等式与不等式的性质-2025高考数学一轮复习讲义

第3讲等式与不等式的性质

知识梳理

1、比较大小基本方法

方法

关系做差法做商法

与。比较与1比较

a>ba-b>00>1（。，Z?〉0）或0<1（。，Z?<0）

bb

a-ba—b=O@=1S#O）

b

a<ba-b=Q@<1（。，。〉0）或0>1（。，bvO）

bb

2、不等式的性质

（1）基本性质

性质性质内容

对称性a>bob<a；a<bQb>a

传递性a>b,b>c^>a>c；a<b,b<c^>a<c

可加性a>b<^>a+c>b>c

可乘性a>b,c>0^ac>bc；a>b,c<0^ac<bc

同向a>c,c>d^>a+c>b+d

可加性

同向同正a>b>0,c>d>0^ac>bd

可乘性

可乘方性a>b>6,nEN*na">b"

【解题方法总结】

1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特

别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.

2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、

利用函数的单调性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与。的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利

于0或1比较大小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，

且是塞或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.

必考题型全归纳

题型一：不等式性质的应用

【解题方法总结】

1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明.

2、充分利用基本初等函数性质进行判断.

3、小题可以用特殊值法做快速判断.

例1.（多选题）（2024•重庆•统考模拟预测）已知a>b>c,ac>0,则下列关系式一定

成立的是（）

A.c2>bcB.Z?c（«-c）>0

cb一

C.ct+b>cD.-H—>2

bc

【答案】BD

【解析】因为〃c>0,所以a>b>c>0或

当人>。>0时，bc>c1,A不成立，Z?c（tz-c）>0,a+b>c,

由5>0造>0,故£+幺22、厘=2,当且仅当£=2,即b=c时，等号成立，

bcbe\bcbc

因为b>c,故等号不成立，故5+2>2；

bc

当0>〃>b>c时，bc<$,bc^a-c）>Q,

不妨设0>T>—2>—3,贝!Ja+Z?=c,故此时C不成立，

由5>0,2>0,故£+32、M=2,当且仅当5=2,即b=c时，等号成立，

bcbe\bcbc

ch

因为b>c,故等号不成立，故：+g>2；

bc

综上：BD一定成立.

故选：BD

例2.（多选题）（2024•山东•校联考二模）已知实数a,b,c满足0>〃>c,且

Q+b+C=O,则下列说法正确的是()

A.----->---B.a-c>2bC.a2>b2D.ab+bc>0

a—cb—c

【答案】BC

【解析】对于A,*：a>b>c,:.a-c>b-c>0/.—-—<——,A错误；

fa-cb-c

对于B,\,a>b>c,〃+Z?+c=O,:.a>0,c<0,:.b+c=—a<G,a-b>0,

:.a-b>b+c,BPa-c>2b,B正确；

对于C,\-a-b>0,a+b=-c>Q,-b2=(a+Z?)(a-/?)>0,即标>〃，c正确；

对于D,ab+bc=b^a+c)=-b1<0,D错误.

故选：BC.

例3.(多选题)(2024•全国•校联考模拟预测)若a>0>b>c,则下列结论正确的是

()

A.->-B.b2a>c2a

cb

C.———>—D.a—c>Z?)(Z?-c)

【答案】ACD

【解析】•：a>0>b>c,则b-c>0,bc>0,=0,即A正

cbbecb

确；

例如。=1,6=一2,c=-3,/"=(一2)2=4,。2。=(一3)2=9,显然4<9,B错误；

,a-bba(c-b)八_a_hA一八

由。>0>b>c得c一人<0,a-c>0,----------二一(------7>°，即---->一，C正确；

a-ccc{a-c)a—cc

易知Q-C>0,a-b>0,b-c>0,

a-c-2J(a-b)(b—c)—(a-Z?)+(Z?-c)-2J(a-/?)((-c)—(Ja—b-y/b—c)220,

ci—c^2d(a-b)(b-c),D正确；

故选：ACD.

题型二：比较数(式)的大小与比较法证明不等式

【解题方法总结】

比较数(式)的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利

用函数的单调性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利

于0或1比较大小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，

且是累或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：

bbb

右。>0,5>0,贝|一>lob>a；—<\<^b<a；—=lob=a；

aaa

bbb

若。<0,/?<0,则一—<l<^b>a；—=lob=a.

aaa

例4.（2024•全国•高三专题练习）若Ovavb,a+b=l,则将。,。,；,2〃友〃2+/?2从小到大

排列为.

【答案】a<2ab<-<a2+b2<b

2

12

［解析】・・,0vav〃，a+〃=l,不妨令〃=耳力=耳，

则有2〃。=54，4+。2=§5,

.,.有b>+/>X>2ab>a,

2

即a<2ab<—<a2+b2<b.

