二次函数【考点讲义】（解析版）

专题11二次函数

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■■■■■•♦■I蕈.二次件，量..

二次函数

■.♦■V二：：.!考点3:二次由故与方程、不等式的关系

U知识整理

1.二次函数的定义

形如y=〃N+法+c"c是常数,存0)的函数，叫做x的二次函数.

2.二次函数>=加+"+。(〃?0)的图象和性质

函数二次函数y=aj^+bx+c(a,b,c为常数，〃加)

a>0a<0

十

图象T^fv

①当«>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸.①当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸.

bb

②对称轴是%=--，顶点坐标是②对称轴是%=--，顶点坐标是

2a2a

性质

(b4ac-b2^'b4ac-b2

，.，•

12〃4a)I2〃4a)

bb

③在对称轴的左侧，即当x<———时,y随x的增大③在对称轴的左侧，即当x<——时,y随x的增大而

2a2a

bb

而减小;在对称轴的右侧，即当Q——时,y随x增大;在对称轴的右侧，即当Q——时J随X的增

2a2a

的增大而增大，简记为左减右增.大而减小，简记为左增右减.

bb

④抛物线有最低点，当产-时,y有最小值,y最小④抛物线有最高点，当—-时,y有最大值,y最大值

2a2a

4ac-b2_4ac-b2

值―/•

4a4a

3.抛物线y=a（x-/?）2+A与,=加的关系

（1）二者的形状相同，位置不同,尸。（尤力）2+左是由y=加通过平移得来的，平移后的顶点坐标为仇的.

（2）yuczx2的图象

当力>0时向右平移1个单位、

当分<0时向左平移1/（I个单位

y=a（x-/i）2的图象

当A>0时向上平移k个单位

当』<0时向下平移I川个单位,

y=a（x-hy+k的图象.

4.二次函数的解析式的确定

要确定二次函数的解析式，就是要确定解析式中的待定系数（常数）：

（1）当已知抛物线上任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式：y=af+bx+c（存0）;

（2）当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式：y=a（x-h）2+k（a^.

5.二次函数与一元二次方程的关系

二次函数的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.当图象与

无轴有交点时，令y=0,解方程af+6x+c=0就可求出与无轴交点的横坐标.

/\=b2-4ac加+h+0二。的根抛物线广加+bx+c与1轴的交点

A>0两个不相等的实数根两个交点

△=0两个相等的实数根一个交点

A<0无实数根无交点

6.二次函数与不等式的关系

设抛物线y=ax2+bx+c（a>0）^x轴交于（尤1,0）,（私0）两点，其中xi<X2,则不等式ax2+bx+c>0的解集为x>xi

或x<xi,不等式ax1+bx+c<Q的解集为x\<x<xi.

Q考点讲解

【考点1］二次函数的图象和性质

【例1】（函数图像）（2022•湖北武汉）二次函数>=（无的图象如图所示，则一次函数y依+〃的

图象经过（）

o\\7r

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

【答案】D

【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出m<0,n<0,即可得出一次函数尸的图象经过二、三、

四象限.

【详解】解：：抛物线的顶点（如，〃）在第四象限，

-777>0,«<0,

•••一次函数的图象经过二、三、四象限，故选：D.

【例2】（函数性质1）（2022・陕西）已知二次函数y=f-2x-3的自变量不，%,尤3对应的函数值分别

为%,内，%.当一1<%<0,1<弓<2,三>3时，%,%，为三者之间的大小关系是（）

A.%<为<%B.%<%<兄C.%<%<%D.%<%<%

【答案】D

【分析】先将抛物线配成顶点式，求出对称轴为x=l，再求出抛物线与x轴的两个交点坐标为（-L0）和（3,0）,

根据开口向上即可判断.

【详解】解：,•・抛物线y=d-2x-3=（x-l）2-4,

对称轴x=l,顶点坐标为（L-4）,

当>=0时，（X-1）2-4=0,

解得x=—1或x=3,

抛物线与x轴的两个交点坐标为：（-1,0）,（3,0）,

.•.当一1<尤1<0,£>3时，％<%<%，故选：D.

【例3】（函数性质2）（2022・湖南郴州）关于二次函数y=（尤-1）,+5,下列说法正确的是（）

A.函数图象的开口向下B.函数图象的顶点坐标是（-1,5）

C.该函数有最大值，是大值是5D.当X>1时，y随尤的增大而增大

【答案】D

【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可.

