等腰（等边）三角形的性质与判定 压轴题八种模型（解析版）

专题06等腰（等边）三角形的性质与判定压轴题八种模型全攻略

考点一等腰三角形的定义考点二根据等边对等角求角度

考点三根据等腰三角形中三线合一求解考点四格点图中画等腰三角形

考点五直线上与已知两点组成等腰三角形的点考点六求与图形中任意两点构成等腰三角形的点

考点七等腰三角形的性质与判定考点八等边三角形的性质与判定

典型例题

考点一等腰三角形的定义

例题：（2022•四川资阳•八年级期末）等腰三角形一边长等于2,一边长等于3,则它的周长是（）

4.5B.7C.8D7或8

【答案】D

【解析】

【分析】

题目给出等腰三角形有两条边长为2和3,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角

形的三边关系验证能否组成三角形.

【详解】

解：分两种情况：

当腰为2时，2+2>3,所以能构成三角形，周长是2+2+3=7；

当腰为3时，3+2>3,所以能构成三角形，周长是：2+3+3=8.

故选：D.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，

分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022・湖北鄂州•八年级期末）在等腰AABC中，她=70。，贝峋C的度数不可能是（）

A.40°B.55°C.65。D.70°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理即可求解.

【详解】

解：当朋=70。为顶角时，则两底角为：1（180°-70°）=55°；

当她=70。为底角时，另一个底角为70。，顶角为180。-70。-70。=40。

瓯C的度数不可能是65。.

故选：C.

【点睛】

本题考查等腰三角形的分类讨论及三角形内角和定理，在不明确所给的角是等腰三角形的什么角时，需分

类讨论是解题关键.

2.（2021,江苏淮安•八年级期中）已知等腰三角形一边长为4,周长为10,则另两边长分别为（）

A.4,2B.3,3C.4,2或3,3D.以上都不对

【答案】C

【解析】

【分析】

分两种情况讨论：若腰长为4；若底边长为4,即可求解.

【详解】

解：若腰长为4,则底边长为1044=2,

此时另两边长分别为4,2；2+4>4可以构成三角形，满足题意；

若底边长为4,则腰长为g（10-4）=3,

此时另两边长分别为3,3；3+3>4可以构成三角形，满足题意；

综上所述，另两边长分别为4,2或3,3.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键.

考点二根据等边对等角求角度

例题：（2022•湖南株洲•八年级期末）如图，在母42。中,AC=OC=O8,NAC3=105。，则的大小为（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据边相等的角相等，用SB表示出圉CD4,然后就可以表示出0ACB,求解方程即可.

【详解】

解：设0B=x

SAC=DC=DB

SB\CAD=^CDA=2x

aSACB=180°-2x-x=105°

解得x=25°.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质，（1）三角形的外角等于与它不相

邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180。，求角的度数常常要用至『'三角形的内角和是180。”这一隐含

的条件.

【变式训练】

1.（2022•云南文山•八年级期末）如图，在中，0C=9O°,勖=30。，垂直平分若BE=10,则

CE的长为（）

A.573B.4C.6D.5

【答案】D

【解析】

【分析】

先由直角三角形两锐角互余求出aBAC=60。，再根据线段垂直平分线的性质得AE=BE=10,从而求得

0BAE=0B=3O°,所以回。46=回5403以£=60。-30。=30。，然后由含30度的直角三角形的性质求解即可.

【详解】

解：fflC=90",回8=30°,

aaBAC=60°,

团即垂直平分A2,

a4E=BE=10,

00BAE=0B=3O°,

团回。1E=回吐4C-回BAE=60°-30°=30°,

EICE=；AE=5,

故选：D.

【点睛】

本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握含30度的直角三角形

的性质是解题的关键.

2.（2022・四川眉山•八年级期末）如图，在SABC中，ZC=90°,03=36°,是线段AB的垂直平分线，

交AB于点E,交BC于点D,则aDAC的度数为.

A

【答案】18。

【解析】

【分析】

由线段垂直平分线的性质可求解回氏4。=36。，根据直角三角形的性质可求得aBAC的度数，进而可求解SDAC

的度数.

【详解】

解：aDE是线段AB的垂直平分线，

S\AD=BD,

EBB=36°,

03540=（38=36°,

00C=9O",

EEBAC=90°-36°=54°,

aa/MC=54--36°=18°.

故答案为：18。.

【点睛】

本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，求解回瓦LD,aBAC的度数是解

题的关键.

考点三根据等腰三角形中三线合一求解

例题：（2022,河南驻马店,八年级期末）如图，AABC中，AB^AC,ADL3D于点，ZBAD20°,若

BC=2BD,则ZBAC的度数为.

