中考数学三轮冲刺培优训练专题22开放探究型压轴大题（原卷版）

专题22开放探究型压轴大题（最新模拟50道）一、解答题1．（2023春·陕西延安·九年级专题练习）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α(1)问题发现①当α=0°时，AEBD=______；②当α=180°时，(2)拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，AEBD(3)问题解决△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，请直接写出线段BD的长______．2．（2023春·河南驻马店·九年级驻马店市第二初级中学校考开学考试）点E是矩形ABCD边AB延长线上一动点（不与点B重合），在矩形ABCD外作Rt△ECF其中∠ECF＝90°，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G，连接DF交CG于点H．(1)发现如图1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想线段DH与HF的数量关系是______(2)探究如图2，若AB＝nAD，CF＝nCE，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．(3)拓展在（2）的基础上，若FC的延长线经过AD的三等分点，且AD＝3，AB＝4，请直接写出线段EF的值3．（2023·河北·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是10，A，B为⊙O外两点，AB＝22．给出如下定义：平移线段AB，使平移后的线段A′B′成为⊙O的弦（点A′，B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值成为线段AB到⊙O的“优距离”．(1)如图1，⊙O中的弦P1P2、P3P4是由线段AB平移而得，这两条弦的位置关系是______；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点______的线段长度等于线段AB到⊙O的“优距离”；(2)若点A（0，7），B（2，5），线段AA′的长度是线段AB到⊙O的“优距离”，则点A′的坐标为_____；(3)如图2，若A，B是直线y＝﹣x+6上两个动点，记线段AB到⊙O的“优距离”为d，则d的最小值是_____；请你在图2中画出d取得最小值时的示意图，并标记相应的字母．4．（2023春·全国·八年级期中）如图1，在矩形ABCD中，AB=a，BC=6，动点P从B出发沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′．（1）如图2，当点P在线段BC上运动时，直线PB′与CD相交于点M，连接AM，若∠PAM=45°，请直接写出∠B′AM和∠DAM的数量关系；（2）在（1）的条件下，请求出此时a的值：（3）当a=8时，①如图3，当点B′落在AC上时，请求出此时PB的长；②当点P在BC的延长线上时，请直接写出△PCB′是直角三角形时PB的长度．5．（2023春·广东深圳·八年级统考阶段练习）已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE，连接DE．(1)如图1，猜想△ADE是什么三角形？______________；（直接写出结果）(2)如图2，点D在射线CB上（点C的右边）移动时，证明∠BCE+∠BAC=180°．(3)点D在运动过程中，△DEC的周长是否存在最小值？若存在．请求出△DEC周长的最小值；若不存在，请说明理由．6．（2023·山东济南·统考一模）如图1，已知正方形AFEG与正方形ABCD有公共顶点A，点E在正方形ABCD的对角线AC上(AG<AD).(1)如图2，正方形AFEG绕A点顺时针方向旋转α(0°<α<90°)，DG和BF的数量关系是_____________，位置关系是_______________；(2)如图3，正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，求CEDG的值以及直线CE和直线DG(3)如图4，AB=8，点N在对角线AC上，CN=22，将正方形AFEG绕A顺时针方向旋转α(0°<α<360°)，点M是边CD的中点，过点M作MH∥DG交EC于点H；在旋转过程中，线段NH的长度是否变化？如果不变，请直接写出NH7．（2023春·全国·八年级期中）如图1，D、E、F是等边三角形ABC中不共线三点，连接AD、BE、CF，三条线段两两分别相交于D、E、F．已知AF=BD，(1)证明：EF=DF；(2)如图2，点M是ED上一点，连接CM，以CM为边向右作△CMG，连接EG．若EG=EC+EM，CM=GM，∠GMC=∠GEC，证明：(3)如图3，在（2）的条件下，当点M与点D重合时，若CD⊥AD，GD=4，请问在△ACD内部是否存在点P使得P到8．（2023春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校联考阶段练习）已知△ABC为等边三角形，D是边AB上一点，连接CD，点E为CD上一点，连接BE．(1)如图1，延长BE交AC于点F，若∠ABF=15°，BF=6，求AF(2)如图2，将△BEC绕点C顺时针旋转60°到△AGC，延长BC至点H，使得CH=BD，连接AH交CG于点N，猜想线段CE，GN，DE之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，AB=8，点H是BC上一点，且BD=2CH，连接DH，点K是AC上一点，CK=AD，连接DK，BK，将△BKD沿BK翻折到△BKQ，连接CQ，当△ADK的周长最小时，直接写出△CKQ的面积．9．（2023·福建三明·校考一模）在矩形ABCD中，连接AC，线段AE是线段AC绕点A逆时针旋转90°得到，平移线段AE得到线段DF（点A与点D对应，点E与点F对应），连接BF，分别交AC，CE于点M，N，连接EF．