2024-2025学年江西省鹰潭市高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省鹰潭市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a=(2,1,−3)，b=(−4,2,x)，且a⊥b，则xA.−2 B.−1 C.0 D.22.设a为实数，若直线ax−4y+3=0与x−2y+1=0平行，则它们之间的距离为(

)A.510 B.55 C.3.加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须相邻，工序C，D不能相邻，那么有(    )种加工方法．A.24 B.32 C.48 D.644.已知抛物线x2=4y的焦点为F，点M在抛物线上，且|MF|=3，则点M到y轴的距离为(

)A.4 B.23 C.25.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有(

)A.300种 B.240种 C.144种 D.96种6.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为棱AB的中点，F为线段A.315 B.615 C.7.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A、B两点，OA.1 B.32 C.2 D.8.已知点P为椭圆C：x24+y23=1上第一象限的一点，左、右焦点为F1，F2，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M，过点A.3 B.33 C.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于二项式(1x2−2xA.展开式的所有项系数和为64 B.展开式的第4项二项式系数最大

C.展开式中不含x3项 D.展开式的常数项为10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，F是线段ADA.CF=−AB−12AD+12AA1

B.三棱锥C1−EA1D111.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(−1,0)，B(3,0).动点P满足|PA||PB|=13，设动点P的轨迹为曲线CA.C的方程为x2+y2+3x=0

B.C关于直线x+y−2=0对称的曲线方程为(x−2)2+(y−72)2=94

C.在C上存在点D，使得D到点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如表是某单位1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间具有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y=x+3.05，则表中a的值为______．月份x1234用水量y45a713.若(1−ax)(2+x)4(a∈R)的展开式中x3的系数为−40，则a14.已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1的左、右焦点，P，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆心为M(−2,−1)的圆经过点(1,3)，直线l：x+my+m=0．

(1)求圆M的方程；

(2)写出直线l恒过定点Q的坐标，并求直线l被圆M所截得的弦长最短时m的值及最短弦长．

16.(本小题15分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，∠A1AC=60°，AC⊥BC，A1C⊥AB，AC=1，AA1=2．

(1)求证：A1C⊥平面17.(本小题15分)

一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：温度x/℃212324272932产卵数y/个61120275777经计算得：x−=16i=16xi=26，y−=16i=16yi=33，i=16(xi−x−)(yi−y−)=557，i=16(xi−x−)2=84，i=16(yi−y−)2=3930，线性回归模型的残差平方和i=16(yi−y​i)2=236.64，e8.0605≈3167，其中xi，yi分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6．

(Ⅰ)若用线性回归模型，求y关于x的回归方程y​=b​x+a​(精确到0.1)；

(Ⅱ)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为y=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522．

(i)试与(Ⅰ)中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．

(ii)用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该种药用昆虫的产卵数19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，AB//CD，且CD=2，AB=1，BC=22，PA=1，AB⊥BC，E，F分别为PD，BC的中点．

(1)求证：EF//平面PAB；

(2)在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是13？若存在，求出DMDP的值，若不存在，说明理由；

(3)在平面PBC内是否存在点H，满足HD

参考答案1.A

2.A

3.A

4.C

5.B

6.B

7.C

8.C

9.BD

10.ACD

11.ABD

12.6.2

13.2

14.1015.解：(1)∵圆M的半径r=(1+2)2+(3+1)2=5，

∴圆M的方程为(x+2)2+(y+1)2=25；

(2)∵直线l的方程为x+my+m=0，∴x+m(y+1)=0，

令x=0y+1=0，解得：x=0y=−1，∴定点Q的坐标为(0,−1)，

∵(0+2)2+(−1+1)2=4<25，∴点Q在圆M的内部，故直线l恒与圆M相交，

又圆心M到直线16.(1)证明：因为∠A1AC=60°，AC=1，AA1=2，由余弦定理得A1C=12+22−2⋅1⋅2⋅cos60°=3，

所以A1A2=A1C2+AC2，所以A1C⊥AC，又因为A1C⊥AB，

又因为AC∩AB=A，所以A1C⊥平面ABC．

(2)解：由已知和(1)得，CA、CB、CA两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

A(1,0,0)，C(0,0,0)，B(0,t,0)，A1(0,0,3)，C1(−1,0,3)，B1(−1,t,3)，

BC=(0,−t,0)，17.解：(Ⅰ)依题意，n=6，b​=i=16(xi−x−)(yi−y−)i=16(xi−x−)2=55784≈6.6，

a≈33−6.6×26=−138.6，

∴y关于x的线性回归方程为y​=6.6x−138.6；

(Ⅱ)

(

i

)利用所给数据，i=16(yi−y​i)2=236.64，i=1618.解：(1)由题可得：2b=23ca=12a2=b2+c2，解得：a2=4b2=3，

所以椭圆E的方程为：x24+y23=1；

(2)设直线l交E于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，点P(0,1)在椭圆E内，

①若直线l的斜率不存在，易得|NP|=3+1,|MP|=3−1，不满足NP=3PM，

故设直线l的方程为y=kx+1，

联立y=kx+1x24+y23=1，化简得：(3+4k2)x2+8kx−8=0，

所以x1+x2=−8k3+4k2，x1x2=−83+4k2(Ⅰ)，

又NP=(−x2,1−y2),PM=(x1,y1−1)，NP=3PM，

所以−x2=3x1(Ⅱ)，

19.(1)证明：取PC的中点G，连接EG，FG，

因为E为PD的中点，所以EG//DC，

又AB//DC，所以EG//AB，

又AB⊂平面PAB，EG⊄平面PAB，

所以EG//平面PAB，同理可证FG//平面PAB，

又因为EG∩FG=G，EG，FG⊂平面EFG，

所以平面EFG//平面PAB，又EF⊂平面EFG，

所以EF//平面PAB；

(2)解：假设存在，设DM=tPD(0≤t≤1)，如图，

取CD的中点Q，连接AQ，则AQ//BC，

以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则P(0,0,1)，B(0,1,0)，C(22,1,0),D(22,−1,0)，

故PB=(0,1,−1)，PC=(22,1,−1),P