【答案】40°

【解析】

【分析】

如图（见详解），根据等腰三角形的三线合一性质，过点4作AE_L8C于点E,可证RTA4BEZRTA4BD,

即可求出Zfl4c的度数.

【详解】

解：如图，过点A作AE_L8c于点E,

SAB=AC,

EIE是BC的中点，且AE平分WC.

SBC=2BD,

^BD=BE.

在RTAABE和RT.ABD中，

\nRTAABEmRTAABDIHL),

\BD=BE

^\ZBAD=ZBAE=ZCAE=20°.

0ZBAC=4O°.

故答案为：40°.

【点睛】

本题考查等腰三角形的三线合一性质以及直角三角形全等的判定定理，正确运用定理进行判定是解题的关

键.

【变式训练】

1.（2022•江苏南通•八年级期末）如图，0ABe中，AB=AC=6,0BAC=120°,是EIABC的中线，AE^BAD

的角平分线，。尸交AE的延长线于点忆则。尸的长是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据等腰三角形的内角和定理可得/3=30。，再根据等腰三角形的三线合一可得小＞，BC,且AO平分

ZBAC,从而可得AD=3,乙BAD=60。，然后根据角平分线的定义、平行线的性质可得NR=/ZM£=30。，

最后根据等腰三角形的定义即可求解.

【详解】

解：・••在AABC中，AB^AC^6,ABAC=120°,

NB=1(180°-ZBAC)=30°,

•.•AD是AABC的中线，

:.AD±BC,且平分ZBAC,

AD=-AB^3,ABAD=-ABAC=60°,

22

是ZSW的角平分线，

ZBAE=ZDAE=-ABAD=30°,

2

DF//AB,

.\ZF=ZBAE=30°,

:.ZF=ZDAE,

.-.DF=AD=3,

故选C.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的三线合一、角平分线的定义、平行线的性质、含30。的直角三角形性质等知识点,

熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键.

2.（2022•浙江台州•八年级期末）如图，0ABe中，AB=AC,BC=痘,AB的垂直平分线交BC于点D且

BD<CD,过点B作射线A。的垂线，垂足为E,贝UC£)-DE=

【答案】显

2

【解析】

【分析】

作A/吨3c于死证明硼财DR根据全等三角形的性质得。尺。E,可得CD-DE=CF,由等腰三角形的

性质即可求解.

【详解】

解：作于R

的垂直平分线交8C于点D.

^\AD=BDf

^AF^BC,B斑DE,

^E=^\AFD=90°,

在和△ADb中，

ZE=ZAFD

</BDE=ZADF,

AD=BD

^BDE^ADF(AAS),

^\DF=DEf

出CD-DE二CD-DF=CF,

^\AB=ACfAF^BC,BC=^,

EICF=!BC=@.

29

故答案为：旦

2

【点睛】

此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形

的性质是解题的关键.

考点四格点图中画等腰三角形

例题：（2022•陕西・西安工业大学附中七年级阶段练习）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点,

已知是两格点，如果C也是图中的格点,且使得0ABe为等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（）

A.8B.7C.6D.4

【答案】A

【分析】分两种情况讨论：①为等腰AABC底边；②A3为等腰AABC其中的一条腰，分别作出图形可

得出答案.

【详解】解：如图：分情况讨论.

①A3为等腰AABC的底边时，符合条件的点C有4个；

②48为等腰AABC其中的一条腰时，符合条件的点C有4个，

即符合条件的点C的个数为8,

故选：A.

【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形，再利

用数形结合的思想来求解.

【变式训练】

1.（2021,黑龙江•哈尔滨顺迈学校八年级阶段练习）如图，下列网格是由边长为1的小正方形组成，其中每

一个小正方形的顶点叫做格点，按下列要求在网格内作图.

AA

⑴在图1中作以A8为底的等腰0A8C,满足点C在格点上；

⑵在图2中作以为腰的等腰0A8D满足点。在格点上，且0X8。的面积为3.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据等腰三角形的定义画出以A3为底的等腰MBC；

(2)根据等腰三角形的定义画出以为腰的等腰0A2D

(1)

解：如图1中，BABC即为所求；

0ABC是以A8为底的等腰.

(2)

解：如图2中，0ABQ即为所求.

SABD是以48为腰的等腰三角形，且S加:x2x3=3.

【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解

题意，灵活运用所学知识解决问题.

2.(2021•浙江温州•八年级期中)图①、图②均是8x8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点4

B、M、N均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图.

要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法.

⑴在图1中的格点上确定一点P,画一个以AB为腰的等腰a48P.

⑵在图2中的格点上确定一点P,画一个以为底的等腰0A8尸.

⑶在图3中的格线上确定一点尸，使阴与尸2的长度之和最小.

