圆锥曲线与向量的交汇(教师版)

圆锥曲线与向量的交汇一、考情分析平面向量与圆锥曲线的交汇是高考命题的一个显著特征,这类试题的常规形式是用向量形式给出某些条件或结论,其难点往往不在向量上,对向量部分只需运用向量基础知识即可实现相应转化.平面向量作为工具可以处理圆锥曲线中的长度、角度、共线、垂直、射影等许多问题,使得这类问题成为高考命题的一个热点,且时常出现在解答题中.二、解题秘籍(一)圆锥曲线中常见的向量条件及求解圆锥曲线与向量问题的策略2.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线:①AB=λAC;②OC=λOA+μOB且λ+μ=1;③OC=(OA+λOB)/(1+λ)；④AB∥AC.3.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C为线段AB的中点5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量1,y1),2,y2)共线x1y2-x2y1=0转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化.6.圆锥曲线中两直线垂直问题,通常转化为两直线的方向向量的数量积为零,这样做可避免讨论直线的斜率是否存在.7.圆锥曲线中涉及数量积问题,通常利用数量积的坐标运算把所给条件转化为关于横（纵）坐标的表达式.2,记动点P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程.A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点H,试问FH(2)过点F(2,0)A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点H,试问FH是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由.设P2,所以x2+y2-16=3y2,故C的方程为（2）由题可知直线AB的斜率一定存在,且不为0,不妨设直线AB的方程为y=k(x-2·i6),A(x1,y1),B(x2,y2).4则线段AB的垂直平分线的方程为y+0,整理得k2>.2)1-2k2=-k|(x2)令y=0,得x=-,则H((|-,0),,22-4x1x2.|(.|(1-2k2,-4.1-2k2(-86k2)2-48k2-16 故是定值,该定值为 故是定值,该定值为.FH3(二)把点共线问题转化为向量共线【例2】已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分別为A1,A2,右焦点为F（1,0）,且椭圆C的离心率为,M,N--------------为椭圆C上任意两点,点P的坐标为（4,tt≠0）,且满足A1M=λ1MP,A2N--------------（1）求椭圆C的方程；（2）证明：M,F,N三点共线.【解析】（1）椭圆C的右焦点为F(1,0),且离心率为,∴a=2,c=1,则b2=a2-c2=3,（2）由（1）知,A1,A2的坐标分别为(-2,0),(2,0),设M(x1,y1),N(x2,y2),,A=(6,t),A2N=(x2-2,y2),A2P=(2,t),==λ1MP,A2N=λ2NP,,M,P三点共线,A2,N,P三点共线,即{l整理得=,两边平方得=,①又M,N------→又FM=(x1-1,y1),FN=(x2-1,y2),∴要证M,F,N三点共线,只需证y2(x1-1)=y1(x2-1),即=,只需证=,整理得∴M,F,N三点共线.(三)利用向量共线求双变量的关系式此类问题一般是给出形如=λ,=μ的条件,确定关于λ,μ的等式,求解思路是利用两向量相等横坐标与纵坐标分别相等（注意一般情况下横坐标相等与纵坐标相等,使用一个即可,解题时哪一个简单使用哪一个）,把λ,μ用其他变量（若点的横坐标或纵坐标）表示,再利用题中条件消去其他变量.【例3】椭圆C的方程为+=1(a>b>0),过椭圆左焦点F1且垂直于x轴的直线在第二象限与椭圆相交于点P,椭圆的右焦点为F2,已知tanLPF2F1=,椭圆过点A(|(,),.(1)求椭圆C的标准方程；,求证：λ1+λ2为定值.2),lla24b2椭圆C的标准方程为+y2=1.（2）设点A(x1,y1)、B(x2,y2),F(,由题意可知,直线l的斜率存在,可设直线l的方程为y=k(x-·i3),由于点F2在椭圆C的内部,直线l与椭圆C必有两个交点,λ1λ2B0得(x1,y1-y0)=λ1(s3-x1,-y1),(x2,y2-y0)=λ2(·-x2,-y2),:λ1=x1λ2=x2 3-x1,3-x2, 2)-2x1x221x224k2-2(12k2-4)12k2-4)12k2-4)-24k2=-8.4k2+14k2+1(四)利用向量加法的几何意义构造平行四边形等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用.