常考函数的综合问题-2025年北京高考数学二轮复习（解析版）

重难点03：常考函数的综合问题

一、知识点梳理

1.常规函数单调性

①：定义法使用前提：一般函数类型

解题步骤：

第一步：取值定大小：设任意再,％26。，且%<%2；

第二步：作差：/(%)-/(%)并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等);

X>X,八X,>XII

第三步:定符号,得出结论o

J（X1）>/fe）fg

注意：同向递增，异向递减

②导数法

使用前提：较复杂的函数类型

解题步骤：

第一步：求函数/(%)的定义域和导函数的解析式/'(X);

第二步：在定义域范围内解不等式k=f'(x)>0或左=f'(x)<0；

第三步：得出函数/(X)的增减区间.斜率n优>0,上坡路，左<0,下坡路)

③：复合函数分析法使用前提：简单的复合函数类型

解题步骤：

第一步：先求函数的定义域；

第二步：分解复合函数，分别判断内外层函数的单调性；

第三步：根据同增异减，确定原函数的增减区间.

剖析：若函数y=y(a)在U内单调，M=g(x)在X内单调，且集合{"/〃=g(x),xeX}c。.

⑴若y=f(a)是增函数，M=g(x)是增(减)函数，则y=/[g(x)]是增(减)函数

⑵若y=/(")是减函数，a=g(x)是增(减)函数，则y=/[g(x)]是减(增)函数

口诀：同则增，异则减(同增异减).

④：图象法使用前提：图像比较容易画出的函数类型(利用图象专题破解)

解题步骤：

第一步：通过题目条件画出函数图像；

第二步：从图像中读出函数的单调区间.

⑤：抽象函数的单调性(正规解法)

使用前提：题中没有给出具体函数的解析式，只给出函数的性质，需要利用所给的性质证明函数的单调性.

解题步骤：

第一步：确定函数的奇偶性，取值定大小：设任意再,々^。，且玉

第二步：结合函数单调性的定义即可确定函数的单调性.

⑥：抽象函数具体化

使用前提：题中没有给出具体函数的解析式，但是可以根据所给的函数特征确定函数模型，属于抽象函数

的内容延伸和实例化.

解题步骤：

第一步：由函数的解析式确定函数所属的模型；

常见函数模型包括：

I：若可认为函数为募函数/(x)=x“(a的范围或数值需要其他条件确定)；

II:若小9)=/(阴)+/(力，可认为函数为对数函数/(x)=log“X的范围或数值需要其他条件确定);

m：若/(7K+n)=/(m)/(n),可认为函数为指数函数/(%)=优(。的范围或数值需要其他条件确定)；

IV：若/®+〃)=+y(n),可认为函数为正比例函数/"(x)=4x或/"(%)=W(l)

V：若/(〃[+")=,可认为函数为正切函数/(%)=tanx；

VI：若+=,可认为是余弦函数/(x)=cosx.

vn：若y(m+")=/(m)+/(")+机，可认为函数为一次函数/'(x)=kx+匕或/(%)=对"(1)一加

第二步：结合函数模型和函数的单调性的定义确定函数的单调性.

⑦：结论法(函数性质法)

使用前提：将所给的函数进行“庖丁解牛”后每一部分都是一个很明显可以判断单调性的函数.

解题步骤：

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第一步：确定所给函数是由哪些可以判断单调性的简单函数组合而成的.

第二步：结合函数的性质即可确定函数的单调性.

常见的结论(函数性质)包括：

⑴/(%)与/(x)+C单调性相同.(C为常数)

(2)当左＞0时，/(X)与好(x)具有相同的单调性；当左＜0时，/(X)与好(x)具有相反的单调性(3)当

/(X)恒不等于零时，/(%)与-^―其有相反的单调性.

/(x)

(4)当/"(%)、g(x)在。上都是增(减)函数时，则y(x)+g(x)在。上是增(减)函数.

⑸当了(X)、g(x)在。上都是增(减)函数，且两者都恒大于0时，y(x)g(x)在。上是增(减)函数；当/'(X)、

g(x)在。上都是增(减)函数，且两者都恒小于。时，y(x)g(x)在。上是减(增)函数.

(6)设y=为严格增(减)函数，则函数必有反函数，且反函数在其定义域。上也是严格增(减)函数.

(7)奇(或偶)函数的单调性：

由奇偶函数定义易知：奇函数在对称的区间上有相同的单调性；偶函数在对称的区间上有相反的单调性.

