不等式与复数（讲义）-2025年高考数学二轮复习（解析版）

专题02不等式与复数

目录

02知识导图思维引航.............................................................3

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................6

05核心精讲•题型突破...........................................................12

题型一：基本不等式二元式12

题型二：和式与积式16

题型三：柯西不等式二元式20

题型四：齐次化与不等式最值23

题型五：复数的四则运算26

题型六：复数的几何意义30

重难点突破：不等式与复数新定义问题34

差情;奏汨•日标旦祐

有关不等式的高考试题，是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，

且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题，考试形式多以一道选择题为主，

分值5分.复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容，题型多为选择题或填空题，分值5

分，考题难度为低档..

考点要求目标要求考题统计考情分析

2024年北京卷第9题，5分

2023年上海卷第6题，4分

预测2025年高考，多

掌握基本不等2022年上海卷第14题，5分

基本不等式以小题形式出现，不等式

式的应用2022年新高考II卷第12题，5分

在高考中主要考查基本不

2021年上海卷第16题，5分

等式求最值'大小判断，

2023年天津卷第13题，5分

求取值范围问题；预测

2024年新高考甲卷第1题，5分

2025年高考仍将以复数的

熟练掌握并灵2023年新高考I卷第2题，5分

基本概念以及复数的代数

复数的四则运算活应用复数四2023年新高考甲卷第2题，5分

则运算法则运算为主要考点，其中复

2023年新高考乙卷第1题，5分

数的除法运算'共能复数

2022年新高考H卷第2题，5分

及复数的几何意义是最可

理解复数的几2023年新高考II卷第1题，5分

能出现的命题角度！

复数的几何意义何意义，能直观2023年上海卷第11题，5分

应用2022年新高考乙卷第2题，5分

〃用识导图•思维引航\\

㈤3

//\\

1、几个重要的不等式

（1）a2>0（a6R）,yja>0（a>0）,\a\>0（a6R）.

（2）基本不等式：如果则等之而（当且仅当，=b"时取"=”）.

特例：。>0,。+工之2（+2之2（a,b同号）.

aba

（3）其他变形：

①+b22鱼手（沟通两和a+6与两平方和02+的不等关系式）

②ab<一（沟通两积ab与两平方和a?+肝的不等关系式）

③ab<（等了（沟通两积ab与两和a+b的不等关系式）

④重要不等式串：T|T<V^<^<生9（a,beR+）即

abY

调和平均值w几何平均值w算数平均值〈平方平均值（注意等号成立的条件）.

2、均值定理

已知x,y£R+.

（1）如果x+y=S（定值），贝卜yw（安了=?（当且仅当“％=y”时取即“和为定值，积有最

大值”.

（2）如果xy=P（定值），贝卜+y22巧;=2转（当且仅当椒=y"时取即积为定值，和有最

小值

3、常见求最值模型

模型一：mx+^>2yjmn（m>0,n>0）,当且仅当"=4时等号成立；

模型二：mx+-^―=m（x—a）+-^―+ma>2y/mn+ma（m>0,n>0）,当且仅当％—a=也时等号

x-ax-a-\lm

成立；

模型三：f—=—>0,c>0）,当且仅当％=F时等号成立；

axz+bx+cax+b+-2y/ac+b7a

模型四：x（n—根乃=吧手工\・60产）2="（m〉o,n〉o,o<x<5）,当且仅当万=/时

等号成立.

4、对复数几何意义的理解及应用

（1）复数z,复平面上的点z及向量应相互联系，即2=a+bi（a,beR）oZ（a,b）o应；（2）由

于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运

用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

1.（2024年北京高考数学真题）已知01，%），（%2，%）是函数丫=2、的图象上两个不同的点，则（）

A.log2华<詈B.log?华〉詈

C.+乂2D.log2>x1+x2

【答案】B

【解析】由题意不妨设Z<不，因为函数y=2工是增函数，所以0<2乙<2次，即0<yi<%,

对于选项AB：可得2亚=2中,即左母>2卡>0,

22

根据函数y=Iog2比是增函数，所以Iog2号>1咤22审=①产，故B正确，A错误；

对于选项D：例如%1=0,%2=1，则=1，丫2=2，

可得10g2左产=log2|E（0，l），即10g2及产<1=%1+%2,故D错误；

对于选项C：例如％1=-1,第2=-2，则

可得log2"拽=log2]=logz3-3e（-2,-1），即log2矢">一3=力+%2，故c错误，

故选：B.