【详解】解：对于尸（X-1）2+5,

故抛物线开口向上，故A错误；

顶点坐标为（1,5）,故B错误；

该函数有最小值，是小值是5,故C错误；

当x>l时，y随彳的增大而增大，故D正确，故选：D.

抛物线y=ajc+bx+c中a,b,c的作用

（1）。决定开口方向及开口大小，这与〉=加中的。完全一样.

〃>0时，抛物线开口向上；。<0时，抛物线开口向下；。的绝对值越大，开口越小.

b

（2）b和〃共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线产加+云+c的对称轴是直线％=——，故：①氏0

2a

b

时，对称轴为y轴；②％=---->0（即〃力同号）

2a

b

时，对称轴在y轴左侧；③了二——<0（即a,b异号）时，对称轴在y轴右侧.（口诀:“左同右异”）

2a

【注意问题】

（1）二次函数的图象与系数的关系；

（2）会利用对称轴的范围求2a与6的关系，以及二次函数与方程之间的转换.

金蹑摘训蚓

h

1.（2022.广西）已知反比例函数丁二-3。0）的图象如图所示，则一次函数y=u-和二次函数

y=ax2+b%+c（aw0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

【分析】先由反比例函数图象得出6>0,再分当〃>0,。<0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的

选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案.

【详解】解：•・,反比例函数>，（"（））的图象在第一和第三象限内，

x

：.b>0,

b

若〃<0,PW-->0,所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；

2a

h

当〃>0,贝人/<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由

2a

C、D两选图象知，c<0,

又则-a<0,当c<0,〃>0时，一次函数产ex-。图象经过第二、第三、第四象限，

故只有D选项符合题意.故选：D.

2.（2022.江苏泰州）已知点（-3,%）,（-!,力）,（1,%）在下列某一函数图像上，且％<%<%那么这个函数是（）

°33

A.y=3尤B.y=3x2C.y=~D.y=—

无x

【答案】D

【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出刃、"、”的值，比较大小即可得出答案.

【详解】解：A.把点（-3,*）,（-1,%），（1，必）代入产3O解得”=-9,”=-3,以=3,所以9勺2勺3,这与已知

条件为不符，故选项错误，不符合题意；

B.把点（-3,%）,（-1,%），（1，%）代入产3/,解得丁尸27,”=3,竺=3,所以9>》2=”，这与已知条件为<%<必

不符，故选项错误，不符合题意；

3

C.把点（一3,%）,（-1,%）,。,%）代入y=—，解得竺=1,”=-3,”=3,所以丁2勺/勺3,这与已知条件为<%<必

不符，故选项错误，不符合题意；

3

»・把点（一3,%）,（-1,%）,（1,%）代入产-（，解得丁尸1,”=3,”=-3,所以为<X<%，这与已知条件为<X<%

相符，故选项正确，符合题意；故选：D.

3.（2022•山东威海）如图，二次函数（存0）的图像过点（2,0）,下列结论错误的是（）

A.b>0

B.a+b>。

C.x=2是关于x的方程〃%2+版=（）（存o）的一个根

D.点（羽，yj）,（%2,>2）在二次函数的图像上，当制>工2>2时，p2〈刃〈0

【答案】D

【分析】根据二次函数的图像和性质作出判断即可.

【详解】解：根据图像知，当％=1时，y=a+b>Of

故B选项结论正确，不符合题意，

9.,a<0,:.b>0,故A选项结论正确，不符合题意；

b

由题可知二次函数对称轴为x==

2a

「./?=—2a,:.a+b=a—2a=—a>0,

故B选项结论正确，不符合题意；

根据图像可知x=2是关于x的方程加+Zzx+c=O（"O）的一个根，

故C选项结论正确，不符合题意，

若点（孙外），（4，%）在二次函数的图像上，

当网>尤2>2时，％<%<。，故D选项结论不正确，符合题意，故选：D.