(8)周期函数的单调性：

若/"(X)是周期为T的函数，且/'(x)在(。⑹单调递增或单调递减，则/＞(X)在(。+仃,5+左7j(keZ)上单

调递增或单调递减.

⑧：零点法

使用前提：利用函数单调性的定义作差变形之后需要确定函数单调区间的端点.

解题步骤：

第一步：取值定大小：设任意再,々€。，且玉＜%2；

第二步：作差：/(石)-/(%)并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；

第三步：利用零点法确定函数单调区间的端点.

第四步：定符号，得出结论.

2.常见函数奇偶性：

①：基本方法判定函数的奇偶性

使用前提：函数表达式比较简单，定义域也容易求解.

解题步骤：

第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；

第二步：若是，则确定了(X)与/(-X)的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；

第三步：得出结论.

②：利用函数的奇偶性求函数的解析式

使用前提：已知函数在给定的某个区间上的解析式，求其在对称区间(或对称区间的子区间)上的解析式.

解题步骤：

第一步：首先设出所求区间的自变量X；

第二步：运用已知条件将其转化为已知区间满足的X的取值范围；

第三步：利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式.

③：分段函数的奇偶性

使用前提：所给函数的解析式为分段函数，需要判定函数的奇偶性

秒杀：口诀：奇函数定奇变偶、偶函数定偶变奇，奇双负，偶单负.

定义在(-8,+w)上任意的函数/(%)都可以唯一表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数M6之和，当/(%)以

分段函数形式出现奇偶性时，则函数一定满足：

I：奇函数/>(X)=-/(一X)=g(x)—/z(x)

ii：偶函数y(x)=y(—x)=-g(x)+Mx)

若/(X)不容易拆分出奇函数和偶函数之和时，则直接采用

I：奇函数y(x)=-/(-x)II：偶函数y(x)=y(—x)

解题步骤：

解题模板1:利用传统的方法分类讨论确定函数的奇偶性

第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；

第二步：若是，则确定"X)与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；

第三步：得出结论.

解题模板2：

第一步：确定函数的定义域

第二步：写出/(-%)形式的分段函数

第三步：确定函数的奇偶性

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④：用求商法判断函数的奇偶性

使用前提：7(-X)与/(X)的关系不容易确定的函数奇偶性的判定.

解题步骤：

第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；

第二步：若是，则利用比值关系以曰=1或以曰=-1来判断；若不是，则既不是奇函数也不是偶函

小)小)

数；

第三步：得出结论.

⑤：根据函数奇偶性的规律判定

使用前提：函数解析式比较复杂，由若干基本函数经过运算之后的函数判定奇偶性.

解题步骤：

第一步：确定所给函数的结构特征，应用奇函数的性质进行判断；

第二步：结合基本函数的奇偶性和函数奇偶性的相关结论确定所给函数的奇偶性.

常见的结论包括：

(1)几个奇函数的代数和是奇函数；几个偶函数的代数和是偶函数；奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函

数.

(2)奇函数的乘积或商是偶函数，偶函数的乘积或商是偶函数，奇函数与偶函数的乘积或商是奇函数.

常见基本函数的奇偶性：

(1)一次函数y=kx+b(>HO),当〃=0时，是奇函数，当bwO时，是非奇非偶函数.

(2)二次函数了=。/+6%+《。/0),当Z?=0时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数.

k

(3)反比例函数y=—(左wO,xwO)是奇函数.

X

(4)指数函数>=优(。>0且awl)是非奇非偶函数

(5)对数函数y=logax(a>0且awl,x>0)是非奇非偶函数.

(6)三角函数y=sinx(xeR)是奇函数，y=cosx(xeR)是偶函数，y=左ez］是奇函

数.

(7)常值函数/(x)=。，当awO时，是偶函数，当a=0时，既是奇函数又是偶函数.

特殊函数的奇偶性:

奇函数：两指两对

'优+「(x八

⑴/(x)=m加工(e),/(%)=加CL—I=m——^—(meR)

、优―"a+i.ax+V7

/a2x-I

⑵函数/(%)=±1ax-a~x=±T=±

x+miI12mx-mif2m

G)f(x)=loga,/(x)=loga2

x-mx+m

⑷函数/(x)=log.(+1+mx\，函数/(x)=+1-mx

⑸函数小)="-=篇

考点：形如①已知心奇函数，则常晨累消此"。

②皿(+奇函数P则K溪蓝默Q

偶函数：

xmx

⑴函数/(X)=土(优+a-)⑵函数/(x)=loga(a+1)-.