(1)求证：BN=FN；(2)求∠ABF的大小；(3)若BM=x，FN=y，求矩形ABCD的面积（用含有x，y的式子表示）．10．（2023·湖北省直辖县级单位·校联考一模）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.将∠AOB绕点O沿逆时针方向旋转α0°≤α<90°得到∠EOF，OE，OF分别交AB，BC于点E，F，连接EF交OB于点G(1)求证：①△OEF是等腰直角三角形；②△COF∽△BFG；(2)在旋转过程中，探究线段AC，EF，OG的数量关系，并说明理由；(3)若AB=3BE，OE=5，求线段OG，BF11．（2023·江苏盐城·统考一模）【问题思考】如图1，点E是正方形ABCD内的一点，过点E的直线AQ，以DE为边向右侧作正方形DEFG，连接GC，直线GC与直线AQ交于点P，则线段AE与GC之间的关系为______．【问题类比】如图2，当点E是正方形ABCD外的一点时，【问题思考】中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；【拓展延伸】如图3，点E是边长为6的正方形ABCD所在平面内一动点，【问题思考】中其他条件不变，则动点P到边AD的最大距离为______（直接写出结果）．12．（2023春·安徽合肥·八年级合肥市五十中学西校校考期中）（1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，现将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B'，点C的对应点为C'，连接BB（2）如图2，在等边△ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1，如果将△BPC绕点B逆时针旋转60°得出△BP'A，求（3）如图3，将（2）题中“在等边△ABC内有一点P”改为“在等腰直角三角形ABC内有一点P”，且BA=BC，PA=6，BP=4，PC=2，求∠BPC的度数．13．（2023春·重庆合川·九年级重庆市合川中学校考阶段练习）如图1，△ABC与△EDC为等腰直角三角形，AC=BC=6，DE=DC=2，∠ACB=∠CDE=90°，将△EDC绕着点C旋转．(1)如图2，在旋转过程中，当A、C、E三点共线(E在AC延长线上)时，连接BE，过D点作AE的垂线交AE于点G，交BE于点F，求BF的长；(2)如图3，在旋转过程中，连接AE、BE，过点D作DF⊥AE于点G，交BE于点F，请写出EF与BF的数量关系并证明．(3)如图4，在（2）的条件下，连接CF、AF，当AF最小时，请直接写出△ACF的面积．14．（2023春·湖北十堰·九年级统考阶段练习）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过点A作AD⊥BC于点D，点M为线段AD上一点（不与A，D重合），在线段BD上取点N，使DM=DN，连接AN，CM．(1)观察猜想：线段AN与CM的数量关系是______，AN与CM的位置关系是______；(2)类比探究：将△DMN绕点D旋转到如图2所示的位置，请写出AN与CM的数量关系及位置关系，并就图2的情形说明理由；(3)问题解决：已知AD=32，DM=3，将△DMN绕点D旋转，当以A、D、M、N四点为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出BN15．（2023·河南商丘·校考一模）综合与实践二轮复习中，刘老师以“最值问题”为专题引导同学们进行复习探究．问题模型：等腰三角形ABC，∠BAC=120°，AB=AC=2，(1)探究1：如图1，点D为等腰三角形ABC底边BC上一个动点，连接AD，则AD的最小值为______，判断依据为______；(2)探究2：在探究1的结论下，继续探究，作∠BAD的平分线AE交BC于点E，点F，G分别为AE，AD上一个动点，求DF+FG的最小值；(3)探究3：在探究1的结论下，继续探究，点M为线段CD上一个动点，连接AM，将AM顺时针旋转60°，得到线段AN，连接ND，求线段DN的最小值．16．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=3．点D是BC边上任意一点（不与B，C重合），连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，连接CE，点F为(1)当BD=2CD时，判断四边形CDEF的形状，并证明．(2)点D在线段BC上的什么位置时，△DEF的面积最大？请说明理由．(3)如图（1）中的△BDE绕点B旋转到如图（2）所示位置，得到△BD'E'，使得点A在直线D'E'上，连接CE'，点F'17．（2023·福建厦门·福建省厦门第六中学校考一模）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点A关于直线BE的对称点为点F，连接AF，CF．设(1)试用含α的代数式表示∠DCF；(2)作CG⊥AF，垂足为G，点G在AF的延长线上，连接DG，试判断DG与CF的位置关系，并加以证明；(3)把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF，若△HBF是等腰三角形，求18．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB，点P和图形G定义如下：线段AB绕点P逆时针旋转90°得到线段A'B'（A'和B'分别是A和B的对应点），若线段AB和A'B'均在图形(1)如图，点C1,0，D①已知图形G1：半径为3的⊙O；G2：以O为中心且边长为6的正方形；G3：以线段OD为边的等边三角形．在G1，G2，G②若半径为5的⊙O是线段CD关于点Tt,0的旋垂闭图，求t(2)已知长度为4的线段AB在x轴负半轴和原点组成的射线上，若存在点Q2+a,2−a，使得对半径为2的⊙Q上任意一点P，都有线段AB满足半径为r的⊙O是该线段关于点P的旋垂闭图，直接写出r19．