4.（2022•四川自贡）已知A（-3,-2）,8（1,-2）,抛物线丫=点^+以+以〃）。）顶点在线段凡8上运动，形状保

持不变，与无轴交于C,。两点（C在。的右侧），下列结论：

①ch2；②当无>0时，一定有y随尤的增大而增大；

③若点。横坐标的最小值为-5,点C横坐标的最大值为3；

④当四边形A3。为平行四边形时，fl=1.其中正确的是()

A.①③B.②③C.①④D.①③④

【答案】D

【分析】根据顶点在线段上抛物线与y轴的交点坐标为(0,C)可以判断出C的取值范围，可判断①；

根据二次函数的增减性判断②；先确定时，点。的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求

出此时点C的横坐标，即可判断③；令产0,利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CO的长度的表达式,

然后根据平行四边形的对边平行且相等可得然后列出方程求出。的值，判断④.

【详解】解：：点42的坐标分别为(-3,-2)和(1,-2),

线段4B与y轴的交点坐标为(0,-2),

又：抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0,c),

：.€>-2,(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；

•••抛物线的顶点在线段上运动，开口向上，

...当x>l时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；

若点D的横坐标最小值为-5,则此时对称轴为直线x=-3,

根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3,故③正确；

令y=0,贝!Jax2+bx-^c=0,

hc

设该方程的两根为XI,X2,则,X1X2=一，

aa

CD2^X1-X2)2=(X1+X2)2-4xiX2=(--)2_4X£=-——,

aaa

根据顶点坐标公式，4砒*=一2,

4〃

V四边形ACDB为平行四边形，

ACD=AB=1-(-3)=4,

Q1

.•.2=42=16,解得故④正确;

a2

综上所述，正确的结论有①③④.故选：D.

5.（2022.贵州黔东南）在平面直角坐标系中，将抛物线y=f+2x-l先绕原点旋转180。，再向下平移5

个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是.

【答案】。，一3）

【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”

的法则进行解答即可.

【详角单】解：y=xr+2x-l=（x+l）2-2,

•••抛物线的顶点为（-1,-2）,

将抛物线y=f+2x-l先绕原点旋转180。抛物线顶点为（1,2）,

旋转后的抛物线为y=-（彳-1）2+2,

再向下平移5个单位，＞=一（无一1）2+2-5即＞=-（》-1）2-3.

；・新抛物线的顶点（1,-3）

故答案是：（1,-3）.

【考点2］二次函数的平移

【例4】（2022•广西玉林）小嘉说：将二次函数＞=/的图象平移或翻折后经过点（2,0）有4种方法:

①向右平移2个单位长度②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度

③向下平移4个单位长度④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度

你认为小嘉说的方法中正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题.

【详解】解：①将二次函数y=Y向右平移2个单位长度得到：y=(x-2)2,把点(2,0)代入得：y=(2-2)2=0,

所以该平移方式符合题意；

②将二次函数＞=/向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：y=(x-l)2-1,把点(2,0)代入

得：y=(2-l)2-l=0,所以该平移方式符合题意；

③将二次函数y=Y向下平移4个单位长度得到：y=x2-4,把点(2,0)代入得：＞=2?-4=0,所以该平移

方式符合题意；

④将二次函数＞=/沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：y=-x2+4,把点(2,0)代入得：

y=-22+4=0,所以该平移方式符合题意；

综上所述：正确的个数为4个；

故选D.

图像平移规律：由函数尸M平移得到尸Z(X-/7)2+Z满足”值正右移，负左移；左值正上移，负下移”，

概括成八个字，即：“左加右减，上加下减

金蹑颛酗

1.(2022•内蒙古通辽)在平面直角坐标系中，将二次函数＞=(尤-1丫+1的图象向左平移1个单位长度，再

向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为()

A.y=(x-2)2-lB.y=(x-2)2+3C.y=x2+lD.y=x2-l

【答案】D

【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.

【详解】解：将二次函数y=(x-iy+l的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函

数的解析式为y=(尤-1+叶+1-2=/-1故选D.

2.(2021.上海中考真题)将抛物线》=依2+陵+«。工0)向下平移两个单位，以下说法错误的是()

A.开口方向不变B.对称轴不变C.y随x的变化情况不变D.与y轴的交点不变

【答案】D

【分析】根据二次函数的平移特点即可求解.

【详解】

将抛物线丁=公2+bx+c("HO)向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变化情况不变;

与y轴的交点改变

故选D.

