18.2.1+矩形（第1课时+矩形的性质）（教学设计）八年级数学下册(人教版)

.2.1矩形（第1课时矩形的性质）教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》八年级下册（以下统称“教材”）第十八章“平行四边形”18.2.1矩形（第一课时矩形的性质）.这节课主要学习的内容有：1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.通过与平行四边形的对比，明确矩形是特殊的平行四边形，它在具备平行四边形所有性质的基础上，还拥有自身独特的性质.2.矩形的性质：从边、角、对角线三个方面展开.矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.这两个性质是矩形区别于一般平行四边形的关键特征.3.直角三角形的一个重要性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.此性质是矩形性质的延伸应用，通过构造矩形可以直观地证明这一结论，体现了知识之间的紧密联系.2.内容解析矩形是在学生已经学习了平行四边形的定义、性质和判定的基础上进行研究的.它既是平行四边形知识的延续和深化，也是后续学习菱形、正方形等特殊四边形的基础，起到了承上启下的作用.通过对矩形性质的探究，学生能够进一步理解特殊与一般的关系，体会类比、转化等数学思想方法，培养学生的观察、分析、归纳和推理能力，为学生的几何学习积累经验，提升学生的数学素养.同时，矩形在实际生活中有着广泛的应用，如门窗、桌面等，学习矩形的性质有助于学生更好地认识和理解周围的世界，体会数学与生活的紧密联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并掌握矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质.二、目标和目标解析1.目标（1）理解矩形的定义，探索并掌握矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质；（2）应用矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质进行计算与证明.2.目标解析对于目标（1），要求学生不仅要记住矩形的定义和性质，还要能够深入理解其内涵，并能熟练运用这些知识进行计算和证明.通过实际问题的解决，检验学生对知识的掌握程度和应用能力.对于目标（2），通过应用矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质解决问题，让学生感受到数学的实用性和价值，从而激发学生学习数学的内在动力.在这个过程中，培养学生的数学思维能力和问题解决能力，让学生学会用数学的方法去思考问题和解决问题.三、教学问题诊断分析在理解矩形的定义时，部分学生可能会混淆矩形与平行四边形的关系，不能准确把握矩形是特殊的平行四边形这一关键特征.在探究矩形的性质时，学生可能不知道从哪些方面入手进行观察和分析，难以发现矩形的特殊性质.在证明矩形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质时，学生可能会遇到逻辑推理上的困难，不知道如何运用已有的知识进行证明.在运用矩形的性质解决问题时，学生可能找不到解题的思路和方法.基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：应用矩形的性质及直角三角形斜边上的中线的性质解决问题．四、教学过程设计（一）新课导入生活中处处存在着长方形，长方形也叫矩形.【设计意图】通过生活中常见的长方形物品导入新课，提高学生的学习兴趣.（二）新知探究一、矩形的定义观察下图中平行四边形的变化，你能给矩形下一个定义吗？（动图演示）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.【设计意图】培养学生的总结归纳能力，提升课堂参与感.几何语言：【小结】对定义剖析可发现，矩形的定义既是判定也是性质.二、矩形的性质因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质！观察矩形的边、角、对角线，矩形是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？活动1：请同学们以小组为单位，使用量角器和直尺测量身边的矩形(如书本，课桌等)的四个角的度数和对角线的长度，记录测量结果，提出你的猜想.猜想1：矩形的四个角都是直角.猜想2：矩形的对角线相等.你能证明猜想吗？已知：四边形ABCD是矩形，∠B=90°.求证：∠B=∠C=∠D=∠A=90°.证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠D，∠C=∠A，AB∥DC.∴∠B+∠C=180°.又∵∠B=90°，∴∠C=90°.∴∠B=∠C=∠D=∠A=90°.已知：四边形ABCD是矩形的对角线AC与DB相交于点O，∠ABC=90°.求证：AC=DB.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，在△ABC和△DCB中，∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS）.∴AC=DB.你还有其他证明方法吗？还可以利用直角三角形的三边关系——勾股定理证明，请你尝试完成证明！活动2：请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考.

矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条?矩形的性质：对称性：轴对称图形，对称轴：2条.【归纳小结】【小试牛刀】1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是(D)A．∠ABC＝90° B．AC＝BDC．OA＝OB D．△ABO≌△ADO2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF.若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF的长是(D)A．2.2cm B．2.3cmC．2.4cm D．2.5cm三、直角三角形斜边上的中线的性质活动3：在一张矩形纸片ABCD上，画出两条对角线AC、BD交于点O，沿着对角线AC剪去一半，再观察图形.问题1：Rt△ABC中，BO是一条什么特殊的线段？在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线.问题2：Rt△ABC中，BO与AC有什么数量关系？刚才Rt△ABC是从矩形里剪下来的，现在我们不妨把它放回矩形中研究！根据矩形的性质得BO=12BD=12AC由此，我们得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.【小试牛刀】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3cm，则AC=___6__cm；(2)若∠C=30°，AB=5cm，则AC=___10___cm，BD=__5___cm.【设计意图】用活动的方式，引导学生探索并证明矩形的特殊性质和直角三角形斜边上的中线性质，锻炼学生的推理能力，感受数学的严谨性.（三）典例精析一、利用矩形的性质进行计算例1.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长为9，AC＝6，求BC的长．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝12AC＝12BD＝OB＝3，∠ABC∵△AOB的周长为9，∴AB＝9－OA－OB＝9－3－3＝3.在Rt△ABC中，BC＝AC2-AB2＝6【小结】利用矩形的对角线互相平分且相等的性质解题.【针对练习】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E.若BE＝1，AE＝2，求AC的长．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=12AC，OB=12BD，AC=∴OA=OB，设OA=OB=x，则OE=x-1，∵AE⊥BD，∴∠AEO=90°，由勾股定理得：AE2+OE2=OA2，即22+（x-1）2=x2，解得：x=2.5，∴OA=2.5，∴AC=2OA=5.【小结】本题考察矩形的性质、勾股定理以及方程思想.二、利用矩形的性质进行证明例2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F.求证：BE＝CF.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=12AC，OD=12BD，AC=∴OA=OD，∵AE⊥BD，DF⊥AC，∴∠AEO=∠DFO=90°，∵∠AOE=∠DOF，∴△AOE≌△DOF（AAS），∴OE=OF，∴BO－OE=OC－OF，即BE=CF．【小结】本题主要考查矩形的对角线的性质和全等三角形的判定和性质，关键是找到全等三角形．【针对练习】如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的点，∠DAE＝∠ADF.求证：BF＝CE.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝∠C＝90°，AB＝CD.∴∠DAE＝∠BEA，∠ADF＝∠CFD.∵∠DAE＝∠ADF，∴∠BEA＝∠CFD.∴△BEA≌△CFD(AAS).∴BE＝CF.∴BE－EF＝CF－EF，即BF＝CE.三、直角三角形斜边上的中线的性质的应用例3.如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC=BF，点E是CF的中点．求证：DE⊥CF．证明：连接DF.∵AD是边BC上的高，∴∠ADB=90°，∵点F是AB的中点，∴DF=12AB=BF∵DC=BF，∴DC=DF，∵点E是CF的中点．∴DE⊥CF.【小结】解题关键是作辅助线——斜边上的中线构造等腰三角形.【针对练习】如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，M、N分别是对角线BD、AC的中点．求证：直线MN是线段AC的垂直平分线．证明：如图，连接AM、CM，∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，∴AM=12BD，CM=12∴AM=CM，∵N是AC的中点，∴直线MN是线段AC的垂直平分线．【针对练习】如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若EF=7，BC=12，求△EFM的周长．（1）证明：∵CF⊥AB于F，M为BC的中点，∴ME=MC=12BC，MF=MB=12∴ME=MF，∴△MEF是等腰三角形；（2）解：∵CF⊥AB于F，M为BC的中点，∴ME=MC=12BC=6，MF=MB=12BC∴△EFM的周长=6+6+7=19．【设计意图】考查学生运用矩形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质进行计算和证明的能力.（四）当堂巩固1.下列选项中矩形具有而平行四边形不具有的性质是(C)A．对角相等

B．对边相等C．对角线相等

D．对角线互相平分2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.若∠AOB＝50°，则∠OAD的度数为___25°___3.如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处．若∠DBC＝24°，则∠A′EB等于(C)A．66° B．60°C．57° D．48°4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝____4____.5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，求AC的长及矩形ABCD的面积．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝12AC∵∠AOB＝60°，∴△ABO是等边三角形．∴OA＝AB＝2.∴AC＝2OA＝4.在Rt△ABC中，BC＝AC2-AB2＝42∴S矩形ABCD＝AB·BC＝43