2025七年级数学上册压轴题专练：整式加减（含答案及解析）

专题04整式加减(压轴题专项讲练)

■i典例精析

【典例1】一个多项式的次数为项数为小我们称这个多项式为初次多项式或者加次”

项式，例如：5X3/

-2x2y+3xy为五次三项式，2K-2/+3xy+2x为二次四项式.

(1)-3xy+2x2y2-4X3J3+3为次项式.

(2)若关于x、y的多项式4=。炉-3xy+2x,B—bxy-^+2y,己知2A-3B中不含二次项，

求a+b的值.

(3)已知关于x的二次多项式，a(x3-r+3尤)+b(2Y+X)+X3-5在x=2时，值是-17,

求当x=-2时，该多项式的值.

【思路点拨】

(1)利用题干中的规定即可确定多项式的次数及项数；

(2)计算2A-3B,合并同类项后，令二次项系数等于0即可求得结论；

(3)利用多项式为关于x的二次多项式，可得。+1=0；将x=2时，多项式的值是-17代

入可求得6的值，将求得的a,6的值代入多项式，整理后将尤=-2代入即可求得结论.

【解答过程】

解：(1)：-3盯+2fV-4X3J3+3的次数为6,项数为4,

-3孙+2x^2-4XY+3是六次四项式.

故答案为：六；四；

(2)"."A—ax1-3xy+2x,B-bxy-4jr+2y,

24-38=2(ax2-3盯+2x)-3(bxy-4x2+2y)

—2OX1-6xy+4x-3bxy+12x1-6y

=(2a+12)x^+(-6-3b)xy+4x-6y,

V2A-3B中不含二次项，

...2a+12=0,-6-3b—0.

解得：a=-6,b=-2.

/.a+b=-8.

(3),:a(x3-，+3x)+b(2f+x)+x3-5=(〃+l)x3+(-a+2b)f+(3〃+。)x-5,

又•：a(J?-+b(2x2+x)+X3-5是关于x的二次多项式，

〃+l=0.

・・〃=-1,

，原多项式为(2/?+1)/+(。-3)x-5.

・・,当x=2时，多项式的值是-17,

・•・(28+1)x4+(b-3)x2-5=-17.

:.b=-1.

・•・原多项式为-％2-4x-5,

当x=-2时，---4%-5=-4+8-5=-1.

・,・当X=-2时，该多项式的值为-1.

【典例2】一个多位数整数，，代表这个整数分出来的左边数，人代表这个整数分出来的右

边数.其中。，b

两部分数位相同，若?正好为剩下的中间数，则这个多位数就叫平衡数，

例如：357满足乎=5,233241满足生手=32.

(1)判断：468平衡数；314567平衡数(填“是”或“不是”)；

(2)证明任意一个三位平衡数一定能被3整除；

(3)若一个三位平衡数后两位数减去百位数字之差为9的倍数，且这个平衡数为偶数，求

这个三位数.

【思路点拨】

(1)根据平衡数的定义即可判断；

(2)设出这个三位平衡数，化简即可验证；

(3)设出这个三位平衡数，根据后两位数减去百位数字之差为9的倍数列出代数式并化简,

再根据等是整数，y是偶数即可得出答案.

【解答过程】

解：（1）:等=6,

•••468是平衡数;

..31+67

=4毋45,

2

A314567不是平衡数;

故答案为：是；不是;

（2）证明：设这个三位平衡数为：100.+10•等+6,

•••1。。什10•等+6

=lOOtz+5(〃+/?)+b

=100〃+5〃+5b+Z?

=105〃+6Z?

=3（35。+2办），

100a+10•等+b一定能被3整除，

即任意一个三位平衡数一定能被3整除；

（3）设这个三位平衡数为lOOx+lO（管）+»

/.10（X；，）+y-x=9左，

.•・6y+4x=9女,

；.6y+4x满足被9整除，

又•••等是整数，

；.x+y是2的倍数，

•••三位数是偶数，

••.y是偶数,

V0<x<9,0<y<9,由于y为偶数,

则y可以取0,2,4,6,8,

y=0时，x无满足条件值；

y=2时，％=6满足；

y=4时，x无满足条件值；

y=6时，x无满足条件值；

y=8时，％=6满足，

综上所述，三位数为642,678.