(1)求椭圆C的方程；【解析】（1）设椭圆的焦距为2c,则c=, 2又a2-b2=(3 2:c2=3,a2=4,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.当直线l的斜率不存在时,显然不符合题意；当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+3,l与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,l4+y=12k2-128(1+4k2)>0→)242(24k)242(24k2,k22k22242k2128(1+4k2)k22∴当k=±时,平行四边形OANB的面积最大值为2.(五)把向量的数量积转化为代数式若圆锥曲线问题有用向量数量积给出的条件,通常是利用向量数量积的坐标运算进行转化.【例5】已知双曲线C:一=1(a>b>0)的右焦点为F(2,0),O为坐标原点,双曲线C(1)求双曲线C的方程；(2)过点F作直线l交C于P,Q两点,在x轴上是否存在定点M,使M--.M--为定值？若存在,求出定点M的坐标及这个定值；若不存在,说明理由.又a>b>0,0<<1,故其渐近线y=x的倾斜角小于,而双曲线C的两条渐近线的夹角为,则渐近线的y=x的倾斜角为,（2）当直线l不与x轴重合时,设直线l的方程为x=ty+2,1y222(2m23)t2(3m212m+11)=当直线l与x轴重合时,则点P,Q为双曲线的两顶点,不妨设点P(一·i3,0),Q(v3,0).=为定值.(六)把垂直问题转化为向量的数量积为零求解圆锥曲线中的垂直问题,通常可转化为向量的数量积为零,然后利用向量数量积的坐标运算进行转化,这种转化可避免讨论直线的斜率是否存在.【例6】已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,椭圆C上的点到F的距离的最大值和最小值分别为2+ 和23.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若圆O:x2+y2=r2的切线l与椭圆C交于A,B两点,是否存在正数r,使得OA丄OB？若存在,求出r的值；若不存在,请说明理由.所以椭圆方程为+y2=1； 又直线l为圆O:x2+y2=r2的切线,所以r=；当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),1,x1x2x1x2整理可得4k2+4=5m2,所以因为直线l为圆O:x2+y2=r2的切线, 故原点(0,0)到y=kx+m的距离为r==, 三、跟踪检测 △AMN,△AOM,△AON的面积分别为S,S1,S2.当l与x轴垂直时,S1的值为.(2)若l交y轴于点P,PM=λMQ,PN=μNQ,求证：λ+μ为定值；(3)在（2）的条件下,若S=μS1+mS2,当5<λ≤8时,求实数m的取值范围.则当l与x轴垂直时,不妨设M(3,y1),由S1（2）设M(x1,y1),N(x2,y2),P(0,y0),(3,0),得(x1,y1y0)=λ(3x1,y1),224μ4y12=0由①②知,λ,μ是方程15x2一24x一4y一12=0的两个不等实根.由韦达定理知λ+μ=,所以λ+μ为定值.又S=μS1+mS2,即y1y2,整理得,又λ+μ=,故m=代入(55」(55」.(1)若直线l过点F且与椭圆交于C,D两点,当CD=时,求直线l的方程；(2)若直线l过点T(0,t)(t≠0)且与椭圆交于C,D两点,并与x轴交于点P,直线AD与直线BC交于点Q,当点P异A,B两点时,试问OP.OQ是否是定值？若是,请求出此定值,若不是,【解析】（1）∵椭圆的焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为当直线l与x轴垂直时与题意不符,设直线l的方程为y=kx+1,C(x1,y1),D(x2,y2),将直线l的方程代入椭圆的方程化简得(k2+2)x2+224x1x22.,（2）当l丄x轴时,AC//BD,不符合题意,x22k(x1x,2kxx(k)∴Q点坐标为Q|(一t,yQ,(k) (1)求椭圆C的方程； :椭圆的标准方程为+=1；（2）当直线AB的斜率不存在时,AB:x=0,当直线AB的斜率存在时,设AB：y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),〔x2y2〔x2y22x2y2k2k2],4.已知点B、A分别是椭圆Γ:+=1的左、右顶点,过Γ的右焦点F作直线l交Γ于M,N两点,(1)设直线AM,AN,BM的斜率分别为k1,k2,k3,求k1k2和的值；(2)若直线AM,AN分别交椭圆Γ的右准线于P,Q两点,证明：以PQ为直径的圆经过定点.