等差数列、等比数列-2025年高考数学二轮复习学案（含答案）

专题四等差数列、等比数列

【题型分析】

考情分析：

1.等差、等比数列的基本运算和性质的考查是高考热点，经常以小题的形式出现.

2.数列的通项也是高考热点，难度中档及以下.

题型1等差数列、等比数列的计算

典例精析

例1(1)(2023年全国甲卷)设等比数列｛劣｝的各项均为正数，前〃项和为“若

«1=1,S5=553-4,则&=().

A.—B.—C.15D.40

88

(2)(2024年新高考全国〃卷)记8为等差数列岳用的前n项和，若的+以=7,

3a2+。5=5,贝USio=.

方法总结：

1.等差数列、等比数列中的基本量计算问题

通项与求和性质应用

I常见题型)一与函数、方程、

不等式相结合_____

等比数列求和要分公

比是不是1

等差数列、,、

等比数列7注意点］-等比数列中注意首项

与公比均不为零

的计算

准确求解基本量

注意分类讨论一

失误与防

注意结论的整合

2.解决等差、等比数列基本量运算问题的思想方法

通常利用已知条件及通项公式或前"项和

方程

公式列方程(组)求解，五个量可“知

思想

三求二”

当所给条件只有一个时，可将已知和所

整体i।

T求都用生，of(anq)表示，寻求两者间的?

思想

I联系，整体代换即可求解

1_______________________________J

分类［至题目中公比g未知，则运用等比数列前］

讨

论

-*•"项和公式时要分和两种情况进|

思

想g=lg#l

：行讨论

跟踪训练

1.已知等差数列｛aQ的前〃项和为S”若S7=70,<72(6+。5)=80,则公差d=().

A.12B.2C.3D.4

2.(改编)已知｛a〃｝为等比数列，a2a4a5=a3a6,。沏0=-8,则an=.

题型2等差数列、等比数列的性质

典例精析

例2(1)记数列｛丽｝的前〃项和为的,若悔｝是等差数列，S6=6,则俏+的=().

11

A.-BiC.lD.2

62

(2)(改编)已知｛a〃｝为等比数列，若炮。3,炮。2023是函数1/(%)=3/-12》+9的两个不

同的零点，则。1。2025=().

A.10B.104C.108D.1012

方法总结：

1.等差数列、等比数列的性质

若nt+n=*+q(7n,n,p,gCN"),则

对于等萋数列，有0+&=a»+%;

通项ra

性质

对于等比数列，有01A

等

差

1比\

7

列

数

的

对于等差数列，有S„,S2m-S”,

质

性s3-S2，…成等差数列

前%1n1n

项

和对于等比数列，有S“，S.-Se

性

质

…成等比数列(g=-i

且加为偶数的情况除外)

2.等差、等比数列性质问题的求解策略

(1)抓住项与项之间的关系及项与序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的

性质进行求解.

(2)数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用

函数的性质解题.

E跟踪训练

1.已知｛丽｝是等比数列，(71,。5是函数1Ax)=N-10x+An(3x)的两个极值点，若

a2a4=2/的-2,则t的值为().

A.-4B.-5C.4D.5

2.(改编)已知数列｛圆｝是等差数列,数列｛为｝是等比数列，若。2+。4+%=5兀,

+。7

岳帅6=3旧,贝Usin

l-b2b6~-

题型3等差数列、等比数列的判断与证明

典例精析

例3(2021年全国乙卷)记S,为数列｛a“｝的前n项和，瓦为数列｛&｝的前n项积，

已知£+5=2.

(1)证明：数列｛瓦｝是等差数列.

思维点拨瓦为数列｛&｝的前n项积-0"=S〃屏—消去的一瓦-"1§一确定结论.

(2)求｛m｝的通项公式.

思维点拨求ai—由⑴求加一求S.—7左2时，求斯一写出结论.

跟踪训练

在平面直角坐标系内有线段A1A2,且A1A2与x轴不垂直.已知4是线段A1A2上

靠近A2的三等分点，4是线段AM3上靠近A3的三等分点……4+1是线段4一

14(佗2,〃©N*)上靠近4的三等分点.设点An的横坐标为an.

(1)求证:数列｛。什1-丽｝为等比数列.

（2）若0=1,（2=5,求｛斯｝的通项公式.