■I学霸必刷

1.A=2f+3履-2期-1,"Y+21,且3A+62的值与x的取值无关,求亳+六+*+

—+—+

4x55x6

亳+…的值・

2.(2023秋•海珠区校级期中)己知4=3/+)/-2孙，B^xy-/+2x2,求：

⑴2A-3B；

(2)若|2x-3|=l,/=16,\x-y\=y-x,求2A-38的值.

(3)若x=4,y=-8时，代数式ax3+|^+5=18,那么x=-128,y=-1时，求代数式

3ax-2W+10的值.

3.（2021春•安丘市月考）特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特

殊值，从而通过

简单的运算，得出最终答案的一种方法.例如：

已矢口：a4X4+a3Xi+a2X1+aiX+ao=6x,贝!!：

（1）取1=0时，直接可以得到Qo=O；

（2）取X=1时，可以得到。4+。3+。2+。1+。0=6；

（3）取X=-1时，可以得到〃4-的+〃2-。1+〃0=-6.

（4）把（2）,（3）的结论相加，就可以得到2〃4+242+2〃0=0,结合（1）的=0的结论，

从而得出〃4+。2=0.

请类比上例，解决下面的问题：

已知。6（X-1），+〃5（X-1）§+〃4（X-1）4+a3（X-1）注政（X-1）之+⑥（X-1）+〃（）=4%,

求（1）。0的值；

（2）〃6+〃5+〃4+〃3+〃2+〃1+〃0的值；

（3）〃6+。4+。2的值.

4.（2023秋•城厢区校级期中）若〃，b互为相反数，b,c互为倒数，且根的立方等于它本

身.

（I）若〃=2,求c"的值；

（II）若相加，试讨论：当x为有理数时，|了+机|+仇-训是否存在最小值？若存在，求出这

个最小值；若不存在，请说明理由；

（III）若。＞1,且机VO,S=\2a-3b\-2\b-m\-求6（2a-s）+（s-2〃）的值.

5.（2023秋•韩城市期中）一个三位正整数M,其各位数字均不为零且互不相等.若将M

的十位数字与百

位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友

谊数”为“618”；

若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所

有两位数求和，

我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132.

（1）若M的其百位数字为a,十位数字为b、个位数字为c,试说明M与其“友谊数”的差

能被15整除；

（2）若一个三位正整数N,其百位数字为2,十位数字为八个位数字为b,且各位数字互

不相等（存0,厚0）,求N的“团结数”.

6.（2021春•铜梁区校级期末）如果3个数位相同的自然数相，n,左满足：/〃+〃=左，且左

各数位上的数字全部相同，则称数相和数"是一对"黄金搭档数”.例如：因为25,63,88

都是两位数，且25+63=88,则25和63是一对“黄金搭档数”.再如：因为152,514,666

都是三位数，且152+514=666,则152和514是一对“黄金搭档数”.

（1）分别判断87和12,62和49是否是一对“黄金搭档数”，并说明理由.

（2）已知两位数s和两位数/的十位数字相同，若s和f是一对“黄金搭档数”，并且s与/

的和能被7整除，求出满足题意的s.

7.（2023秋•沙坪坝区校级期中）一个三位正整数，将它的个位数字与百位数字交换位置,

所得的新数恰好与原数相同，我们把这样的三位正整数称为“对称数”，如555,323,191都

是“对称数”.

（1）请你写出2个“对称数”；

（2）任意一个“对称数”减去其各位数字之和，所得的结果都是9的倍数，请用含字母的代

数式说明其中的道理；

（3）若将一个“对称数”减去其各位数字之和，所得的结果是11的倍数，直接写出满足条件

的“对称数”.

