二次函数（题型归纳）（原卷版）

专题22二次函数

题型分析

所|题型演练|

r■MI■।■]

题型一y=ax1与y=ax2+k的图像与性质

1.点N（加-1,必），^（"，，凹^都在抛物线^二一上.若必<%,则加的取值范围为（）

A.m>4B.m<4C.m<—D.m>^

22

2.已知〃%a）,2（",4a）是二次函数”（x-l『图象上的两点，则下列命题正确的是（）

A.若加〉0,〃>0时，则2加一〃二1B.若加>0,〃<0时，则2m-n=l

C.若加<0,〃>0时，贝！J2m-n=1D.若机<0,〃<0时，贝12m-n=1

3.已知抛物线了=/一1过/（一2,%），2（0,%）,C。,%）三点，则必，外，％大小关系是（）

A.B.C.D.

4.抛物线>的顶点坐标是.

5.如图，在平面直角坐标系中，ACMB的边。/在x轴上，ZOAB=9Q°,OA=2,抛物线y=x?与。5交

于C点，过点C作CD〃CM交48于。点.若CD过ACMB的重心G,则点G的坐标为

.IIII■

题型二y=a(x-A)2与y=a(.x-h)的图像与性质

I________________________________________：

2

1.设函数M=-(x-a),y2=-(X-a2).直线x=l的图象与函数”，8的图象分别交于点/(l，cj，

8(1,。2)，得()

A.若1＜4＜。2，贝1。1＜。2B.若q＜1＜。2，贝＜。2

C.若弓＜。2＜1，贝＜。2D.若为＜为＜1，贝h2＜5

7.对于二次函数y=-3(x-2)2的图象，下列说法正确的是()

A.开口向上B.对称轴是直线％=-2

C.当x＞-2时，了随X的增大而减小D.顶点坐标为(2,0)

8.关于二次函数y=(x-l『+5,下列说法正确的是()

A.函数图象的开口向下

B.函数图象的顶点坐标是(-1,5)

C.该函数有最大值，最大值是5

D.当尤＞1时，了随x的增大而增大

9.抛物线^=-2(尤-1)2+5的顶点坐标是.

10.二次函数y=-(x+3)2+〃«Wx4/+2)的图象上任意二点连线不与x轴平行，贝心的取值范围为

题型三二次函数y=ox2+Ax+c的图像与性质

1.已知二次函数了="2+区+°(。/0),图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(-2,0),对称轴为直

线n二—对于下列结论：①仍。＜0；②〃-4ac〉0；③Q+b+c=O；（4）am2+bm＜^（a-2b）（其中

加。-J）；⑤若4再，必）和5（//2）均在该函数图象上，且玉＞%＞1，则%＞为•其中正确结论的个数共

有（）个.