2.（2024年北京高考数学真题）已知:=—1—i,贝吻=（）.

A.-1—iB.-1+iC.1—iD.1+i

【答案】C

【解析】由题意得Z=i（-l一i）=1一i.

故选：C.

3.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若z=5+i,贝Ui3+z）=（）

A.10iB.2iC.10D.2

【答案】A

【解析】由z=5+i=>N=5—i,z+2=10,贝肛（2+z）=lOi.

故选：A

4.（2024年新课标全国II卷数学真题）已知z=—1—i,则|z|=（）

A.0B.1C.V2D.2

【答案】C

【解析】若2=—1—i,则|z|=J（—1）2+（—1）2=y[2-

故选：c.

5.（2024年新课标全国I卷数学真题）若W=l+i,贝物=（）

Z—1

A.-1—iB.-1+iC.1—iD.1+i

【答案】C

【解析】因为白=>=1+二=1+i,所以z=l+==l-i.

z-lz-lz-l1

故选：C.

6.（2024年上海市1月春考数学试题）已知ab=1,4a2+9b2的最小值为.

【答案】12

【解析】4a2+9b2=（2a）2+（3b）2>2x2ax3b=12ab=12,

当且仅当窗二日,即a=斗=彳或a=-乎,b=-当时，等号成立，

故4a2+9炉的最小值为12.

故答案为：12.

7.（2024年天津高考数学真题）i是虚数单位，复数（*+i）•（逐—2i）=.

【答案】7-V5i

［解析］（花+i）.（遥一2i）=5+花］一2V5i+2=7-V5i.

故答案为：7-0

8.（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（-1,百），则z的共辗复数2=（）

A.1+V3iB.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-V3i

【答案】D

【解析】z在复平面对应的点是（-1,遍），根据复数的几何意义，z=-l+V3i，

由共辗复数的定义可知，z=-1-V3i.

故选：D

9.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）粤粤=（）

（2+1乂2—1）

.-1B.1C.1—iD.1+i

【答案】C

3

【解析】5(l+i)^=l-i

(2+i)(2-i)5

故选：C.

10.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题)设z=^，则2=()

A.B.C.2—iD.2+i

【答案】B

【解析】由题意可得z=*==三=粤2=4=1_21,

1+12+151-1+1I2-1

则Z-=1+2i.

故选：B.

11.(2023年新课标全国H卷数学真题)在复平面内，(l+3i)(3-i)对应的点位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】因为(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i,

则所求复数对应的点为(6,8),位于第一象限.

故选：A.

12.(2022年高考全国乙卷数学(理)真题)已知z=1-2i,且z+aZ+6=0,其中a,b为实数，则()

A.a=1,b——2B.a=—l,b-2C.a=l,b—2D.a=-1,b——2

【答案】A

【解析】z=l-2i

z+az+b=l—2i+a(l+2i)+b=(1+a+b)+(2a—2)i

由z+aZ+6=0,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，

得。,即

故选:A

13.(多选题)(2022年新高考全国H卷数学真题)若x,y满足M+丫2一=1,则()

A.x+y<1B.x+y>—2

C.x2+y2<2D.x2+y2>1

【答案】BC

【解析】因为ab<(?丫<亨(a,bGR),由/+y2_盯=1可变形为,(*+刈2_i=3孙<3(等?，

解得-24%+y<2,当且仅当久=y=-l时，x+y=-2,当且仅当％=y=l时，%+y=2,所以A错

误，B正确；

由第2+y2-xy=1可变形为(/+y2)-1=xy<"7，解得久2+y2<2,当且仅当％=y=±1时取等号，

所以C正确；

因为/+y2-盯=1变形可得卜一丁+,2=],设％-：=cos0,yy=sin。，所以x=cos。+tsin0,y=

专sin。，因此％2+y2=cos2g+jsiMe+-^sin0cos0=1+专sin28—|cos20+1

=i+|sin(20-^G[|,2],所以当％=g,y=—净寸满足等式，但是/+/“不成立，所以口错误.