8.（2021春•重庆期末）定义：对于一个四位自然数％若其百位数字等于其个位数字与十

位数字之和，其千位数字等于其十位数字与百位数字之和，则称这个四位自然数〃为“加油

数”，并将该“加油数”的各个数位数字之和记为歹（〃）.例如：5413是“加油数”，因为5413

的个位数字是3,十位数字是1,百位数字是4,千位数字是5,且3+1=4,1+4=5,所以

5413是“加油数”，则尸（5413）=5+4+1+3=13；9734不是“加油数”，因为9734的个位数

字是4,十位数字是3,百位数字是7,千位数字是9,而4+3=7,但3+7=10彳9,所以9734

不是“加油数

（1）判断8624是否为“加油数”，并说明理由；

（2）若x,y均为“加油数”，其中尤的个位数字为1,y的十位数字为2,且B（尤）+F（y）

=30,求所有满足条件的“加油数”x.

9.（2023秋•北需区校级期末）阅读理解：我们把形如筋荻（其中且a,b为整

数）的五位正整数称为“对称凸数”，形如而而（其中1±＜芯9且c,d为整数）的五位正

整数称为“对称凹数“，例如：13931,29992是“对称凸数“，25052,59095是“对称凹数”.

（1）最小的“对称凸数”为,最大的“对称凹数”为;

（2）证明：任意一个“对称凸数”减去它的各数位数字之和的差都能被9整除；

（3）五位正整数M与N都是“对称凸数”，若满足的同时，N-M的结果为一个“对

称凹数”，且该新“对称凹数”能被5整除，请求出“对称凸数”M与N.

10.(2023秋•姜堰区期末)如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字.它是由

前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、和校验码”.

其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性.它的编制是按照特定的

算法得来的.其算法为：

步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a,即.=9+1+3+5+7+9=34；

步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b,即6=6+0+2+4+6+8=26；

步骤3：计算3。与b的和c,即c=3x34+26=128；

步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d,即1=130；

步骤5：计算1与c的差就是校验码X,即X=130-128=2.

请解答下列问题：

(1)《数学故事》的条形码为978753454647K则校验码V的值为

(2)如图1,某条形码中的一位数字被墨水污染了，请求出这个数字；

(3)如图2,条形码中被污染的两个数字的和是5,这两个数字从左到右分别是

11.（2023秋•武侯区校级月考）（1）一个三位数能不能被3整除，只要看这个数的各位

数字的和能不能被3整除，这是为什么？

（2）联系拓广：

①一个四位数能不能被9整除，只要看这个数的各位数字之和能不能被9整除，这是为什

么？

②一个三位数能不能被7整除，只要将该三位数去掉个位数字，再从余下的数中，减去个

位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除，这是为什么？

12.（2021春•沙坪坝区校级月考）国家人社部透露，目前我国平均退休年龄不到55岁.相

对于世界主要经济体65岁以上的退休年龄，总体偏低.人社部近期表示，我国正在加紧研

究延迟退休具体改革方案，预计将在“十四五”期间推行.

定义：一个四位数，如果它的千位数字与个位数字的和等于百位数字与十位数字的和，且能

被65整除，则称该数为“退休数”.

（1）请判断:4635和3120是否为“退休数”?

（2）请求出所有的“退休数”.

13.（2023秋•渝中区校级期末）如果一个四位自然数，其千位数字是十位数字的二倍与百

位数字之差，个位数字是十位数字的二倍与百位数字之和，我们称这个数为“共生数”.例如

5137,其中5=3x2T,7=3x2+1,所以5137是“共生数

（1）写出最小的“共生数”为,最大的“共生数”为.

（2）若一个“共生数”的前三位数表示的数减去后两位数表示的数之差除以13余数为8,求

出所有符合条件的“共生数”.