（2023春·四川成都·九年级四川省成都市第七中学初中学校校考阶段练习）如图，抛物线y=ax2+2ax+c经过B1，0，(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)如图1，连接AC，点E在直线AC上方的抛物线上，连接EA，EC，当△EAC面积最大时，求点(3)如图2，连接AC、BC，在抛物线上是否存在点M，使∠ACM=∠BCO，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2023春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考阶段练习）如图，直线y=−2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B，以OB为直径的⊙M交AB于另一点C，点D在⊙M上．分别过点O，B作直线CD的垂线段，垂足为E，F，连接OC．(1)求点A，B，C的坐标．(2)当点D在直线BC右侧时，①求证：EC⋅CF=OE⋅BF；②求证：EC=DF．(3)CD与EF的距离和是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请直接写出取到最小值时直线CD的解析式．21．（2023春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知A(−2，0)，B(4，0)，点C是在y轴的负半轴上，且△ABC的面积为9．(1)点C的坐标为_______；(2)P是第四象限内一点且横坐标为m，tan∠PBA=3①连接AP，交线段BC于点D．根据题意画出示意图并求PDDA的值（用含m②连接CP，是否存在点P，使得∠BCO＋2∠PCB=90°22．（2023·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）如图，矩形AOBC的顶点B，A分别在x轴，y轴上，点C坐标是5，4，D为BC边上一点，将矩形沿AD折叠，点C落在x轴上的点E(1)如图1，求点D的坐标；(2)如图2，若P是AF上一动点，PM⊥AC交AC于M，PN⊥CF交CF于N，设AP=t，FN=s，求(3)在（2）的条件下，是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点23．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c经过A0,1，B4,−1．直线AB交x轴于点C，P是直线AB上方且在对称轴右侧的一个动点，过P作PD⊥AB，垂足为D(1)求抛物线的函数表达式；(2)当5PD+PE的最大值时，求此时点P的坐标和5(3)将抛物线y关于直线x=3作对称后得新抛物线y'，新抛物线与原抛物线相交于点F，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面中任意一点，是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N24．（2023·吉林长春·统考一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=20，点D从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB方向运动，到点B停止．当点D与A、B两点不重合时，作DP⊥AC交AC于点P，作DQ⊥BC交BC于点Q．E为射线CA上一点，且∠CQE=∠BAC．设点D的运动时间为t（秒）．(1)AB的长为______．(2)求CQ的长．（用含有t的代数式表示）(3)线段QE将矩形PDQC分成两部分图形的面积比为1:3时，求t的值．(4)当t为某个值时，沿PD将以D、E、Q、A为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的t值．25．（2023·广东云浮·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的其中两边分别在坐标轴上，它的两条对角线交于点E，其中OA=6cm，OB=8cm，动点M从点C出发，以1cm/s的速度在CB上向点B运动，动点N同时从点B出发，以2cm/(1)请直接写出BM，(2)当t为何值时，△MNB与△OBC相似；(3)记△MNE的面积为S，求出S与t的函数表达式，并求出S的最小值及此时t的值．26．（2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考阶段练习）如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连接AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G．(1)求证：∠CAG=∠AGC；(2)当点E在AB上，连接AF交CD于点P，若EFCE=2(3)当点E在射线AB上，AB=2，四边形ACOF中有一组对边平行时，求AE的长．27．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）在△ABC中，AB=AC=10，△ABC的面积为30，点D为AC的中点，动点P由点A以每秒5个单位的速度向点B运动，连接PD，以PD、DC为邻边作▱PDCQ，设▱PDCQ与△ABC的重叠部分面积为S，设点P的运动时间为(1)tanA=(2)求点Q落在BC上时t的值．(3)在点P运动的过程中，求S与t之间的函数关系式．(4)若点A关于PD所在直线的对称点为A'，当点A'落在△ABC一边上的高上时，直接写出28．（2023·山西晋中·统考一模）问题情境：在综合实践课上，同学们以“正方形的旋转”为主题开展活动．如图①，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，边长分别是12和13，将顶点A与顶点E重合，正方形EFGH绕点A逆时针方向旋转，连接BF，初步探究：(1)试猜想线段BF与DH的关系，并加以证明；(2)如图②，在正方形EFGH的旋转过程中，当点F恰好落在BC边上时，连接CG，求线段CG的长；(3)在图②中，若FG与DC交于点M，请直接写出线段MG的长．