故选：BC.

14.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)已知AaBC中，点。在边BC上，^ADB=120°,AD=2,CD=

2BD.当堂取得最小值时，BD=______.

AB

【答案】V3-1/-1+V3

【解析】［方法一］:余弦定理

设CD=2BD=2m>0,

贝！!在4ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZ.ADB=m2+4+2m,

在4力CD中，AC2—CD2+AD2-2CD-ADcosz.ADC—4m2+4—4m,

_,.AC24m2+4-4m4(?n2+4+2?n)-12(l+7n).12

所以-；---------=---------;---------------=4-------------o-

ABm+4+2mm+4+2m5+1)+1

>4——I12=4-2V3

2M+1)•高

当且仅当m+l==g一1时，等号成立，

所以当我取最小值时，爪=g-「

故答案为：V3-1.

［方法二］:建系法

令BD=t,以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.

则C(2t,0),A(1,8CB(-t,0)

AC2(2t-l)2+34t2-4t+4人12rr

••,赤=7^^7=7^7=4-^^24-2n,3

t+1，

当且仅当t+1=V3,即BD=V3-1时等号成立。

［方法三］:余弦定理

设BD=x,CD=2x.由余弦定理得

22

c=x+4+2x••・2c2+b2=12+6x2,

.炉=4+4x2-4%'

c2=x2+4+2x

•••2c2+扭=12+6x2,

,/=4+4%2—4/

令与=t,则2c2+t2c2=12+6x2,

.•・产+2=心要一E>6-2V3,

cz

•••t2>4-2V3,

当且仅当x+1=京，即x=百+1时等号成立.

［方法四］:判别式法

设BD=%,贝iJCD=2x

在4力BD中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZ-ADB=%2+4+2x,

在小ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcos^ADC=4x2+4-4x,

所以维=与+4-”记1=考一W,

AB2X2+4+2XX2+4+2X

贝！I(4—t)%2—(4+2t)x+(4-4t)=0

由方程有解得：△=(4+2t)2-4(4-t)(4-4t)>0

即t2-8t+4W0,解得：4-2V3<t<4+2V3

所以tmin=4-2V^,此时％=言=百一1

所以当需取最小值时，x—y/3—1>即BO=g-1.

15.(2022年高考全国甲卷数学(文)真题)已知9m=10,a=IO"1一11/=8机-9,贝!!()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【解析】［方法一工(指对数函数性质)

由9m=10可得爪=log910=置>1,而lg91gli<(里詈1)2=(等)2<1=(lgl0)2)所以置>黑，即

m>Igll,所以a=10m-11>10311-11=0.

又lg81gl0<(坨8皆。)2=(啜2<(幽2,所以假>需Bpiog89>m,

所以b=8m-9<8i°gs9-9=0.综上，a〉0>6.

［方法二］:【最优解】(构造函数)

由9m=io,可得?n=log9106(1,1.5).

根据a,b的形式构造函数/(%)=xm-x-1(%>1),则1(%)=rnxm-1-1,

令/'(%)=0，解得%0='由7n=味〃。e(14,5)知&G(0,1).

/(%)在(L+8)上单调递增，所以f(10)>/(8),即a>b,

又因为/（9）=910^10-10=0，所以a>0>b.

故选：A.

【点评】法—：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法;

法二：利用的形式构造函数〃%）=%加一万―根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是

该题的最优解.

16.（2021年浙江省高考数学试题）已知a,0,/是互不相同的锐角，则在sinacos0,sin/?cosy,sinycosa三个值

中，大于9的个数的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】法1：由基本不等式有sinacos/?<:叱…，

.sin25+cos2y.,sin2y+cos2a

1可埋sinQcosy<-------------，sinycosa<-------------，

3

故sinacosS+sin^cosy+sinycosa<

故sinacosS，sin/?cosy,sinycosa不可能均大于？

7T/-»7TTC

取a=9£=『y=『

则sinacosS=^<psin/?cosy=乎>^sinycosct=乎>|，

故三式中大于割勺个数的最大值为2,

故选：C.

