2018年数学（北师大版选修4-5）练习15不等式的应用活页作业7

活页作业(七)不等式的应用一、选择题1．某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0＜t≤30)的关系大致满足f(t)＝t2＋10t＋16，则该商场前t天平均售出eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(如前10天的平均售出为\f(f10,10)))的月饼最少为()A．18 B．27C．20 D．16解析：平均销售量y＝eq\f(ft,t)＝eq\f(t2＋10t＋16,t)＝t＋eq\f(16,t)＋10≥18，当且仅当t＝eq\f(16,t)，即t＝4∈[1,30]时等号成立，即平均销售量的最小值为18.答案：A2．汽车上坡时的速度为a，原路返回时的速度为b，且0＜a＜b，则汽车全程的平均速度比a，b的平均值()A．大 B．小C．相等 D．不能确定解析：设单程为s，则上坡时间t1＝eq\f(s,a)，下坡时间t2＝eq\f(s,b)，平均速度为v＝eq\f(2s,t1＋t2)＝eq\f(2s,\f(s,a)＋\f(s,b))＝eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))＜eq\f(a＋b,2).答案：B3．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为eq\f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件 B．80件C．100件 D．120件解析：若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是eq\f(800,x)元，仓储费用是eq\f(x,8)元，总的费用是eq\f(800,x)＋eq\f(x,8)≥2eq\r(\f(800,x)·\f(x,8))＝20，当且仅当eq\f(800,x)＝eq\f(x,8)，即x＝80时取等号．答案：B4．如图，建立平面直角坐标系，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1km，某炮位于原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－eq\f(1,20)(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．则炮的最大射程为()A．20kmC．5km解析：令y＝0，得kx－eq\f(1,20)(1＋k2)x2＝0.由实际意义和题设条件，知x＞0，k＞0.故x＝eq\f(20k,1＋k2)＝eq\f(20,k＋\f(1,k))≤eq\f(20,2)＝10，当且仅当k＝eq\f(1,k)，即k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10km.答案：B二、填空题5．设三角形的三边长分别为3,4,5，P是三角形内的一点，则点P到这个三角形三边的距离的积的最大值是________.解析：设点P到三角形三边的距离分别为h1，h2，h3.由题意，得三角形为直角三角形，S＝eq\f(1,2)×3×4＝6.∴eq\f(1,2)h1·3＋eq\f(1,2)h2·4＋eq\f(1,2)h3·5＝6.∴3h1＋4h2＋5h3＝12≥3eq\r(3,60h1h2h3).∴h1h2h3≤eq\f(64,60)＝eq\f(16,15).答案：eq\f(16,15)6．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为____________m.解析：如图，过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点F.易知eq\f(DE,BC)＝eq\f(x,40)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(AF,AH)⇒AF＝x⇒FH＝40－x.则S＝x(40－x)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(40,2)))2，当且仅当40－x＝x，即x＝20时取等号．所以满足题意的边长x为20m.答案：20三、解答题7．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．(1)该船捕捞几年后开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)?(2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．哪一种方案较为合算？请说明理由．解：(1)设捕捞n年后开始盈利，盈利为y元，则y＝50n－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12n＋\f(nn－1,2)·4))－98＝－2n2＋40n－98.由y＞0，得n2－20n＋49＜0.解得10－eq\r(51)＜n＜10＋eq\r(51)(n∈N＋)．所以3≤n≤17.故捕捞3年后开始盈利．(2)①由(1)，得y＝－2n2＋40n－98.所以平均盈利为eq\f(y,n)＝－2n－eq\f(98,n)＋40≤－2eq\r(2n·\f(98,n))＋40＝12，当且仅当2n＝eq\f(98,n)，即n＝7时，年平均盈利最大．故经过7年捕捞后平均盈利最大，共盈利12×7＋26＝110(万元)．②由(1)，得y＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102.所以当n＝10时，函数y的最大值为102.故经过10年捕捞后盈利总额最大，共盈利102＋8＝110(万元)．因为两种方案盈利相等，但方案②的时间长，所以方案①合算．8．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和矩形EFGH构成的面积是200m2的十字形区域，现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m(1)设总造价为S元，AD的边长为xm，试建立S关于x的函数解析式；(2)计划至少要投多少万元才能建造这个休闲小区？解：(1)设DQ＝ym，则x2＋4xy＝200，即y＝eq\f(200－x2,4x).所以S＝4200x2＋210×4xy＋80×4×eq\f(1,2)y2＝38000＋4000x2＋eq\f(400000,x2)(0＜x＜10eq\r(2))．