|,则下列说法正确

的是（）

A.AAA/B面积的最大值为12B.布的最大值为72

C.若Q（8,8）,贝”加4|+2|〃0的最小值为10口.当点M不在x轴上时，始终平分

ZAMB

14.（22-23高三上•山东潍坊•期中）斐波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂

纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为"兔子数列"，在现代物理、准晶体结构、化

学等领域都有直接的应用.在数学上，斐波那契数列被以下递推的方法定义:数列｛4｝满足：

q=%=1,q+2=%+4SeN*）.则下列结论正确的是（）

A./=13B.。2023是奇数

C*Id?ICI3I******I^^2021^^2021^*2022D.“2022被4除的余数为0

15.（22-23高三下•湖南长沙•阶段练习）设a,6为两个正数，定义”,6的算术平均数为

A（a,6）=等,几何平均数为G（a,b）=«F,则有：G（a,b）£A（a,b）,这是我们熟知的

基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家DHZMmer提出了"LMmer均值〃，即

4（。/）=Yr±J，其中P为有理数•下列关系正确的是（）

A.A（a，，）B.4（a,6）NG（a,A）

C.D.Ln+1（a,b）＜Ln（a,b）

16.（2023•辽宁•三模）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为

"堑堵"；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为"阳马"，四个面均为直角三角形

的四面体称为"鳖膈"，如图在堑堵A2C-44C］中，ACHBC,且AA=AB=2.下列说法正

确的是（）

-----------------/-I

C

A.四棱锥B-AACG为"阳马"

B.四面体AACB的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为8万

2

c.四棱锥B-AACG体积最大值为：

D.四面体AGCB为“鳖腌”

17.（21-22高三上•湖北鄂州•期末）中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精

致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中

国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的

游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数

学曲线中的双纽线.曲线C：（f+产）2=9卜2一y2）是双纽线，则下列结论正确的是（）

A.曲线C的图象关于原点对称

B.曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）

C.曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都不超过3

D.若直线>=区与曲线C只有一个交点，则实数上的取值范围为

18.（23-24高二上•山东青岛•期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》

一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的

(

是

杨辉三角

行

第0

行

第11

行

第211

行

第3121

行

第41331

行14641

第5

行

第615101051

行

第71615201561

行

第8172135352171

行

第918285670562881

M

第1193684126126843691

第11104512021025221012045101

lfr115516533046246233016555111

A.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数

B.1+C；+C：+C；=C；

C.第2020行的第1010个数最大

D.第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为2:11

2025二轮复习专项精练3

聚焦热点情境，弘扬数学文化

【模拟精练】

一、单选题

1.（23-24高一上•山东青岛•期中）十七世纪，数学家费马提出猜想："对任意正整数

n>2,关于x，XZ的方程x"+y'=z"没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁

怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（）

A.对任意正整数2,关于尤,y，z的方程x"+y"=z"都没有正整数解

B.对任意正整数〃>2,关于x,y,z的方程x"+y"=z"至少存在一组正整数解

C.存在正整数〃W2,关于x，y，z的方程x"+y”=z”至少存在一组正整数解

D.存在正整数〃>2,关于％y,z的方程x"+y"=z"至少存在一组正整数解

2.（2024・四川成都•模拟预测）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科

研成果有“华氏定理""华氏不等式”“华氏算子""华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推

崇.他曾说："数缺形时少直观，形缺数时难入微"，告知我们把"数"与"形"，"式"与"图"结

合起来是解决数学问题的有效途径.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数

的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征.已知函数，=〃尤）的图象如图所

示，则/（x）的解析式可能是（）

A./（x）=3皿B./（x）=3co»C./（x）=RjD./（x）=l11

3.（2024・重庆•一模）英国著名数学家布鲁克・泰勒（TaylorBrook）以微积分学中将函数展

开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连

加式来表示一个函数，如：sinA=x-—+,其中加=lx2x3x…X”.根据该展

3!5!7!