法2：不妨设a<p<y,贝Ucosa>cos/?>cosy,sina<sin/?<siny,

由排列不等式可得：

sinacosS+sinScosy+sinycoscr<sincrcosy+sin/?cosj64-sinycoscr,

而sinacosy+sin0cos0+sinycosa=sin（y+a）+|sin2/?<|,

故sinacos^,sin6cosy,sinycosa不可能均大于

TTt—.TTcTCTC

取，

a=>63B=4,y=-,

贝Usinacos/?=1<psin/?cosy=—>j,sinycosa=—>}

故三式中大于豹勺个数的最大值为2,

故选：C.

17.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（）

4

A.y=x2+2%+4B.y=|sin%|+—~-

J|sinx|

c4.

C.y=2X+22-xD.y—In%+-—

J/Inx

【答案】c

【解析】对于A,y=%2+2%+4=(%+I)2+3>3,当且仅当％=-1时取等号，所以其最小值为3,A

不符合题意；

对于B,因为0V|sin%|<1,y=|sinx|4->2A/4=4,当且仅当|sin%|=2时取等号，等号取不到，所

以其最小值不为4,B不符合题意；

对于C,因为函数定义域为R,而>>0,y=2X+22-x=2X+^>2A/4=4,当且仅当>=2,即x=1时

取等号，所以其最小值为4,C符合题意；

对于D,y=lnK+\p函数定义域为(0,l)U(l,+8),而InxeR且In久力0,如当lnx=—1,y--5,D不

符合题意.

故选：C.

18.(2021年天津高考数学试题)若a>0,b>0,贝壮+弓+6的最小值为_________

a匕2

【答案】2V2

［解析］a>0,b>0,

■--+^+b>2+b=-+b>2\^b=2/，

abz7abz匕7b

当且仅当工="且［=b,即a=6=应时等号成立，

abzb

所以!+最+b的最小值为2鱼.

故答案为：2a.

倒5

〃核心精讲•题型突破,\

题型一：基本不等式二元式

【典例1-1］［新考法］(2024•浙江宁波・一模)不等式(久2一口久一l)(x-b)>0对任意x>0恒成立,则+扶

的最小值为()

A.2V2-2B.2C.2V2D.2鱼+2

【答案】A

【解析】由题意可得，需满足x=b是产一办—1=0的一个根，

即/—ab—1=0,且b>0,所以a=b—,

b

2

a2+b2=(b--)+，2=2b2+与—2=2V2—2,

\bJb2

当且仅当2b2=J即b=4E时取等号.

fY2

所以Q2+炉的最小值为2/-2.

故选：A.

【典例1-2】(2024•陕西宝鸡・二模)已知正数与y满足％+己=1,贝咛+2>的最小值是()

A.2+2V2B.6C.4V2D.3+2V2

【答案】D

【解析】由x+(=1可得xy=y-1,因x>0,y>0,则y>1,

-iX4■—111

于是嚏+2y=竭+2y=l+—+2y=l++2y=3++2(y—1)

因黄^+2(y—1)>2,2(y-1)=2V2,当且仅当黄^=2(y—1)时等号成立，

即y=l+j,刀=企一1时，：+2y的最小值为3+2&.

故选：D.

巧

如果a>0,b>0,那么VHFw手，当且仅当a=b时，等号成立.其中，一叫作a,b的算

术平均数，而叫作a,b的几何平均数.即正数a,b的算术平均数不小于它们的几何平均数.

不等式可变形为：(历+夜)？24VHF或abW(与马?，其中a,b&R+.