3.(2020•绥化)将抛物线y=2(x-3)2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物

线的解析式是()

A.y=2(x-6)2B.y=2(x-6)2+4

C.y—2rD.j=2r2+4

【答案】C

【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.

【详解】将将抛物线y=2(x-3)2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y=2(尤-3+3)2+2,

即尸2?+2；

再向下平移2个单位为：y=2f+2-2,即y=2?.

故选：C.

4.(2022.黑龙江牡丹江)把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平

移后抛物线的解析式为.

【答案】＞=2/+4尤或〉=25+1)2-2(答出这两种形式中任意一种均得分)

【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答.

【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为:

y=2(x+1)2,即y=2(x+1)2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2(x+1)2向下平移2个单位长度

所得抛物线的解析式为：y=2(x+1)2-2,即y=2(x+1)2-2.

故答案为y=2(x+1)2-2.

【考点3】二次函数与方程、不等式的关系

【例5】(2021•广西中考真题)如图，已知抛物线＞=办2+。与直线"h+相交于4-3,%),8(1,%)两点,

则关于尤的不等式ox?+cN-日+机的解集是()

y

A.xW-3或xNlB.x<-l^x>3C.-3<x<lD.-l<x<3

【答案】D

【分析】

将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关

系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可.

【详解】

y-kx+m=-Ax+相关于y轴对称

抛物线y=ax2+c的对称轴为y轴，

因此抛物线y=以2+。与直线>=析+机的交点和与直线>=-依+机的交点也关于y轴对称

设丁=-履+"2与〉=办2+。交点为4'、8'，则A'（T，%），8'（3，X）

•「ax2+c>—kx+m

即在点A'、8'之间的函数图像满足题意

or?+c2—履+能的解集为：一14x43

故选D.

【例6】（2022.黑龙江大庆）已知函数、=m/+37以+根-1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数相的

值为.

4

【答案】1或-]

【分析】函数图象与坐标轴恰有两个公共点，则分两种情况：第一种情况，函数图象过原点；第二种情况,

函数图象与x轴只有一个交点，分别计算即可

【详解】当函数图象过原点时，函数、=蛆2+3蛆+根-1的图象与坐标轴恰有两个公共点，

此时满足"2-1=0,解得m=1;

当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时，

2,4

此时满足A=（3根=0,解得〃?=0或"?=-1，

当帆=0是，函数变为y=T与y轴只有一个交点，不合题意；

4

综上可得，%=1或加=-1时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点.

4

故答案为：1或

规涉渔

一元二次方程和二次函数的区别与联系

(1)求二次函数>=渥+6彳+。(a,b,c是常数，#0)与尤轴的交点坐标，令y=0,BPar+bx+c=G,解关于

尤的一元二次方程即可求得交点横坐标.

(2)二次函数产办^bx+c(a,b,c是常数，(#0)与x轴的交点和一元二次方程办^Zzx+cR的根之间的

关系：

N=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数.

①AnAWc〉。时，抛物线与x轴有2个交点；

②A=b2_4ac=0时，抛物线与尤轴有1个交点；

@A=&2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

(3)二次函数的交点式：y^a(x-xi)(x-X2)(.a,6,>是常数，存0),可直接得到抛物线与x轴的交点坐标(如

0),(%2,0).

软跟颐II睡图

1.(2021.贵州中考真题)已知直线、=履+2过一、二、三象限，则直线>=履+2与抛物线y=f一2X+3

的交点个数为()

A.0个B.1个C.2个D.1个或2个

【答案】C

【分析】

先由直线>=辰+2过一、二、三象限，求出发>0,通过判断方程Y-2x+3=fcc+2实数解的个数可判断直

线、=履+2与抛物线y=/-2x+3交点的个数.

【详解】

解：..•直线、=履+2过一、二、三象限，

Q0.

由题意得：x2—2x+3=fcv+2,

即％2—（2+左）x+l=O,

：△=[-（2+左）1-4=4%+QO,

二此方程有两个不相等的实数解.

.♦•直线V=&+2与抛物线y=尤2_2X+3的交点个数为2个.

故选：C.