【答案】(1)见解析

⑵见解析

⑶见解析

【分析】(1)利用等腰三角形的定义，找出满足条件的点，标出所有的点即可;

(2)利用等腰三角形的定义，找出满足条件的点，标出所有的点即可；

(3)作A关于的对称点A,连接84,交MN于P,P点即为所求；

(1)

解：如图：

P]

(3)

解：如图所不:

B

A

N

承

【点睛】本题考查了作图一一应用与设计作图，等腰三角形的定义，轴对称的性质，轴对称确定最短路线问

题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.

考点五直线上与已知两点组成等腰三角形的点

例题：（2022•河南•驻马店市第二初级中学八年级期末）如图，已知AABC中，ZACB=90°,ZA=30°,在直

线8c或射线AC取一点P,使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点尸有（）

A.2个艮4个C.5个D7个

【答案】C

【分析】分为三种情况：①出=P8,（2）AB=AP,@AB=BP,求出即可得出答案.

【详解】解：①作线段的垂直平分线，交AC于点尸，交直线于一点，止匕时共2个点符合

条件；

②是以A为圆心，以48长为半径作圆，交直线BC于两点（8和另一个点），交射线AC于一点，此时

=AP,共2个点符合条件；

③以2为圆心，以助长为半径作圆，交直线BC于两点，交射线AC于一点，共3个点

回作线段的垂直平分线交直线BC的点，以A为圆心，长为半径作圆交直线BC的点，以及以8为圆

心，AB长为半径作圆交直线BC与右侧的点，这三个点是同一个点.

团符合条件的一共有：2+2+3-2=5个点，

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题以及垂直平分线的性质，主要考查学生的理解能力

和动手操作能力.

【变式训练】

1.（2022•辽宁锦州•八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A的坐标为（1,6）.M

为坐标轴上一点，且使得画〃M为等腰三角形，则满足条件的点加的个数为（）

y

OX

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点再作线段OA的垂直平

分线，与坐标轴的交点也是所求的点作出图形，利用数形结合求解即可.

【详解】解：如图，满足条件的点M的个数为6.

故选：B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，利用数形结合求解更形象直观.

2.（2022•福建三明•八年级期中）如图，已知点A,B的坐标分别为（3,0）和（0,5）,在坐标轴上确定一点C,

使AABC是等腰三角形，则符合条件的C点共有（）个

【答案】C

【分析】分三种情形，AB=AC,BA=BC,CA=CB,分别画图即可.

【详解】解：如图，当A庆AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外）,

当时，以点8为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外），

当CA=CB时，画A8的垂直平分线与坐标轴有2个交点，

综上所述：符合条件的点C的个数有8个，

故选C.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的

关键.

考点六求与图形中任意两点构成等腰三角形的点

例题：（2022•江苏宿迁•二模）如图，每个小方格的边长为1,A,8两点都在小方格的顶点上，点C也是图

中小方格的顶点，并且AABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）.

B

A

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数.

【详解】解：如下图：

当为腰时，分别以A、2点为顶点，以为半径作圆，可找出格点C的个数有2个;

当为底时，作的垂直平分线，可找出格点C的个数有1个，

所以点C的个数为：2+1=3.

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能分以48为底和以4B为腰两种情况，并画出图形是解题关键.

【变式训练】

1.(2021•北京市丰台区怡海中学八年级期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，己知点4(2,2),3(0,4),在

＞轴上找一点尸，使得A45P是等腰三角形，则这样的点P共有个.

【答案】4

【分析】以B为圆心，A8长为半径画圆可得与y轴有两个交点，再以A为圆心，A8长为半径画圆可得与y

轴有1个交点，然后再作AB的垂直平分线可得与y轴有1个交点.

【详解】解：如图所示，

y.

共4个点，

故答案为：4.

【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏.

2.(2021•湖北武汉•八年级期中)平面直角坐标系中有点A(2,0),B(0,4),以A,8为顶点在第一象限

内作等腰直角0ABC,则点C的坐标为—.

【答案】(4,6)、(6,2)或(3,3)

【分析】根据等腰直角三角形中直角顶点的不同情况进行分类讨论，并结合全等三角形的判定与性质求解

即可.