专题04整式加减(压轴题专项讲练)

■i典例精析

【典例D一个多项式的次数为加，项数为力我们称这个多项式为机次多项式或者加次〃

项式，例如：5X3/

-2fy+3孙为五次三项式，-2y2+3xy+2x为二次四项式.

(1)-3xy+2^y2-4x3y3+3为次项式.

(2)若关于无、y的多项式4=以2-3xy+2x,B=bxy-4f+2y,已知2A-3B中不含二次项，

求a+b的值.

(3)已知关于x的二次多项式，a(x3-FHx)+b(2P+X)+X3-5在x=2时，值是-17,

求当x=-2时，该多项式的值.

【思路点拨】

(1)利用题干中的规定即可确定多项式的次数及项数；

(2)计算2A-3B,合并同类项后，令二次项系数等于0即可求得结论；

(3)利用多项式为关于x的二次多项式，可得a+l=0；将x=2时，多项式的值是-17代

入可求得b的值，将求得的a,b的值代入多项式，整理后将尤=-2代入即可求得结论.

【解答过程】

解：(1)：-3盯+2x^2-4X3/+3的次数为6,项数为4,

-3孙+2x5/-4^3+3是六次四项式.

故答案为：六；四；

(2)'."A—ax2-3xy+2x,B=bxy-4/+2丫，

•*.2A-38=2(ax2-3孙+2x)-3(bxy-4x2+2y)

—2a^-6xy+4x-3bxy+12xi-6y

=(2a+12)f+(-6-3b)xy+4x-6y,

V2A-3B中不含二次项，

：.2a+U=0,-6-3b=0.

解得：a=-6,b=-2.

/.a+b=-8.

(3),:a(x3-，+3x)+b(2f+x)+x3-5=(〃+l)x3+(-a+2b)f+(3〃+。)x-5,

又•：a(J?-+b(2x2+x)+X3-5是关于x的二次多项式，

〃+l=0.

・・〃=-1,

，原多项式为(2/?+1)/+(。-3)x-5.

・・,当x=2时，多项式的值是-17,

・•・(28+1)x4+(b-3)x2-5=-17.

:.b=-1.

・•・原多项式为-％2-4x-5,

当x=-2时，---4%-5=-4+8-5=-1.

・,・当X=-2时，该多项式的值为-1.

【典例2】一个多位数整数，，代表这个整数分出来的左边数，人代表这个整数分出来的右

边数.其中。，b

两部分数位相同，若?正好为剩下的中间数，则这个多位数就叫平衡数，

例如：357满足乎=5,233241满足生手=32.

(1)判断：468平衡数；314567平衡数(填“是”或“不是”)；

(2)证明任意一个三位平衡数一定能被3整除；

(3)若一个三位平衡数后两位数减去百位数字之差为9的倍数，且这个平衡数为偶数，求

这个三位数.

【思路点拨】

(1)根据平衡数的定义即可判断；

(2)设出这个三位平衡数，化简即可验证；

(3)设出这个三位平衡数，根据后两位数减去百位数字之差为9的倍数列出代数式并化简,

再根据等是整数，y是偶数即可得出答案.

【解答过程】

解：（1）:等=6,

•••468是平衡数;

..31+67

=4毋45,

2

A314567不是平衡数;

故答案为：是；不是;

（2）证明：设这个三位平衡数为：100.+10•等+6,

•••1。。什10•等+6

=lOOtz+5(〃+/?)+b

=100〃+5〃+5b+Z?

=105〃+6Z?

=3（35。+2办），

100a+10•等+b一定能被3整除，

即任意一个三位平衡数一定能被3整除；

（3）设这个三位平衡数为lOOx+lO（管）+»

/.10（X；，）+y-x=9左，

.•・6y+4x=9女,

；.6y+4x满足被9整除，

又•••等是整数，

；.x+y是2的倍数，

•••三位数是偶数，

••.y是偶数,

V0<x<9,0<y<9,由于y为偶数,

则y可以取0,2,4,6,8,

y=0时，x无满足条件值；

y=2时，％=6满足；

y=4时，x无满足条件值；

y=6时，x无满足条件值；

y=8时，％=6满足，

综上所述，三位数为642,678.