开式可知，与2-々+二-2+…的值最接近的是（）

3!5!7!

A.sin2°B.sin24.6°

C.cos24.6°D.cos65.4°

4.（2024・宁夏•一模）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，

图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2,若

正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则

D.-472

5.（2023・湖北武汉•二模）"中国剩余定理"又称"孙子定理"，1852年英国来华传教士伟烈亚

力将《孙子算经》中"物不知数"问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符

合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，

“中国剩余定理"讲的是一个关于同余的问题.现有这样一个问题：将正整数中能被3除余

1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列｛%,｝,贝！］%＜）=（）

A.55B.49C.43D.37

6.（2024•陕西西安•一模）"中国剩余定理"又称"孙子定理"，最早可见于中国南北朝时期的

数学著作《胁子算经》卷下第二十六题，叫做"物不知数"，原文如下：今有物不知其数，

三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?现有这样一个相关的问题：被3

除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列｛%｝,记数列｛%｝的

前〃项和为S“，则至上色的最小值为（）

n

A.60B.61C.75D.76

7.（2024•黑龙江•二模）祖唯是我国南北朝时期伟大的数学家.祖晅原理用现代语言可以描

述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截

得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等".例如，可以用祖晒原理推导半球的体积

公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在

圆柱内挖去一个半径为R,高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面

的平面a去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几

何体的体积相等.若用平行于半球底面的平面。去截半径为R的半球，且球心到平面a的

距离为变R,则平面。与半球底面之间的几何体的体积是（

2

8.（22-23高三上•江西抚州•期中）数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e=&（其中

。=如二1）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为三_+1.=1,（°>6>0）,若以原

点。为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过尸作。。的两条

22

切线，切点分别为A3,直线A3与羽>轴分别交于M,N两点，则qb力+三a力=

|OM「|ON|-

（）

C.一。

9.（2024•辽宁沈阳•二模）我国古代典籍《周易》用"卦”描述万物的变化，每一"重卦"由从

下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻",和阴爻"------------"，如图就

是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，记事件A="取出的重卦中至少有1个阴爻"，事

件3="取出的重卦中至少有3个阳爻贝”国力=（）

10.（2024•内蒙古赤峰•一模）棣莫弗公式（cos%+i-sin%）〃=cos5x）+Lsin（〃x）（其中i为虚

数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数

兀..兀

cos—+isin—在复平面内所对应的点位于（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、多选题

11.（2024・湖北•模拟预测）对于正整数小。⑺是小于或等于〃的正整数中与〃互质的数

的数目.函数。⑺以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如夕（9）=6（1,2,4,5,7,8

与9互质），贝I（）

A.若〃为质数，则=〃-1B.数列｛夕（叫单调递增

C.数列l斌的最大值为1D.数歹|｛。（3"）｝为等比数列

12.（23-24高二上•江苏南京•阶段练习）由倍角公式cos2x=2cos2尤-1可知，cos2x可以表

示为cosx的二次多项式.一般地，存在一个w（〃eN*）次多项式

nl

P„（?）=ant"+an_lt~+---+a0（aQ,al,...,aneR）,使得cosnx=Pn（cosx）,这些多项式Pn（?）称

为切比雪夫（P.LTschebyscheff）多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得（）

A,《（r）=4/_3rB.^（r）=8r4-8r+l

C.cos54°=^^D.sin54°=^^-

64

13.（2024•江西宜春•三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波

罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A,B之间的距离为。（非零常数），动点M到

A,8的距离之比为常数4（2>0,且/wl）,则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆.在平

