【沪科】第一次月考卷【16.1~17.4】

2023-2024学年八年级数学下学期第一次月考卷（本试卷共23题，测试时间100分钟，测试范围：二次根式、一元二次方程的概念与解法）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．若成立，则满足得条件A． B． C． D．2．计算的结果是A． B．3 C． D．3．祁县是“中国酥梨之乡”，某超市将进价为每千克5元的酥梨按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了尽快减少库存并且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降元，超市每天销售酥梨的利润为120元，则可列方程为A． B． C． D．4．下列根式中属于最简二次根式的是A． B． C． D．5．下列各数中是一元二次方程的解的是A． B． C． D．6．下列运算中正确的是A． B． C． D．7．若某三角形的三边长分别为2，5，，则化简的结果为A．5 B． C． D．108．如果成立，那么A．1 B．2 C．9 D．169．若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是A．2 B． C． D．10．将方程化为的形式，则的值为A． B． C．5 D．11二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）11．若与是可以合并的二次根式，则这两个二次根式的和是．12．关于的方程是一元二次方程，则的值为．13．在实数范围内分解因式：．14．已知代数式和．（1）无论为何值，代数式的值较大的代数式是；（2）若这两个代数式的和为5，则的值为．三、解答题（共9小题，满分54分）15．计算：．16．已知关于的方程，当为何值时，此方程是一元二次方程，并求出此时方程的解？17．（1）一元二次方程的两根为、，求代数式的值．（2）已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值及方程的另一个根．18．已知，．求下列各式的值．（1）；（2）．19．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；根据上述规律，解答下面的问题：（1）请写出第4个等式；（2）请写出第个等式是正整数，用含的式子表示），并证明．20．下面是小明解一元二次方程的过程：解：原方程可化为，第一步方程两边同除以得，，第二步系数化为1得．小明的解答是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请指出从第几步开始出现错误，分析出现错误的原因，并写出正确的解答过程．21．某小区准备修建一个面积为的花坛，甲、乙两个工程队给出如下两个施工方案．甲：花坛为长方形，且长与宽的比为．乙：花坛为正方形．（1）求长方形花坛的宽．（2）嘉淇说：“正方形花坛的边长肯定比长方形花坛的宽长．”请你判断嘉淇的说法是否正确，并通过计算说明．22．已知关于的一元二次方程（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）已知是关于的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长．①求的值；②求的周长．23．阅读材料，解决问题．材料1：我们规定：如果两个含有二次根式的因式的积中不含根号，那么就称这两个因式互为有理化因式．如，我们称与互为有理化因式．材料2：利用分式的基本性质和二次根式的运算性质，可以对进行如下的化简：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”．问题：（1）与是否是互为有理化因式？并说明理由；（2）分母有理化：；（3）化简．

2023-2024学年八年级数学下学期第一次月考卷（本试卷共23题，测试时间100分钟，测试范围：二次根式、一元二次方程的概念与解法）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．若成立，则满足得条件A． B． C． D．【分析】利用二次根式的性质得到，利用绝对值的意义得到，然后解不等式即可．【解答】解：，，解得．故选：．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．2．计算的结果是A． B．3 C． D．【分析】把式子变形后先用平方差公式计算，再算乘方和乘法【解答】解：原式；故选：．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握平方差公式和幂的乘方、积的乘方公式的应用．3．祁县是“中国酥梨之乡”，某超市将进价为每千克5元的酥梨按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了尽快减少库存并且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降元，超市每天销售酥梨的利润为120元，则可列方程为A． B． C． D．【分析】当售价下降元时，每千克酥梨的销售利润为元，平均每天的销售量为千克，利用超市每天销售酥梨获得的利润每千克的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【解答】解：当售价下降元时，每千克酥梨的销售利润为元，平均每天的销售量为千克，依题意得：．故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．下列根式中属于最简二次根式的是A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断即可．【解答】解：，是最简二次根式，故此选项符合题意；，，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；，，被开方数含有开的尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；，，被开方数含有开的尽方的因数和因式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了最简二次根式，熟记最简二次根式的概念是解题的关键．5．下列各数中是一元二次方程的解的是A． B． C． D．【分析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程后对各选项进行判断．【解答】解：，，或，所以，．故选：．【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了一元二次方程的解．6．下列运算中正确的是A． B．C． D．【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．【解答】解：，故选项正确，符合题意；不能合并，故选项错误，不符合题意；，故选项错误，不符合题意；，故选项错误，不符合题意；故选：．【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．7．若某三角形的三边长分别为2，5，，则化简的结果为A．5 B． C． D．10【分析】根据三角形三边关系定理求出，再根据二次根式的性质和绝对值得出，再合并同类项即可．【解答】解：三角形的三边长分别为2，5，，，，，故选：．