【真题改编】

1.（2024年全国甲卷,理科T4改编）已知等差数列｛为｝的前n项和为S„,若S5=Si0,

a5=l,则S”的最大值为（）.

A.-B.—C.14D.28

33

2.（2023年新高考全国/卷，T7改编）已知数列｛或｝的前n项和为Sn,则

2

-Sn=pn+qn（p,q是常数）”是“｛念｝为等差数列”的（）.

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.（2023年新高考全国〃卷，T8改编）已知等比数列｛5｝的前n项和为Sn,公比

q>l,若S4=40,56=9152,则使得以<81成立的〃的最大值为（）.

A.2B.4C.6D.8

4.（2023年全国乙卷，理科T10改编）已知等差数列｛◎｝的首项为号公差为数

列｛瓦｝满足0"=cos斯,数列｛为｝的前几项和为则52024=（）.

11

A.-1B.--C.0D.-

22

5.（2024年新高考全国〃卷,T12改编）记S”为等差数列｛服｝的前n项和，若6+。5=-

10,5io=-8O,贝U疑=.

6.（2023年全国乙卷,理科T15改编）已知｛小｝为等比数列,。2。4。5=。3a6,a9aio=-

8,若Tn=a\a2...an,则Ti3=.

【最新模拟】

（总分：100分单选题每题5分，多选题每题6分，填空题每题5分，共68分;

解答题共32分）

强基训练

1.已知数列｛a”｝为等比数列，且。i=l,a2a3a4=64,则log2a5的值为（）.

A.lB.2C.3D.4

2.已知｛a〃｝为等差数列，<7i=-6,谥=°3。6,数列｛丽｝的前〃项和为S”，若品=0,

则m等于（）.

A.10B.llC.12D.13

3.（改编）我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘

缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传."意

思是有996斤绵要赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多

17斤，直到第8个孩子为止.根据这些信息可知第4个孩子分得的绵的斤数为

（）.

A.99B.116C.133D.150

4.记等比数列｛飙｝的前几项之积为T”，则“a6a7>1”是'712>1”的（）.

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.多选题记数列｛m｝的前几项和为的，S„=An+B,A,3为常数，则下列选项正确

的是（）.

A.若A+B=L则ai=l

B.若A=2,则m=2

C.存在常数A,B,使数列｛服｝是等比数列

D.对任意常数A,B,数列｛劣｝都是等差数列

6.多选题在数列｛或｝中，若对V〃GN*,都有产詈=q（q为常数），则称数列｛。“｝

un+l-un

为“等差比数列”，q为“公差比”.设数列｛丽｝的前〃项和是则下列说法一定正

确的是（）.

A.若数列｛m｝是等差数列，则该数列也是“等差比数列”

B.若等比数列｛服｝是“等差比数列”，则该数列的公比与“公差比”相同

C.若数列｛SQ是“等差比数列”,则数列列”+1｝是等比数列

D.若数列｛丽｝是等比数列，则数列｛S”｝是“等差比数列”

7.(改编)已知数列｛而为正项等比数列，且a3s=3,则改的最小值为.

能力提升

8.多选题汉诺塔(TowerofHanoi),是一种源于印度古老传说的益智玩具.如图所

示，有三根相邻的标号分别为4B,C的柱子，A柱子从下到上按金字塔状叠放

着〃个不同大小的圆环，要把所有圆环一个一个移动到3柱子上，并且每次移动

时，同一根柱子上都不能出现大圆环在小圆环上方的情况.记至少移动的次数为

H(n),例如：=H(2)=3,则下列说法正确的是().

A.H(3)=5

B.｛"(〃)｝为等差数列

C.｛"(〃)+1｝为等比数列

D.H(7)>100

9.已知等差数列｛丽｝的公差不为0,42024=0,给定正整数m,使得对任意的

(机且m>2),都有ai+s+…+念=<21+。2+…成立，则m的值为().

A.4047B.4046C.2024D.4048

10.(15分)已知数列｛劣｝中，<7i=1,a〃+i=/：(〃dN*).

(1)证明:居1)是等比数列.

(2)求数列*)的前n项和.

-1

11.(17分)设数列｛z｝的前几项和为若的-%“=〃2+1,“GN*.