面直角坐标系中，已知A（T,0）,B（2,0）,点M满足1MAi=2|MB|,则下列说法正确

的是（）

A.AAA/B面积的最大值为12B.布的最大值为72

C.若Q（8,8）,贝”加4|+2|〃0的最小值为10口.当点M不在x轴上时，始终平分

ZAMB

14.（22-23高三上•山东潍坊•期中）斐波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂

纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为"兔子数列"，在现代物理、准晶体结构、化

学等领域都有直接的应用.在数学上，斐波那契数列被以下递推的方法定义:数列｛4｝满足：

q=%=1,。“+2=q+1+%SeN*）.则下列结论正确的是（）

A./=13B.。2023是奇数

C*Id?ICI3I******I^^2021^^2021^*2022D.“2022被4除的余数为0

15.（22-23高三下•湖南长沙•阶段练习）设a,6为两个正数，定义”,6的算术平均数为

A（a,6）=等,几何平均数为G（a,b）=«F,则有：G（a,b）＜A（a,b）,这是我们熟知的

基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家DHZMmer提出了"LMmer均值〃，即

4（。/）=Yr±J，其中P为有理数•下列关系正确的是（）

A.（«,/?）＜A（o,Z?）B.4（a,6）NG（a,A）

C.D.Ln+1（a,b）＜Ln（a,b）

16.（2023•辽宁•三模）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为

"堑堵"；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为"阳马"，四个面均为直角三角形

的四面体称为"鳖膈"，如图在堑堵A2C-44C］中，ACHBC,且AA=AB=2.下列说法正

确的是（）

-----------------/-I

C

A.四棱锥B-AACG为"阳马"

B.四面体AACB的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为8万

2

c.四棱锥B-AACG体积最大值为：

D.四面体AGCB为“鳖腌”

17.（21-22高三上•湖北鄂州•期末）中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精

致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中

国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的

游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数

学曲线中的双纽线.曲线C：（f+产）2=9卜2—y2）是双纽线，则下列结论正确的是（）

A.曲线C的图象关于原点对称

B.曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）

C.曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都不超过3

D.若直线>=区与曲线C只有一个交点，则实数上的取值范围为

18.（23-24高二上•山东青岛•期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》

一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的

(

是

杨辉三角

行

第0

行

第11

行

第211

行

第3121

行

第41331

行14641

第5

行

第615101051

行

第71615201561

行

第8172135352171

行

第918285670562881

M

第1193684126126843691

第11104512021025221012045101

lfr115516533046246233016555111

A.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数

B.1+C；+C：+C；=C；

C.第2020行的第1010个数最大

D.第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为2:11

参考答案:

题号12345678910

答案DACCABCACB

题号1112131415161718

答案ACDABDABDBCDACABDACDABD

1.D

【分析】由全称量词命题的否定的定义即可得解.

【详解】"对任意正整数〃>2,关于的方程x"+y"=z”没有正整数解”的否定为：

存在正整数〃>2,关于苍Xz的方程X"+/=z"至少存在一组正整数解.

故选：D.

2.A

【分析】利用指数函数、正弦函数的单调性、复合函数的单调性求解.

【详解】由函数图象可知，>=/（尤）的图象不关y轴对称，

Z1xcos（—X）Z1\COSX

而〃r）=3"'（T）=38s=〃x）,==/（力，

即这两个函数均关于，轴对称，则排除选项B、D；

由指数函数的性质可知y=3,为单调递增函数，y=为单调递减函数，

由y=sin元的图象可知存在一个极小的值%>0,使得y=sin尤在区间（0,』）上单调递增，

z1\sinx

由复合函数的单调性可知，小）=3加在区间（0,与）上单调递增，f（x）=!在区间

（0,x0）上单调递减，

由图象可知/（x）=3"nx符合题意，

故选：A.

3.C

【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断

即可.

【详解】原式=sin27sin（2x57.3°）=sin（900+24.6°）=cos24.6°,

故选：C.

4.C

【分析】根据尸的位置进行分类讨论，根据向量数量积运算求得正确答案.