2

故答案为：Q<<—<a2+b2<b.

2

例5.（2024•全国•高三专题练习）如果〃>/?,给出下列不等式：

①②〃3>力3；（§）.@2ac2>2bc2；⑤色>1；@a2+b2+l>ab+a+b.

cio>b

其中一定成立的不等式的序号是.

【答案】②⑥

【解析】令。=1，。=-1,->7,排除①，坛=后,排除③选项，7=-l<h排除⑤.

abb

当C=0时，排除④.由于暴函数>=尤3为R上的递增函数，故〃3>63,②是一定成立的.由于

a2+b2+l—（^ab+a+b^=——Z?）+（a-1）+（/?-1）J>0,ijla2+b2+1>ab+a+b.^@1E

确.所以一定成立的是②⑥.

ha

例6.(2024•高三课时练习)(1)已知〃>b>0,c<d<0,求证：——<——；

a-cb-d

(2)设X,yeR,比较(V-y2『与孙(x-y)2的大小.

【解析】(1)由。>/?>①c<d<0,得一c>—d>0,a—c>b—d>0,从而得

0<^—.

ci—cb—d

又a>b>0,所以上<£.

a-cb-d

(2)因为(f—y2)2-xy(x-)；)2=x4+y4-xiy-xy3=^3(%-y)+^3(y-^)

=(x-^)(x3-/)=(x-y)2(x2+Ay+y2)=(x-^)2(工+口+#>0,当且仅当x=y时等

号成立，

所以当x=y时，，_力-=孙(彳_了)2；

当XW时，(12_,2)2>冲(尤_,)2.

例7.(2024•全国•高三专题练习)(1)试比较(x+l)(x+5)与(％+3)2的大小；

(2)已知a>h,—<v,求证：ab〉0.

ab

【解析】(1)由题意，(x+l)(x+5)-(x+3)2

—+6%+5—-6%—9-—4v0,

所以(％+1)(%+5)<(%+3).

(2)证明：因为工<《，所以工一；<0,即?<0,

ababab

而。>。，所以b-a<0,贝得证.

题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围

【解题方法总结】

在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每

个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.

例8.(多选题)(2024•全国•高三专题练习)已知实数x,y满足

—3<x+2y<2,—1<2x—y<4,贝I」()

A.x的取值范围为(-1,2)B.V的取值范围为(-2.1)

C.%+丫的取值范围为(-3,3)D.x—V的取值范围为(-L3)

【答案】ABD

【解析】因为一1<2无一，<4,所以一2<4x-2y<8.因为一3<x+2y<2,所以

-5<5x<10,则-l<x<2,故A正确；

因为-3<x+2y<2,所以一6<2尤+4y<4.因为-l<2x-y<4,所以-4<-2x+y<l,所以

-10<5y<5,所以-2<y<l,故8正确；

936114

因为一3<x+2y<2,-l<2x-y<4,所以一《<《（》+2丫）<],-[<《（2》一〉）<1，贝!|

-2<x+y<2,故C错误；

2133312

因为一3<x+2y<2,-l<2无一y<4,所以一]<一巳0；+2丫）<2，-：<：（2%—>）<号，则

-l<x-y<3,故。正确.

故选：ABD.

例9.（2024•广东•高三校联考期末）已知iWa-6W3,3<a+b<7,则5a+b的取值范

围为（）

A.[15,31]B.[14,35]C.[12,30]D.[11,27]

【答案】D

,、/\fm+n=5=2

1^5a+b=m\a-b}+n（a+b}=\m+n}a+\n-m）b,所以，=><,

\ji—m=\[〃=3

贝|5。+人=2（。一/7）+3（々+6）,Xl<«-&<3,3<a+Z?<7

所以242（。一切46,9<3（a+fe）<21,由不等式的性质得：1142（a—6）+3（a+6）427,

则5a+b的取值范围为[11,27].

故选：D.

例10.(2024•全国•高三专题练习)已知lWaW2,-1<&<4,则。-2》的取值范围是

()

A.—l<a—2b<4B.—6<a—2b<9

C.6<a-2b<9D.-2<a-2b<8

【答案】A

【解析】因为一l〈b44,所以一84—2Z?V2,

由1KaW2,—7Wa-2bW4.

故选：A.