(1)求。2,并证明：数列｛念+如+1｝是等差数列.

(2)求S20.

创新思维

12.（原创）已知各项均为正数的数列｛a”｝满足丽=3a〃+i,且ai+9a3=：,则log3ali的

值为（）.

A.-llB.-10C.10D.11

13.（原仓U）已知等差数列｛所｝的前九项和为的，"7,则2=（）.

?6-33

A.-B.—

46

C.3D.6

14.（原创）设等比数列｛斯｝的前〃项和为斗，写出一个满足下列条件的｛诙｝的公比:

q=•

①。2023>0;（2）｛｝是递增数列；@S1025<S1022+7。2023.

15.（人教A版选择性必修第二册P23例9改编）已知数列｛外｝满足2加尸诙+加2,

且02=8,恁+。6=2,若4是｛z｝的前〃项和，则4的最大值为.

参考答案

专题四等差数列、等比数列

分类突破题型分析

题型1等差数列、等比数列的计算

例1(1)C(2)95

【解析】(1)(法一)设等比数列｛an｝的公比为q,由已知得

1+<7+^2+<73+^4=5(1+q+q2)-4,整理得(l+q)(q3-4q)=0,因为此数列的各项均为正

数，所以q=2,所以S4=l+q+q2+q3=l+2+4+8=15.

(法二)设等比数列｛斯｝的公比为q,因为ai=l,即Si=l,所以S5=5S3-4=5S3-4SI,

所以S5-S3=4(S3-SI).

又S5-S3=q2(S3-Si),所以q2=4,又q>0,所以q=2,因此，$4=久尚二=与多=15.

故选C.

⑵设等差数列｛词的公差为d,则，篝;7，解得仔=一4,所以

Sio=10m+当线/=10x(-4)+45x3=95.

跟踪训练

l.C

【解析】因为S7=7a4=70,所以(74=10,

又。2伍3+。5)=2。2。4=80,所以6=4,所以d=^Y1=3.

故选C.

2.4

【解析】丁｛丽｝为等比数列,・：。2。4。5=。2。3。6=。3。6，解得。2=1，

而〃必0=。247a2q8=q初15=8,可得qi5=q5)3=8,

即q5=-2,则。12=。2"=1X(-2)2=4.

题型2等差数列、等比数列的性质

例2(1)D(2)B

【解析】⑴因为用是等差数列，

所以可设无=即+。，所以S,=a/+加，所以伍”｝为等差数列，

n

因为S6=6=("06)x6=3(ai+a6),

所以。1+怒=2,所以的+。4=2,故选D.

(2)因为lg.3,炮。2023是於)=3%2一12%+9的两个不同的零点，

所以1g。3+lg。2023=4,所以lg(<23tZ2023)=4,

所以a3a2023=103故4142025=103故选B.

跟踪训练

1.C

【解析】由题意知，八%)=2『10+工=2/-lQx+t,%>0,

xx

所以ai,。5是方程2/-10%+/=0的两个实数根，则0>0,as>0,aitZ5=1>0,

根据等比数列的性质可知，。2。4=。1。5=送，且a2a4=2/。3-2,

所以$2&x昌2,即介40+4=0,即(任2)2=0,解得7=4.

N72

故选C.

2月

2

【解析】由等差数列的性质可知，。2+。4+。6=3。4=5兀，即。4=苧，而。1+。7=2。4=竽,

根据等比数列的性质可知，b2b4b6=脸=3有,贝ljb4=W，b2b6=好=3,

由［、j•01+。7TTn

所以smF；=si.n(/下5\六s.in百=彳

题型3等差数列、等比数列的判断与证明

例3

【解析】⑴当“=1时，bi=Si=ai,

由［+1=2,解得"=目，

当佗2时，代入言+三二2，

消去S”，可得帘+；=2,所以瓦一瓦』4，

bnbn2

所以｛瓦｝是以I为首项，2为公差的等差数列.

(2)由题意得tzi=51=。1=|，

由(1)可得bn=1+(n-l)x^=n^,

由1+出=2,可得5=唔.

5几bnn+1

当n>2时，an=Sn-Sn-i显然不满足该式,

n+1nn/n+l)

所以吁卜n；l,

(-zi(n+l)/H>2.

