湖南省长沙市2024-2025学年高三上册第二次月考数学检测试卷（含解析）

湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期第二次月考数学检测试卷一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，则（）A B. C. D.2.已知复数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.3.已知是奇函数，，则是成立的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.若锐角满足，则（）A. B. C.或 D.或5.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（）A.理科男生多于文科女生 B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生 D.理科女生多于理科男生6.如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm，上底面的直径为8cm，高为4cm，已知点是上底面圆周上不与直径端点重合的一点，且为上底面圆的圆心，则与平面所成的角的正切值为（）A.2 B. C. D.7.在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（）A.1 B. C. D.8.设函数，若，则a的最小值为（）A. B. C.2 D.1二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知，且，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布10.已知函数最大值为2，其部分图象如图所示，则（）A.B.函数为偶函数C.满足条件正实数存在且唯一D.是周期函数，且最小正周期为11.已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（）A.的斜率为B.是锐角三角形C.四边形的面积是D.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12.在中，是边上的高，若，则______．13.已知定义在R上的函数满足，则曲线y=fx在点处的切线方程为_____________.14.小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将中的1颗糖放入中，否则将中的1颗糖放入中，直到无法继续游戏．那么游戏结束时中没有糖的概率是__________．四､解答题（本大题共5小题，共77分，解签应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）15.已知数列中，，且为数列的前项和，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．16.如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，.（1）证明：平面平面；（2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值.17已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若对于任意的，都有恒成立，求a的取值范围．18.已知双曲线的左､右焦点分别为的一条渐近线方程为，过且与轴垂直的直线与交于，两点，且的周长为16.（1）求的方程；（2）为双曲线右支上两个不同的点，线段的中垂线过点，求的取值范围.19.对于集合，定义运算符“”两式恰有一式成立}，表示集合中元素的个数．（1）设，求；（2）对于有限集，证明，并求出固定后使该式取等号的的数量；（用含的式子表示）（3）若有限集满足，则称有序三元组为“联合对”，定义，．①设，求满足“联合对”的数量；（用含的式子表示）②根据（2）及（3）①的结果，求中“联合对”的数量．湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期第二次月考数学检测试卷一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】解绝对值不等式与指数不等式可化简集合，再利用交集的定义求解即可.【详解】，由指数函数的性质可得，所以.故选：D.2.已知复数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用表示以0,1为圆心，为半径的圆，表示圆上的点到原点的距离可得答案.【详解】因为在复平面内，表示到点0,1距离为1的所有复数对应的点，即表示以0,1为圆心，为半径的圆，表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为，最长距离为，则的取值范围是0,2.故选：D.3.已知是奇函数，，则是成立的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】当成立，判断是否成立，再由成立时，判断是否成立，即可知是成立何种条件.【详解】由是奇函数，则，即，解得，所以，当时，，，，所以是奇函数，所以，所以是的充要条件.故选：A.4.若锐角满足，则（）A. B. C.或 D.或【正确答案】B【分析】先利用辅助角公式求出，再利用角的变换，结合诱导公式和二倍角公式求解即可.【详解】由题意可得，解得，因为是锐角，所以，，所以.故选：B.5.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（）A.理科男生多于文科女生 B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生 D.理科女生多于理科男生【正确答案】C【分析】将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解.【详解】根据已知条件设理科女生有人，理科男生有人，文科女生有人，文科男生有人；根据题意可知，，根据异向不等式可减的性质有，即有，所以理科女生多于文科男生，C正确.其他选项没有足够证据论证.故选：C.6.如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm，上底面的直径为8cm，高为4cm，已知点是上底面圆周上不与直径端点重合的一点，且为上底面圆的圆心，则与平面所成的角的正切值为（）A.2 B. C. D.【正确答案】A【分析】作出直线与平面所成的角，通过解直角三角形来求得直线与平面所成的角的正切值.【详解】设为下底面圆的圆心，连接和，因为，所以，又因为平面，所以平面，因为是该圆台的一条母线，所以四点共面，且，又平面，所以平面平面，又因为平面平面，所以点在平面的射影在直线上，则与平面所成角即为，过点作于点，因为，所以.故选：A7.在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（）A.1 B. C. D.【正确答案】D【分析】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论.【详解】根据题意可得直线恒过点，该点在已知园内，圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示：易知圆心到直线的距离为，所以，又，可得；因此可得，所以的面积为.故选：D8.