2025年新科版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年新科版高一数学上册月考试卷934考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、设函数（x）＝则满足的的取值范围是（）A.[－1,2]B.[0,2]C.[1，＋∞）D.[0，＋∞）2、P是圆C：x2+y2-2ax+2y+a2=0外的一点，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（）

A.

B.

C.

D.

3、设则等于（）A.B.C.D.4、【题文】若则“”是“为纯虚数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件5、【题文】“a2+b2≠0”的含义为（）A.a和b都不为0B.a和b至少有一个为0C.a和b至少有一个不为0D.a不为0且b为0，或b不为0且a为06、已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A.21B.42C.63D.847、函数的最小正周期是()A.B.C.D.8、已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（）A.16B.64C.16或64D.无法确定9、己知f(12x鈭�1)=2x+3,f(m)=6

则m

等于(

)

A.鈭�14

B.14

C.32

D.鈭�32

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、函数f（x）=+的定义域为____．11、阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果_______．12、已知m=0.94.3，n=4.30.9，p=log0.94.3，则这三个数从小到大用“＜”连接的顺序是____．13、观察下列数表：根据以上排列规律，数表中第行中所有数的和为。14、化简：=______．15、用半径为2的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的表面积为______．16、如图；正方体ABCD鈭�A1B1C1D1

中，MN

分别为棱C1D1C1C

的中点，有以下四个结论：

垄脵

直线AM

与CC1

是相交直线；

垄脷

直线AM

与BN

是平行直线；

垄脹

直线BN

与MB1

是异面直线；

垄脺

直线AM

与DD1

是异面直线．

其中正确的结论为______(

注：把你认为正确的结论的序号都填上)

．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)17、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．18、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．19、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．20、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．21、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．22、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．23、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分四、解答题(共2题，共4分)24、设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=24，S11=0．

（1）求an；

（2）求数列{an}的前n项和Sn；

（3）当n为何值时，Sn最大，并求Sn的最大值。

25、【题文】在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,C=b=5,△ABC的面积为10

(1)求a；c的值;

(2)求sin（A+）的值.评卷人得分五、作图题(共2题，共10分)26、作出函数y=的图象．27、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．评卷人得分六、综合题(共3题，共30分)28、已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-3；0）；B（1，0）两点，与y轴交于C点，∠ACB不小于90°．

（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）求系数a的取值范围；

（3）设抛物线的顶点为D；求△BCD中CD边上的高h的最大值．

（4）设E，当∠ACB=90°，在线段AC上是否存在点F，使得直线EF将△ABC的面积平分？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．29、如图；Rt△ABC的两条直角边AC=3，BC=4，点P是边BC上的一动点（P不与B重合），以P为圆心作⊙P与BA相切于点M．设CP=x，⊙P的半径为y．

（1）求证：△BPM∽△BAC；

（2）求y与x的函数关系式；并确定当x在什么范围内取值时，⊙P与AC所在直线相离；

（3）当点P从点C向点B移动时；是否存在这样的⊙P，使得它与△ABC的外接圆相内切？若存在，求出x；y的值；若不存在，请说明理由．

30、如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果；那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在△ABC中；若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、D【分析】试题分析：当时，的可变形为∴．当时，的可变形为∴故答案为．故选D．考点：解关于分段函数的不等式.【解析】【答案】D.2、A【分析】

∵圆C：x2+y2-2ax+2y+a2=0

可得圆的半径为1；连接CA，CP，CB如下图所示：

设=X，则=

cos∠APB=cos2∠APC=1-2sin2∠APC=1-

∴=（X2-1）•（1-）=-3+（X2+）≥

故的最小值为

故选A

【解析】【答案】由已知中P是圆C：x2+y2-2ax+2y+a2=0外的一点，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，我们设=X，由切线的性质，易得到的表达式，由基本不等式，即可得到的最小值．

3、D【分析】【解析】

因为由等比数列的求和公式得到选D【解析】【答案】D4、B【分析】【解析】当x=0时，不一定为纯虚数；反之，为纯虚数,则x=0,

所以“”是“为纯虚数”的必要不充分条件.【解析】【答案】B5、C【分析】【解析】a2+b2≠0的等价条件是a≠0或b≠0；即两者中至少有一个不为0，对照四个选项，只有C与此意思同，C正确；