A.2B.3

2.已知二次函数＞="2+&+o（。。0）的图象如图所示，直线、=1是它的对称轴，下列结论：①仍c〉0；

②/-4℃＞0;③3a+c＞0；④2a-6=0；⑤方程办？+6x+c-3=0有两个相等的实数

根.⑥（a+c）2＜/,其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2

3.设二次函数弘=加/-77X+1y2=x-nx+m（m,〃是实数，〃7/0）的最小值分别为p,g,贝U（）

A.若。-4=1,贝！|p=2,q=1B.若p-q=0,则p=q=°

C.若p+q=l,则。=q=g

D.若p+4=0,贝!|p=q=°

4.若抛物线M:y=#-（3"L3）x-3与抛物线"：＞=#+1（^+2〃+5关于y轴对称，则机+"=

5.已知，（再,必）,3（々，如）是抛物线y="2-3x+l上的两点,其对称轴是直线x=%,若昆-引＞%―/（）|

时，总有%＞外,同一坐标系中有N（3,2）且抛物线J；=G2_3X+1与线段MN有两个不相同的交

点，则。的取值范围是

题型四二次函数的图像与系数的关系

1.如图，二次函数>="2+云+4。彳0）的图象经过点（1,2）且与工轴交点的横坐标分别为多，入2,其中

-1<X1<0,1<%<2,下列结论①4a+26+c<0,②2a+6<0,③〃+8。>4ac，④a<T,⑤(a+cj<〃

其中结论正确的有（）

A.5个B.4个

2.如图，二次函数了="2+bx+c（。*0）与x轴交点的横坐标为无1，%与V轴正半轴的交点为C,

•1<再<0,x,=2,则下列结论正确的是（

A.b~-4ac<0B.9o++c>0D.a+b>0

3.抛物线yuaf+fcr+c(xwO)的部分图象如图，则下列说法：①a6c>0；②2a+6=0；③〃>4ac；

(4^)a+6+c<—3,正确的是（）

A.1个B.2个D.4个

4.二次函数了="2+瓜+。（。/0）的图象如图所示，下列结论：①/一4ac>0;②a6c<0；③4a+6=0；

④9a-36+c<0.其中正确结论是.（请将正确结论的序号填在横线上）

5.二次函数."="2+区+0e/0）的部分图象如图，图象过点（-1,0））,对称轴为直线x=,下列结论:

①4°+6=0；②9a+c>3b；③5a+c=0；④当x>-l时，y的值随x值的增大而增大;⑤

Aa+2b>am2+bm（m为任意实数）.其中正确的结论有（填序号）.

1.点5（3,%）,巴。，^^均在二次函数^二一产+为+^:的图象上，则必，％,M的大小关系是

A.%>%>%B.yx=y2<y3C.必=%>%D.%%

2.二次函数y=^2+&+。的自变量x与函数值了的部分对应值如下表：

X0123

y1mn1

下列判断正确的是()A.m>nB.m<nC.m=nD.m=In

3.已知抛物线y=-（无-W+26+c",c为常数）经过不同的两点（-2-4加-l+c,〃?）,那么该抛物线

的顶点坐标不可能是下列中的（）

A.(-2,-7)B.(-1,-3)C.(1,8)D.(2,13)

4.若函数y=x2+6x+c经过点（-1,0）和（3,0）,则该函数的对轴称是直线

5.二次函数了=卜+1）（》-3）图象的对称轴为.

题型六二次函数的最值

I.______________________■

1.若关于x的方程r2-2x+w-l=0有两个实根孙x2＞则再彳21；+x；）-2x；+4%的最大值是（）

A.3B.4C.4.5D.5

2.若函数-2x+l在a4x4a+2上的最小值为4,则实数。的值为（）

A.-3或3B.—1或1C.0或2D.2或4

3.二次函数了=a/+4x+l（。为实数，且。＜0）,对于满足加的任意一个x的值，都有

-2WyW2,则加的最大值为（）

123

A.-B.-C.2D.-

232

4.二次函数y=2x2+4x+3的最小值是.

5.若点尸（私〃）在二次函数y=f-2尤+2的图象上，且点尸到y轴的距离不大于3,则"的取值范围是

题型七待定系数法求二次函数解析式

I_______________________

1.二次函数了="2+加+c的图象过不同的六点/（一2,加一1）、B（-l,加）、C（0,必）、D（2,力）、

£（3,%）、F（4,m+1）,则必、%、%的大小关系是（）

A.必＜%＜%B.yr＜y3＜y2C.为＜%＜弘D.

2.如图，抛物线y=x2+6x+c（b,c为常数）经过点/。,0）,点网0,3）,点尸在该抛物线上，其横坐标

为m,若该抛物线在点尸左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2-加.则加的值为（）

.n3—yj~5„3+VscT_p.3—Vs

A.m=3B0.机=-----C.m=--------D.力2=3或加=-----

222

3.“人一定要有梦想，万一实现了呢？”巩立姣的这句赛后感言在网络上广为流传，激励了许多正在拼搏的

人.如图①是她在铅球练习中的一次掷球，铅球出手以后的轨迹可近似看作是抛物线的一部分，已知铅球

出手时离地面1.6米，铅球离抛掷点水平距离3米时达到最高，此时铅球离地面2.5米.如图②，以水平面

为x轴，她所站位置的铅垂线为丁轴建立平面直角坐标系，则她掷铅球的运动路线的函数表达式为（）

图①

4.已知一次函数＞=履+4的图像与了轴的交点为P,若二次函数7=办2-56^+4°的图像经过点尸，则二

次函数的解析式为.