【详解】设Q,府=0,

当尸与A重合时，APAB=0;

当尸在线段AB（除A）、线段2C、线段CD,线段。E,线段EF（除P）点上运动时，

0<6»<^,cos6»>0,所以而通=网•网cosd>0,

当p与斤重合时，0=^,所以福•丽=|再5H词-cose=o,

以A为原点，AB>AF分别为羽丁轴建立平面直角坐标系，

根据正八边形的性质可知A尸=2+12xsin：]x2=2+20,2cos：=夜，

则*0,2+2&）,3卜后,2+四）,”卜亚,后）,网2,0）,

直线6尸的方程为丫=》+2+20,直线GH的方程为彳=一应，直线A”的方程为

y=r,

当尸在线段GF（除尸）上运动时，设尸1,x+2+2@卜夜<x<0）,

所以而.通=k，x+2+2&>（2,0）=xe[-&,0）,

当尸在线段GH上运动时，设尸卜夜,。（五W区友+2）,

所以Q.35=b&,）（2,0）=-2&,

当P在线段AH（除A）上运动时，设尸（X,-尤乂-血4尤<0）,

所以Q.通=（x,T）•（2,0）=2xe[-2>/2,0）.

综上所述，丽.屈的最小值为-2亚.

故选：C

5.A

【分析】由条件写出通项公式，即可求解.

【详解】正整数中既能被3除余1且被2除余1的数，即被6除余1,那么

an=l+（〃-l）x6=6〃-5,有％0=55.

故选：A

6.B

【分析】先由〃两个等差数列的公共项构成的新的等差数列的公差为两个等差数列公差的最

小公倍数"得S“，再由基本不等式求得义士色的最小值.

n

【详解】被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为

8,公差为15的等差数列｛叫,

匚匚“con(n-V)1521

所^以Sn—8nH---——x15=H+—n

1+L+60

团2s“+6022)1c601、chu60/1，

=15HH----Fl>2J15〃----Fl1=61

nnnvn

当且仅当15〃==，即〃=2时取等号,

n

回当〃=2时25,1+60取最小值为61.

n

故选：B.

7.C

【分析】分别求得面。截圆锥时所得小圆锥的体积和平面。与圆柱下底面之间的部分的体

积，结合祖迪原理可求得结果.

【详解】•・•平面。截圆柱所得截面圆半径

平面a截圆锥时所得小圆锥的体积乂，皿2・显R=&K,

13212

又平面a与圆柱下底面之间的部分的体积为匕=兀炉=

222

根据祖晅原理可知：平面a与半球底面之间的几何体体积

故选：c.

8.A

【分析】根据题意。、4P、3四点在以。尸为直径的圆上，可设点尸坐标为尸(七,%),

从而得出四点所在圆的方程为x(x-Xo)+y(y-%)=O,利用两圆方程之差求得切点A、B

所在直线方程，进而求得M、N两点坐标即可解决本题.

【详解】依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为尸(%,%),则该圆的方程为：

x(x-%o)+y(y-yo)=O,

将两圆方程：/+9=〃与/一/方+/-%》=。相减，得切点所在直线方程为

2

lAB:xx0+yyQ=bf解得M任,o],A^fo,—|,因为可+m=1,所以

1%)IyGJ〃。

/g2b-a1_b2^+a2ylcrb1a2_121

+|ON|2一8+9

x；y；

故选：A

9.C

【分析】根据条件概率的公式，分析P(A),P(AB)求解即可.

【详解】P(A)="=臾，事件AB="取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1

2664

阴”，

故选：C

【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案.

71..71271..2711Vj.

【详解】cos—+isin—=cos—+1-sin—=——+

32

在复平面内所对应的点为,在第二象限.

故选：B.

11.ACD

【分析】利用新定义，结合数列的单调性和等比数列的定义逐个判断即可.

【详解】因为“为质数，故小于或等于”的正整数中与〃互质的数的数目为“-1,此时

(p(ri)=n-l,故A正确.

因为飘6)=265)=4,所以向6)<°(5),故数列｛9⑺｝不是单调递增，故B错误.

