2024-2025学年四川省绵阳市高二上册11月月考数学检测试卷合集2套（含解析）

2024-2025学年四川省绵阳市高二上学期11月月考数学检测试卷（一）一、单选题（每题5分，共8小题，总计40分）1.直线的一个方向向量是（）A. B. C. D.【正确答案】B解析：直线的斜率为，则选项中是直线的一个方向向量，即B正确．故选：B．2.为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【正确答案】C解析：对选项A：，向量共面，故不能构成基底，错误；对选项B：，向量共面，故不能构成基底，错误；对选项C：假设，即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；对选项D：，向量共面，故不能构成基底，错误；故选：C3.今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得24000元奖金.比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？（）A.甲12000元，乙12000元 B.甲16000元，乙8000元C.甲20000元，乙4000元 D.甲18000元，乙6000元【正确答案】D解析：乙最终获胜的概率为，甲最终获胜的概率为，所以甲乙两人按照分配奖金才比较合理，所以甲元，乙元，故选：D4.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15【正确答案】B解析：三次投篮共有20种，恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种∴该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为故选：B5.如图，空间四边形中，，，.点在上，且，为的中点，则（）A. B. C. D.【正确答案】C解析：为的中点，,.故选：C.6.十项全能是田径运动中全能项目的一种，是由跑、跳、投等个田径项目组成的综合性男子比赛项目，比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者.如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法不正确的是（）A.在米跑项目中，甲的得分比乙的得分高B.在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当C.甲的各项得分比乙的各项得分更均衡D.甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大【正确答案】C解析：对于A，由图中数据知，在米跑项目中，甲的得分比乙的得分高，正确；对于B，由图中数据知，在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当，正确；对于C，甲的各项得分差异比乙的各项得分差异大，因此乙的各项得分更均衡，不正确；对于D，甲的各项得分的极差大于400，乙的各项得分的极差小于200，所以乙的各项得分的极差大，正确.故选：C.7.设直线l方程为，则直线l的倾斜角的范围是（）A. B. C. D.【正确答案】D解析：当时，方程为，直线的倾斜角，当时，由直线方程可得斜率，，且，，即，又，，综上，倾斜角的范围是故选：D．8.如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为（）A.3 B.6 C.7 D.8【正确答案】A解析：以为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间坐标系，如图所示：设正方体的棱长为，则，，，，，，，，因为，且，所以点在平面内，又因为三棱锥为正三棱锥，当平面时，取最小值，此时点位置记为点，所以为的重心，则，故，又因为，，，，，，，所以，，，，，，，所以共3个不同的取值.故选：A.二、多选题（每题5分，共4小题，总计20分）9.甲､乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（）A.事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不是互斥事件B.事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件C.事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件D.事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件【正确答案】BC解析：对于A，事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不可能同时发生，二者为互斥事件，A错误；对于B,事件“甲投得6点”发生与否对事件“乙投得5点”没有影响，二者是相互独立事件，B正确；对于C，事件“甲､乙都投得6点”的反面为“至少有1人没有投得6点”，也即“甲､乙不全投得6点”，故事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件，C正确；对于D，事件“至少有1人投得6点”包含“甲投得6点且乙没投得6点”的情况，故事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”不是相互独立事件，D错误，故选：BC10.