【详解】解：①如图所示，点C在第一象限，AB^BC,时，

作CHSy轴于P点，贝1113cp2=瓯04=90。，

EEABC=90°,

回团PBC+回OBA=90°,

00PBC+0PCB=9O",

BSiOBA^PCB,

在AOBA和APCB中，

'NOBA=ZPCB

<ZBOA=NCPB

BC=AB

0OB=PC,OA=PB,

由题意，OB=4,04=2,

回尸C=4,PB=2,

回。尸=2+4=6,

团此时，C点坐标为(4,6)；

②如图所示，点C在第一象限，AB^AC,时,

作CQElx轴于。点，贝1]M。。=回804=90。，

同①理，可证得△BCMEBAQC,

S0B=AQ=4,CQ=0A=2,

1300=2+4=6,

团此时，C点坐标为(6,2)；

BC=AC时,

作BM0CN,交CN延长线于M点，贝I]E1BMC=EICNA=9O。,

同①理，可证得△2MCW1CM4,

0AN=MC,CN=BM,

OA+AN=BM=CN

则

CN+CM=MN=OB'

2+AN=CN

即:

CN+AN=4'

AN=1

解得:

CN=3'

EION=2+1=3,

回此时，C点坐标为(3,3)；

综上，点C的坐标为(4,6)、(6,2)或(3,3)；

故答案为：(4,6)、(6,2)或(3,3).

【点睛】本题考查平面直角坐标系中等腰直角三角形的确定，掌握等腰直角三角形的基本性质，熟练运用

全等三角形的判定与性质求解是解题关键.

考点七等腰三角形的性质与判定

例题：(2022•浙江舟山•八年级期末)如图，已知在四边形A8CD中，AD//BC,0A=90。，AD=BE,CES\BD,

垂足为E.

⑴求证：BD=BC；

(2)若aDBC=50。，求SDCE的度数.

【答案】⑴见解析；

(2)25°

【解析】

【分析】

(1)由得至！她=90。，CESBD,贝峋8£。=妫=90。，又由已知A£)=BE,根据ASA

可证明△ABDEBECB,可得结论；

(2)由⑴知根据等边对等角可求得aBDC的度数，再根据外角的性质求得aDCE的度数.

(1)

证明：0AD0BC,

^EADB^SCBE,

瓯A=90°,CE0BD,

酿3EC=M=90°,

在“8。和zkECB中，

ZA=ZBEC

<AD=BE,

ZADB=ZCBE

^1ABD^\ECB(ASA),

⑦BD=CB；

⑵

解：^\BD=CB,

团是等腰三角形，

0BBCZ)=0B£)C=^(180°-0DBC)=1(180°-50°)=65°,

^BEC^BDC+SDCE=90°,

W>CE=90°SBDC=90°-65°=25°.

【点睛】

此题主要考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，证明△42。瓯ECB是解

题的关键.

【变式训练】

1.(2022•广西玉林•八年级期末)如图，已知在四边形A8CD中，点E在A。上，ZBCE=ZACD=90°,

ZBAC=ZD,BC=CE.

⑴求证：AC=CD；

(2)若AC=AE,求NACB的度数.

【答案】⑴见解析

(2)/ACB的度数为22.5°

【解析】

【分析】

(1)利用同角的余角相等得NACB=NDCE,再根据A4S证明△ABC0ADEC,即可证明结论;

(2)由AC=C£>,知△ACD是等腰直角三角形，得NC4D=45°,再根据AC=AE,^ZACE=-

2

(180°-ZCAL»=；(180°-45°)=67.5°,从而得出答案.

(1)

证明：-：ZBCE=ZACD=90°,

：.ZACB=ZDCE,

在△ABC和中，

ABAC=ND

<ZACB=NDCE,

BC=CE

：.AABC^ADEC(A45),

：.AC=CD；

⑵

解：由(1)知，AC=CD,

VZACD=90°,

.•.△AC。是等腰直角三角形，

AZCAD=45°,

\'AC=AE,

：.ZACE=-(180°-ZCAD)=-(180°-45°)=67.5°,

22

：.ZACB=ZBCE-ZACE=90°-67.5°=22.5°,

.•.NAC3的度数为22.5°.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证

明AABC出/\DEC是解题的关键.

【变式训练】

1.(2021•江苏镇江•八年级期中)如图，中，aB=E!C=50。.点。在线段BC上运动(点。不与8、C

重合)，连接AQ,作朋。£=50。，Z)E交线段AC于E.

⑴当回BA£>=20°时，E1EQC=

(2)当EIBAD=。时，^ABD00DCE?请说明理由;

⑶0ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出回区4。的度数；若不能，请说明理由.

【答案］⑴20

(2)15,理由见解析

⑶能，回54。=15。或回氏4。=30。，理由见解析

【解析】

【分析】

(1)先利用平角的意义求出回CDE,再用三角形外角的性质求出MED,最后用三角形的内角和定理求出回。4£；

(2)利用三角形内角和定理得出SBAC=80。，再由三角形外角的性质及等量代换确定a4ED=aDAE=65。，

AD=DE,结合图形利用全等三角形的判定即可证明；

(3)先求出aBAC=80。，再分三种情况，利用等腰三角形的性质求出SDAE,即可得出结论.