2.（2021•黑龙江中考真题）已知函数y=依2一（。+1）%+1,则下列说法不正确的个数是（）

①若该函数图像与x轴只有一个交点，则。=1

②方程依2—（a+1）X+1=0至少有一个整数根

③若,则丁=加-（a+l）x+l的函数值都是负数

④不存在实数“，使得⑪2-（o+l）x+lW0对任意实数x都成立

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

对于①：分情况讨论一次函数和二次函数即可求解；

对于②：分情况讨论。=0和存0时方程的根即可；

对于③：已知条件中限定a并且。＞1或。＜0,分情况讨论或。＜0时的函数值即可；

对于④：分情况讨论«=0和时0时函数的最大值是否小于等于0即可.

【详解】

解：对于①：当。=0时，函数变为y=-尤+1,与x只有一个交点，

当今。时，D=（a+l）J4a=（。-1）2=0,。=1,

故图像与x轴只有一个交点时，“=1或。=0,①错误；

对于②：当。=0时，方程变为-x+l=O,有一个整数根为x=l,

当存0时，方程苏-（。+1）*+1=0因式分解得到：⑷-1）（尤-1）=0,其中有一个根为x=l,故此时方程

至少有一个整数根，故②正确；

对于③：由已知条件工＜尤＜1得至UaRO,且a＞l或a＜0

a

当。＞1时，y=（。+1卜+1开口向上，对称轴为k竺^^+上，自变量离对称轴越远，其对应的函

2a22a

数值越大，

1

.--+11

・a___H，

222。

.•.x=Lx=l离对称轴的距离一样，将x=l代入得至仃=。，此时函数最大值小于0；

a

当。<0时，丫=62-（。+1）尤+1开口向下，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，

•♦・X=1+；时，函数取得最大值为y=40-9+1）2=一。2+2"1=_"立，

22a-4a4a4a

Va<0,

.••最大值-如立>0,即有一部分实数X,其对应的函数值y>0,故③错误；

4。

对于④：。=0时，原不等式变形为：-X+1V0对任意实数X不一定成立，故。=0不符合；

<#0时，对于函数>=依2-（a+l）x+l,

当。>0时开口向上，总有对应的函数值y>0,此时不存在a对公2-（。+1）彳+140对任意实数x都成立；

当«<0时开口向下，此时函数的最大值为4〃一①+1）2=―〃+2a_1=_丝工,

4〃4a4a

•「aVO,

.•.最大值一心立>o,即有一部分实数尤，其对应的函数值y>0,

4a

此时不存在。对加-（a+l）x+lW0对任意实数无都成立；故④正确；

综上所述，②④正确，

故选：C.

3.（2021.浙江中考真题）已知月和%均是以x为自变量的函数，当*=，"时，函数值分别为"1和出2,若存

在实数加，使得时1+加2=0,则称函数%和%具有性质尸.以下函数％和为具有性质户的是（）

A.%=炉+2x和%=-X-1B.%=*2+2x和%=—x+]

C.必=—和必=一尤-1D.y=—和％=-X+1

X1X

【答案】A

【分析】

根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项.

【详解】

解：当户呻寸，函数值分别为和“2,若存在实数机，使得河1+加2=。，

对于A选项则有苏+机一1=0,由一元二次方程根的判别式可得：Z?2-4ac=l+4=5>0,所以存在实数加,

故符合题意；

对于B选项则有病+^+1=（）,由一元二次方程根的判别式可得：b2-4ac=l-4=-3<Q,所以不存在实数

m,故不符合题意；

对于C选项则有m-1=0,化简得：m2+m+l=0,由一元二次方程根的判别式可得：

m

k一4“c=l-4=-3<0,所以不存在实数加，故不符合题意；

对于D选项则有m+1=0,化简得：m2-m+l=0,由一元二次方程根的判别式可得：

m

Z>2-4（2C=1-4=-3<0.所以不存在实数加，故不符合题意；

故选A.

【考点4】求二次函数的解析式

【例7】（2021.河南中考真题）请写出一个图象经过原点的函数的解析式__________.

【答案】y=x（答案不唯一）

【分析】

直接写出一个已经学过的经过原点的函数解析式即可.

【详解】

解：因为直线丫=尤经过原点（0,0）,

故答案为：y=x（本题答案不唯一，只要函数图像经过原点即可）.