【变式1・1】(2024.辽宁大连.模拟预测)已知函数y=loga(x-1)+1(a>0,且aW1)的图象恒过定点4

若点/在直线?71%+ny-1=0(m>0,n>0)上，则'+'的最小值为()

A.13B.8V2C.9+4V2D.8

【答案】C

【解析】当％—1=1时，y=logal+1=1,即4(2,1)

因为/在直线+ny-1=0上，所以27n+n=1

±+l=(2m+n)(±+1)=9+%+网29+2隹.网=9+4.

mn\mnJmnymn

当且仅当"孝爪=容时，取等号，即&+工的最小值为9+4企.

27mn

故选：C

【变式1・2］［新考法］（2024.广西柳州.一模）设函数/（%）=xlnx-（a+h）lnx,若/⑺>0,则5a+5匕的最

小值为（）

A.1B.2C.V5D.2V5

【答案】D

【解析】因为/(%)=xlnx—(a+6)lnx=(x—a—b)ln%,

若a+bWO,则对任意的％>0,x—a—b>0,

则当0<汽<1时，/(%)=(%—a—b)\nx<0,不合乎题意；

若0<0+人V1时，当a+bV%Vl时，x—a—b>0,Inx<0,此时，/(x)=(x—a—b)lnx<0,不合

乎题意；

若a+b>l,则当lV%Va+b时，x—a—b<0,Inx>0,此时，/(%)=(%—a—h)lnx<0,不合乎题

产.

所以，a+fo=1,此时，/(%)=(x—l)lnx,则/(l)=0,

当OV%V1时，%—1<0,Inx<0,此时，/(%)=(%—l)lnx>0；

当汽>1时，%—1>0,Inx>0,此时，/(%)=(%—l)lnx>0.

所以，对任意的％>0,/(x)=(x-l)lnx>0,合乎题意，

由基本不等式可得5a+5&>275a•5b=2V5a+b=2V5,

当且仅当〔时，即当a=b=J时，等号成立，

故5。+5b的最小值为24.

故选：D.

命题预测

1.（多选题）（2024.浙江•一模）已知a>0,b>0,则下列说法正确的是（）

A.若a+b=1,则log?。+log2b<-2

B.若a+b=1,则仿+VF<1

C.若a—b=1,则2a-皮>1

D.若a—b=1,则M+b2>1

【答案】ACD

【解析】Va+VF<12g+b）=鱼当且仅当。=b=凯寸取等号，B选项错误;

ab+1ab+1ba

Va-&=1,：.a=b+lf：.2-^=2-^fVfe>0,：.2=2>2,2>lf：.2-^=

点>1,C选项正确；

b>0,a—b=l.,.a=l+b>l,.'.a2+b2>1,D选项正确.

故选：ACD.

2.(多选题)若实数a,b满足3a2+3b2+4ab=5,则下列结论正确的是()

2

A.ab<1B.ab>--

C.a2+b2>2D.-V2<a+b<y/2

【答案】AD

【解析】因为5=3a2+3b2+4ab>6ab+4ab=10畋当且仅当|a|=\b\=争寸等号成立，所以ab<

A正确；

因为3a2+3F+4ab=5,所以3(Q+力/=5+2abN0,所以血之一|,B错误；

因为5=3a2+3b2+4ab<3a2+3b2+2a2+2b2=5a2+5b2,当且仅当|a|=\b\=j时等号成立，所以

a2+62>1,C错误；

由3(a+bp=5+2ab<5+2整理，得(a+b)2<2,当且仅当|a|=\b\=争寸等号成立，

所以—Wa+bWV2,D正确.

故选：AD.

3.［新考法］设函数f(%)=(2a-%)ln(x+b),若/(%)<0,则小+块的最小值为()

A.iB.立C.iD.在

5522

【答案】A

【解析】/(%)的定义域为(一仇+8),

令In(%+b)=0,得％=1—b,

①当％=1-b时，/(%)=0满足题意，2aER；

②当一b<x<1—b时，ln(%+b)<0,由/(%)<0,得久<2a,

要使任意汽6(-瓦1一b),/(%)仕。恒成立,则(一①1一b)G(-8,2a］,

所以2aZl—b；

③当t>1—b时，ln(%+b)>0,由/(%)<0,得］>2a,

要使任意久E(1—&+8),/(久)40恒成立，贝！J(1一仇+8)旦［2a,+8),

所以2a<1-h；

综上，2a=1—6，即2a+b=l.

