高中数学讲义（人教B版2019选择性必修二）第14讲425正态分布

4.2.5正态分布TOC\o"13"\h\u题型1正态曲线 3题型2正态曲线及其性质的应用 8题型3标准正态分布 12题型43σ原则 16题型5正态分布的应用 20知识点一.正态曲线定义∶当n充分大时，随机变量X~B（n，p）的直观表示总是具有中间高、两边低的“钟形”，称为正态曲线（钟形曲线），它对应的函数为，其中μ=E（X），σ=D(x).2.性质∶（1）正态曲线关于x=μ对称（即μ决定正态曲线对称轴的位置），具有中间高、两边低的特点；（2）正态曲线与x轴所围成的图形面积为1；（3）σ决定正态曲线的“胖瘦”∶σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”.3.面积∶正态曲线与x轴在区间[μ，μ+σ]内所围的面积约为0.3413，在区间[μ+σ，μ+2σ]内所围的面积约为0.1359，在区间[μ+2σ，μ+3σ]内所围的面积约为0.0215.r如图：注意：（1）二项分布分布列的直观图的特点∶当n充分大时，随机变量X~B（n，p）的直观表示总是具有中间高、两边低的性质.（2）参数u是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；o是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计.知识点二.正态分布1.定义：一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ（x）对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X~N（u，σ2），此时φμ，σ（x）称为X的概率密度函数，此时μ是X的均值，而σ是X的标准差，σ2是X的方差.正态分布在四个特殊区间内取值的概率若X~N（μ，σ2）则（1）P（X≤μ）=P（X≥μ）=50%；（2）P（|Xμ|≤σ）=P（uσ≤X≤μ+σ）≈68.3%；（3）P（|Xμ|≤2σ）=P（u2σ≤X≤μ+2σ）≈95.4%；（4）P（|Xμ|≤3σ）=P（u3σ≤X≤μ+3σ）≈99.7%.1.正态分布的3σ原则由于正态变量在(－∞，＋∞)内取值的概率是1，由上面可知在区间(μ－2σ，μ＋2σ)之外取值的概率为4.6%，在(μ－3σ，μ＋3σ)之外取值的概率为0.3%，于是正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．由3σ原则我们可以知道，随机变量落在(μ－3σ，μ＋3α)之外的概率是非常小的，这种事件我们称为小概率事件．通常情况下，我们认为小概率事件是不可能发生的，一旦发生就认为系统有问题或不正常．知识点三.标准正态分布1.定义∶μ=0且σ=1的正态分布称为标准正态分布.2.φ（a）的概念∶如果X~N（0，1），那么对于任意a，通常记φ（a）=P（X<a），即φ（a）表示N~（0，1）对应的正态曲线与x轴在区间（∞，a）内所围的面积.3.φ（a）的性质：φ（a）+φ（a）=1.题型1正态曲线【方法总结】利用正态曲线的特点求参数μ，σ（1）正态曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，由此特点结合图象求出μ.（2）正态曲线在x=μ处达到峰值1σ注意：熟记正态曲线解析式的形式，理解解析式中μ，σ的意义，μ=E（X），σ²=D（X）.【例题1】（2022·上海·华师大二附中）设X~N(A．PB．PC．对任意正数t，PD．对任意正数t，P【答案】C【分析】根据正态分布的密度曲线的性质及意义判断即可【详解】解：由正态密度曲线的性质可知，X∼N(μ1,σ因此结合所给图像可得μ1<μ又X∼N(μ1∴P由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：对任意正数t，P(故选：C．【变式11】1．（2022·全国·）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布Nμ1,（注：正态曲线的函数解析式为f(x)=A．甲类水果的平均质量μB．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ【答案】A【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得.【详解】由题图可知甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线x所以μ1=0.4，μ2因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，σ越小，表示总体的分布越集中），所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误；因为乙图象的最高点为(0.8,1.99)，即12π⋅故选：A．【变式11】2．（2022·上海市光明中学）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X~NA．D(X)=6C．P(X≤38)<【答案】C【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，随机变量X服从正态分布，且X~N可得随机变量X的方差为σ2=6对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量μ1所以μ1对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得X≤38时，随机变量X对应的曲线与x围成的面积小于Y≤38时随机变量Y对应的曲线与所以P(对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得P(X≤34)>即P(故选：C.【变式11】3．（2022·广东清远·）已知三个正态密度函数φi(x)=1A．μ1=μ3>μ2C．μ1=μ3>μ2【答案】C【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小.【详解】由题图中y=φiy=φ1(x)与故选：C【变式11】4．