(1)

00BAD=20°,0B=5O°,

0HADC=70°,

0HADE=5O°,

0HEDC=7O°-50°=20°,

故答案为：20；

(2)

解：EIA4Z)=15°时，0ABD00DC£,理由如下：

在财BC中，0B=HC=5O°,

0HBAC=80°,

03240=15°,

00DAE=65°,

又回a4。£=50°,

aM£O=l3OAE=65°,

SAD=DE,

在财BD中，

0BAD+0ADB=13OO,

0HCDE+SADB=180°-SADE=130°,

^BAD=S\CDE,

^B=SCAD=DE,

00ABDH0DCE；

(3)

能，当回氏4。=15。或30。时，囿位＞£能成为等腰三角形.

理由：在回ABC中，0B=0C=5O°,

00BAC=80°,

①当时，

0EL4£)E=5O",

幽CA£>=；(180°-SADE)=65",

00BAZ)=0BAC-13cA£>=15°,

②当E4=E。时，

^S\DAC=SADE=50°,

BSBAD^BAC-SDAC=30°,

③当A£)=AE时，BAED=BADE=50°,

00DA£=18O°-HADE-SAED=80°,此时，点。与点2重合，不符合题意，

综上所述，当回&4。=15。或30。时，0AOE能成为等腰三角形.

【点睛】

此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，平角的意义，三角形外角的性质，等腰三角形的性

质与判定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键.

2.(2022•山东枣庄•八年级期末)如图，在AABC中，DM、EN分别垂直平分AC和3C,交A3于M、N两

点，DM与EN相交于点尺

⑴若△CMN的周长为18c〃z,求A3的长;

(2)若NMFN=70。,求ZMCN的度数.

【答案】⑴AB=18a〃；

(2)0MCN=4O°.

【解析】

【分析】

(1)垂直平分线上的点到两端距离相等，则AW=CM,BN=CN,I3CMN的周K=CM+MV+CN=AM+MN+BN=4B

(2)根据三角形的内角和定理，易知回肠\不+册底尸=110。，对顶角相等则a4“9+EI8NE=l3MNr+EIMWF,即可

求出EL4+I3B的度数，再根据三角形的内角和求出ZMCN即可.

(1)

0DM,EN分别垂直平分AC和BC,

SAM=CM,BN=CN,

配1cMN的周kCM+MN+CN=AM+MN+BN=AB,

配1cMN的周长为18cm,

IZAB=18cm；

(2)

1MLM尸N=70°,

^\^MNF+^NMF=180°-70°=110°,

^\AMD=^\NMFf⑦BNE二国MNF,

团团AM0+团3NE=团MNF+团MV〃三110°,

回她+团3=90°-朋MD+90。-国BNE=180°-110°=70°,

^AM=CMfBN=CN,

酿A二胤4c团乐团3cM

配］MCN=180°-2(M+团3)=180°-2x70°=40°.

【点睛】

本题主要考查了三角形的垂直平分线，通过“垂直平分线上的点到两端距离相等〃得到线段和角度之间的关系

是解题的关键.

考点八等边三角形的性质与判定

例题：(2022•江苏•八年级)如图，C是上一点，点D,E分别在4B两侧，A。||BE,且AD=3C,BE=AC.

⑴求证CD=EC；

⑵连接。E,若NZXE=60。，OC=4,求OE的长.

【答案】⑴证明见解析

(2)4

【解析】

【分析】

(1)由平行线的性质，结合条件可证明/△3CE,即可得出CD=CE；

(2)证明ADCE是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案.

(1)

证明：S\AD\\BE,

0ZA=ZB,

在AADC和A3CE中,

AD=BC

<ZA=ZB,

AC=BE

0AAr>C^ABCE（5AS）,

团CD=CE；

⑵

解：

由（1）知，CD=CE,

又回NDCE=60°,

回AOCE是等边三角形，

团DC=4,

SDE=DC=4.

EIDE的长为4.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质、平行线的性质.掌握全等三角形的判

定方法，证明三角形全等是解题的关键.

【变式训练】

1.（2021•湖南,长沙市中雅培粹学校八年级阶段练习）如图，在AABC中，aBAC=aB=60。，。点为BC的中点，

AB=4,则2£）=一

【答案】2

【解析】

【分析】

根据已知条件证明0Age是等边三角形，得到BC=A2=4,即可求出20.

【详解】

解：00BAC=0B=6O°,

0EIC=[3BAC=0B=6OO,

团0ABe是等边三角形，

回BC=AB=4,

回。点为BC的中点，

0BD=2,

故答案为：2.

【点睛】

此题考查了等边三角形的判定及性质定理，熟记三个角相等的三角形是等边三角形是解题的关键.

2.(2022•安徽池州,八年级期末)如图，点0是等边AABC内一点，D是AABC外的一点，0AOB=11O。，0BOC

=a,ABOC00ADC,0<9CD=6O°,连接0D

⑴求证：△0。是等边三角形；

⑵当a=150。时，试判断AA。。的形状，并说明理由；

(3)探究：当a为多少度时，AAO。是等腰三角形.