2,21

又a2+h2=a2+(1—2a)2=5a2—4a+1=5a——+g,aER,

5,

。一：时，取最小值g

当且仅当

所以a2+》2的最小值为:

故选：A.

题型二：和式与积式

【典例2-1】(2024・广西•模拟预测)已知见bE(-8,0),且a+4b=防—5,则ab的取值范围为()

A.[25,+8)B.口,+8)C.(0,5]D.(0,1]

【答案】D

【解析】因为a”E(-8,0),a+4b=ab-5,则a+4b<0,所以0VabV5.

又ab-5=a+4b=—[(—a)+4(-b)]<—2/4ab=-^4ab,

即ab+4VaF—5<0,BP(Vab+5)•(Vab-1)<0,解得0VVab<1,

所以0VabW1,当且仅当—a=—46,即a=4b=—2时,等号成立，

即必的取值范围为(0,1].

故选：D.

【典例2-2】已知％2+y2=%2y2(%y。0),则1-16久2—9y2的最大值为()

A.-48B.-49C.-42D.-35

【答案】A

【解析】因为%2+y2=久2y2(4/士o),所以[+3=1,

xy

所以16/+9y2=&+或)(16%2+9*)=25+笥+写>25+2J誓X暇=49,

当且仅当与=哗，即/=二丫2=2时，等号成立，

x2y243

所以1-16x2-9y2的最大值为1-49=-48.

故选：A.

偌—同

已知式目标式方法选取

和式积式基本不等式

积式和式基本不等式

和式和式柯西不等式

积式积式柯西不等式

【变式2・1】（2024・四川绵阳•一模）已知%>0,y>0,且满足x+y=%y-3,则第y的最小值为（）

A.3B.2V3C.6D.9

【答案】D

【解析】x+y=xy-3>2^/xy,

（河）-2何-3=（CA3）（“"1）之0,

y[xy-3>0,xy>9,

当且仅当％=y=3时等号成立，

所以%y的最小值为9.

故选：D

【变式2・2】（2024•山西•三模）已知正实数羽y满足％2+34/一2=0,贝屹久+y的最小值为（）

21

V1O

一C

3--

A.B.3D.3

【答案】A

【解析】因为正实数尤，y满足/+3xy-2=0,则y=：x

3’

贝”2x+y=W+上

当且仅当空=义，即％=回,y=空型时，等号成立,

33x515

所以2尤+y的最小值为第.

故选：A.

【变式2-3]（多选题）已知租>0,九>0,zu?+层—加几=%则（）

A.log2m+log2n<1B.m+n<4

C.m3+n3<16D.y/m+y/n<2V2

【答案】BCD

【解析】对于A,m2+n2=mn+4>2mn,即nm<4,当且仅当zn=n=2时等号成立,

所以logzM+log2九=log2sm）42,故A错误；

对于B,由血2+/_mn_4,得（血+冗）2=3mn+4<3•（丝产）+4,

即（m+九）2416,则6+荏44,当且仅当m=几=2时等号成立，故B正确；

对于C,m3+n3=(m+n)(m2—mn+n2)=4(m+n)<16,

当且仅当TH=72=2时等号成立，故C正确；

对于D,y[m+Vn=Jzn+九+27mn<y/2(m+n),

又m+ziW4,所以+Si42鱼，当且仅当m=ri=2时等号成立，故D正确.

故选：BCD.

命题预测

1.（多选题）设正实数a,b满足a+b=l,则下列说法中正确的有（）

A.而有最大值B.工+；有最大值4

ab

C.VH+VF有最大值夜D.a2+F有最小值|

【答案】ACD

【解析】对于A,a+b=1,则等>病,计算可得病</当且仅当a=6时，、胸取得最大值为去故A正确；

对于BJ+《=M+竽=2+&+?22+2反1=4,当且仅当2=g即。=6=；工+；有最小值4,故B

abababyabab2ab

错误；

对于C,（Va+VF）2—a+b+2y[ab<2（a+6）=2,解得0<G+伤W鱼,当且仅当a=b=|,Va+仍有

最大值为VL故c正确;

对于D,由于a?+炉=(a+b}2—2ab>(a+b)2—2x则a?+Z?2>|,当且仅当a=

b=I，a2+炉有最小值为点故D正确.