小于等于2■的正整数中与2■互质的数为1,3,5,…2-1,数目为2"一犷=2"T，

HYIn

所以^^二不才在〃£曰时递减，故当〃=1时，数列｛f、｝的最大值为1,故C正确.

。(2)2。(2)

小于等于3"的正整数中与3"互质的数的数为1,2,4,5,…,3"-2,3"-1,数目为

3"-3"T=23一，

故"(3")=2.3"T,而需5=3,故数列加(3")｝为等比数列，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：从质数定义入手，结合题目信息，逐步解答.

12.ABD

【分析】根据两角和的余弦公式，以及二倍角的正余弦公式化简可得

COS3X=4COS3X-3COSX,根据定义即可判断A项；根据二倍角公式可推得

^(COSX)=8COS4X-8COS2X+1,即可得出B项；根据诱导公式以及A的结论可知，

cos54°=4cos318°-3cos18°，sin54°=cos36°=2cos218°-1.平方相加，即可得出

cos218°=^^,进而求出D项；假设C项成立，结合D项，检验即可判断.

8

【详解】对于A：cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx

=(2cos2x-l)cosx-2cosxsin2x=(2cos2x-l)cosx-2cosx(l-cos2%)

=4cos3%—3cosx・

由切比雪夫多项式可知，cos3x=/^(cosx),

gp75(cosx)=4cos3x-3cosx.

令％=cos%,可知月⑺=4-一3/,故A正确；

对于B：cos4x=cos(2x2x)=2cos22x-l=2x^2cos2x-1)2-1=8cos4^-8cos2x+1.

由切比雪夫多项式可知，cos4%=4(cos九)，

即Z^(COSX)=8COS4X-8COS2X+1.

令％=cos%,可知乙(。=8/一8〃+1,故B正确；

对于D：因为36。=2><18。，54°=3x18°,

根据Acos3x=4cos3x-3cosx，可得cos540=4cos”80-3cosl80，

COS36°=2COS2180-1.

又cos36°=sin54°，所以cos236°+cos254°=sin254°+cos254°=1,

所以（4COS3180-3COS18°）2+（2COS2180-1）2=1.

^r=cosl8°>0,可知（4/_3f）2+（2/-iy=1,

展开即可得出16--20〃+5/=0,

所以16-一20〃+5=0,解方程可得r=21.

8

因为/=8$18°>8$30°='^,所以，=5*百,

28

所以COS36°=2COS218°—1=2X^^—1=^^,

84

所以sin54。=cos36。=好口，故D正确；

4

对于C：假设cos54。=好把，

6

因为sin54。=叵也，

4

贝I]sin254°+cos254°=wl,

显然不正确，故假设不正确，故C错误.

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：根据题意多项式的定义，结合两角和以及二倍角的余弦公式，化简可

求出用（COSX）,月（COSX）,换元即可得出心⑺出⑺.

13.ABD

【分析】设点M（x，y）,由条件可得点M的轨迹方程，即可判断A,由向量数量积的运算律

代入计算，即可判断B,由点与圆的位置关系，即可判断C,由角平分线定理即可判断D

【详解】对于A,设点M（x,y）,由|M4|=2|MB|,得依+钎+/=2j（x-2）?+丁,

化为食-4尸+9=16,所以点M的轨迹是以点（4,0）为圆心、4为半径的圆，

所以AAMB面积的最大值为!IA3|r=[x6x4=12,故A正确；

22

对于B,设线段A2的中点为N,

丽丽=（丽+丽.（丽+丽=|砺T-|M|2<（8+l）2-（-l+4）2=72,

当点M的坐标为（8,0）时取等号，故词.诙的最大值为72,故B正确；

对于C,显然点。（8,8）在圆外，点3（2,0）在圆内,

|A£4|+2|M2|=2|MB|+2\MQ\=2(\MB\+\MQ\)>2\B^=2^(8-2)2+82=20，当B,M,Q三

点共线且点M在线段BQ之间时，(1^41+21^21)^=20,故C错误；

对于D,由|。4|=4,\OB\=2,有粤=2=黑，当点M不在x轴上时，

由三角形内角平分线分线段成比例定理的逆定理知，M。是AAMB中N/WB的平分线，故

D正确.