【答案】⑴见解析

⑵0AOD是直角三角形，理由见解析

(3)当a=110。或125。或140。时，0AOZ)是等腰三角形

【解析】

【分析】

(1)根据有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形可得证；

(2)根据全等易得0ADC=aBOC=a=15O。，结合(1)中的结论可得0A。。为90。，那么可得所求三角形的形

状；

(3)根据题中所给的全等及财。8的度数可得的。。的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可.

(1)

证明：EEBOCEHADC,

回oc=oc,

ffl(9CD=60°,

回回OCD是等边三角形.

⑵

0Ao。是直角三角形.

理由如下：

03OCZ)是等边三角形，

RBODC=60°,

0HBOC13EL4DC,a=150°,

0EL4DC=0BOC=a=15O°,

0EL4DO=EL4DC-0ODC=15O<>-6OO=9OO,

回她0。是直角三角形.

(3)

幽。C。是等边三角形，

0HCOD=HODC=6O°.

0EL4OB=11O°,SADC=SBOC=a,

0EL4OD=36O°-0AOB-0BOC-0COD=36O°-110o-a-60°=190°-ct,

SADO=SADC-SODC=a-60°,

SS\OAD=18OO-0AOD-EL4DO=180°-(190°-«)-(«-60°)=50°.

①当0AOO=0ADO时，190°-a=a-60°,

0a=125".

②当0AOD=回04。时，190°-a=50°,

0a=14O°.

③当0AOO=I3O4。时，

a-60°=50°,

0ct=llO°.

综上所述：当a=110。或125。或140。时，0Ao。是等腰三角形.

【点睛】

题目综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况

是解题关键.

课后训练

••...............，•

一、选择题

1.（2022•河北•平乡县第二中学八年级阶段练习）如图，已知在AABC中，AB^AC,AZMBC于点。，若

ZBAC=100°,贝腼CAQ的度数为（）

【答案】B

【分析】根据等腰三角形的三线合一可得答案.

【详解】解：EIAB=AC,AD^BC,Zfi4C=100°,

07.BAD=ACAD=-ABAC=50°.

2

故选8.

【点睛】本题考查等腰三角形，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质.

2.（2021・河北•香河县第四中学八年级期中）如图所示，AABC是等边三角形，且42=8,则HAOC等于（）

A.120°B.135°C.145°D.150°

【答案】D

【分析】由等边三角形的性质就可以得出AB=AC=2C,0ABe=60。，由就可以得出就有

04=0BAD,03=0BC£>,由四边形的内角和就可以得出2国3+2回4+即+02=360。，就可以求出0ADC的值而得出结

论.

【详解】解：0AQC的大小不发生变化.

回0ABe是等边三角形，

SAB=AC=BC,EABC=60".

SBD^AB,

幽4=054，BD=BC,

随3=088

004+0BAD+EI3+EBCD+01+02=360°,01+02=60",

回2回3+2回4+60°=360°,

003+04=150°,

BP0ADC=150".

故选：D.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，四边形的内角和定理，解答时灵活运用等边

三角形的性质求解是关键.

3.(2022•陕西•西安工业大学附中七年级阶段练习)等腰三角形的两边八》满足a2+匕2-6a_146+58=0,,

则这个三角形的周长为()

A.13B.15C.17D.13或17

【答案】C

【分析】先将58改成9+49,运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式，继而求出。，6的值，最

后根据等腰三角形的性质即可得出结论.

【详解】解：回。2+62-6a-14力+58=0,

E(a2-6a+9)+(i>2-14Z>+49)=0,

0(a-3)2+0-7)2=O,

回〃=3,b=7.

分两种情况讨论：

当腰为3时，3+3<7,不能构成三角形，

当腰为7时，3+7>7,能构成三角形，等腰三角形的周长为7+7+3=17.

综上所述：该等腰三角形的周长为17.

故选C.

【点睛】本题考查了完全平方公式及等腰三角形的性质.解题的关键是将58改成9+49

,运用完全平方公式将原等式化为平方和为0的形式.

4.（2021•四川凉山,八年级期中）如图，点。、E分别在等边三角形A2C的边BC、AC上，S.BD=CE,连

接A。、BE相交于点P,贝帼APE的度数是（）

A.60°B.55°C.45°D.30°

【答案】A

【分析】只需要证明得到aB4D=21CBE,进而根据三角形外角的性质即可得到答案.