5.已知抛物线的顶点坐标是（2,-3）,且与y轴的交点坐标为（0,5）,则该抛物线的解析式为

题型八二次函数图像的平移

I________________________________

1.将二次函数y=（x-的图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线

2

y=x+bx+cf贝!Jb,。的值分别是（）

A.6=4,c=2B.6=—8,c=18

C.b=4,c=6D.b=-8,c=14

2.将抛物线了=f通过一次平移可得到抛物线v=（x+5『，对这一平移过程描述正确的是（）

A.向上平移5个单位长度B.向下平移5个单位长度

C.向左平移5个单位长度D.向右平移5个单位长度

3.将二次函数＞=。卜-力）2+上的图像先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到二次函数

y=2（x-3『+/的图像，则。、h、上的值为（）

A.i=2,〃=3,左=1B.a=2,h=5,k=—2

C.a=2,h=6,k=3D.a=2,/z=l,左=4

4.将抛物线y=5/向左平移2个单位.再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为

5.将二次函数y=x2的图象先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，得到的函数图象的解析式为

题型九二次函数与一元二次方程的关系

1.如图，若抛物线y=x2+6x+c与x轴的一个交点坐标为（-1,0）,则抛物线与x轴的另一个交点坐标为

A.（1,0）B.（2,0）C.（3,0）D.（4,0）

2.二次函数>=如2+及：+4。*0）的图象如图所示.下列结论:①。>0；②6<0；③〃-ZoO；@

a+b+c<0,其中正确的有（）

3.如果关于x的分式方程也?=2+4有整数解，且二次函数V=（加T）x）+2、+g的图象与x轴有交点,

x-22-x2

那么符合条件的所有整数加的个数有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

4.如图，已知二次函数〉=/+为+。的图象经过点/（一1,0）,点8（1,-2）,该图象与x轴的另一个交点为C,

则AC的长为.

5.抛物线y=-/+6x+c的部分图象如图所示，则关于x的方程-Y+bx+cuO的解是

题型十图像法确定一元二次方程的近似根

2.在估算一元二次方程/+12》-15=0的根时，小彬列表如右由此可估算方程/+121-15=0的一个根工

的范围是（）.

X11.11.21.3

x2+12x-15-2-0.590.842.29

A.1<x<1.1B.1.1<x<1.2C.1.2<x<1.3D.x>1.3

3.一元二次方程/+及+°=3的两个根分别为-2和4,若二次函数歹=/+及+。与x轴的交点为多,

%（占＜%2），则对于3，4的范围描述正确的是（）

A.-2<项<4<%2B.-2<4<<x2C.-2<xi<x2<4D.<-2<4<x2

4.抛物线歹=%2-2;<:+0.5如图所示，利用图象可得方程V-2x+0.5=0的近似解为（精确到

0.1).

5.如图，抛物线y=a/与直线y=6x+c的两个交点坐标分别为/（-3,6）,8（1,3）,则方程加-6x-c=0

的解是.

题型十一二次函数与不等式的关系

1.如图是二次函数y=ox2+6x+c的图像，则不等式办?+6x+c<3的解集是（）

Mm

A.x<0B.x<-l或%>3C.0<x<2D.xvO或x〉2

2.我们规定：形如>="2+6忖+。伍<0）的函数叫作“M型”函数.如图是“M型”函数了=-—+4国-3的图

象，根据图象，以下结论：

①图象关于了轴对称；

②不等式工2-4忖+3<0的解集是-3<x<-l或l<x<3；

③方程3+4忖-3=左有两个实数解时上<-3.正确的是（）

A.①②.B.②③.D.①②③.

3.新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点.若二次函数y=V一2x+c（c为常

数）在-l<x<4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）

A.-5<c<4B.0<c<lC.-5<c<1D.0<c<4

4.如图，已知抛物线y=办2+反+。与直线歹=履+人相交于（一2,加）,（2,几）两点，贝IJ不等式a/+法一//2点一。

的取值范围是.

5.如图，一次函数尸履+6的图像与二次函数歹="2+。的图像交于力（—1,1）,5（2,4）两点，则当

kx+b>ax2+c,x的取值范围为.