A中a和b都不为0，是a2+b2≠0充分不必要条件；

B中a和b至少有一个为0包括了两个数都是0；故不对；

D中只是两个数仅有一个为0；概括不全面，故不对；

故选C【解析】【答案】C6、B【分析】【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴

∴q4+q2+1=7；

∴q4+q2﹣6=0；

∴q2=2；

∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．

故选：B

【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．7、B【分析】【解答】函数的最小正周期是故选B。

【分析】简单题，形如的最小正周期为8、C【分析】解：如图所示：

①若直观图中平行四边形的边A′B′=4；

则原正方形的边长AB=A′B′=4，故该正方形的面积S=42=16．

②若直观图中平行四边形的边A′D′=4；

则原正方形的边长AD=2A′D′=8，故该正方形的面积S=82=64．

故选C．

利用直观图的画法规则法两种情况即可求出．

本题考查平面图形的直观图，考查计算能力，是基础题．【解析】【答案】C9、A【分析】解：设12x鈭�1=t

则x=2t+2

隆脿f(t)=4t+7隆脿f(m)=4m+7=6

解得m=鈭�14

．

故选A．

设12x鈭�1=t

求出f(t)=4t+7

进而得到f(m)=4m+7

由此能够求出m

．

本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细求解，注意公式的灵活运用．【解析】A

二、填空题(共7题，共14分)10、略

【分析】

要使函数f（x）=+的解析式有意义；

自变量x需满足

解得：-1＜x＜1或1＜x≤2

故答案为：（-1；1）∪（1，2]

【解析】【答案】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，根据函数的定义为使函数f（x）=+的解析式有意义的自变量x取值范围；我们可以构造关于自变量x的不等式，解不等式即可得到答案．

11、略

【分析】试题分析：当a=4时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=5，i=2；当a=5时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值满足“a是奇数”，故a=16，i=3；当a=16时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=8，i=4；当a=8时，不满足退出循环的条件，进入循环后，由于a值不满足“a是奇数”，故a=5，i=5；当a=4时，满足退出循环的条件，故输出结果为：5考点：程序框图．【解析】【答案】512、略

【分析】

∵m=0.94.3；

∴0＜m＜1

∵n=4.30.9；

∴n＞1；

∵p=log0.94.3；

∴p＜0

∴p＜m＜n

故答案为：p＜m＜n

【解析】【答案】由已知中m=0.94.3，n=4.30.9，p=log0.94.3；根据指数函数和对数函数的单调性，可以判断出m，n，p的与0或1的关系，进而得到答案．

13、略

【分析】试题分析：根据以上排列规律，数表中第行中所有数为12122232n-12n-2211共2n-1项，所有数的和为故答案为：考点：归纳推理.【解析】【答案】14、略

【分析】解：=（）-（+）=-=

故答案为：．

利用向量加法的三角形法则即可求得答案．

本题考查向量加减混合运算及其几何意义，属基础题．【解析】15、略

【分析】解：由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于r，则×2π×2=2πr；

∴r=1；

∴这个圆锥筒的侧面积是×（2π×1）×2=2π；

故答案为：2π．

由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于r，则×2π×2=2πr，解出r代入圆锥的侧面积公式进行计算．

本题考查圆锥的侧面积的计算公式，半圆的弧长与圆锥的底面周长间的关系．【解析】2π16、略

【分析】【分析】根据正方体的几何特征；结合已知中的图形，我们易判断出已知四个结论中的两条线段的四个端点是否共面，若四点共面，则直线可能平行或相交，反之则一定是异面直线．

【解答】解：隆脽AMCC1

四点不共面；

隆脿

直线AM

与CC1

是异面直线；故垄脵

错误；

同理；直线AM

与BN

也是异面直线，故垄脷

错误．

同理；直线BN

与MB1

是异面直线，故垄脹

正确；

同理；直线AM

与DD1

是异面直线，故垄脺

正确；

故答案为：垄脹垄脺

．

【解析】垄脹垄脺

三、证明题(共7题，共14分)17、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．18、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．19、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．20、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．21、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．22、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．23、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．四、解答题(共2题，共4分)24、略