【例8】（2021•浙江中考真题）在“探索函数y=/+6x+c的系数。，b,。与图象的关系”活动中，老师给

出了直角坐标系中的四个点：4（0,2）,B（l,0）,C（3,l）,。（2,3）,同学们探索了经过这四个点中的三个点

的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中〃的值最大为（）

A.3BD-1

2-ic1

【答案】A

【分析】

分四种情况讨论，利用待定系数法，求过4(0,2),5(1,0),C(3,l),。(2,3)中的三个点的二次函数解析式,

继而解题.

【详解】

解：设过三个点4(0,2),5(1,0),C(3,l)的抛物线解析式为：y=ax2+bx+c

分别代入4(0,2),3(1，°)，C(3,l)得

c=2

<〃+Z?+c=0

9a+3b+c=1

5

ci——

6

717

解得b=---

6

c=2

设过三个点A(0,2),3(1,0),。(2,3)的抛物线解析式为：y=ax2+bx+c

分别代入4(0,2),5(1,0),0(2,3)得

c-2

<a+b+c=0

4〃+2。+c=3

5

a=­

2

9

解得。=-天

c=2

设过三个点4(0,2),C(3,l),0(2,3)的抛物线解析式为：y=ax2+bx+c

分别代入4(0,2),C(3,l),£>(2,3)得

c=2

<9a+3b+c=\

4〃+26+c=3

5

a=——

6

解得人13;

6

c=2

设过三个点5（1,。），C（3,l）,0（2,3）的抛物线解析式为：y=ax2+bx+c

分别代入3（1,0）,C（3,l）,0（2,3）得

a+b+c=0

<9a+3b+c=l

4。+2b+c=3

5

a=——

2

21

解得jb=5;

c=-8

，。最大为I",

故选：A.

根据已知条件确定二次函数的解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根

据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：

（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式（尸办^foc+c）.

（2）已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式［y=a（x-h）2+kl.

（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式［y=a（x-xi）（x-尤2）］.

（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式：y=a（x-hf+k（a^

【方法解说】（1）若二次公数的图家经过三个已知点可没函数解析式为一般式，即广加+6X+C；

（2）若知抛物线的顶点坐标，可出数解析式为顶点式，即y=a（x-/i）2+炊分0）,再根据抛物线与y轴的交点求

出a的值；

(3)若抛物线与x轴的两个交点的坐标为(xi,0)和(尤2,0)，可没函数解析式为交点式，即产a(x-xi)(x-X2),再

根据抛物线与y轴的交点坐标求出a的值

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1.(2021•广东中考真题)把抛物线y=2/+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的

抛物线的解析式为一.

【答案】y=2x2+4x

【分析】

直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可.

【详解】

解：抛物线y=2d+l向左平移1个单位长度，

再向下平移3个单位长度，

得到的抛物线的解析式为：y=2(x+l)2+l-3,

即：y=2尤2+4x

故答案为：y=2x2+4x.

2.(2021•浙江宁波市・中考真题)如图，二次函数y=(x-l)(x-a)(0为常数)的图象的对称轴为直线x=2.

(2)向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.

【答案】(1)。=3；(2)y=x2-4x

【分析】

b

(1)把二次函数化为一般式，再利用对称轴：x=——，列方程解方程即可得到答案；

2a

2

(2)由(1)得：二次函数的解析式为：y=X-4x+3.再结合平移后抛物线过原点，则c=0,从而可

得平移方式及平移后的解析式.

【详解】

解：(1)y=(x-l)(x-«)=x2-(1+d)x+a.

图象的对称轴为直线龙=2,

a+1

•-?

2

a=3.

(2),.,a=3,

...二次函数的表达式为y=f—4x+3,

.••抛物线向下平移3个单位后经过原点，

.•.平移后图象所对应的二次函数的表达式为y=x2-4x.

【考点5］二次函数的最值

【例9】抛物线y=3(x-1)2+8的顶点坐标为.

【分析】已知抛物线顶点式y=aCx-h)2+k,顶点坐标是(k,k).

【解析】•••抛物线y=3(x-1)2+8是顶点式，

，顶点坐标是(L8).

故答案为：(1,8).

【例10】(2022•四川遂宁)如图，D、E、尸分别是△至C三边上的点，其中8c=8,8C边上的高为6,且

DE//BC,贝IUDEF面积的最大值为()

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

［分析］过点A作AMLBC于跖交DE于点N,则ANLDE,设AN=a,根据DE〃3C,证明AADEfABC,

4

根据相似三角形对应高的比等于相似比得到。E=§a,列出△。所面积的函数表达式，根据配方法求最值

即可.