【解析】（1）由已知F(1,0),A(2,0),B(-2,0),直线l的斜率不存在时,方程为x=1,不妨设M(1,),N(1,-),k直线l斜率存在时,设直线方程为y=k(x-1),设M(x1,y1),N(x2,y2),2由{43,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,l2k22k1k2=y1y2(x12)(x22)k2(x11)(x21)k2(x1x2x1x2+1) (x12)(x22)x1x22(x1+x2)+4k2(4k21216k2+4k2(4k2一128k2+3+4k2)9=4k21216k2+12+16kk3(x22)=k(x11)(x22)=x1x22x1x2+2所以所以x1x2x1k23k3由椭圆的对称性知,以PQ为直径的圆有一个圆心x轴上方的圆,则必定也有一个与之关于x轴对称的圆,这两个圆的交点在x轴上,以PQ为直径的圆经过定点,这个定点必在x轴上,设定点为G(t,0),则GP.GQ=所以以PQ为直径的圆经过定点(1,0),(7,0).(1)求双曲线C的方程.(2)设过点B(1,0)的直线l与双曲线C交于D,E两点,问在x轴上是否存在定点P,使得P--.P--E-→为常数？若存在,求出点P的坐标以及该常数的值；若不存在,请说明理由.【解析】（1）因为双曲线C的离心率为,+化简得a2=2b2.解得b2=2,所以C的方程为（2）设D(x1,y1),E(x2,y2),直线l的方程为y=k(x-1),联立方程组,,消去y得（1-2k2)x2+4k2x-2k2-4=0,由题可知1-2k2≠0且Δ>0,即k2<且k2≠,设存在符合条件的定点,则2-ty2kxx2-k. 2 22-4PD.PE=-2k2+1.此时该常数的值为t2-4=所以,在x轴上存在点,使得为常数,该常数为.6.如图,平面直角坐标系xOy中,点Q为x轴上的一个动点,动点P满足PO=PQ=2,又点E满足PE=2EQ.(1)求动点E的轨迹Γ的方程；行,且与曲线Γ交于B、D两点,求△ABD面积的最大值.由PE=2EQ得E|(3x,,3y,,,则代入+y,2=整理得+y2=1,故动点E的轨迹Γ的方程为+y2=1.（2）如图,设A(x0,y0)（x0y0≠0）,又直线l的斜率存在且k≠0,:设直线l为：y-y0=k(x-x0),0-,0)0)=-2y0,2y0,01+k2,01+k2,联立{4+y0=12y0,01+k2,01+k2,llx0又BD//l,故直线BD的方程为y=kx,联立+y2=1,得：即B、D的横坐标为±,:BD=xB-xD=,」点A到直线BD的距离d===,当且仅当4k2=,即k=±时等号成立,:△ABD面积的最大值为2..(1)(1)47.在平面直角坐标系xOy中,设点P|(-3,0,,Q|(3,0,,点G与P,Q两点的距离之和为3,N(1)(1)4(1)求点N的轨迹方程C；(2)设C与x轴交于点A,B(A在B的左侧),点M为C上一动点(且不与A,B重合)．设直线AM,x轴与直线x=4分别交于点R,S,取E(1,0),连接ER,证明：ER为上MES的角平分线.【解析】（1）设点N(x,y),G(x,,y,),则由点G与P，Q两点的距离之和为可得点G的轨迹是以P，Q为焦点且长轴长为的椭圆,所以点N的轨迹方程（2）设点M(x0，y0),则ME:y=-(x-1),即y0x-(x0-1)y-y0=0,则点R到直线ME的距离为：要证ER为上MES的角平分线,只需证d=|RS|,:y0≠0,代入上式可得16-8x0+x=12-3x+4x-8x0+4恒成立,:ER为上MES的角平分线.8.如图,椭圆C：,|A1B1|=是椭圆C的左焦点,A1是椭圆C的左顶点,B1是椭圆C的上顶点,且=F-,点P(n,0)(n≠0)是长轴上的任一定点,过P点的任一直线l交椭圆C于A,B两点.(1)求椭圆C的方程；-为定值,若存在,试求出定点Q的坐标,并求出此定值；若不存在,所以椭圆方程为（2）假设存在Q(x0,0)满足题意,-----→设A(x1,y1),B(x2,y2),QA=(x1-x0,y1),QB=(x2-x0,y2),①当直线l与x轴不垂直时,设l：y=k(x-n),代入1并整理得(4k2+3)x2-8k2nx+4k2n2-12=01-x0)(x2-x0)+y1y2=(x1-x0)(x2-x0)+k2(x1-n)(x2-n)+1)x1x2-(k2n+x5)(x1+x2)-x+k2n2（*）式是与k无关的常数,则3(7n2-8nx0+4x-12)=4(3x-12)解得此时2-4为定值；②当直线l与x垂直时,l:x=n,A 也成立,所以存在定点使得为定值.9．已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C过点((|1,,),离心率为,点A为其右顶点.过点B(1,0)作直线l与椭圆C相交于E、F两点,直线AE、AF与直线x=3分别交于点M、N.(1)求椭圆C的方程；c3由题意,得{=,解得c3由题意,得{=,解得a2=4,b2=1,a222l即椭圆C的标准方程为+y2=1.（2）由（1）得A(2,0),设l:x=ty+1,E(x1,y1),F(x2,y2),lx+4y-4=0联立{22,lx+4y-4=0,则y1+y2=-,y1y2=-直线AE,AF的方程分别为y1y2(2-ty1)(2-ty2)(ty1-1)(ty2-1)-3t22 5t24(t2210．已知双曲线C与双曲线-=1有相同的渐近线,且过点A(2·i2,-1).