故选：ACD.

2.（多选题）已知a>0,b>0,且a+26=2,则下列说法正确的是（）

1

A.ab>-B.yfa+V2h<2

2

122V2+3

C.2a+4b>4D.----1----2-----

a+ba+3b4

【答案】BCD

【解析】对于A,a•2b4仲产）=1,即出?工点当且仅当a=2匕，即Q=1,力=机寸等号成立，故A错

误；

对于B,Va+V2F<12[(Va)2+(V2K)2]=^2(a+2b)=2,

当且仅当6=即a=1,b=[时等号成立，故B正确；

对于C,2a+4b=2a+22b>242a.22b=2中=4,

当且仅当2a=22b,即a=1/=2时等号成立，故c正确；

对于D,因为a+2b=2,所以[(a+b)+(a+3b)]=2a+4h=2(a+2b)=4,

所以京+熹=3(熹+熹)[S+切+S+3划

1(4,a+3b,2(a+b),3,1。la+3b2(a+b)3+2夜

=-11H---------1----------------FZ>-+-Xz/---------------------=-----------,

4\a+ba+3b/44，a+ba+3b4

当且仅当y=巡装2,即a=-10+8近为=6-4a时等号成立，故D正确；

a+ba+3b

故选：BCD.

3.(多选题)已知正实数a,b满足aZ一ab+炉=1,贝I]()

A.a+b的最大值为2

B.ab的最小值为1

C.a2+/的最大值为2

D.。2+抉的最小值为1

【答案】AC

【解析】由a2—ab+炉=1,可得(a—1)2+=1,令a-g=cos。，苧=sin。，所以a=cos0+~sin0,

b=^sin0,9e(0,y)

对于A,贝!]a+b=cos。+V^sin。=2sin(0+：),当0=]时，a+b取最大值为2,故A正确

对于B,ab=^sin®(cos®+fsin。)

=—sin0cos0+-sin20=—sin20--cos20+-=-sin(20--

333333、6，3

当。=狎，ab的最大值为1,故B错误；

对于C、D,由B可得0<abW1,由&2+炉=1+(16,则1<<12+炉<2,故C正确，D错误.

故选：AC

4.(多选题)(2024•海南•模拟预测)若正实数a,6满足a+26=l,贝。()

A."抑最小值为1+2&B.3b(2a+6)的最大值为1

C.口2+2匕2的最小值为2D.(a+1)(6+1)的取值范围为(1,2)

【答案】BC

【解析】正实数a,6满足a+26=1,a=1-26(0<b<|),

对于A,^+i=^+^=^+^+2>2-^+2=4,当且仅当a=b=；时取等号，A错误；

abababyab3

对于B,36(2a+b)W(型产)2=(a+2b)2=1,当且仅当a=b=：时取等号，B正确；

对于C,a2+2b2=(1-2bA+2b2=6炉—4b+1=6(b-1)2+|>|,当且仅当b=:时取等号，C正确;

对于D,(a+l)(6+l)=(2—2b)(l+b)=2(l—b2)e(|,2),D错误.

故选：BC

题型三：柯西不等式二元式

【典例3-1］［新考法］(多选题)柯西不等式(.Cauchy-SchwarzInequality)是一种在数学和物理学中广泛使

用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁・路易•柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以

用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式：

①对于所有实数x和y,有(a?+62)(c2+d2)>(ac+6d尸.

②等式条件：当且仅当ad-be=0时，等号成立.

例：已知％+2y=2,由柯西不等式(/+y2)(F+22)2(%+2y尸，可得(小十/九诒=：.运用柯西不等式，

判断以下正确的选项有()

A.若+力2=1,则(2a+3b)max=VT3

B.若0<aV2,则(工+3)=3+2V2

C.若a+b=4,贝U(V^n+2Vm)=2V5

D.若1<a<3,贝！+76-2a