【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．8．如果成立，那么A．1 B．2 C．9 D．16【分析】根据算术平方根和偶次方的非负性得出方程组，求出方程组的解，最后代入求出答案即可．【解答】解：，且，即，解得：，，故选：．【点评】本题考查了算术平方根和偶次方的非负性，解二元一次方程组，求代数式的值等知识点，能得出关于、的方程组是解此题的关键．9．若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是A．2 B． C． D．【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得出△，解关于的方程，即可得出答案．【解答】解：一元二次方程有两个相等的实数根，△，解得：，故正确．故选：．【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程，当△时方程有两个相等的实数解，△时，无实数解，△时，有两个不相等的实数解．10．将方程化为的形式，则的值为A． B． C．5 D．11【分析】利用完全平方公式整理后得，即可求出与的值．【解答】解：方程，变形得：，配方得：，即，则，，故，故选：．【点评】此题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）11．若与是可以合并的二次根式，则这两个二次根式的和是．【分析】根据二次根式的定义、二次根式有意义的条件求出的值，根据二次根式的加法法则计算即可．【解答】解：是二次根式，，，解得：，则，故答案为：．【点评】本题考查的是同类二次根式、二次根式的性质、二次根式有意义的条件，根据二次根式的定义、二次根式有意义的条件求出的值是解题的关键．12．关于的方程是一元二次方程，则的值为．【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的整式方程），求的值，注意二次项的系数不为0．【解答】解：是一元二次方程，解得：，，，，故答案为：．【点评】题目主要考查一元二次方程的定义及解一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解题关键．13．在实数范围内分解因式：．【分析】根据完全平方公式配方，然后再把3写成利用平方差公式继续分解因式．【解答】解：，，，．故答案为：．【点评】本题考查了实数范围内因式分解，主要利用了完全平方公式以及平方差公式，把3写成的形式是解题的关键．14．已知代数式和．（1）无论为何值，代数式的值较大的代数式是；（2）若这两个代数式的和为5，则的值为．【分析】（1）利用作差法比较大小；（2）根据题意列方程求解．【解答】解：（1），，故答案为：；（2），解得：或，故答案为：1或．【点评】本题考查了整式的加减，掌握配方法和方程思想是解题的关键．三、解答题（共9小题，满分54分）15．计算：．【分析】先算乘除，再合并同类二次根式即可．【解答】解：．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．16．已知关于的方程，当为何值时，此方程是一元二次方程，并求出此时方程的解？【分析】直接利用一元二次方程的定义得出最高次数为2，最高次项系数不为0进而求出即可．【解答】解：关于的方程是一元二次方程，且，解得：，则方程为：，即，，解得，．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握次数与系数是解题关键．17．（1）一元二次方程的两根为、，求代数式的值．（2）已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值及方程的另一个根．【分析】（1）先利用根与系数的关系得，，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算；（2）设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，，然后解方程组即可．【解答】解：（1）根据根与系数的关系得，，所以；（2）设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得，，解得，，所以的值为，方程的另一个根为2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．18．已知，．求下列各式的值．（1）；（2）．【分析】先利用、的值分别计算出，，的值，再利用乘法公式变形得到（1）；（2），然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：，，，，，（1）原式；（2）原式．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．19．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；根据上述规律，解答下面的问题：（1）请写出第4个等式；（2）请写出第个等式是正整数，用含的式子表示），并证明．【分析】（1）根据规律求解；（2）根据规律写出等式，再利用二次根式的性质证明．【解答】解：（1）第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式为：，即；（2）由（1）可得：第个等式为：，证明：左边，左边右边，等式成立．【点评】本题考查数字类规律探索，分式的加减运算和二次根式的化简，理解题意发现数字间的规律是解题关键．20．下面是小明解一元二次方程的过程：解：原方程可化为，第一步方程两边同除以得，，第二步系数化为1得．小明的解答是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请指出从第几步开始出现错误，分析出现错误的原因，并写出正确的解答过程．【分析】先移项，再提取公因式分解因式，即可得到两个一元一次方程的积，再解一元一次方程即可．【解答】解：从第二步开始出现的错误，其错误原因是等式的性质2用错，正确的解答过程如下：，，，则或，解得：、．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21．某小区准备修建一个面积为的花坛，甲、乙两个工程队给出如下两个施工方案．甲：花坛为长方形，且长与宽的比为．乙：花坛为正方形．（1）求长方形花坛的宽．（2）嘉淇说：“正方形花坛的边长肯定比长方形花坛的宽长．”请你判断嘉淇的说法是否正确，并通过计算说明．【分析】（1）设长方形花坛的宽为，则长为，利用面积公式列出等式，再利用算术平方根求解；（2）假设嘉淇的说法正确，计算出正方形的面积，与花坛的面积比较即可．【解答】解：（1）设长方形花坛的宽为，则长为，由题意得，因此，即长方形花坛的宽为．（2）嘉淇的说法错误，理由如下：由（1）知长方形花坛的宽为5米，若嘉淇的说法正确，正方形花坛的边长为：，则正方形花坛的面积为：，因此假设不成立，即嘉淇的说法错误．【点评】本题考查算术平方根的应用，利用算术平方根的定义解方程等，理解题意，准确列出方程是解题的关键．22．已知关于的一元二次方程（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）已知是关于的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长．①求的值；②求