■I学霸必刷

1.A=2x2+3Ax-200x-1,B—~x2+fcv-1,且3A+65的值与x的取值无关,求-1---------1-------F

1x22x33X4

的值

-4^X―5十+-52X_6十+_62X_7十_|_—।-(上-1-)-川」氏

【思路点拨】

先根据3A+65的值与x的取值无关求出k的值，然后将原式化简，再将k代入原式即可求

出答案.

【解答过程】

解：*.*3A+65=3(2f+3fcl-200x-1)+6(-/+日-1)

=6X2+9AX-600x-3-6f+6fcv-6

=15kx-600x-9

=(15%-600)x-9,

由题意可知:15无-600=0,

・・・Z=40,

・・・原式=(1-i)+(i-i)+……+(户-：)

223k-1k

=1--

k

=1-—

40

_39

40,

2.(2023秋•海珠区校级期中)已知4=3寸+尸-2盯，B=xy-/+2x2,求：

⑴2A-3B；

(2)若|2x-3|=l,9=16,\x-y\=y-x,求2A-38的值.

(3)若x=4,y=-8时，代数式4必+殳y+5=18,那么x=-128,y=-1时，求代数式

3ax-24勿3+io的值.

【思路点拨】

(1)将4=3/+/-2盯，B=xy-y2+2x2,代入2A-32,再利用去括号、合并同类项化简即

可；

(2)求出x、y的值代入(1)化简后代数式计算即可；

(3)将x=4,y=-8代入代数式依18可得64a-4b=13,再把x=-128,y=

-1代入3ox-24/?y3+10即可得出答案.

【解答过程】

解：(1)'.'A—i^+y2-2xy,B—xy-)>2+2^,

.,.2A-38=2(3/+y2-2xy)-3(xy-y2+2^)

=6x1+2y2-4xy-3孙+39-6f

=5y2-7xy；

(2)V|2x-3|=1,/=16,

•'•Xi—19%2=2,y=±4,

又V\x-y\=y-x,即x<y,

y=4或x=2,y=4,

当x=l,y=4时，24-33=5产-7孙=80-28=52,

当x=2,y=4时，2A-35=5y2-7孙=80-56=24,

・・・2A-3B的值为52或24.

(3)将x=4,y=-8代入代数式加+1丁+5=18可得,

64〃-40+5=18,

即，64。-40=13,

把％=-128,y=-1代入3ax-24Z?/+10可得，

-3xl28a+24A+10=-6（64。-4。）+10=-6x13+10=-68.

3.（2021春•安丘市月考）特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特

殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法.例如：

已矢口：=6x,贝（J：

（1）取％=0时，直接可以得到〃o=O；

（2）取1=1时，可以得到〃4+。3+。2+〃1+。0=6；

（3）取X=-1时，可以得到〃4-〃3+〃2-〃1+〃0=-6.

（4）把（2）,（3）的结论相加，就可以得到2〃4+2Q2+2QO=O,结合（1）的=0的结论，

从而得出〃4+。2=0.

请类比上例，解决下面的问题：

已知〃6（%-1）6+«5（X-1）§+“4（X-1）4+的（X-1）（X-1）2+«1（X-1）+"0=4x,

求（1）〃0的值；

（2）46+〃5+44+〃3+〃2+〃1+〃0的值；

（3）%+。4+。2的值.

【思路点拨】

（1）观察等式可发现只要令工=1即可求出〃

（2）观察等式可发现只要令X=2即可求出〃6+。5+。4+俏+〃2+。1+。0的值.

（3）令％=0即可求出等式①，令x=2即可求出等式②，两个式子相加即可求出来.