⑶函数/忖类型的一切函数.

⑥：判定抽象函数的奇偶性

使用前提：所给的函数没有解析式，需要利用所给的条件判定函数的奇偶性.

解题步骤：

第一步：确定函数的定义域，猜想函数模型，从而确定函数的奇偶性方向；

I：若可认为函数为塞函数/(%)=/(。的范围或数值需要其他条件确定)；

II：若，(加)=/®)+y®,可认为函数为对数函数/(x)=k)g“x(a的范围或数值需要其他条件确定);

ni：若/®+〃)=/(加/■(〃)，可认为函数为指数函数/(%)=优(。的范围或数值需要其他条件确定)；

IV：若/"(m+”)=/"(nz)+F(n),可认为函数为正比例函数/"(x)=kx或/(X)=J/(1)

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V：若y(m+ii)=,可认为函数为正切函数/(X)=tanx；

VI：若/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),可认为是余弦函数/(x)=cos%.

VD：若/®+”)=,可认为函数为一次函数/(x)=Ax+人或/

第二步：利用所猜想的函数模型，使用赋值法结合所给的条件得出“X)与/(-%)的关系；

第三步：得出结论.

3.函数单调性与奇偶性综合求不等式范围问题：

结论1：奇函数单调性不改变，若函数F(x)为定义在R上的奇函数时

①若彳20时，y(x)为单调递增，则》<o时，y(x)为也为单调递增，即y®)+y®>o=m+〃>o.

②若x»0时，/(X)为单调递减，则x<0时，/"(x)为也为单调递减，即/"(m)+y(/z)>0=>7〃+72<0.

结论2：奇函数单调性不改变，若定义在R上函数/(X)关于点口力)对称时

①若无之a时，F(x)为单调递增，则x<a时，/"(X)为也为单调递增，即f(m)+f(n)>2b^m+n>2a.

②若x'a时，f(x)为单调递减，则x<a时，/(X)为也为单调递减，即/(m)+f(n)>2b^m+n<2a.

结论3：偶函数单调性改变，若函数/(X)为定义在R上的偶函数时

①若时，/'(x)为单调递增，则x<0时，/(X)为单调递减，

即/(加)>/(«)=>帆>时,/(%)+/(-%)>2/(m)n同>加•

②若x20时，/'(x)为单调递减，则％<0时，/'(x)为单调递增，

即/(加)>/Mn|同<网，/(x)+f(~x)>2f(m)=>\^<m.

结论4：偶函数单调性改变，若定义在R上函数，(x)关于直线％=。对称时

①若无之a时，/'(%)为单调递增，则x<a时，/'(x)为单调递减，

即/(m)>/(")=>>"-4,f\a+x)+f(a—x)>2f(m)|x—a|>m.

②若无之a时，f(x)为单调递减，则x<a时，/'(x)为单调递增，

即/(〃?)>/(〃)n|m-c^<|zi-6z|,/(a+x)+/(a-x)>2/(m)=归一,<m.

、题型精刷精练

【题型训练-刷模拟】

1.已知函数“X)在区间的图象如下图所示，则〃尤)的解析式可能为()

xcos2x…sin2%

D.-------

■2*+2一九2X+2-X

【答案】c

【分析】结合函数图像，根据函数的奇偶性及特殊点的函数值可判断结果.

八九3

【详解】当。时，x3-x<0,所以y=-------<0>由图可知A错误；

/2X+2~X

由偶函数定义1一(可、=上匕,得丫=上二为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，故B错误;

XX

2-,+2-(-x)2+2-'2'+2T

当x=：时，y=sin2x=______2=0,由图可知D错误;

2，2%+2一%71兀

由奇函数定义可知函数y=0为奇函数，当…号时尸整|>。，

71

—cos

当X=］时,xcos2x2<0,选项C均符合图像特征，故C正确;

XX7171

2+2-2万+2-2

故选：C.

2.设函数〃x)=2KT+log3(x-l)2,不等式〃依)</(x+3)在xe(l,2］上恒成立，则实数。的取值范围是

【答案】D

【分析】构造新函数g(x)=/(x+i),研究新函数y=g(x)的性质，根据性质从而得出关于。的不等式，再

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借助分离变量法求解不等恒成立问题.

