2018年数学（北师大版必修4）练习第1章8函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质

第一章§81．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期为()A．4π B．2πC．π D．eq\f(π,2)解析：函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.故选C.答案：C2．为了得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,3)))的图像，只需把函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))的图像向________平移________个单位长度．(填写一个正确答案即可)解析：∵y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))＝sin3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,18)))，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,3)))＝sin3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,9)))，而－eq\f(π,9)－eq\f(π,18)＝－eq\f(π,6)，∴将y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))的图像向右平移eq\f(π,6)个单位长度可得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,3)))的图像．答案：右eq\f(π,6)3．函数y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋1的图像可由y＝sinx的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：方法一将函数y＝sinx的图像依次进行如下变换．①把函数y＝sinx的图像向右平移eq\f(π,6)个单位长度，得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的图像；②把得到的图像上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)(纵坐标不变)，得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图像；③把得到的图像上各点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图像；④把得到的图像向上平移1个单位长度，得到函数y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋1的图像．经过上述变换，就得到函数y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋1的图像．方法二将函数y＝sinx的图像依次进行如下变换．①把函数y＝sinx的图像上各点的横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)(纵坐标不变)，得到函数y＝sin2x的图像；②把得到的图像向右平移eq\f(π,12)个单位长度，得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图像；③把得到的图像上各点的纵坐标伸长为原来的5倍(横坐标不变)，得到y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图像；④把得到的图像向上平移1个单位长度，得到函数y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋1的图像．经过上述变换，就得到函数y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋1的图像．4．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ＞0)在一个周期内的图像，试确定A，ω，φ的值．解：由图像可知，振幅A＝5，又eq\f(T,2)＝eq\f(π,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\f(π,2)，因此T＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2.由于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))在图像上，且为第一个零点，因此，令－eq\f(π,6)×2＋φ＝0，得φ＝eq\f(π,3).5．求下列函数的单调区间：(1)y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(2x,3)))；(2)y＝－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))))).解：(1)y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(2x,3)))＝－eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x,3)－\f(π,4))).由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(2x,3)－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，得3kπ－eq\f(3π,8)≤x≤3kπ＋eq\f(9π,8)(k∈Z)，为单调减的范围；由2kπ＋eq\f(π,2)≤eq\f(2x,3)－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，得3kπ＋eq\f(9π,8)≤x≤3kπ＋eq\f(21π,8)(k∈Z)，为单调增的范围．所以函数的递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3kπ－\f(3π,8)，3kπ＋\f(9π,8)))(k∈Z)，递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3kπ＋\f(9π,8)，3kπ＋\f(21π,8)))(k∈Z)．(2)y＝－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))的大致图像如图所示．