【分析】

（1）依题意有

解之得∴an=48-8n．

（2）由（1）知，a1=40，an=48-8n；

∴Sn==-4n2+44n．

（3）由（2）有，Sn=-4n2+44n=-4+121；

故当n=5或n=6时，Sn最大，且Sn的最大值为120．

【解析】【答案】（1）分别利用等差数列的通项公式及等差数列的前n项和的公式由a3=24，S11=0表示出关于首项和公差的两个关系式；联立即可求出首项与公差，即可得到数列的通项公式；

（2）根据（1）求出的首项与公差，利用等差数列的前n项和的公式即可表示出Sn；

（3）根据（2）求出的前n项和的公式得到Sn是关于n的开口向下的二次函数，根据n为正整数，利用二次函数求最值的方法求出Sn的最大值即可．

25、略

【分析】【解析】

解:(1)∵S△ABC=absinC=10

∴a×5×sin=20

得a=8,c2=a2+b2-2abcosC,

c=

==7.

(2)∵=

∴sinA===

cosA===

sin(A+)=sinAcos+cosAsin

=×+×

=【解析】【答案】(1)A=8C=7五、作图题(共2题，共10分)26、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可27、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。六、综合题(共3题，共30分)28、略

【分析】【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx+c过点A（-3；0），B（1，0），得出c与a的关系，即可得出C点坐标；

（2）利用已知得出△AOC∽△COB；进而求出OC的长度，即可得出a的取值范围；

（3）作DG⊥y轴于点G，延长DC交x轴于点H，得出抛物线的对称轴为x=-1，进而求出△DCG∽△HCO，得出OH=3，过B作BM⊥DH，垂足为M，即BM=h，根据h=HBsin∠OHC求出0°＜∠OHC≤30°，得到0＜sin∠OHC≤；即可求出答案；

（4）连接CE，过点N作NP∥CD交y轴于P，连接EF，根据三角形的面积公式求出S△CAEF=S四边形EFCB，根据NP∥CE，求出，设过N、P两点的一次函数是y=kx+b，代入N、P的左边得到方程组，求出直线NP的解析式，同理求出A、C两点的直线的解析式，组成方程组求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-3；0），B（1，0）；

∴消去b；得c=-3a．

∴点C的坐标为（0；-3a）；

答：点C的坐标为（0；-3a）．

（2）当∠ACB=90°时；

∠AOC=∠BOC=90°；∠OBC+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°；

∴∠ACO=∠OBC；

∴△AOC∽△COB，；

即OC2=AO•OB；

∵AO=3；OB=1；

∴OC=；

∵∠ACB不小于90°；

∴OC≤，即-c≤；

由（1）得3a≤；

∴a≤；

又∵a＞0；

∴a的取值范围为0＜a≤；

答：系数a的取值范围是0＜a≤．

（3）作DG⊥y轴于点G；延长DC交x轴于点H，如图．

∵抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（-3；0），B（1，0）．

∴抛物线的对称轴为x=-1．

即-=-1，所以b=2a．

又由（1）有c=-3a．

∴抛物线方程为y=ax2+2ax-3a，D点坐标为（-1，-4a）．

于是CO=3a；GC=a，DG=1．

∵DG∥OH；

∴△DCG∽△HCO；

∴，即；得OH=3，表明直线DC过定点H（3，0）．

过B作BM⊥DH；垂足为M，即BM=h；

∴h=HBsin∠OHC=2sin∠OHC．

∵0＜CO≤；

∴0°＜∠OHC≤30°，0＜sin∠OHC≤．

∴0＜h≤1；即h的最大值为1；

答：△BCD中CD边上的高h的最大值是1．

（4）由（1）、（2）可知，当∠ACB=90°时，，；

设AB的中点为N，连接CN，则N（-1，0），CN将△ABC的面积平分，

连接CE；过点N作NP∥CE交y轴于P，显然点P在OC的延长线