如图，过点A作AM,5c于交DE于点、N,则

设AN=a，

-DE〃BC、

ZADE=ZB,ZAED=ZC,

/.△ADE〜△ABC,

DEAN

一正一而‘

DEa

•,•____—_,

86

4

DE=—a,

3

1=1422

/.SQEF=5•DE,MN-x—65x（6—ci）=—§"+4a=—§（"—3）^+6,

.,.当a=3时，S有最大值，最大值为6,故选：A.

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1.（2022•内蒙古包头）已知实数a,6满足6-。=1,则代数式4+2）-6。+7的最小值等于（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】A

【分析】由已知得氏。+1,代入代数式即得。2-4〃+9变形为32）2+5,再根据二次函数性质求解.

【详解】解：Vb-a=l9

b=a+l,

a2+2b-6a+7

=〃2+2(〃+1)-6〃+7

=q2_4a+9

=（a-2）2+5,

,.,（a-2）2>0,

.•.当。=2时,代数式层+2♦6a+7有最小值,最小值为5,故选：A.

2.（2022•广西贺州）已知二次函数y=2尤2-4xT在OSEa时，y取得的最大值为15,则a的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案.

【详解】解：；二次函数y=2/-4x-l=2（x-1）23

抛物线的对称轴为41,顶点（1,-3）,

V1>0,开口向上，

在对称轴尸1的右侧，y随x的增大而增大，

:当把左。时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15,

.,.当x=a时，y=15,

：.2（a-1）2一3=15,

解得：。=4或a=-2（舍去）,

故a的值为4.

故选：D.

3.（2022・山东聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量

》（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10WxW20时，其图象是线段A8,则该食品零售店每天

【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润x销售量”列出二次函数关系式,

从而根据二次函数的性质分析其最值.

【详解】解：当10<启20时，设〉=爪+6,,把（10,20）,（20,10）代入可得：

10k+b=20

20左+6=10

k=-l

解得

6=30

；•每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y=f+30,

设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，

w=（x-8）y=（x-8）（-x+30）=-x2+38x-240=-（x-19）2+121,

V-K0,

...当x=19时，w有最大值为121,

4.（2022•吉林长春）已知二次函数y=-Y-2x+3,当。船J时，函数值y的最小值为1,贝|。的值为.

【答案】-1##-石-1

【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当x<T时，y随x的增大而增大，当尤>-1时，y随x的增大而减

小，然后分两种情况讨论：若。之-1;若■<-!,即可求解.

【详角星】解：y=-f-2x+3=-（尤+1）2+4,

当尤<-1时，y随尤的增大而增大，当x>-l时，y随x的增大而减小，

若当J时，y随x的增大而减小，

此时当x1时，函数值y最小，最小值为:7，不合题意，

若。<-1,当％时，函数值y最小，最小值为1,

—a2—2a+3=1,解得：0=一1-百或-1+6（舍去）;

综上所述，。的值为-1-6.故答案为：-1-V3

【考点6］二次函数的应用

【例11】（2022•四川广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降

米，水面宽8米.

【答案】y14##l5|

【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（-3,0）,求出二次函数解析式，再根据把户4

代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案.

【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过纵轴y通过中点。且通过C点，则通过画图可

得知。为原点，由题意可得：40=。2=3米，C坐标为（0,2）,

通过以上条件可设顶点式产。炉+2,把点A点坐标（-3,0）代入得,

22

.••9。+2=0,=；•抛物线解析式为：y=--x2+2；

当水面下降，水面宽为8米时，有

把x=4代入解析式，得y=—|x4?+2=-|X16+2=-£；

1414

.••水面下降H米；故答案为：—;

99

【例12】（2022•山东潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研.小

莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况的点（记

2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图.

近5年①号田年产量近5年②号田年产量

w吨吨

4-4-

•(5.3.5)..(53.5)

3-•(4.3.0)3-・034)

.(33.1)

•(3-2.5)(2.2.6)

2■•(2.2.0)2-.

,,(1-1-5)(119)

1-

012345x/年度o\一47年度