【详解】解:设g(x)=/(x+l),即g(x—l)=/(x),

因为/(x)=2|x-l|+log3(xT)2,

所以J(X)=2卜-l|+21og3|x-l］,所以g(x)=2|x|+210g31H，xwO,

由g(-x)=21-x|+21og31-x|=(x),所以函数y=g(x)为偶函数，

当x>0时，g(x)=2x+21og3X为单调递增函数，

当x<0时，y=g(x)为单调递减函数，

因为/(词</(%+3)在xe(l,2］上恒成立，所以g(ax-^)<g(x+2),

|av-l|<|x+2|

根据函数g(x)的奇偶性与单调性得，-办-1/0,

x+2w0

13

又因为了£(1,2］,所以一x—2W依一1Wx+2,即一1—<QW14—,

XX

即(一1一，］+,又因为函数y=在无41,2］上单调递增，

所以当x=2时，=-1,又因为函数y=l+。在xe(l,2］上单调递减，

\"/max/%

所以当x=2时，［1+3］=|,所以

I^Jmax222

又xe(l,2］时，ax-1^0,所以.£所以实数0的取值范围是

故选：D.

3.已知函数下列命题正确的是()

①〃x)是奇函数；

②方程/■(耳=炉+2%有且仅有1个实数根；

③在R上是增函数；

④如果对任意xe(0,+oo),都有/(力>丘，那么左的最大值为2.

A.①②④B.①③④C.①②③D.②③④

【答案】B

【分析】对于①，根据奇函数的定义判断，对于②，令g(x)=〃x)-可得g(o)=o,再结合零点

存在性定理分析判断，对于③，对函数求导后利用导数判断，对于④，问题转化为er-履>0恒成立，构

造函数人(尤)=/-b-履，求导后分析判断.

【详解】对于①，因为/(%)=/-e-工的定义域为R,

旦〃T)=eT-eX=-(ereT)=-/(x),所以〃x)是奇函数，所以①正确，

对于②，令g(x)=f^-x2-2x=el-e-x-x2-2x,

因为g(0)=0，所以方程所以〃x)=f+2x有一个根为0,

33

因为g(2)=eLe-2_8<0,g(3)=e-e--15>0,

所以方程〃力=/+2工在(2,3)至少有一个根，所以②错误，

对于③，由/(力=。-葭,得于(耳=江+b>0,

所以在R上是增函数，所以③正确，

对于④，若对任意x«0,4w),都有/(%)>丘,即e'-e-*-辰>0恒成立，

xxfxx

令h(x)=e-e~-kx,贝!Jh(x)=e+e~-kf

ev+e~x>27ev-e-A=2,当且仅当6'=片"，即尤=。时取等号，

因为尤>0,所以取不到等号，所以^+^*>2,

若kW2,则"(尤)>0恒成立，所以力(x)在xe(O,y)上递增，

所以h(x)>/7(0)=0,即/一e-，一爪>0恒成立，

若左>2,则存在%H。，")使/%)=0,

所以当O<x<Xo时，h'(x)<0,当x>Xo时，h'(x)>0,

所以力(x)在。%)上递减，在(为,+8)上递增，

所以h(x)在(0,%)上，有h(x)<A(0)=0不合题意,

综上，k<2,所以％的最大值为2,所以④正确，

故选:B

4.已知函数f(x)对任意xeR都有/(x+2)=-/(X),>/(-x)=-/(x),当*《一1』时，〃尤)=d厕下

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列结论正确的是()

A.函数>=〃尤)的图象关于点化。)优eZ)对称

B.函数y=〃x)的图象关于直线x=2M^cZ)对称

C.当xe[2,3]时，〃尤)=(%-2丫

D.函数y=|/(尤)|的最小正周期为2

【答案】D

【分析】根据“x+2)=-f(x)得至!j/(x+2)"(x-2),所以的周期为4,根据〃r)=—〃x)得到

〃尤)关于x=—l对称，画出的图象，从而数形结合得到AB错误;再根据=2)求出xe[2,3]

时函数解析式；D选项，根据y=〃x)的最小正周期，得到y=|/(x)|的最小正周期.

