二次函数中几何存在性的问题（原卷版）-2022年中考数学复习专项突围训练（全国版）

备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）

专题17二次函数中几何存在性的问题

【典型例题】

I.（2022・全国•九年级专题练习）抛物线G：y=-；x2-；x+2交x轴于/、8两点（点/在点3的右

侧），与y轴交于点C.

⑴求8两点的坐标.

⑵加■为平面内一点，将抛物线。绕点M旋转180。后得到抛物线。2，。2经过点/且抛物线。2上有一点尸,

使△BCP是以乙8为直角的等腰直角三角形.是否存在这样的点〃？若存在，求出点〃的坐标，若不存在,

说明理由.

【专题训练】

一、解答题

3

1.（2022・全国•九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y="2+/x+c（a*0）与x轴相

交于4,2两点，与y轴交于点C,2点坐标为（4,0）,C点坐标为（0,2）.

⑴求该抛物线的函数表达式；

⑵点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PF\\x轴交直线BC于点F,过尸作PE\\y轴交直线BC

于点E,求线段EF的最大值及此时P点坐标；

⑶将该抛物线沿着射线NC方向平移坐个单位得到新抛物线丹N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角

坐标系中是否存在点。，使以点8、C、。、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点。点的坐标;

若不存在，请说明理由.

2.（2022,全国•九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ox2+6x-3交x轴于/、2两点

（点/在点3的左侧），交y轴于点£,一次函数y=x+l与抛物线交于/、。两点，交y轴于点C,且。

(4,5).

⑴求抛物线的解析式；

⑵若点尸是第四象限内抛物线上的一点，过点作尸交4D于点。，求尸。的最大值以及相应的尸点坐

标；

⑶将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点

R,M点在原抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点N,使得以点/、R、M、N为顶点的四边形是矩形？

若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由.

3.(2022•全国•九年级专题练习)如图，平面直角坐标系中，抛物线〉="2+云+3与x轴分别交于/(-1,

0),8两点，与y轴交于点C,直线y=-x+〃经过8、C两点.点。为第一象限内抛物线上一动点，过点

。作。Elly轴，分别交x轴，BC于点、E,F.

⑴求直线BC及抛物线的表达式；

⑵点。在移动过程中，若存在乙DCF=Z^C。，求线段的长；

⑶在抛物线上取点在坐标系内取点N,问是否存在以C、B、M、N为顶点且以CB为边的矩形？如果

存在，请直接写出点〃的坐标；如果不存在，请说明理由.

4.（2022•全国•九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线Ly=ax2+c与x轴相交于/、台两

点，顶点C（0,2）.4B=2&.点”（加，0）是x轴正半轴上一点，抛物线工关于点M对称的抛物线为

L'.

⑴求抛物线c的函数表达式；

⑵点P是第一象限抛物线L上一点，点尸到两坐标轴的距离相等，点尸在抛物线〃上的对应点为P.设E

是抛物线工上的动点，£'是点£在抛物线V上的对应点，试探究四边形PEPE'能否成为正方形.若能，求

出俏的值；若不能，请说明理由.

5⑵22•全国•九年级专题练习）如图‘抛物线尸事2-与「6与x轴交于点/和点2,与'轴交

于点C,经过点C的直线/与抛物线交于另一点E（4,a）,抛物线的顶点为点。，抛物线的对称轴与无轴

交于点D

⑴求直线CE的解析式.

⑵如图2,尸为直线CE下方抛物线上一动点，直线CE与x轴交于点尸，连接尸RPC.当尸的面积最

大时，求点尸的坐标及APC尸面积的最大值.

(3)如图3,连接CD,将(1)中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线了经过点。，V的顶点为点〃，在

直线。〃上是否存在点G,使得△OQG为等腰三角形？若存在，求出点G的坐标.

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6.(2022・全国•九年级专题练习)如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线尸l：y=a(x-y)?+后■与

⑴求抛物线尸1的表达式；

⑵如图2,将抛物线尸1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线尸2,若抛物线凡与抛物线

B相交于点。，连接8。，CD,BC.

①求点。的坐标；

②判断△BCD的形状，并说明理由；

⑶在（2）的条件下，抛物线尸2上是否存在点尸，使得△8OP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐

标；若不存在，请说明理由.

4

7.（2022•全国•九年级专题练习）如图，二次函数y=1x2+6x+c的图象与x轴交于/（3,0）,5（-1,

0）,与〉轴交于点C.若点P,。同时从4点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿4C边运动,

其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.

⑴直接写出二次函数的解析式；

⑵当P,0运动到f秒时，将A4P。沿尸。翻折，若点N恰好落在抛物线上。点处，求出。点坐标；

⑶当点尸运动到3点时，点。停止运动，这时，在x轴上是否存在点E,使得以/,E,。为顶点的三角形

为等腰三角形？若存在，请直接写出£点坐标；若不存在，请说明理由.

8.（2022•全国•九年级专题练习）如图，抛物线y=N+6x-1与x轴交于点B（点/在点2的左侧），

交y轴于点C,顶点为。，对称轴为直线x=-6，连接NC,BC.

⑴求抛物线的解析式；

⑵求A42C的面积；

⑶在抛物线的对称轴上是否存在点E,使得△CDE为等腰三角形？如果存在，请直接写出点£的坐标，如

果不存在，请说明理由.

9.（2022•全国•九年级专题练习）如图，抛物线y=aN+6x+c（"0）与x轴交于2两点，与y轴交于

点C（0,3）,点/的坐标是（3,0）,抛物线的对称轴是直线x=l

备用图

⑴求抛物线的函数表达式；

⑵若点尸为第四象限内抛物线上一点，且aPBC是直角三角形，求点尸的坐标；

⑶在（2）的条件下，在直线2c上是否存在点0,使4QB—CPB,若存在，求出点0坐标：若不存在,

请说明理由.

10.（2022・全国•九年级专题练习）如图，抛物线>="2+云+。经过N（-1,。），8两点，且与y轴交于

⑴求抛物线的函数表达式；

⑵抛物线与直线y=-X-1交于4、E两点,尸点在x轴上且位于点8的左侧，若以尸、B、C为顶点的三

角形与ZU5E相似，求点尸的坐标；

（3）/是直线2C上一动点，M为抛物线上一动点，若尸为等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标.

11.（2022・全国•九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y="2+6x+c（疗0）与x轴交于

点/、B,与y轴交于点C,且0c=2O8=66M=6,点尸是第一象限内抛物线上的动点.

⑴求抛物线的解析式;

⑵连接BC与。P，交于点。，当&尸CD：&OOC的值最大时，求点尸的坐标；

⑶点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点〃、点N.使NCMN=90。，且ACMN与ABOC

相似，若存在，请求出点河、点N的坐标.

12.（2022•全国•九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x-3的图象与x轴交于点/,

与y轴交于点8,二次函数y=-x2+6x+c的图象经过点/和点C（0,3）.

⑴求点B坐标及二次函数的表达式；

⑵如图1,平移线段NC,点/的对应点。落在二次函数在第四象限的图象上，点C的对应点E落在直线

AB1.,直接写出四边形NCEA的形状，并求出此时点。的坐标；

⑶如图2,在（2）的条件下，连接⑦，交x轴于点M,点P为直线CD上方抛物线上一个动点，过点尸

作尸尸lx轴，交CD于点凡连接尸C,是否存在点尸，使得以P、C、尸为顶点的三