例11.（2024•全国•高三专题练习）已知三个实数a、b、c,当c>0时，6W2a+3c且

bc=a2,则二^的取值范围是____________.

b

【答案】仆:

【解析】当c>0时满足：2。+3c且仪：=

2a+3c,BPa2-2ac-3c2<0,进而(马,一2.4一3,,0,解得一啜d3.

cCCC

C1C

所以或£w-i,

a3a

a-2cac-2c2ceV「‘c、

一一2-二〃一)，

—br-=---a-2—=ayaja

「1、

令_c=-,+cokj(-oo-l],

f(1)-—2〃+/'=—2ti+r

由于felu（-oo-l]

所以〃。在t?（?,1]单调递增，在以景？字单调递减，

当"<时,噜=|'当年T时，〃-1）=一3，

所以外产！

幺1

故答案为:受，蒲

题型四：不等式的综合问题

【解题方法总结】

综合利用等式与不等式的性质

例12.（多选题）（2024•河北衡水•高三河北衡水中学校考阶段练习）已知。>0,

4151

b>G,且满足—+7，b>-+-.则/+〃的取值可以为（）

abba

A.10B.11C.12D.20

【答案】CD

【解析】因为此—4+「1。丁5+1—,

abba

所以+/?2>5+—,

ba

故/+/>4+—+5+—>9+2/—­—=11,

ba\ba

当/=4+f,从=5+2且f=而。=/，时/片后，即等号不能同时成立，

baba

所以/+。2>11,故AB错误，CD正确.

故选：CD.

例13.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）已知尤2（/+1）=1,贝I］（）

1

A.xy<1B.x9y>--

o5

C.x+xy<lD.x+xy<—

【答案】ABD

【解析】由必（产+1）=1得/=］_/尸，由于产20,所以

所以无2y2=］一无2?［0,］）,因此一1<个<1且冲力0,故A正确，

2y尤2y—————=——-——1

尤尸¥7,当><。时，y2+l、―1，由于y+—W-2,当且仅当y=T时，等号

y+1y+—y

y

c11

0>----->——cl

成立，故2,当>2。时，x2y>0,所以/丁之一万，故B正确，

y

%2（l+y）2=x2（i+2y+y2）=%2（y2+i）+2%2y=i+2x2y<i+f0+y2）=2,当且仅当

2y=1+/?y时取等号，故—在4Ml+y）=x+wW/，所以C错误，

x2+xy=l-x2y2+xy=-(xy-^\+|<|,当且仅当孙=(取等号，又/(y+i/i,所以

X当户,或者，=$尸$等号成立，

故选：ABD

1

例14.（多选题）（2024•全国•模拟预测）已知实数a,6满足>飞，则（

A.log0.2023a<l°g0.2023bB.a3cb3

_bb+1D-"+看的最小值为1

C.->---

aQ+1

【答案】BC

【解析】由下>亍可知。>0,b>0,由不等式的性质可知,贝U0<a<6.

7a7bab

选项A：因为对数函数y=logo.2023尤为减函数，0<a<b,所以Iogo2023a>l°go2023），故A

错误；

选项B：由函数丫=尤3的单调性可知/<犷，故B正确;

bb+\b(a+l]-a(b+l)

选项C：因为------—1―—Lb-a>0,所以2h>安/7+1，故c正确;

aa+\6Z(6Z+1)Q(I+1)aa+1

选项D：ab+—^—=(ab+\\+———l>2j(<7&+l)x———1=1,

ab+1'7ab+1V7ab+1

当且仅当必+1=1二，即而=0时取得等号，显然等号不成立，故D错误.

ab+1

故选：BC.

例15.(2024•全国•高三专题练习)已知实数〃，b,c满足a+Z?+c=0,a2-^-b2+c2=1,则

。的最大值是一.

【答案】池

3

222

【解析】•.•〃+"+c=0,a+b+c=lf

b+c=-a,b2+c2=l-a2,

be=^-(2bc)=+c)2-(b2+c?)]=a?一；

:・b、c是方程：]2+〃]+〃2一：=0的两个实数根，

2

A>0

/—4("——■)>0

即tz2<-

3

:在

33

即。的最大值为逅

3

故答案为：逅.

3

题型五：糖水不等式

【解题方法总结】

糖水不等式：若。>6>0,机>0,则一定有j>2,或者”生<2.

a+mab+mb

例16.(多选题)(2024•全国•高三专题练习)已知6g糖水中含有ag糖(人>。>0),若

再添加mg糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事

实，下列不等式中一定成立的有（）

aa+ma+ma+2m

A.—<------------<------

bb+mb+mb+2m

21

C.(«+2m)(Z?+m)<(6i+m)(Z?+2m)D.—7--<--r

3i-l3°T

【答案】ABD

【解析】对于4由题意可知:〈产，正确;

bb+m

工D中在cm二匚I、IQ+ma+m+2m-ma+2m

对于5,因为加<2M，所以-----<-------------=------,正确;

b+mb+m+2m—mb+2m

a+ma+m+ma+2相口□/\/\/。\/、…、口

对于C,-----<---------=------即(<2+m)(&7+2nm)<(a+2m)(Z?7+m),错误；

b+mb+m+mb+2m

.丁22+1311十环

对于小正z〈剪，I=3=F<F'正确.

故选：ABD

例17.（2024•山西•统考一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