直线过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线在轴上的截距可能是（）A.3 B.0 C. D.1【正确答案】ABD解析：由题意，直线过点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等，当直线的截距为0时，显然满足题意，为：；当直线的截距不为0时，设横、纵截距分别为，则直线方程为：，∴，解得：或，∴直线的纵截距可取.故选：ABD.11.某校高二年级有男生600人，女生400人，小华按男生、女生进行分层，通过分层抽样的方法，得到一个总样本量为100的样本，计算得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm，方差分别为15和30，则下列说法正确的有（）A.若小华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则男生、女生分别应抽取60人和40人；B.若小华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的方差为37.8；C.若小华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的平均数为166，此时可用样本平均数估计总体的平均数；D.若小华采用等额抽取，即男生、女生分别抽取50人，则某男生甲被抽到的概率为.【正确答案】AC解析：A选项，男生抽取，女生抽取人，A选项正确.C选项，样本平均数为，可以用样本平均数估计总体的平均数，C选项正确.B选项，样本方差为，所以B选项错误.D选项，男生甲被抽到的概率为，D选项错误.故选：AC12.如图，在长方体中，点P是底面内的动点，分别为中点，若，则下列说法正确的是（）A.最大值为1B.四棱锥的体积和表面积均不变C.若面，则点P轨迹的长为D.在棱上存在一点M，使得面面【正确答案】ACD解析：对于A，，当点与点重合时，，即，所以，所以，所以最大值为1，故A正确；对于B，因为点到底面的距离为，底面面积为，所以四棱锥的体积为，是定值；当点与点重合时，四个侧面都为直角三角形，所以表面积为，当点为上底面的中心时，连接，则，且，，此时表面积为，所以，故C错误；

对于C，取的中点，的中点，分别连接，可得，因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面，所以平面，且，平面，所以平面平面，当时，平面，可得面，则点P轨迹为线段，此时，故C正确；对于D，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，所以，设，则，，，设平面的一个法向量为，所以，，令可得，设平面的一个法向量为，所以，，令可得，由，解得，满足题意，故D正确.故选：ACD三、填空题（每题5分，共4小题，总计20分）13.在空间直角坐标系中，点到平面的距离为________.【正确答案】5解析：到平面的距离为竖坐标的绝对值，即为5故514.已知直线互相垂直，则的值为______.【正确答案】.解析：因为直线互相垂直，则有，即，进一步化简得，解得或，故答案是0或2.15.在正四棱锥S­ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是________．【正确答案】30°解析：解：如图所示，以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，，则＝(2a，0，0)，＝，＝(a，a，0)．设平面PAC的法向量为＝(x，y，z)，因为⊥，，所以所以x＝0，y＝z，令y＝1，则＝(0，1，1)是平面PAC的一个法向量，所以cos〈〉＝，所以〈〉＝60°，所以直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°＝30°．故30°．16.已知正三棱柱的所有棱长均为2，为线段上的动点，则到平面的最大距离为________.【正确答案】解析：取的中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱，所以，平面，因为平面，所以，所以以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正三棱柱的所有棱长均为2，所以，设，则，所以,当时，，设平面的法向量为，则，令，则，设到平面的距离为，则，当时，设平面的法向量为，则，令，则，设到平面的距离为，则，所以当时，取得最大值，因为，所以到平面的最大距离为，故四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知直线过点．（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；（2）若直线与两坐标轴上围成的三角形面积为，求直线的方程．【正确答案】（1）（2）或（1）设直线的方程为过点，的方程：；（2）设直线的方程为，横截距为，纵截距为，，或，方程为或.18.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（2）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．