【详解】解：回EABC是等边三角形，

EEIAB£）=0BCE=6OO,AB=BC,

又mBD=CE,

EHBCEEHABD（SAS）,

00BAD=0CB£,

SlISAPE^BAD+ISABP,

^\APE=SCBE+^ABP=^ABC=6Q°,

故选A.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明BCEHfflABO

得到aBA£>=国C2E是解题的关键.

5.（2022•河南安阳•八年级期末）如图，A,B两点在一个6x6的正方形网格的格点上，每个小方格都是边

长为1的正方形，点C也在格点上，且AABC为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C的个数为（）

8个C.9个D10个

【答案】D

【分析】分两种情况：①为等腰三角形的底边，连接A2,作A3的垂直平分线，得到的格点C有6个

符合要求；②AB为等腰三角形的一条腰，分别以48为圆心，A8长为半径画圆，得到的格点C有4个；

画出图形，即可得出结论.

【详解】解：如图所示:

①为等腰三角形的底边，符合条件的点C的有6个；

②AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C的有4个.

所以符合条件的点C共有10个.

故选：D.

【点睛】此题考查了画等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键，注意数形结合的解题思想.

二、填空题

6.（2022•陕西•西安爱知初级中学八年级阶段练习）若等腰三角形有一个内角为40。，则它的顶角度数为

【答案】100°或40。

【分析】根据题意可分当顶角为40。时和底角为40。时进行分类求解即可.

1QA940?

【详解】解：①当顶角为40。时，则底角的度数为：；"0?；

②当底角的度数为40。时，顶角的度数为180。-40。><2=100。；

综上所述：它的顶角的度数为40。或100。；

故答案为：40。或100。.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质.

7.（2022•浙江丽水•八年级期中）已知等腰三角形的周长20cm,一边长为8c机，则它的腰长是.

［答案］8cm或6cm##6cm或8cm

9Q_Q

【分析】当腰长=8c〃z时，底边=20-8-8=451,当底边=8cm时，腰长=---=6%根据三角形的三边关系,

2

即可推出腰长.

【详解】解：团等腰三角形的周长为20a”，

团当腰长=8CMJ时，底边=20-8-8=4c/w,

2Q_Q

团当底边二8。加时，腰长=一--=6cm,

团腰长为8cm或6cm.

故答案为：8cm或6cm.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键在于分析讨论6cm为腰长还是底边长.

8.（2022•吉林长春,八年级期末）如图，0ABC中，A8=AC,点。为的中点，回84。=24。，AD=AE,0EDC

=度.

【答案】12

【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得NC4O=/8AO=24。,AOLBC,再根据等腰三角形的性质可得

ZADE=ZAED=18°,然后根据角的和差即可得.

【详解】解：•.・M=AC,点。为BC的中点，440=24。，

ACAD=ABAD=24°,ADLBC,

■.AD=AE,

NADE=ZAED=|x（180°-24°）=78°,

ZEDC=90°-ZADE=12°,

故答案为：12.

【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键.

9.（2021•辽宁・盘锦市第一完全中学八年级期中）如图，0ABe中，2。平分0A8C,C。平分0AC2,M,N经

过点。，且.MN〃:BC,若AB=5,0AMN的周长等于12,则AC的长为.

【答案】7

【分析】根据2。平分EIC3A,C。平分0ACB,且MN〃BC,可得出NO=NC,所以三角形AA/N

的周长是A8+AC,于是得到答案.

【详解】解：回8。平分EIC8A,C。平分财CB,

^MBO=^OBC,SOCN=SOCB,

⑦MN〃BC,

^MOB^OBC,^NOC=^\OCB,

^\MBO=^\MOBf^NOC=^\NCOf

^\MO=MB,NO=NC,

^AB=5,MMN的周长等于12,

mAMN的周长=AM+A/N+AN=A3+AC=5+AC=12,

0AC=7,

故答案为：7.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

10.（2020・浙江•八年级期末）如图，4ABe的点A、C在直线/上，ZB=120°,ZACB=40°,若点P在直线

/上运动，当成为等腰三角形时，则Z4BP度数是.

【答案】10°或80。或20。或140°

【分析】分三种情形：AB=AP,PA=PB,84=3尸分别求解即可解决问题.

【详解】解：如图，

①当AB=AP时，ZABPX=ZAPXB=IO°,ZABP,=ZAP3B=1（180°-20°）=80°,

②当以=尸5时，^ABP2=AAP2B=2O°,

③当班=8尸时，^ABPi=180°-20°-20°=140°,

综上所述，满足条件的ZABP的值为10°或80°或20°或140°.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识,

属于常考题型.

三、解答题

11.（2021•河北•香河县第四中学八年级期中）如图，在AABC中，D是边2C上的一点，AB=AD=DC,0B=6O°,

求回c,&BAC的度数.

A

【答案】fflC=30°,MAC=90°.