29．（2023·江苏无锡·校联考一模）抛物线y=ax2+bx+3过点A−1，(1)直接写出抛物线的表达式及点C的坐标；(2)如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF=∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的最大值．30．（2022春·上海徐汇·九年级统考期中）已知⊙O的直径AB=4，点P为弧AB上一点，连接PA、PO，点C为劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），连接BC交PA、PO于点D、E．(1)如图，当AD=DP时，求DEEB(2)当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数；(3)当AD=2DP，且△BEO为直角三角形时，求BC的长．31．（2022·广东东莞·一模）如图，△ADE由ΔABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P(1)求∠BDE的度数；(2)F是EC延长线上的点，且∠CDF=∠DAC．①判断DF和PF的数量关系，并证明；②求证：EPPF32．（2023春·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考阶段练习）（1）问题发现：如图①，△ABC和△ADE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BD,CE①线段BD,CE之间的数量关系为___________；②∠BEC（2）拓展探究：如图②，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，点B,D,E在同一直线上，连接BD,CE，求BDCE的值及（3）解决问题：如图③，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠B=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F，点D在BC上，AD=3BD，求33．（2023春·辽宁本溪·九年级统考阶段练习）如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC，EC=DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE相交于点F．小明和小军想要探究线段AF，(1)问题探究：他们先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，(2)再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，（1）中的结论是否成立．若成立请证明，若不成立请写出正确结论并说明理由．(3)问题拓展：如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=kAC，EC=kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，34．（2023·河南洛阳·统考一模）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：折叠正方形纸片ABCD，使顶点A落在边DC上点P处，得到折痕EF，把纸片展平；（如图1）操作二：折叠正方形纸片ABCD，使顶点B也落在边DC上点P处，得到折痕GH，GH与EF交于点O．连接OA，OB，OP．根据以上操作，直接写出图2中与OP相等的两条线段______和______．(2)探究发现把图2中的纸片展平，得到图3，小亮通过观察发现无论点P在线段DC上任何位置，线段OE和线段OF始终相等，请你直接用第一问发现的结论帮小亮写出完整的证明过程．(3)拓展应用已知正方形纸片ABCD的边长为6cm，在以上的探究过程中，当点O到AB距离是73cm时，请直接写出35．（2023春·江苏南京·八年级校考期中）如图，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，(1)将▱ABCD纸片按图①的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段________，________；S矩形(2)▱ABCD纸片还可以按图②的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求(3)如图③，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD<BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出36．（2023·吉林长春·校联考一模）如图，BD是▱ABCD的对角线，AB⊥BD，BD=8cm，AD=10cm．动点P从点D出发，以5cm/s的速度沿DA运动到终点A，同时动点Q从点B出发，沿折线BD−DC运动到终点C，在BD、DC上分别以8cm/s、6cm/s的速度运动，过点Q作QM⊥AB，交射线AB于点M，连结PQ；以PQ与QM为边作▱PQMN，设点P的运动时间为tst>0，▱PQMN与(1)AP=______cm（用含t的代数式表示）．(2)当点N落在边AB上时，求t的值．(3)当点Q在线段DC上运动时，t为何值时，S有最大值？最大值是多少？(4)连结NQ，当NQ与△ABD的一边平行时，直接写出t的值．37．（2023·江苏淮安·统考一模）【基础模型】：如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B，求证：AC【尝试应用】：如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A，若BF=6，BE=4，求AD的长．