【正确答案】（1）（2）解析：甲校的男教师用A、B表示，女教师用C表示，乙校的男教师用D表示，女教师用E、F表示，（1）根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，有（AD），（AE），（AF），（BD），（BE），（BF），（CD），（CE），（CF），共9种；其中性别相同的有（AD）（BD）（CE）（CF）四种；则选出的2名教师性别相同的概率为P=；（2）若从报名的6名教师中任选2名，有（AB）（AC）（AD）（AE）（AF）（BC）（BD）（BE）（BF）（CD）（CE）（CF）（DE）（DF）（EF）共15种；其中选出的教师来自同一个学校的有6种；则选出的2名教师来自同一学校的概率为P=．19.如图，在四棱锥中，底面，，，，.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【正确答案】（1）（2）（1）因为底面，底面，所以，，且，，所以，以为坐标原点，分别以为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，所以，故异面直线与所成角的余弦值为.（2），设平面的法向量为，则，即，令，得.易知是平面的一个法向量，因为，所以平面与平面夹角的余弦值为.20.从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：等级ABCDE人数比例赋分区间将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：（1）根据频率分布直方图，求此次化学考试成绩的平均值；（2）按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间；（3）用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成线的原始分为90，试计算其等级分.【正确答案】（1）73（2）（3）91分（1）由，可得，此次化学考试成绩的平均值为分．（2）由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间的占比为，位于区间的占比为，因为成绩A等级占比为，所以等级A的原始分区间的最低分位于区间，估计等级A的原始分区间的最低分为，已知最高分为98，所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为．（3）由，解得，该学生的等级分为91分．21.如图,在四棱锥中,底面是菱形,,三角形为正三角形,且侧面底面.分别为线段,的中点.（1）求证:平面;（2）在棱上是否存在点,使平面平面,请说明理由.【正确答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析（1）连接交于点,连接,因为四边形是菱形,所以点为的中点.又因为为的中点,所以.又因为平面平面,所以平面.（2）在棱上存在点为的中点时,平面平面.证明:连接.因为为正三角形,为的中点,所以,又因为平面平面,平面平面平面.所以平面,又平面,所以,因为是菱形,为的中点,所以是正三角形,,因为,所以,因为,平面,平面,所以平面,又平面,所以.因为分别为的中点,所以,所以,因为是菱形,,所以是正三角形.又因为为的中点,所以,因为,平面,平面,所以平面,因为平面,所以平面平面.22.如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，.图1图2（1）求证：平面；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，（1）因为，分别为，的中点，所以.因为，所以，所以.又，，平面，所以平面.（2）因为，，，所以，，两两垂直.以坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意有，，，，，，则，，，设平面的法向量，则有令，得，，所以是平面的一个法向量.因为，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）假设存在，使二面角的正弦值为，即使二面角的余弦值为.由（2）得，，所以，，.易得平面的一个法向量为.设平面的法向量，，解得，令，得，则是平面的一个法向量.由图形可以看出二面角的夹角为锐角，且正弦值为，故二面角的余弦值为，则有，即，解得，.又因为，所以.故存在，使二面角的正弦值为2024-2025学年四川省绵阳市高二上学期11月月考数学检测试卷（二）注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，已知向量若则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据空间向量垂直的坐标表示运算求解.由可得，即，解之可得.故选：D2.近日，2024中国最具幸福感城市调查推选活动正式启动，在100个地级及以上候选城市名单中，成都市入选.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位成都市居民，他们的幸福感指数分别为4，4，5，6，7，7，7，8，9，10，则下列说法错误的是（）A.该组数据的第70百分位数为7.5 B.该组数据的极差为6C.该组数据的众数为7 D.