常用逻辑用语（学生版）-2025高考数学一轮复习讲义

第2讲常用逻辑用语

知识梳理

一、充分条件、必要条件、充要条件

1、定义

如果命题“若p,则/'为真(记作pnq),则P是4的充分条件；同时q是P的必要条

件.

2、从逻辑推理关系上看

(1)若。=>4且44p,则p是q的充分不必要条件；

(2)若q且qnp,则p是4的必要不充分条件；

(3)若且4np,则p是q的的充要条件(也说p和夕等价)；

(4)若044且44P则p不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：p0q,则。是q的充分条

件，同时q是p的必要条件.所谓“充分”是指只要p成立，q就成立；所谓“必要”是指要使

得p成立，必须要q成立(即如果q不成立，则p肯定不成立).

二.全称量词与存在量词

(1)全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量

词，并用符号“V”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中的

任意一个了,有p(x)成立"可用符号简记为“VxeM,p(x)”,读作”对任意尤属于M,有p(x)

成立”.

(2)存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个“在逻辑中通常叫做存

在量词，并用符号表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在

〃中的一个飞,使p(Xo)成立,'可用符号简记为“玉oeAG/Xo)”，读作“存在M中元素玉,

使，尤0)成立“(存在量词命题也叫存在性命题).

三.含有一个量词的命题的否定

(1)全称量词命题p:的否定力为上0cM,“(尤0).

(2)存在量词命题p：3x0eM,p(x())的否定力为.

注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.

【解题方法总结】

1、从集合与集合之间的关系上看

设A={x|p(x)},8={x|q(无)}.

(1)若4^3，则p是4的充分条件(p=>4),4是p的必要条件；若A5SB,则p

是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件，即且q/,p；

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小n大”.

(2)若8屋4,则p是q的必要条件，q是p的充分条件；

(3)若A=3,则p与q互为充要条件.

2、常见的一些词语和它的否定词如下表

原词语等于(=)大于(》小于(<)是都是任意(所有)至多有一个至多有一个

否定词语不等于小于等于大于等于不是不都是某个至少有两个一个都没有

(<)(>)

(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合对中的每一个元素x证明其

成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合加中的一个x。，使得其不成立即可，

这就是通常所说的举一个反例.

(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个天使之成立

即可，否则这个存在量词命题就是假命题.

必考题型全归纳

题型一：充分条件与必要条件的判断

【解题总结】

1、要明确推出的含义，是。成立4一定成立才能叫推出而不是有可能成立.

2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.

3、充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养.

例1.(2024•江苏扬州扬州中学校考模拟预测)已知向量。=(疗,-9),6=(1,-1),贝IJ

“机=一3”是“@//6”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例2.（2024.全国•高三专题练习）已知直线aJ_平面a,则“直线a〃平面夕”是“平面a，平

面夕”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例3.（2024・天津和平•高三天津一中校考阶段练习）“cos2a=-L是"cosa=L，的（）

22

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例4.（2024・天津南开.南开中学校考模拟预测）已知。，6eR,则是>廿”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围

【解题总结】

1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.

2、在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错.

例5.（2024•山东潍坊.统考二模）若"x=a”是“sinx+cosx>l”的一个充分条件，则。的一

个可能值是.

例6.（2024・上海长宁•统考二模）若"x=l”是“了>的充分条件，则实数。的取值范围为

例7.（2024.全国•高三专题练习）若“x<2”是的必要不充分条件，则〃的值可以是

.（写出满足条件。的一个值即可）

题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假

【解题总结】

1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论.

2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可.

例8.(2024・河北•高三学业考试)设非空集合P,。满足Pc0=尸，则下列选项正确的是

()

A.Vxe。，有xePB.VxeQ,有xeP

C.3x^Q,使得xePD.3x&P,使得xe。

例9.(2024・全国•高三专题练习)已知下列四个命题：①Vxe(0,yo),

xxx

a>b,②VxeQl),log“尤>log〃尤，③玉;e(0,l),尤"〉尤"，(4)3.re(0,&),a>logax.

其中是真命题的有()

A.①③B.②④C.①②D.③④

例10.(2024.贵州毕节.统考模拟预测)直线4：x+(l+a)y=l-a(acR),直线

l2：y=­x,给出下列命题：

使得〃〃2；@3aeR,使得4U；

③VaeR,4与4都相交；④九eR,使得原点到人的距离为2.

其中正确的是()

A.①②B.②③C.②④D.①④

题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定

【解题总结】

1、全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论

变否定.

2、全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否.

例11.(2024•四川成都三模)命题“VxeR,/+尤_k0”的否定是()

A.3x0eR,Xg+x0-1<0B.3x0eR,+x0-1>0

2

C.VxeR,x+x-1>0D.3x0eR,Xg+x0-1>0

例12.（2024.贵州贵阳・统考模拟预测）已知命题p：V〃eN,2"-2不是素数，则M为

（）

A.2"-2是素数B.W〃eN,2"-2是素数

C.VwgN,2"-2是素数D.BneN,2"-2是素数

例13.（2024.四川成都.成都七中统考模拟预测）命题“有一个偶数是素数”的否定是（）

A.任意一个奇数是素数B.任意一个偶数都不是素数

C.存在一个奇数不是素数D.存在一个偶数不是素数

题型五：根据命题的真假求参数的取值范围

【解题总结】

1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命

题，去求真命题的补级即可.

2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取

到.

例14.（2024•全国•高三专题练习）若命题Fae[―1,3],依~—（2（7—l）x+3—a<0”为假命

题，则实数x的取值范围为（）

A.[-1,4]B.0,1C