（2022·江苏常州·）如图是三个正态分布X~N(0,0.64)，YA．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②【答案】A【分析】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定.【详解】由题意，得σ(X)=0.8，σ因为当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且σ(所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③.故选：A.【变式11】5．（2022·黑龙江·建三江分局第一中学）某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X,Y，已知X,Y均服从正态分布，A．甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性【答案】C【分析】根据正态密度函数的图象，得到μ1=μ【详解】由随机变量X,Y均服从正态分布，X~结合正态概率密度函数的图象，可得μ1=μ即甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性.故选：C.【变式11】6．（2022·全国·）（多选）以下关于正态密度曲线fxA．曲线都在x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，最终可与x轴相交B．曲线关于直线x=C．曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状D．曲线与x轴之间的面积为1【答案】BCD【分析】根据正态密度曲线的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，曲线都在x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，最终可与x轴不相交，所以A错误；对于B中，正态密度曲线图象与性质，可得曲线关于直线x=对于C中，正态密度曲线性质，可得曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状，所以C正确；对于D中，正态密度曲线性质，可得曲线与x轴之间的面积为1，所以D正确.故选：BCD题型2正态曲线及其性质的应用【例题2】（2022·全国·）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（

）附：若X∼N(μA．2386 B．2718 C．3413 D．4772【答案】C【分析】根据题意可得P(0<【详解】因为曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线，所以根据正态分布的性质，P(0<所以落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，故选：C.【变式21】1．（2022·全国·）已知随机变量ξ~N0,1，令Φ①Φx+Φ③Pξ<A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③【答案】A【分析】根据题意可得正态曲线关于ξ=0【详解】因为随机变量ξ~N0,1，所以正态曲线关于ξ=0对称，因为所以根据正态曲线的对称性可知Φx+Φ−x=1所以①③④正确，②错误，故选：A【变式21】2．（2022·全国·）（多选）已知随机变量X∼N1,A．m=2 B．C．函数y=xm−x的最大值为1 【答案】AC【分析】根据正态曲线的对称性逐一分析判断ABD即可，根据二次函数的性质即可判断C.【详解】解：因为随机变量X∼N1,22，所以X的正态曲线关于x又PX≤0+y=xm故选：AC.【变式21】3．（2022·四川·石室中学高三阶段练习（理））某地有60000名学生参加考试，考试后数学成绩X近似服从正态分布N110,σ2【答案】3000【分析】根据正态曲线的对称性可得P110≤X≤130【详解】由题意可知正态分布曲线的对称轴为μ=110，结合P得P110≤X≤130故估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为60000×0.05=3000,故答案为：3000.【变式21】4．（2022·全国·）已知随机变量X服从正态分布X~N(8,σ2)，【答案】9+42##【分析】由正态分布的对称性可知m+【详解】∵随机变量X服从正态分布X~∴P(X≥8)=1∴m+n=12，且m>0,12m+4n【变式21】5．（2022·全国·）正态分布概念是由德国数学家和天文学家Moivre在1733年首先提出的，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布．早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据，对这些数据进行分析，发现这些数据变量X近似服从N9,σ2．若P【答案】0.09【分析】利用正态分布图像的对称性，即可求得结果.【详解】因为X近似服从N9,σ2，所以X的正态分布曲线关于x故答案为：0.09.【变式21】6．（2022·全国·）某地有6000名学生参加考试，考试后数学成绩X近似服从正态分布N110,σ2【答案】300【分析】根据正态分布的对称性即可成绩在130分以上的概率，进而可求人数.【详解】由正态分布曲线的对称轴为μ=110，以及P90≤X≤110=0.45故130分以上的人数为6000×0.05=300.故答案为：300【变式21】7．（2022·全国·）已知某次考试的数学成绩X服从正态分布N100,σ2(σ【答案】1【分析】根据正态分布的对称性可得P(100<X<120)=【详解】由题意得，该正态曲线的对称轴为X=μ=100∴P(100<X<120)=13故答案为：1题型3标准正态分布【例题3】（2020·黑龙江实验中学）如图是正态分布N(0,1)的正态曲线图，下面3个式子中：①12−Φ(−aA．