设函数，若，则a的最小值为（）A. B. C.2 D.1【正确答案】B【分析】根据对数函数性质判断在不同区间的符号，在结合二次函数性质得为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值.【详解】函数定义域为，而，，，要使，则二次函数，在上，在上，所以为该二次函数的一个零点，易得，则，且开口向上，所以，只需，故a的最小值为.故选：B二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知，且，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布【正确答案】BC【分析】利用二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质计算判断AB；利用二项分布的概率公式计算判断C；利用二项分布与超几何分布的关系判断D.【详解】对于A，由，得，则，A正确；对于B，由，得，则，B错误；对于C，由，得，故，C错误；对于D，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D正确.故选：BC10.已知函数的最大值为2，其部分图象如图所示，则（）A.B.函数偶函数C.满足条件的正实数存在且唯一D.是周期函数，且最小正周期为【正确答案】ACD【分析】根据题意，求得函数，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由函数，且，因为函数的最大值为，可得，解得，又因为，所以，所以A正确；因为，且函数在的附近单调递减，所以，所以，又因为，可得，所以，解得，所以，此时，其最小正周期为，所以C、D正确；设，，所以Fx为奇函数，即函数为奇函数，所以B不正确.故选：ACD.11.已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（）A.的斜率为B.是锐角三角形C.四边形的面积是D.【正确答案】ABD【分析】根据题意分析可知为等边三角形，即可得直线的倾斜角和斜率，进而判断A；可知直线的方程，联立方程求点的坐标，求相应长度，结合长度判断BD；根据面积关系判断C.【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，即，设，则，可得，因为，即，可知为等边三角形，即，且∥x轴，可知直线的倾斜角为，斜率为，故A正确；则直线，联立方程，解得或，即，，则，可得，在中，，且，可知为最大角，且为锐角，所以是锐角三角形，故B正确；四边形面积为，故C错误；因为，所以，故D正确；故选：ABD.方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；（2）面积问题常采用底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12.在中，是边上的高，若，则______．【正确答案】【分析】设，表达出，根据垂直关系得到方程，求出，进而得到答案.【详解】设，则，由得，解得，故，所以.故答案为.13.已知定义在R上的函数满足，则曲线y=fx在点处的切线方程为_____________.【正确答案】【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程.【详解】因为，所以，联立可解得，所以，所以.所以曲线在点处的切线方程为，故所求的切线方程为.故答案为.14.小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将中的1颗糖放入中，否则将中的1颗糖放入中，直到无法继续游戏．那么游戏结束时中没有糖的概率是__________．【正确答案】【分析】设最初在A中有k颗糖，B中有颗糖时，游戏结束时B中没有糖的概率为，归纳找出递推关系，利用方程得出，再由递推关系求.【详解】设A中有k颗糖，B中有颗糖，游戏结束时B中没有糖的概率为.显然，，可得，则，，同理，，解得故关键点点睛：本题的关键在于建立统一的一个6颗糖果放入2个盒子不同情况的模型，找到统一的递推关系，利用递推关系建立方程求出，即可得出这一统一模型的答案.四､解答题（本大题共5小题，共77分，解签应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）15.已知数列中，，且为数列的前项和，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【正确答案】（1）（2）【分析】(1)求出，可求出通项公式，即可求得an的通项公式；(2)求出，再讨论为奇、偶数，利用裂项相消法即可求数列的前项和.【小问1详解】根据题意知①，又因②，①式除②式可得，所以可得是以为首项，为公差的等差数列，则，所以，，当时也满足该式，所以.【小问2详解】由(1)结论可知，所以，设的前项和为，则当为偶数时，则当为奇数时，所以.16.如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，.（1）证明：平面平面；（2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）分析】（1）通过勾股定理及全等得出线线垂直，应用线面垂直判定定理得出平面，由平面进而得出面面垂直；（2）由面面垂直建立空间直角坐标系，分别求出法向量再应用向量夹角公式计算二面角余弦值.【小问1详解】证明：在平面内，过做垂直于交于点，由为等腰梯形，且，则又，所以，连接，由，可知且，所以在三角形中，，从而，又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面【小问2详解】由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，所以，由图可以看出二面角为锐角，故二面角的余弦值为.17.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若对于任意的，都有恒成立，求a的取值范围．【正确答案】（1）答案见解析（2）【分析】（1）对求导，可得，再分类讨论的取值，得出导数的正负即可得出单调区间；（2）对进行分类讨论，根据导数的正负求得的最小值，判断是否满足，即可求解．【小问1详解】对求导，可得，令，即，即，当时，f'x>0恒成立，在上单调递增；当时，，当时，在上单调递减；当时，f'x>0，在上单调递增；综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．【小问2详解】因为对于任意的，都有恒成立，对求导，可得，令，即，即，①当时，f'x>0，则在0,+∞单调递增，②当时，，则，则，在0,+∞单调递增，，符合题意；③当时，，则，当时，，则在单调递减，当时，，则在单调递增，所以，令，则，所以在1,+∞上单调递减，所以，不合题意；综上所述，．18.已知双曲线的左､右焦点分别为的一条渐近线方程为，过且与轴垂直的直线与交于，两点，且的周长为16.（1）求的方程；（2）为双曲线右支上两个不同的点，线段的中垂线过点，求的取值范围.【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）将代入曲线E得，故得，从而结合双曲线定义以及题意得，解出即可得解.（2）设，联立双曲线方程求得中点坐标，再结合弦长公式求得的正切值，进而得范围，从而由即可得解.【小问1详解】将代入，得，所以，所以，所以由题得，，所以双曲线的方程为.【小问2详解】由题意可知直线斜率存在且，设，,设的中点为.由消去y并整理得，，则，即，，，，于是点为，，.由中垂线知，所以，解得.所以