【解答过程】

解：（1）当x=l时，ao=4xl=4；

（2）当X—2时，可得〃6+〃5+44+〃3+〃2+〃1+〃0=4乂2=8；

(3)当％=0时，可得〃6-〃5+〃4-俏+〃2-〃l+a()=O①,

由(2)得得〃6+〃5+〃4+〃3+〃2+〃1+40=4x2=8②;

①+②得：2〃6+244+2〃2+2〃O=8,

：.2(。6+〃4+。2)—8-2x4=0,

〃6+〃4+。2=0.

4.(2023秋•城厢区校级期中)若a,。互为相反数，b,。互为倒数，且根的立方等于它本

身.

(I)若〃=2,求〃的值；

(II)若*0,试讨论：当X为有理数时，|x+〃2|+|x-词是否存在最小值？若存在，求出这

个最小值；若不存在，请说明理由；

(III)若〃>1,且机VO,S=\2a-3b\-2\b-m\-l^+|b求6(2〃-s)+(s-2〃)的值.

【思路点拨】

(I)由题意可知：〃+。=0,bc—\,加=0或1或-1,当〃=2时，求出相应的值，代入

ca即可；

(II)根据根=1和根=-1两种情况，分别由1的取值范围去掉绝对值符号，再由化简后

的式子即可得到3+加|-|冗-刑有最小值为-2；

(III)由根=-1,b<-1,将S进行化简即可.

【解答过程】

解：由题意可知：〃+。=0,bc—1,根=0或1或-1,

(I)・・・〃=2,

：.b=-2,

•・・C=---1-9

2

：.ca=1)2=工；

(II)加#0,

或m=-1,

当m=1时,

\x+m\-\x-m\=\x+l\-\x-1\,

当xV-1时，|x+l|-\x-1\=-(x+1)+(x-1)=-2,

当-10於1时，|x+l|-\x-1|=(x+1)-(1-x)=2x,

当%>1时，|x+l|T%-1|=(x+1)-(x-1)=2,

\x+m\-\x~词的最小值是-2；

当m=-1时，

\x+m\-\x-m\=\x-1|-|x+l|=-(|x+l|-\x-1|)，

\x+m\-\x~词的最小值是-2；

综上所述，|x+刑-枕-刑的最小值是-2；

(III)Vm<0,

Am--1,

：.b<-1,

：.S=\2a-3b\-2\b-m\-|Z7+||

=2a-3b-2(m-/?)+(/?+-)

2

=2a-3b-2m+2b+b+-

2

i

=2。-2机4—，

2

・；m=-1,

：.S=2a+~,

2

：.6(2〃7)+(S-2〃)

=12a~6S+S-2a

=10。-5S

=}Qa-10o-5x-

2

__25

—2•

5.（2023秋•韩城市期中）一个三位正整数M,其各位数字均不为零且互不相等.若将M

的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数,我们称这个三位数为M的“友谊数”，

如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一

个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为"的“团结数”，如：123的“团

结数”为12+13+21+23+31+32=132.

（1）若M的其百位数字为a,十位数字为b、个位数字为c,试说明M与其“友谊数”的差

能被15整除;

（2）若一个三位正整数N,其百位数字为2,十位数字为八个位数字为b,且各位数字互

不相等（存0,不相，求N的“团结数”.

【思路点拨】

（1）根据题意可以表示出M的友谊数，然后作差再除以15即可解答本题；

（2）根据题意可以表示出N的团结数，然后合并同类项即可解答本题.

【解答过程】

解：（1）由题意可得M为100a+10b+c,则它的友谊数为1006+10。+。，

（100a+1Ob+c）-（100b+1Oa+c）

=lOOa+lOO+c-100/?-10a-c

—90a-90b,

,：（90〃-90。）75=6。-6。，

与其“友谊数”的差能被15整除；

（2）N的团结数是10x2+a+10a+2+10x2+/7+10x/?+2+1Oa+b+1Qb+a=22a+22b+44.