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据正态分布N~(0,1)的正态分布曲线图，知正态曲线的对称轴是x=0，欲求图中阴影部分面积，只须求【详解】∵∴图中阴影部分的面积为1根据对称性可知阴影部分的面积为P∴①③正确，故选：C.【点睛】本题考查了正态曲线的性质，深刻理解其性质是解决问题的关键，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.【变式31】1．（2022·江苏·滨海县五汛中学）（多选）若随机变量ξ~N0,1，ΦA．Φ−x=1−ΦC．Pξ≤x【答案】ACD【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，利用正态密度曲线的对称性可知Pξ所以，Φ−对于B选项，Φ2对于C选项，P=Φx对于D选项，Pξ故选：ACD.【变式31】2．（2022·江苏·沛县教师发展中心）设随机变量X服从标准正态分布X~N0,1，那么对于任意a，记Φa=【答案】0.4##2【分析】根据正太分布密度曲线的对称性即可求解.【详解】由题可知，P=1−2×(1−0.7)=0.4.故答案为：0.4.【变式31】3．（2021·全国·）设X∼N0,1，求P【答案】0.08076；0.03572【分析】根据标准正态分布曲线的对称性求解即可.【详解】∵X∼N查表得，P(X<1.4)=0.91924由标准正态分布曲线的对称性可知，∵P查表可得P【变式31】4．（2021·全国·）已知随机变量X∼N0,1，且P【答案】0.84【分析】利用正态曲线的对称性，转化为P(【详解】∵P(−a∴P(X【变式31】5．（2022·全国·）2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数x和样本方差s2（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布Nμ,σ2，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X~（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求PX（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求PZ≥1（结果精确到0.001）以及参考数据：1.64≈1.28，0.773420≈0.0059．若Y【答案】（1）9，1.64；（2）（ⅰ）0.7734，（ⅱ）0.994，4.532.【分析】（1）根据平均数和方差的公式直接求解即可.（2）（ⅰ）由（1）可得由题知μ=9，σ2=1.64，所以X（ⅱ）（ⅰ）知PX>10=1−【详解】解：（1）x=6×0.02+7×0.1+8×0.2+9×0.38+10×0.18+11×0.08+12×0.04=9s2（2）（ⅰ）由题知μ=9，σ2=1.64，所以X所以PX（ⅱ）由（ⅰ）知PX>10=1−PZ故Z的数学期望EZ【点睛】关键点睛：本题考查根据频率分布直方图求平均数和方差以及根据正态分布求概率和二项分布问题，解答本题的关键是将问题“从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数”，转化为得到Z~题型43σ原则【例题4】（2022·全国·）随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X＜μ＋σ)＝（

）附：概率P(μ－σ≤X＜μ＋σ)P(μ－2σ≤X＜μ＋2σ)P(μ－3σ≤X＜μ＋3σ)近似值0.68270.95450.9973A．0.8186 B．0.4772 C．0.84 D．0.9759【答案】A【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.【详解】由题意可得：P∴P故选：A.【变式41】1．（2022·浙江·宁波市北仑中学）设随机变量ξ~N(μ,1)附：若ξ~Nμ,σA．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413【答案】B【分析】根据函数没有零点得到ξ的范围，然后结合正态曲线的对称性得到μ的值，结合正态曲线即可得到对应概率.【详解】函数f(x)=∴Δ=4+4ξ<0，即ξ<−1，又∵∴Pξ<−1=0.5，由正态曲线的对称性可知即μ=−1，σ=1所以P故选:B.【变式41】2．（2022·全国·）已知随机变量X~N4，附：若Y~Nμ，σ2A．0.0215 B．0.1359 C．0.8186 D．0.9760【答案】A【分析】由题意确定μ=4,σ=2【详解】由题意知随机变量X~N4，故P≈1故选：A【变式41】3．（2022·全国·）某地组织普通高中数学竞赛.初赛共有20000名学生参赛，统计得考试成绩X（满分150分）服从正态分布N110,100.考试成绩140分及以上者可以进入决赛.本次考试可以进入决赛的人数大约为（

）附：PA．26 B．52 C．456 D．13【答案】A【分析】由题意可得正态分布中的μ,σ，根据正态分布的对称性结合题中数据求【详解】考试成绩X（满分150分）服从正态分布N110,100，所以μ=110,σPX≥140=【变式41】4．（2022·全国·）（多选）已知某批零件的长度误差X服从正态分布N(μ,（附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P从中随机取一件，．A．σB．σC．长度误差落在(3,6)内的概率为0.1359D．长度误差落在(3,9)内的概率为0.1599【答案】BC【分析】根据正态分布的性质，结合图像、题中所给公式逐一判断即可.【详解】由图中密度函数解析式，可得σ=3又由图像可知μ=0，则长度误差落在(3,6)内的概率为：P故选：BC【变式41】5．（2022·全国·）（多选）已知随机变量X∼N0,A．PX≤−1=C．P1≤X≤3【答案】ABC【分析】根据正态密度曲线的对称性及正态分布的3σ【详解】解：因为随机变量X∼N0,因为随机变量Y∼N1,所以利用正态密度曲线的对称性可得PX≤−1=PX≥1，PY因为PX≥2=1−所以PX故选：ABC.【变式41】6．（2023·全国·）现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差Xn∼NA．