(2)由(1)，得S＝38000＋4000x2＋eq\f(400000,x2)≥38000＋2eq\r(16×108)＝118000，当且仅当4000x2＝eq\f(400000,x2)，即x＝eq\r(10)时取等号．因为118000元＝11.8万元，所以计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．一、选择题1．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外，每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为()A．10 B．11C．13 D．21解析：设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y万元，则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝[x(x＋1)]万元，所以x年的年平均费用为y＝eq\f(100＋0.5x＋xx＋1,x)＝x＋eq\f(100,x)＋1.5万元．由平均值不等式，得y＝x＋eq\f(100,x)＋1.5eq\r(x·\f(100,x))＋1.5＝21.5，当且仅当x＝eq\f(100,x)，即x＝10时取等号．答案：A2．设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0＜x＜100，x∈N＋)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是()A．15 B．16C．17 D．18解析：由题意，得分流前每年创造的产值为100t万元，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t万元．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x＜100，x∈N＋，,100－x1＋1.2x%t≥100t.))解得0＜x≤eq\f(50,3).因为x∈N＋，所以x的最大值为16.答案：B二、填空题3．制造一个容积为eq\f(π,2)m3的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平方米30元，做侧面的金属板的价格为每平方米20元，则当圆柱形桶的底面半径为________m、高为________m时，所使用的材料成本最低．解析：设此圆柱形桶的底面半径为rm，高为hm，则底面面积为πr2m2，侧面积为2πrhm设原料成本为y元，则y＝30πr2＋40πrh.因为桶的容积为eq\f(π,2)m3，所以πr2h＝eq\f(π,2)，即rh＝eq\f(1,2r).所以y＝30πr2＋eq\f(20,r)π＝10πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3r2＋\f(1,r)＋\f(1,r)))≥10π·3eq\r(3,3)，当且仅当3r2＝eq\f(1,r)，即r＝eq\f(\r(3,9),3)时等号成立，此时h＝eq\f(\r(3,9),2).答案：eq\f(\r(3,9),3)eq\f(\r(3,9),2)4．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________.解析：设底面边长为x，高为h，则eq\f(\r(3),4)x2h＝V，即h＝eq\f(4\r(3)V,3x2).所以S表＝2×eq\f(\r(3),4)x2＋3xh＝eq\f(\r(3),2)x2＋3x·eq\f(4\r(3)V,3x2)＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3)V,x)＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(8V,x)))＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(4V,x)＋\f(4V,x)))≥eq\f(\r(3),2)×3eq\r(3,16V2)＝3eq\r(3)·eq\r(3,2V2)，当且仅当x2＝eq\f(4V,x)，即x＝eq\r(3,4V)时取等号．答案：eq\r(3,4V)三、解答题5．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．(1)(2)解：设正六棱柱容器的底面边长为x(x＞0)，高为h，由下图，可得2h＋eq\r(3)x＝eq\r(3).所以h＝eq\f(\r(3),2)(1－x)，V＝S底·h＝6×eq\f(\r(3),4)x2h＝eq\f(3\r(3),2)x2·eq\f(\r(3),2)(1－x)＝2eq\r(3)×eq\f(3\r(3),2)·eq\f(x,2)·eq\f(x,2)·(1－x)≤9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(x,2)＋\f(x,2)＋1－x,3)))3＝eq\f(1,3)，当且仅当eq\f(x,2)＝1－x，即x＝eq\f(2,3)时等号成立．所以当底面边长为eq\f(2,3)时，正六棱柱容器容积最大，为eq\f(1,3).6．某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200kg，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，(1)该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？(2)若提供饲料的公司规定：当一次购买饲料不少于5t时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)．该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由．解：(1)设该厂应隔x(x∈N＋)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1元．因为饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管与其他费用共6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)元．从而有y1＝eq\f(1,x)(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝eq\f(300,x)＋3x＋357≥417，当且仅当eq\f(300,x)＝3x，即x＝10时取等号．故每隔10天购买一次饲料才能使