【详解】因为〃x+2)=—〃x),所以f(x)=-/(x-2),故〃x+2)=/(x—2),

所以的周期为4,

X/H)=-/(%),所以〃T)=/(X-2),故关于x=T对称，

又x«Tl]时，/(x)=x3,故画出的图象如下：

A选项，函数y=/(x)的图象关于点(1,0)不中心对称，故A错误；

B选项，函数y=/(x)的图象不关于直线x=2对称，B错误；

C选项，当xe[2,3]时，x-2e[0,l],则〃0=-f(%-2)=，C错误;

D选项，由图象可知y=/(了)的最小正周期为4,

又|/。+2)卜卜/(刈="(刈,故y=，(x)|的最小正周期为2,D正确.

故选：D

5.下列函数中，与函数f(x)=2'-(的奇偶性、单调性均相同的是().

A.y=e'B.y=tanxC.y=x2D.y=d

【答案】D

【分析】判断函数/(x)的奇偶性和单调性，再判断选项AC的奇偶性，排除AC,判断选项B的单调性,

排除B,判断选项D的奇偶性和单调性确定结论.

【详解】函数/(x)=2、-5的定义域为R,定义域关于原点对称，

由〃-尤)=2-，-9=：-2工=-〃力，所以函数〃尤)为奇函数，

因为函数y=2工为R上的增函数，函数y为R上的减函数，

所以函数“X)为R上的增函数，

对于A,设g(x)=e，，函数g(x)=e，的定义域为R,定义域关于原点对称，

因为g(l)=e,=

因为g(l)H-g(T)，所以函数y=6'不是奇函数，A错误；

对于B,设〃(x)=tanx,贝5|八(。)=/2(兀)=。，

故函数y=tanx不是其定义域上的增函数，B错误；

对于C,设研x)=f,函数0/的定义域为R,定义域关于原点对称，

因为0(-x)=(-x『=Y=0(x),所以函数o(x)=f为偶函数，C错误；

对于D,设尸(尤)=丁，则/(力=丁的定义域为R,定义域关于原点对称，

又尸(-尤)=(-尤丫=7?=-/(无)，所以函数尸(x)=V为奇函数，

又函数F(无)=丁为R上的增函数，D正确；

故选：D.

6.函数/(x)=cos(x+a)+sin(x+6),贝！|()

A.若a+6=0,则为奇函数B.若。+6=],则/(尤)为偶函数

C.若b-a=±,则/(x)为偶函数D.若a-b=Tt,则/⑺为奇函数

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【答案】B

【分析】根据选项中。，人的关系，代入/J)的解析式，对AD用特值说明/•(“不是奇函数，对BC用奇偶

性的定义验证即可.

【详解】的定义域为R,

对A：若a+6=0,/(j;)=cos(x+a)+sin(^-o),若/(尤)为奇函数，贝U/(O)=O,而/>(0)=cosa-sina=0

不恒成立，故/(x)不是奇函数;

7T

对B：若〃+/?=—,/(%)=cos(x+〃)+sinx+--a=cos(x+〃)+cos(x-a),

2

/(-x)=cos(-x+a)+cos(-x-a)=cos(x-+cos(A：+tz)=f(x),故为偶函数，B正确;

对C：若b—a=p/«=cosx+〃)+sin1%m+〃=2cos(X+Q),/(—x)=2cos(-x+a)H/a),故f(x)

不是偶函数，故C错误;

对D：a-b=n,/(x)=cos(x+b+7i)+sin(x+b)=-cos(x+b)+sin(x+b),

若/(x)为奇函数，则/(0)=。，而〃0)=—cos6+sinb=0不恒成立，故/(x)不是奇函数;

故选：B

7.已知函数y(x)=x,g(x)=2"+2T,则大致图象如图的函数可能是()

A.〃x)+g(x)B./(x)-g(x)C./(x)g(x)D..

【答案】D

【分析】由函数的奇偶性及选项逐项排除即可得到答案.

【详解】〃尤)，g(x)的定义域均为R,且〃T)=f=—"x),g(r)=2T+2，=g(x),

所以为奇函数，g(x)为偶函数.

由图易知其为奇函数，而〃元)+g(x)与-g(x)为非奇非偶函数，故排除AB.

当Xf+8时，〃x)g(x)f+co,排除C.

故选:D.

8.已知函数/（x）=：-4，/'（X）是/'（x）的导函数，则下列结论正确的是（）

22X+1

A./（-x）-/（x）=O

B.广（无）＜0

C.若。＜%＜%，则石/（%）＞%/（玉）

D.若0＜网＜尤2，则/（玉）+/（尤2）＞/（西+/）

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性概念判断A,根据导函数值域判断B,利用特例法排除选项C,利用指数运算及

指数函数的单调性结合不等式的性质即可判断D.