32 B．64 C．128 D．256【答案】C【分析】先由题设条件得到PXn≥14<0.0456，再转化得【详解】依题意，得PXn≥14<0.0456，所以PXn<又因为Xn∼N0,2n，所以μ=0，σ=2故至少要测量的次数为128.故选：C.题型5正态分布的应用【例题5】（2022·湖南·安仁县第一中学）为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．(1)求a的值；(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间ξ近似服从正态分布Nμ,σ2，其中μ近似为样本的平均数，经计算知(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在[7,9),[9,11)内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在[7,9)与[9,11)内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）参考数据：若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则P(【答案】(1)a(2)4093(3)在[7,9)内的教职工平均人数为1，在[9,11)内的教职工平均人数2【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，计算即可得答案.（2）先求得平均数，可得μ值，根据σ值，结合所给公式及数据，代入计算，可得P(7.45<（3）根据分层抽样，可得[7,9),[9,11)内的人数分别为2，3，设从这5人中抽取的3人学习时间在[7,9)内的人数为X，可得X所有取值，进而可得各个取值对应的概率，即可求得期望，进而可得[9,11)内人数的期望值，即可得答案【详解】（1）由题意得2×(0.02+0.03+a解得a=0.12（2）由题意知样本的平均数为4×0.02×2+6×0.03×2+8×0.12×2+10×0.18×2+12×0.10×2+14×0.05×2=9.84，所以μ=9.84又σ≈2.39，所以P(7.45<ξ≤14.62)=P(μ所以估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62]内的人数约为4093．（3）[7,9),[9,11)对应的频率比为0.24:0.36，即为2:3，所以抽取的5人中学习时间在[7,9),[9,11)内的人数分别为2，3，设从这5人中抽取的3人学习时间在[7,9)内的人数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，P(X=0)=C3所以E(X)=0×设从这5人中抽取的3人中学习时间在[9,11)内的人数为Y，则Y=3−X，所以则这3人中学习时间在[9,11)内的教职工平均人数约为2．【变式51】1．（2021·辽宁·沈阳二十中）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图．(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布Nμ,150，其中μ①利用该正态分布，求P187.8≤②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值Z位于区间187.8,212.2内的产品件数，利用①的结果，求EX附：150≈12.2．若随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，则P【答案】(1)x=200(2)①0.68；②【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；（2）①由Z∼N200,150，结合3【详解】（1）x=170×0.002+180×0.009+190×0.022+200×0.033+210×0.024+220×0.008+230×0.002（2）①∵Z∼Nμ,150∴P②由题意知：X∼B100,0.68【变式51】2．（2022·全国·）某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了100名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，并将得分分成以下6组：40,50、50,60、60,70、…、90,100，统计结果如图所示：(1)试估计这100名学生得分的平均数；(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在90,100的人数为ξ，试求ξ的分布列和数学期望；(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生的得分X近似地服从正态分布Nμ,σ2，其中μ近似为样本平均数，σ2参考数据：Pμ−σ<X【答案】(1)70.5(2)分布列见解析，Eξ=【详解】（1）解：由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数x=（2）解：参加座谈的11人中，得分在[90,100]的有11×0.01所以ξ的可能取值为0，1，2，所以Pξ=0=C9所以ξ的分布列为ξ012P28243∴Eξ（3）解：由（1）知，X~所以PX>77得分高于77分的人数最有可能是317.【变式51】3.（2022·山东泰安·）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成1.2,1.3,分组1.2,1.31.3,1.41.4,1.51.5,1.61.6,1.71.7,1.8频数3154242153以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率.(1)若从这批零件中随机抽取3个，记x为抽取的零件的长度在1.4,1.6的个数，求X的分布列和数学期望；(2)若变量S满足Pμ−σ<S≤μ+σ−0.6827≤0.05【答案】(1)分布列见解析，数学期望：2.1(2)这批零件是合格的，将顺利被