故选：ABD.

14.BCD

【分析】A:直接法写出第8项即可；

B:数列有3的倍数项为偶数,其他项为奇数的规律，用数学归纳法证明即可;

C:只需证明+公++……+a；=anan+1即可，用数学归纳法证明；

D：用数学归纳法证明6的倍数项为4的倍数即可.

【详解】解:由题知，关于选项A,：q=%=l,

..。3=2,=3,=5,=8,ci-j—11,=19,

故选项A错误；

关于选项B,3的倍数项为偶数,其他项为奇数，下面用数学归纳法证明：

①当九=1,2,3时,ax—a2=l,a3=2,满足规律，

②假设当n=3k-3,3k-2,3k-1时满足q-为偶数,%j，为奇数，

③当〃=3左,3左+1,34+2时，

=a

a3ka3k—2+3k-\/Q。3b2,为奇数"必为偶数,

a=aa

3k+l3k-\+。3左/Q3k-\为奇数,〃3女为偶数,,〃3左+1为奇数,

aa

3k+2=a3k+3k+\>Q。3左+1为奇数,a3k为偶数,，aik+2为奇数,

故3的倍数项为偶数,其他项为奇数得证，

2023项是非3的倍数项,故选项B正确；

关于选项C,有+忧+.+……+寸=anan+x成立，用数学归纳法证明如下:

①当〃=1时,%?=1=4.%，满足规律,

②假设当〃二%时满足+〃；+〃；+...+城=%%+i成立，

③当〃=左+1时，

〃；+〃；+〃；+...+#+al+\=akak+\+at+\

=%（%+%+】）

=ak+iak+2

成立，满足规律，

故a；+a；+a；+.......+°；=。,0用,

令“=2021,

则有%~+药+/+...+°2021=。2021%022成“，

故选项C正确；

关于选项D,有％能被4整除成立，用数学归纳法证明如下：

①当〃=6时=8，满足规津

②假设当〃=6左时,满足为i=4九〃zeZ

③当“=6（左+1）时，

4（"1）="6A+6=&6k+5+a6k+4

=2%左+4+a6k+3

=3〃6k+3+2a6k+2

~5。6%+2+3。6%+1

=8%A+1+5a6k

=8&z+i+20m

=4（2%+5加）

Qa6jt+1,meZ

•••。“+6能被4整除得证，

。2022=。6*337,，，“2022能被4整除得证,

故选项D正确.

故选:BCD

15.AC

【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项.

［详解］对于A选项，4.5（。，6）=半邛=而〈审=4（。力）,

当且仅当4=〃时，等号成立，故A正确;

—+—

ab

当且仅当。=〃时，等号成立，故B错误；

对于C选项，

222

/.\a?+Z?Q?+/?2+Q?+Z?a?+/?+2ab（a+Z?）2a+Z?/.

2（"'）=^7T=~2（^b）—2（a+b）=2（〃+»=亍

当且仅当。=〃时，等号成立，故C正确；

对于D选项，当”=1时，由C可知，，（凡6）2彳=4（°,6）,故D错误.

故选：AC.

16.ABD

【分析】根据"阳马"和"鳖膈"的定义，可判断A,D的正误；当且仅当AC=3C时，四棱锥

B-AACG体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意找到四面体AACB的外接球的

球心位置，求出外接球半径，利用球的表面积公式即可得到判断B.

【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为"堑堵"，

团在堑堵ABC-A4G中，AC_L3C,侧棱A41_L平面ABC,

对A选项，13AAi