跟踪训练

【解析】⑴由题意常比亡=2,所以3z+2=2研i+如,可得3板+2-3厮+WS+1,

。几+2-。九+11

又。2-。法0,所以

a九十1.a九

所以数列｛a〃+i-z｝是首项为02-471,公比为-1的等比数列.

(2)因为0=1,42=5,所以“2-01=4.

因为数歹!J｛a〃+is｝是公比为3的等比数列，所以当稔2时，a”s-i=4x(q)"-2.

I-11-I1—f—1)n-l

由累加法可得，当论2时，^-ai=4x[l+(-1)+...+(Mx----\—=3-3x(

1+3

即当稔2时，的=4+(打”2,

经检验，ai=l满足上式，所以数列｛a〃｝的通项公式为斯=4+(q)"2.

分类突破真题改编

1.B

【解析】由810-35=46+47+48+49+410=548=0,得〃8=0,

则等差数列｛服｝的公差人骂"=5所以防=g4d=l-4xG)q,

所以Sn的最大值为S7和S8,且S7=S8=8X|+§|ZX(-1)岑故选B.

2.C

【解析】若Sn=pn2+qn（p,q是常数），贝|当ri>2时，an=Sn-Sn-i=pn2+qn-[p（n-l）2+q（n-

l）]=2pn-p+q.

当n=l时，ai=Si=p+q,对于上式也成立，.'.an=2pn-p+q,.：｛而｝为等差数列,

反之也成立..:然后2层+物⑦，q是常数）”是“｛念｝为等差数列”的充要条件.

3.B

4

【解析】由54=40,56=9152,可得斗纹=40,①

1-Q

皿登）=91x皿蛇，②

1—q1—q

由②得，1+炉+“4=91,解得才=9,即g=3,代入（3M得首项ai=l，

n

所以等比数列｛丽｝的通项公式为an=3-\

由3"1<34,得所以"5,

又“CN*,所以〃的最大值为4.故选B.

4.B

【解析】依题意,在等差数列｛圆｝中,诙=1+（〃-1）穹等武

所以Z?a=COS（争W）.

又瓦+3=COSW（〃+3）T]=COS得〃+2兀一）=COS管槽）=bn,

所以3是｛5｝的周期，又6i=cos管-]）=q,岳=-1,Z?3=|>所以。1+岳+优=0,

所以§2024=匕1+岳+…+岳024=匕1+。2=-'.故选B.

5.-9

【解析】因为数列｛劣｝为等差数列，

所以设其公差为d,

„।fcig+。5=%+2d+a1+4d=-10,

“[Si。=lOdi+45d=-80,

解得\

Id=-2,

所以。6=。1+5仁-9.

6,-8192

【解析】设等比数列｛为｝的公比为观川）.

因为。2。4。5=。3。6=。4。5，显然斯声）,所以。2=1.

因为。9。10=-8,所以a2d,€12不=-8,

所以小5=q5)3=8=(-2)3,所以q5=_2,所以07=02/=。=-2,

则叫3=。1。2.・・〃13=帚3=(-2)13=-8192.

分类突破最新模拟

训练

1.D

【解析】由等比中项的性质可知a2a3。4=64=弱，

••。3=4,

又堵二。1。5=16,・：〃5=16,・：log2〃5=log216=4,故选D.

2.D

【解析】设等差数列｛外｝的公差为力因为ai=-6,谒=。3怒，

所以(-6+8⑨2=(一6+2愤(-6+5增，解得d=l或d=0.

若d=0,则｛或｝为常数列，则&=-6/0,不符合题意，舍去，

所以d=l,由等差数列前〃项和公式得蘸=-6冽+吗Dxl=0,解得机=13.

故选D.

3.B

【解析】依题意得，8个子女所得的绵的斤数依次构成等差数列，

设该等差数列为｛®｝,公差为d,前〃项和为S,第1个孩子所得的绵的斤数为

(21,

则由题意得d=17,S8=8ai+与x17=996,解得幻=65,

所以tZ4=ai+(4-1)4=65+3x17=116.故选B.

4.A

【解析】若a6a7>1,则Ti2=aia2...ai2=(a6a7)6>1,故充分性成立；

若T12>L即…。12=(a6a7)6>1,则a6a7>1或故必要性不成立.

综上，“a6a7>1”是“r2>1”的充分不必要条件.故选A.