【更上层楼】：如图，在菱形ABCD中，E是直线AB上一点，F是菱形ABCD内一点，EF//AC，AC=2EF，∠EDF=12∠BAD，AE=2，DF=538．（2023·广东深圳·统考一模）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AE，记旋转角为α，连接BE，过点B作BF⊥直线DE，垂足为点F，连接CF．(1)如图1，当α=30°时，△BEF的形状为______，DECF(2)当90°<α<180°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请根据图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②如图3，正方形ABCD边长为4，DN⊥BE，CM⊥BE，在AE旋转的过程中，是否存在△AMN与△BEF相似？若存在，则CF的值为______，若不存在，请说明理由．39．（2023年浙江省宁波市初中学业水平考试数学模拟试卷（探花卷））（1）【问题初探】如图1，E是正方形ABCD的边BC上一点，延长BA至点F，使AF=CE，连接DE，DF．求证：△DCE≌（2）【问题再探】如图2，E，M分别是正方形ABCD的边BC，AB上一点，分别过点M，E作MP⊥CD于点P，EQ⊥AD于点Q，线段QE，MP相交于点N．连接DM，DE，ME，PQ，若∠MDE=45①求证：AM+CE=ME．②探究△NME和△NPQ的面积关系，并说明理由．（3）【问题延伸】如图3，在正方形ABCD中，E，M分别是射线CB，BA上一点，【问题再探】中的其余条件不变，请直接判断△NME和△NPQ的面积关系是否仍成立．40．（2023·湖南·校联考一模）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．(1)下列选项中一定是“等补四边形”的是________；A．平行四边形；B．矩形；C．正方形；D．菱形(2)如图1，在边长为a的正方形ABCD中，E为CD边上一动点（E不与C、D重合），AE交BD于点F，过F作FH⊥AE交BC于点H．①试判断四边形AFHB是否为“等补四边形”并说明理由；②如图2，连接EH，求△CEH的周长；③若四边形ECHF是“等补四边形”，求CE的长．41．（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D为边AB的中点．动点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿BA运动到终点A．连结CP，作点D关于CP的对称点D'，连结PD'，设点P(1)点C、D之间的距离为______．(2)用含t的代数式表示PD(3)当PD'⊥AB(4)当点D'在△ABC内部时，直接写出t42．（2023春·四川成都·九年级四川省成都市第七中学初中学校校考阶段练习）模型建立：(1)如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ACD=∠B，求证：AC(2)类比探究：如图2，在菱形ABCD中，E、F分别为边BC、DC上的点，且∠EAF=12∠BAD，射线AE交DC的延长线于点M，射线AF交BC①求证：FA②若AF=4，CF=2，AM=10，求FN的长．43．（2023春·河南商丘·九年级校考阶段练习）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点（不与点A，B重合），连接AC，BC．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出∠ABC的平分线，交半圆O于点D．（保留作图痕迹，不写做法）(2)如图2，在（1）的条件下，过点D作半圆的切线，交BC的延长线于点F，作DE⊥AB于点E，连接BD．①求证：△BED≌△BFD．②若AB=8，BC=2CF，请直接写出DE的长．44．（2023春·广东广州·九年级华南师大附中校考阶段练习）四边形ABCD是正方形，E是直线BC上一点，连接AE，在AE右侧，过点E作射线EP⊥AE，F为EP上一点．(1)如图1，若点E是BC边的中点，且EF=AE，连接CF，则∠DCF=________°；(2)如图2，若点E是BC边上一点（不与B，C重合），∠DCF=45°，判断线段EF与AE的数量关系，并说明理由；(3)若正方形边长为1，且EF=AE，当AF+BF取最小值时，求△BCF的面积．45．（2023·湖北武汉·校联考一模）问题提出：如图（1），在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，D是△ABC内一点，AD⊥CD，∠ACD=30°，若AD=1，连接(1)问题探究：请你在图（1）中，用尺规作图，在AB左侧作△ABE，使△ABE∽△ACD．（用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，不说明理由）(2)根据（1）中作图，你可以得到CD与BE的位置关系是_______；你求得BD的长为_______；(3)问题拓展：如图（2），在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，D是△ABC内一点，若AD=746．（2023春·河北保定·九年级统考阶段练习）如图1，已知直线l1：y=x+3，点B0,b在直线l1上．y=mx+n是过定点P1,0的一簇直线．嘉淇用绘图软件观察m与n的关系．记y=mx+n过点(1)求b的值及l2(2)探究m与n的数量关系；当y=mx+n与y轴的交点为0,1时，记此时的直线为l3，l3与l1的交点记为A(3)当y=mx+n与直线l1的交点为整点（横、纵坐标均为整数），且m的值也为整数时，称y=mx+n①在如图2所示的视窗下（−2.5≤x≤2.5，−2.5≤y≤2.5），求y=mx+n为“美好直线”时m的值；②视窗的大小不变，改变其可视范围，且变化前后原点O始终在视窗中心．现将图2中坐标系的单位长度变为原来的1k，使得在视窗内能