该组数据的平均数为7.2【正确答案】D【分析】利用百分位数的求法判断A，利用极差的求法判断B，利用众数的求法判断C，利用平均数的求法判断D，从而得解对于A，因为这组数据为4，4，5，6，7，7，7，8，9，10，共10个数，又，所以该组数据的第70百分位数为，故A正确；对于B，该组数据的极差为，故B正确；对于C，易知该组数据的众数为7，故C正确；对于D，该组数据的平均数为，故D错误.故选：D.3.若直线与直线相互平行，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据两直线平行可得出关于实数应满足的关系式，求解即可.因为直线与直线相互平行，所以，即，解得或.故选：C.4.事件发生的概率为，事件发生的概率为，若，，，则事件与事件的关系为（）A互斥 B.对立 C.独立 D.包含【正确答案】C【分析】利用对立事件的概率公式求出，根据求出的值，再利用独立事件的定义判断可得出结论.由对立事件的概率公式可得，因为，即，可得，所以，，因此，事件与事件独立.故选：C.5.如图，、分别是四面体的边、的中点，是靠近的三等分点.若向量，，，则（）A. B.C D.【正确答案】A【分析】利用空间向量的加法和减法可得出在基底下的表达式.因为是靠近的三等分点，则，所以，，所以，，则，因为为的中点，则，因为为的中点，则，因此，.故选：A.6.在长方体中，，，，则异面直线与的距离是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】建立空间直角坐标系，求解直线与的公垂线的方向向量，利用异面直线距离的向量公式求解即可.如图，以为原点，分别以，，为，，轴的正向建立空间直角坐标系，则A2,0,0，，，，，，设直线与的公垂线的方向向量为，则，取，则，，，又，异面直线与的距离是.故选：A.7.坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性及身体柔韧性.在对某高中1000名高二年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用分层随机抽样的方法抽取100人，已知这1000名高二年级学生中男生有600人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为14.5cm和14.84，女生成绩的平均数和方差分别为15.5cm和17.64.则总体方差（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据分层抽样的比例确定男女生人数分别为，结合两个样本平均数即可求得总样本的平均数，进而求得方差.按照分层随机抽样，设在男生､女生中分别抽取m名和n名，则，解得，由题意，男生样本的平均数为，样本方差为，女生样本的平均数为，样本方差为，记抽取的总样本的平均数为，总样本的样本方差为，可得，所以.故选：C.8.已知直线过定点，直线过定点，直线与直线的交点为，则的最大值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用直线过定点的求法到，再判断得，从而得到点为以为直径的圆上的点，进而得到的值，最后利用不等式求最值即可得解.直线的方程可整理为，令，解得，所以，直线的方程可整理为，令，解得，所以，又对于直线与直线，因，所以，所以两直线的交点为以为直径的圆上的点，而，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若，则与是对立事件B.扔两枚相同的硬币，恰好一正一反的概率为C.甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样，如果抽取的乙个体数为6，则样本容量为18D.若一组数据方差为16，则另一组数据的方差为4【正确答案】CD【分析】A、B选项由对立事件的概念和古典概型的计算来判断选项是正确还是错误，C、D由分层抽样和方差的性质判断是正确还是错误.A选项：事件与事件满足：且，故A选项错误；B选项：由古典概型得一正一反的概率为，故B选项错误；C选项：分层抽样也叫按比例抽样，样本比例与总数比例相同，即，C选项正确；D选项：因为，即，所以当时，，D选项正确.故选：CD.10.如图，平行六面体中，，，则下列说法中正确的是（）A.B.异面直线与所成角的正弦值为C.平面D.直线与平面所成角的正切值为【正确答案】ACD【分析】全部通过向量基底法来转化为向量模长，向量夹角，向量垂直即可，通过计算判断各个说法的正确性即可.对于A,首先，..展开.已知，.可得，，.则，所以，A正确.对于B,因为，所以异面直线与所成角等于或其补角.由，.，，，所以.又，.可得，则，B错误.对于C,因为平行六面体，所以，..则..因为且，即垂直于平面内相交直线和，所以平面.C正确.对于D,，,则由对称性知道在平面的投影一定在上，则即为直线与平面所成角.由于.两边平方则.则.又.则所以，则.且得.又.则.则.D选项正确.故选：ACD.11.在空间直角坐标系中，过点，且以为方向向量的空间直线的方程为：；过点，以为法向量的平面的方程为：，则下列说法正确的是（）A.已知平面，直线，则B.已知平面，直线，则到的距离为C.已知平面，直线，则与所成角的正弦值为D.