5.ABC

【解析】对于A,若A+3=l,则ai=Si=A+3=l,A正确；

对于B,若A=2,则a2=S2-Si=(2A+B)-(A+B)=A=2,B正确;

对于C,由Sn=An+B得ai=Si=A+B,

当H>2时，an=Sn-Sn-1=(An+B)-[A(n-l)+B]=A,

所以当3=0,A加时，数列｛斯｝是公比为1的等比数列，C正确；

对于D,由上述知，当〃N2时，an=A,若3于0,则。2-。1=4-(4+5)=-57%3-。2=0,

此时，数列｛服｝不是等差数列，D错误.

故选ABC.

6.BCD

【解析】若等差数列｛。,｝为常数列，则m+1-。”=0,等怨胪无意义，

un+l-un

所以等差数列｛斯｝不一定是“等差比数列”，故A选项错误；

若公比为q的等比数列｛为｝是“等差比数列"，则｛丽｝不是常数列，则以

并1，

由自+2个+-叫+"*：得该数列的公比与“公差比”相同，故B选项正确；

an+i-anaiqn_aiqn-i

若数列｛SQ是“等差比数列"，则S胪-2=产=/所以数列｛或+1｝是等比数列，

dn+l-dnun+l

故C选项正确；

若数列｛丽｝是等比数列，公比为q,则郎

所以数列｛S〃｝是“等差比数列”，故D选项正确.

故选BCD.

7.12

【解析】因为数列｛Z｝为正项等比数列，所以境=。2。4,且。4>0，

fl4+3

贝!Jai=—=()=a^+—+6>2la4x—+6=12,

a

a4a44\@4

Q

当且仅当。产/,即。4=3时，等号成立，故。2的最小值为12.

能力提升

8.CD

【解析】由题意知，若要移动1个圆环到5柱子上，则需移动1次；

若要移动2个圆环到B柱子上，则移动情况为A—C,A-3,C—B,需移动3

次；

若要移动3个圆环到B柱子上，则移动情况为A—3,A-C,B-C,A->B,C-A,

CTB,AfB,共7次，故H(3)=7,A错误；

由此类推，先将A柱子上的〃个圆环中上面的(附-1)个圆环移动到C柱子上，然

后将n个圆环中最大的圆环移动到B柱子上，再将C柱子上的(〃-1)个圆环移动

到3柱子上.设若有〃个圆环，至少移动a”次，则以=2。"-1+1(〃之2),

所以如+1=2(。加1+1),而0+1=1+1=2邦，故｛斯+1｝为等比数列,即｛”(九)+1｝为

等比数列，C正确；

由上述分析知，H(n)=2n-1,则H(九)不是”的一次函数，

贝不为等差数列，B错误；

H(7)=27-l=127>100,D正确.

故选CD.

9.A

【解析】若〃>加-〃，由题意知。小+1+。”"+2+...+。"=0,

由等差数列的性质知,若p+q=s+/(p,q,s,f@N*),则有即+为=匿+的，所以a”

〃+i+a〃=0,

因为公差分0,且〃2024=0,所以。1+。4047=0，所以用-〃+1+〃=4048,所以机工4

047.

若n<m-n,贝!Jan+i+^+2+...+^m-«=0,

由等差数列的性质知，若夕+4=5+%。05"£2),则有Op+O产Qs+即所以an+i+am-

〃二0,

因为公差分0,且〃2024=0,所以Q1+Q4047=0，所以〃+1+帆-〃=4048,所以机工4

047.

综上所述，加二4047.故选A.

10.解析(1)因为数列｛成｝中，<71=|,an+i=(neN*),所以

122

『

1一

a筌

"-2分

一24

n+l=-=1=

而

1-1所

an-1

且彳1尸3-1=2,

所以｛;」｝是首项和公比均为2的等比数列...........................7分

11

(2)由(1)可得--1=22小1=2",即一=2"+1,...............................11分

anan

所以数列｛出｝的前n项和8=(2+22+23+…+2")+”=2(；手+〃=2»1一2+〃.……15分

11.解析(1)当”=1时，由条件得所以0=4..................1分

当〃=2时，由条件得(。1+。2)-12=5,所以改=2...........................2分

因为Sn-^an=n2+l,所以Sn-\~an-]