1.如图，正方形/BCD的边长为6,动点〃•沿4-8-C的路径移动，过点〃■作MN〃8。交正方形的一

边于点N,则A4W的面积＞与点”运动的路程x之间形成的函数关系图像大致是（）

2.如图，当某运动员以40m/s的速度将小球沿与地面成30。角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物

线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度〃（单位：m）与飞行时间f（单位：s）之间具有函数关系

/z=20f-5r.下列结论不正确的是（）

A.小球从飞出到落地要用4s

B.小球飞行的最大高度为20nl

C.当小球飞出时间从Is到2s时，飞行的高度随时间的增大而减小

D.当小球飞出时间从3s到3.8s时，飞行的高度随时间的增大而减小

3.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度

为20m,顶点距水面6m,小孔顶点距水面4.5m,当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为（）

A.5mB.5gmC.10mD.10V3m

4.如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2m时，水面宽4m,水面下降2m,水面宽m.

i7S

5.一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度V(m)与水平距离x(m)之间的关系是尸-/2+：龙+鼻,

则这名男生抛实心球的成绩是m.

题型十三二次函数的综合

I________________________________________________■

1.如图，抛物线y=/+6x+c与x轴分别交于点/(TO),点、B,与夕轴交于点C(0,—3).

(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；

(2)若点尸为该抛物线对称轴上的一个动点，当尸/=PC时，求点P的坐标;

(3)点"■(加,〃)(0＜加＜3)在抛物线上，当加取何值时，AMBC的面积最大？并求出面积的最大值.

（图1）（图2）

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点E为第一象限抛物线上一点，过点£作近1/，》轴，垂足为点M,交直线BC于点N,设

点2的横坐标为加，EN长为d,求d与"?的函数关系式(不要求写出自变量机的取值范围)；

（3）如图2,在（2）的条件下，直线了=-;x-2经过点/,且与y轴交于点。.点厂为线段上的一点，连

接尸N交x轴正半轴于点G,当/GD尸=3/840时，求点N的坐标.

3.二次函数了="2+法+0（。/0）的图象，与x轴交于原点和点£,顶点P的坐标为（2,4）.

（1）求二次函数的表达式；

（2）大家知道二次函数的图象是一条抛物线，过。（0,0）,£（4,0）两点可画无数条抛物线，设顶点为。，过点

。向x轴、了轴作垂线，垂足为点M,N.求当所得的四边形OMQN为正方形时的二次函数表达式；

（3）G点在（1）中求出的二次函数图象上，且〃点的坐标为（2,2）,是否存在△GHE的面积为2,若存在，

求出点G的坐标；若不存在，说明理由.

4.阅读下面的问题及其解决途径.结合阅读内容，完成下面的问题.

（1）填写下面的空格.

y=~6

问题：将函数X的图象向左平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？

二'点P在原函数图像上.）

、_________1

1/

•/

:/

设平移后新的函数图(f平移后的图像对

1/

将点P向右平移1个单位长1，

■.

像上任意点P的坐标应的函数表达式

度得点/（上，▲）.

为（X,y）.为▲.

（2）将函数y=lx?+3尤+1的图象沿了轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式为

(3)将函数了="2+加+。(a,b,c是常数，a*0)的图象先向左平移1个单位长度，再沿V轴翻折，最后

绕原点旋转180。，求所得到的图象对应的函数表达式.

5.城市绿化部门定期安排洒水车为公路两侧绿化带浇水，如图1,洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，

喷水口以离地竖直高度为1.5m.如图2,可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两

条抛物线的部分图象把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度。E=3m,竖直高度跖=0.5m.内

边缘抛物线”是由外边缘抛物线M向左平移得到，外边抛物线必最高点A离喷水口的水平距离为2m,高出

喷水口0.5m,

图1

(1)求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；

(2)求内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；

(3)当8。=1m时，判断洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理由.

IIII・

题型十四二次函数与几何的综合

I._________________________r

1.已知抛物线＞=/+云+C与X轴交于点8(3,0)两点，与〉轴交于点C,连接3c.

备用图

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线上是否存在点使得8、C两点到直线的距离相等，如果存在，求出点"的坐标，如果

不存在，请说明理由；

(3)点尸为x轴上一动点，以尸为旋转中心，把线段2c逆时针旋转90。，得到线段G7/,其中点3的对应点为

点G,当抛物线的对称轴刚好经过G”中点时，求此时点尸的坐标.

2.抛物线夕="2+云+,经过点/(-3,0),8(1,0),与y轴交于点C