已知平面，直线（为任意实数），当且时，【正确答案】ACD【分析】根据平面的法向量及直线的方向向量，结合线面位置关系、线面角及点面距离的向量求法分别判断各选项.A选项：平面，即，则平面的法向量，直线，即，直线的方向向量，则，即，A正确；B：平面过点，法向量，直线过点，方向向量，则，即，则平面，又，则直线到平面的距离，B错误；C：平面的法向量，直线，即，方向向量，则，所以与所成角的正弦值为，C正确；D：平面的法向量，直线，过点，方向向量，则，又当且时，点不在平面上，所以，D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若直线经过，则直线的斜率为___________.【正确答案】##【分析】利用两点斜率公式即可得解.因为直线经过，所以直线的斜率为.故答案为.13.盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球，将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为______.【正确答案】【分析】依题意由事件代表的随机数计算出符合题意的随机数组数，由古典概型公式计算可得结果.根据题意可知“联”、“盟”两个字都抽取到，代表三个数字中同时出现数字2和3，观察发现组随机数中有233，320，231，231，132，123，023，230，321，232，共10组，再由古典概型公式计算可得事件发生的概率为.故14.在三棱锥中，平面平面，，，点为的中点，是上的一个动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为___________.【正确答案】【分析】先由证得，；再以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，求得的坐标，由题意设，球心，得到，求得的最小值，进而得三棱锥的外接球面积的最小值.因为平面平面，,且平面平面，平面,所以平面，平面,所以.在△中，因为，，∴，，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，过且垂直于平面ABC的直线为轴，建立空间直角坐标系.∵点为的中点，是上的一个动点，∴，，设△的重心为，则，三棱锥外接球的球心为，则，则有，即则，∴，当且仅当，即时，等号成立.设三棱锥外接球半径为，表面积为，则所以.故答案为.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的.（1）求比赛只需打三局的概率；（2）已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）“比赛只需打三局”可看作互斥事件“甲前三局都获胜”与“乙前三局都获胜”的和事件，可按相互独立事件积事件的概率与互斥事件和事件的概率求解即可；（2）“甲最终获胜”是互斥事件“第三局甲胜”、“第三局甲输第四局甲胜”与“第三局第四局甲均输第五局甲胜”的和事件，按相互独立事件积事件的概率与互斥事件和事件的概率求解即可；【小问1】设事件=“甲前三局都获胜”，事件=“乙前三局都获胜”，则，，比赛只需打三局的概率为：.【小问2】甲需要打三局的概率为：，甲需要打四局的概率为：，甲需要打五局的概率为：，则甲最终获胜的概率为.16.已知直线过两点.（1）求直线的一个单位方向向量的坐标及直线的方程；（2）若过点的直线满足，设直线与轴的正半轴的交点为点，求的面积.【正确答案】（1）（也可），（2）【分析】（1）利用两点斜率公式求得直线的斜率，进而得到它的单位向量，再利用点斜式求得其方程，从而得解；（2）利用直线垂直，结合点斜庇求得直线，进而求得点，再利用两点距离公式与三角形面积公式即可得解.【小问1】因为直线过两点，所以直线的斜率，所以是直线的一个方向向量，则，则取即为直线的一个单位方向向量，（也可），又因为直线的斜率，则直线的方程为，即.【小问2】因为，所以直线的斜率，，则直线的方程为，即，在方程中，令得，即，所以，由（1）知，所以.17.会理石榴，凉山彝族自治州会理市特产.会理石榴果大、色艳、皮薄、粒软、味浓、有微香、余味长，含有人体所需的多种维生素和氨基酸，可食部分百分率较高，可溶性固性物含量较高，籽粒“透明晶亮若珍珠，果味浓甜如蜂蜜”，品质佳良.每年月份正是石榴成熟之季，各大网红、电商纷纷前来会理带货石榴.一电商老板收果时要求石榴重量(单位：克)如下：克以下的为次果，克为小果，克为中果，克为大果，克及以上为特大果.为了了解果农家石榴情况，在果园里随机摘取了个石榴称重量（单位：克）并统计分析，绘制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）.（1）根据频率分布直方图，求图中的值和估计这个石榴的平均重量及第百分位数(每组数据用所在区间的中点值作代表)（2）此电商老板来收购果农家石榴，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该石榴果园中有石榴大约万个，在今年的石榴行情下，电商老板提出以下两种收购方案：方案①：所有石榴以元/千克收购；方案②：对重量低于克的石榴以元/个收购，对重量高于或等于克的石榴以元/个收购．请通过计算确定果农选择哪种方案获利更多？【正确答案】（1），平均重量为克，第百分位数为克（2）选择方案②获利多【分析】（1）根据频率分布直方图频率之和为，列方程可得，再根据平均数与百分位数的定义与计算公式可得平均数与百分位数；（2）方案①：根据（1）中平均重量直接计算；方案②：根据频率估计在各范围内的数量，进而计算利润.【小问1】表由题知，解得；平均重量：由频率分布直方图可知：前组的频率之和为，前组的频率之和为，则第百分位数一定位于内，设第百分位数为，则，解得；【小问2】方案①收入：（元