(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知D(2,0),E,F是双曲线C上不同于D的两点,且DE.DF=0,DG丄EF于G,证明：存在定点H,使|GH|【解析】（1）因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线,设双曲线C的标准方程为x2-4y2=λ代入点A坐标,解得λ=4所以双曲线C的标准方程为-y2=1（2i）当直线EF斜率存在时,设EF:y=kx+m,设E(x1,y1)F(x2,y2),联立y=kx+m与双曲线-y2=1,4k2-1)>0,即4k2-m2-1<0,则有-2)(x2-2)+y1y2=0,22所以m1=-2k,m2=-k,且均满足4k2-m2-1<0,当m1=-2k时,直线l的方程为y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾,（ii）当直线EF斜率不存在时,由对称性不妨设直线DE：y=x-2,与双曲线C方程联立解得xE=xF=3,此时EF也过点M|(3,0综上,直线EF过定点M(|(,0),.(8)由于DG丄EF,所以点G在以DM为直径的圆上,H为该圆圆心,GH为该圆半径,所以存在定点H|(3,0,,使GH为(8)定值.F2为椭圆C的左、右焦点,过点F1的任意直线l交椭圆C于A、B两点,且△ABF2的周长为8,椭圆C的离心率为.(1)椭圆C的方程；λ2Fλ1+λ2的值.（2）不妨令P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).当y0≠0时,不妨设直线PM为x=m1y-1,其中m1=.直线PN为x=m2y+1,其中m2=.联立方程,+4y1同理可得.λ1Fλ2F所以{y0)22y0)22综上所述.12．已知点M(x,y)与定点F(1,0)的距离是点M到直线x-2=0距离的倍,设点M的轨迹为曲线Γ,直线l:x+my+1=0(m∈R)与Γ交于A、B两点,点C是线段AB的中点,P、Q是Γ上关于原点O对称的两点,且（1）求曲线Γ的方程；（2）当λ=时,求直线l的方程；（3）当四边形PAQB的面积S=·时,求λ的值.,,由韦达定理可得y1+y2=-,y1y2=-则=-,=-m.-1=-,(2m)所以点C的坐标为|(-m2+2,-m2+2(2m) +2,,可得点P|(m 将点P的坐标代入曲线Γ的方程得=1,解得m=±1,因此,直线l的方程为x±y+1=0.则点因为点P在曲线Γ上,则=1,可得λ2=m2+2,因为λ>0,则λ=:m2+2≥:2,点P到直线l的距离为点Q到直线l的距离为AB=..2(y12-4y1y2..24m2+2(24m2+2|(-m2+2,+m2=m2因为λ>0,解得λ=2.13．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点恰为椭圆D:+=1长轴的端点,且C的短轴长（1）求椭圆C的方程.（2）若直线l与直线y=2x-1平行,且l与C交于A,B两点,M(1,0),求M--.M--的最小值.【解析】（1）由椭圆可得其长轴的端点分别为(-2,0),(2,0),（2）设直线l的方程为y=2x+m(m≠-1),1-11y21x2-(1212因为6m2+20m-4=6,其中m2<21且m≠-1, 所以当m=-时,6m2+20m-4取得最小值,且最小值为-,14．在平面直角坐标系xOy中,点D,E的坐标分别为(-2,0),(2,0),P是动点,且直线DP与EP的斜率之积等于-.（1）求动点P的轨迹C的方程；的取值范围.【解析】（1）设P(x,y),则kEP.kDP=.=-),(x1+3x2,y1+3y2)=(0,4m),x1=-3x22-4即64k2-16m2+16>0:4k2-m2+1>0,且x1+x22k21,lx1x2又x1=-3x2:x2=,则x1.x2=-3x=()2=,:16k2m2-4k2+m2-1=0,:k2=代入4k2-m2+1>0得+1-m2>0, :m的取值范围是(-1,-)U(,1)15.已知点F1,F2是已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,当上PF1最大,且最大值为3.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F2的直线与椭圆C交于A,B两点,且两点与左右顶点不重合,若F1M=F1A+F1B,求四边形AMBF1面积的取值范围.【解析】（1）由题可知,当点P在短轴端点时,△PF1F2的面积最大,且为正三角形, :bc=·i3,b=i3c,又a2=b2+c2,由{{ la222,lc,（2）设A(x1,y1),B(x2,y2),AB:x=my+1,则由,23m2,=+,所以四边形AMBF1设平面四边形AMBF1的面积为S,×F×F +1,则m2=t2-1(t≥1),因为t≥1,而对勾函数y=3t+在[1,+∞)上单调递增,所以3t+所以S∈(0,6].所以四边形AMBF1面积的取值范围为(0,6]. 16．已知椭圆C:+=1(