1I2*-1

【详解】对于A,易知X€R,==

2-%-11-?x

所以/（—1「而所以/（一%）=—f（x），错误；

对于B,因为/（》）=《-七，所以（。）=彳事

由ln2＞0知广（x）＞0,错误;

1_1了（）；1_3

对于C,2=

2+1-622+1-10

虽然0<1<2,但是lx〃2)<2x〃l),

故对。＜玉＜工2，石/（9）＞%/（石）不恒成立，错误；

119X_1

对于D,函数/（%）=义_一——'「，

22"+122+2

,再_],尤2_]?再+巧_1

则〃石）+“冗2）=-------------+--------------，〃再+九2）=-----------------，

V17V272。+1）2（2电+1）'八1272（2e+1）

因为龙2＞%＞。，所以2巧＞2画＞1，所以2画（2巧一1）＞2为一1＞0,

所以2为+巧+1＞2为+2巧，所以2-2＞电+2＞2＞马+2玉+2巧+1，

21

即2（2国+◎+1）＞（2西+1）（2巧+1）,所以---------------------->-------------,

(2X1+1)(2X2+1)2X1+%2+1

2(2X,+X2-1)、2X1+X2-1

所以(2Xt+1)(2^+1)>2Xl+X2+1

又(2可_1)(29+1)+(2^_1)(2不+1)=2(2再+应-1),

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所1(2*-1)(2*+1)+(2,2-1)(2为+1)2»&-1

斤X(2*+1)(2*+1)>2>*+1'

/以(2再_])(2»+1)+(2阳一4)(2*+1)2f-1

'2(2'+1)(2*+1)>2(2-*+1)，

2国_]2%2_i&尤i+超_i

即所以山)+/(々)>小+%)，正确•故选：D

J+3,则不等式/（1次）>3的解集为（

9.已知函数〃x)=log2）

1

B.—co,——(10,+00)

4V。10

Q心。）

C.(1,10)D.

【答案】D

【分析】判断/'（X）的奇偶性与单调性，根据单调性转化不等式.再解不等式即可.

【详解】由」得XH0,即函数/（X）的定义域为（3,0）（0,田）.

+,占+3收

因为"-x)=log2

所以“X）为（0,0）（。,e）上的偶函数,

当x>0时，f（x）=log2—1-1j+^—+3,

因为函数y=J+1在（0,+8）上单调递减，所以y=i«g2&+1）在（°，+8）上单调递减,

又>=出+3都是在（0,+8）上单调递减，

根据单调性的性质，可知函数/（X）在（0,+8）上单调递减，

又因为函数/（X）为偶函数，所以函数/（X）在（-8,0）上单调递增,

又"1）=3,所以/（脸）>3"⑴,可得|则<1|=1,

所以且IgxwO,解得，或l<x<10,

所以不等式〃班）>3的解集为4』］（1,10）.

故选：D

10.已知函数/(X)同时满足以下两个条件：①对任意实数X,都有/(元)+/(-x)=0；②对任意实数不无2,

当番+%*0时，都有‘丁)+/(%)<0,则函数f(x)的解析式可能为()

xt+x2

A./(x)=2xB./(x)=-2xC./(x)=TD./(x)=-2"

【答案】B

【分析】确定函数为奇函数且单调递减，再依次判断每个选项得到答案.

【详解】对任意实数无，都有f(x)+f(-x)=0,故函数为奇函数；

对任意实数内，%，当玉+%片0时，都有"6"一)<0,即+即〃芯)->」2)<0,

玉+马石一%2%一%2

(%工务)，故函数单调递减.

对选项A：/(x)=2x单调递增，不满足；

对选项B：/(x)=-2x单调递减，且函数为奇函数，满足；

对选项C：/(x)=2,单调递增，不满足；

对选项D：/(x)=-2*不是奇函数，不满足.

故选：B

11.已知函数/(力=/+工，则“尤1+%=。"是"/(%)+/(%)=。”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由/(x)的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.

【详解】因为/(X)=d+X定义域为R,f(-x)=(-x)3+(-x)=-f(x),

所以/(x)为奇函数，且/(尤)为R上的增函数.