【分析】先根据&8=60。求出AAB。是等边三角形，求得她。8=60。，再由等腰三角形的性质以及三

角形的外角性质求出国C的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出&BAC的度数.

【详解】解：0AB=AD,0B=6O°,

回是等边三角形，

0EL4J9B=6O",

0AD=C£),

E0C=0DAC=-0A£>8=30°,

2

0BAC=18O0-0B-[3C=9O'>.

【点睛】本题考查的是等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角

和定理，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键.

12.(2021•黑龙江,哈尔滨顺迈学校八年级阶段练习)如图，点。、E在0ABe的边BC上，AD=AE,BD=

⑴求证：AB=AC；

⑵若SBAC=108。，SD4E=36。，直接写出图中除0ABe与0AOE外所有的等腰三角形.

【答案】⑴证明见解析

(2)E1AB£)>E1AEC、BABE,0ADC

【分析】(1)首先过点A作迥BC于点孔由AO=AE,根据三线合一的性质，可得DF=EF,又由

CE,可得BF=CF,然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB=AC；

(2)根据等腰三角形的判定与性质、三角形内角和及三角形外角和解答即可.

(1)

证明：过点A作A/naBC于点尸，如图所示：

0A£>=AE,

^\DF=EF,

⑦BD=CE,

0BF=CF,

^\AB=AC；

(2)

解：由(1)知AB=AC,

•­-0BAC=108°,

.”="J8。。-log]-

2

AD=AE,皿4£=36°,

ZADE是AABO的一个外角，

:./BAD=ZADE—NB=72°-36°=36°,

同理，NEAC=36°,

.•-0B=0BAD=36°,EIC=I3EAC=36°,0BA£=0BEA=72",EL4£>C=0£）AC=72O,

团除EABC与HADE外所有的等腰三角形为：0AB。、0AEC、0ABE、E1ADC.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，涉及到中垂线的判定与性质、三角形内角和定理和三角形外

角性质等知识，熟练掌握辅助线的作法，灵活利用数形结合思想是解决问题的关键.

13.（2021•江西育华学校八年级期末）已知BABC是等腰三角形，AB=AC.

⑴如图①，若2。平分0A8C,0BCD=90°,EIA=40。，求回。的度数；

⑵如图②，点。为0ABC外一点，连接2。，CD,AD,且回8。。+2回8。4=180。，0AB£>=6O°,求证：DC+BD

=A艮

【答案】⑴55°

(2)详见解析

【分析】(1)由等腰三角形的性质求出//RC=70。，由角平分线的性质得出NDBC=35。，由三角形内角

和定理即可得出结果；

(2)延长3D至E,使DE=DC,连接AE,由S4S证得AADE三AADC,得出AE=AC,推出=

证明AABE是等边三角形，得出即可得出结论.

(1)

解：-.-AB=AC,

:.ZABC=ZACB,

vZA=40o,

ZABC=ZACB=-(180°-40°)=70°,

2

Q3£>平分ZABC,

\?DBC-1ABC-®70=35?,

22

•.•ZBCD=90°,

.•.ZD=90°-35°=55°；

(2)

证明：延长3。至E,使DE=Z)C,连接AE,如图②所示：

­.•ZBDC+2ABDA=180°,ZADE+ZBDA=18Q°,

ZADE=ZBDC+ZBDA=ZADC,

DE=DC

在AADE和AA£>C中，<^ADE=ZADC,

AD=AD

:.\ADE^^ADC{SAS),

AE=AC,

-：AB=AC,

--AB=AE,

•/ZABD=60°,

.•.A4BE是等边三角形,

BE=AB,

•・・BE=DE+BD=DC+BD,

.\DC+BD=AB.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内

角和定理、角平分线等知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.

14.(2022•山东泰安•七年级期末)中，AB=AC,SB=30。，点尸在2C边上运动(P不与B、C重合),

连接AP,作朋尸。=&8,交于点Q.

(D如图，当PQ||CA时，判断0AP8的形状并说明理由；

(2)在点尸的运动过程中，当她尸。的形状是等腰三角形时.请求出SBQ尸的度数.

【答案】⑴她尸8是直角三角形，理由见解析

(2)N8QP=60°或105°

【分析】⑴由等腰三角形的性质可求回c=3(r=aB=a4P。，由平行线的性质可求aBPQwc=30。，即可求解;

(2)分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解.

(1)

解：刻产2是直角三角形，

理由如下：

■AB=AC,0B=3O°,

ZC=30°=NB=ZAPQ,

■.-PQWCA,

:.ZBPQ=ZC=30°,

ZAPB=NBPQ+NA尸。=30°+30°=60°,

ZBAP=180°-ZB-ZAPB=180°-30°-60°=90°,

.•.△ARB是直角三角形；

(2)

解：当AQ=Q尸时