当%+%=。时，％=-%，所以/(%)+/(9)=/(占)+/(—玉)=。，

即“再+%=o"是，"&)+“々)=o”的充分条件，

当“可)+/(%)=。时，/(玉)=—/(/)=/(—9),由/(X)的单调性知，

X]=~X2，艮0芭+%=0，

16/33

所以“网+%=o”是“"M+Awho”成立的必要条件.

综上，“再+3=0”是“/&)+/(%)=0”的充要条件.

故选：C

12.如图为函数y=〃x)在［-6,6］上的图像，则〃x)的解析式只可能是().

A./(x)=ln(Jx，+l+x卜0sxB./(x)=In［yjx2+1+xjsinx

C./(x)=In^y/x2+1-cosxD.=Ln(Jx，+1-^sinx

【答案】A

【分析】判断函数的奇偶性，结合函数在给定区间上的符号，利用排除法求解即可.

【详解】对于BJO)的定义域为R,且/(f)=ln(J(-x)2+1-x)又n(-x)

=-ln(-\/x2+1-x)sinx=ln(\Jx2+1+x)sinx=/(x)>故/(彳)为偶函数；

对于D./(x)的定义域为R,且/(-x)=ln("(-x)2+1+x)sin(-x)

=-ln(\/x2+1+x)sinx=ln(\/x2+1-x)sinx=/(x)，故/(彳)为偶函数；

由图象，可知y=〃x)为奇函数，故排除B、D；

对于C.当0<x苦时，由+1)2=炉+1<(x+l)2=/+2x+l,

可知0<&+1一*<1，则耿&+1-幻<0,

而cosx>0,此时〃x)<0,故排除D；

故选：A.

13.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线

形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数

/(x)="e：［"w0,e=2.71828)来表示.下列结论正确的是()

A.若">0,则函数“X)为奇函数B.若必>0,则函数〃x)有最小值

C.若而<0,则函数“X)为增函数D.若ab<0,则函数“X)存在零点

【答案】D

【分析】根据函数奇偶性、单调性、最值以及零点的判断和求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判

断和选择.

【详解】对A：取。=6=1,满足ab>0,此时/(x)=e'，

其定义域为R，关于原点对称，且/(x)=/(r)，此时"》)为偶函数，故A错误；

(夕]

对B：f(x)^aex+bex,令e*=tj>0,故y=af+y若存在最小值，则/(x)有最小值，

7b

因为必>0,故2>0,根据对勾函数的单调性可知，j,、n有最小值，无最大值，

ay=tH—，r>u

t

'2、

故当。<0时，y=af+旦/>0有最大值没有最小值，故B错误；

t

\7

对C：当。(0,少0时，满足/<0,又y=aeX是单调减函数，>=加一'是单调减函数，

故/(x)=ae'+历r是单调减函数，故C错误；

对D：令/(x)=0,即加'+*一'=0，贝壮2，=一士，因为。》<0,故一±>0,

aa

解得x=：ln[-2],故当仍<0,jnjq即为函数零点，故D正确.

故选：D.

14.设函数/(x)=/“(l+]x|)-二二，则使得/(幻>/⑴成立的龙的取值范围是()

1+X

A.B.(-8,-1)51,+8)

C.(-1,1)D.(-1,0)5。，1)

【答案】B

【分析】根据题意，分析可得了⑺为偶函数且在[0,+8)上为增函数，据此可得/(幻>/(1)=〃国)>八1)

n|尤|>1,解可得无的取值范围，即可得答案.

【详解】解：根据题意，函数“0=历。+⑶)-二二，其定义域为R,

1+X

18/33

有/(-%)=ln(l+凶)-J=/(x),即函数/(%)为偶函数，

111+X

当X..0时，/(x)=ln(l+x)——二，函数>=ln(l+x)和函数y=——二都是［。，+功上为增函数，则/(x)在

1+无z1+x

［0,+8)上为增函数，

,解可得尤>1或x<-l,

即X的取值范围为(-8,-1)D(1,+8)；

故选：B.

15.已知定义域为R的偶函数/(x)在［0,+8)上是增函数，且/(；)=。，贝r'不等式/(/”数)>0的

解集”是“｛尤|0<尤<；｝”的()

A.充分不必要条件B.充分且必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】结合奇偶性，先解对数不等式，再根据包含关系判断充分性与必要性.

【详解】解：因为定义域为R的偶函数/(天)在［0,+功上是增函数，且〃$=0,

/(log4%)>0,即/(log4尤)>/(1),ip/(|log4x|)>/(1),BP|log4x|>|,

BPlog4x>^,或logaXV-；,

解之得x>2或0<x<；,

.•.｛x|x>2或0<x<；｝是｛x|0<尤<；｝的必要不充分条件，

故选：C.

JQ_x2

16.已知函数/(x)=则函数的奇偶性为()

|oJ-x|-o

A.既是奇函数也是偶函数B.既不是奇函数也不是偶函数

C.是奇函数不是偶函数D.是偶函数不是奇函数

【答案】C

【分析】求出函数的定义域，化简函数的解析式，再利用奇偶性的定义求解即可.

【详解】由9一/20=>-3WxW3n6-x>0,

所以

6—x—6—x

可得函数定义域为-3MxM3且XWO,关于原点对称,

又因为“Th”/一变了一小)，

所以函数是奇函数不是偶函数,

故选：C.

17.偶函数/(X)定义域为(-。0)1(0,与，其导函数是尸⑴.当0<x<g时，有尸(x)cosx+/(x)si»<0,

则关于X的不等式/(x)>垃/(E)cosx的解集为()

4

C.(-。0)—(0与D.(-1,0)(f,g)

44442

【答案】C

【分析】构造函数g(X)=省，再根据尸(x)cosx+/(x)sinX<。得出g(尤)的单调性,结合偶函数/(X)可得

g(x)的奇偶性,再结合奇偶性与单调性求解/«>应/咛)cosx即可.

【详解】构造函数g(x)=犯，则g白)=

COSXcosX

故当0<x<]时，有g'(x)<0,g(x)为减函数.

又/(x)为偶函数故g⑺=犯也为偶函数，所以g⑺在-g<尤<0时为增函数.

f(—)

又/(%)>⑸(£)cosx,(-：0)।(0,5，即加>-A,

422cosx©os三

4

即g(x)>g[?]故国<?,结合定义域解得-?<x<0或0<x<?.

故选：C

18.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间(T»,0]上单调递减，/(l)--l.iSg(x)=log2(x+3),则

满足于(X)>g(x)的X的取值范围是

A.(-8,TB.[-1,+co)C.(-3,-1]D.(-3,1]

【答案】C

【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得/(x)在R上为减函数以及/(-1)=1,结合对数函数的性

20/33

质可得g(无)=log2(x+3)的定义域为(-3,+8),在其定义域上，g(尤)为增函数，设/(尤)=/(元)

-g(x),易得/(x)在(-3,+8)上为减函数，又由F(-1)=/(-1)-g(-l)=1-1=0,进而

可得P(x)NOn-3<xW-1,据此分析可得答案.

【详解】根据题意，函数/(x)是定义在R上的奇函数，且在区间(-8,0］上单调递减，

则/(无)在［0,+8)上也是减函数，

则/(尤)在R上为减函数，

又由/(I)=-1,贝丫(-1)=-/(I)=1，

又由g(尤)=log2(无+3),有x+3>0,即尤〉-3,函数的定义域为(-3,+8),在其定义域上，g(x)

为增函数，

设F(%)=/(x)-g(x),其定义域为(-3,+8),

分析易得F(x)在(-3,+8)上为减函数，又由F(-1)=/(-1)-g(-1)=1-1=0,

F(无)20今-3〈尤W-1,

则了(无)(尤)今尸(x)20=>-3VxW-1,即不等式的解集为(-3,-1］；

故选C.

19.已知定义在R上的奇函数/(X)在［0,+8)上单调递减，且。+6>0,b+c>0,a+c>0,则

〃a)+/(b)+/(c)的值()

A.恒为正B.恒为负C.恒为0D.无法确定

【答案】B

【分析】由题意利用函数的单调性和奇偶性的性质，求得f(a)+f(b)+f(c)<0,可得结论.

【详解】定义在R上的奇函数f(x)在［0,+oo)上单调递减，

故函数f(x)在(-oo,0］上也单调递减，故f(x)在R上单调递减.

根据a+b>0,b+c>0,a+c>0,

可得a>-b,b>-c,c>-a,/.f(a)<f(-b),f(b)<f(-c),f(c)<f(-a),

f(a)+f(b)+f(c)<f(-b)+f(-c)+f(-a)=-f(a)-f(b)-f(c),

Af(a)+f(b)+f(c)<0,

故选B.

i9

2

20.已知函数/(为=§彳3-4工+2/-7，其中e是自然对数的底，^/(G-l)+/(2a)<0,则实数。的取值

范围是