6.（2021春•铜梁区校级期末）如果3个数位相同的自然数相，n,k满足：m+w=k,且左

各数位上的数字全部相同，则称数相和数〃是一对“黄金搭档数”.例如：因为25,63,88

都是两位数，且25+63=88,则25和63是一对“黄金搭档数”.再如：因为152,514,666

都是三位数，且152+514=666,则152和514是一对“黄金搭档数”.

⑴分别判断87和12,62和49是否是一对“黄金搭档数”，并说明理由.

（2）已知两位数S和两位数r的十位数字相同，若S和f是一对“黄金搭档数”，并且S与r

的和能被7整除，求出满足题意的S.

【思路点拨】

（1）根据“黄金搭档数”的定义判断即可.

（2）根据“黄金搭档数”的定义得出代数式，再进行分类讨论即可.

【解答过程】

解：（1）787+12=99,87,12,99都是两位数，

.,.87和12是一对“黄金搭档数”，

V62+49=1U,111是三位数,

.1.62和49不是一对“黄金搭档数”；

（2）和f的是两位数，s和/是一对“黄金搭档数”，

和t的和也是两位数且各位数上的数字全部相同，

与f的和能被7整除，

和f的和为77,

和f的十位数字相同，77=38+39,

为38或39.

7.（2023秋•沙坪坝区校级期中）一个三位正整数，将它的个位数字与百位数字交换位置,

所得的新数恰好与原数相同，我们把这样的三位正整数称为“对称数”，如555,323,191都

是“对称数”.

（1）请你写出2个“对称数”；

（2）任意一个“对称数”减去其各位数字之和，所得的结果都是9的倍数，请用含字母的代

数式说明其中的道理；

（3）若将一个“对称数”减去其各位数字之和，所得的结果是11的倍数，直接写出满足条件

的“对称数”.

【思路点拨】

（1）根据题意，可以写出2个“对称数”，本题答案不唯一；

（2）根据题意用含字母的代数式说明其中的道理；

（3）根据题意和（2）中的结果，可以写出满足条件的“对称数”.

【解答过程】

解：(1)由题意可得，

“对称数”为616,626；

(2)设一个对称数为100a+10b+a,

由题意可得，(100。+10匕+。)-Ca+b+a)=101a+10Z?-2a-b=99a+9b,

'：99a+9b能被9整除，

...任意一个“对称数”减去其各位数字之和，所得的结果都是9的倍数；

(3)由(2)得，

一个“对称数”减去其各位数字之和是99a+96=9(lla+b),

...将一个“对称数,，减去其各位数字之和，所得的结果是11的倍数，且b为整数，

：.b=Q,13zW9且a为整数，

满足条件的“对称数”是101、202、303、404、505、606、707、808、909.

8.(2021春•重庆期末)定义：对于一个四位自然数小若其百位数字等于其个位数字与十

位数字之和，其千位数字等于其十位数字与百位数字之和，则称这个四位自然数〃为“加油

数”，并将该“加油数”的各个数位数字之和记为/.例如:5413是“加油数”，因为5413

的个位数字是3,十位数字是1,百位数字是4,千位数字是5,且3+1=4,1+4=5,所以

5413是“加油数”，则尸(5413)=5+4+1+3=13；9734不是“加油数”，因为9734的个位数

字是4,十位数字是3,百位数字是7,千位数字是9,而4+3=7,但3+7=10彳9,所以9734

不是“加油数”.

(1)判断8624是否为“加油数”，并说明理由；

(2)若x,y均为“加油数”，其中尤的个位数字为1,y的十位数字为2,且B(尤)+F(y)

=30,求所有满足条件的“加油数”x.

【思路点拨】

(1)根据加油数的定义即可判断；

(2)设x的十位数为a,y的个位数为6,则x的百位数为a+1,千位数为2a+l,y的百位

数为b+2,千位数为4+6,根据/(无)+F(j)=30列出等式即可解答.

【解答过程】

解：(1)8624是“加油数”，理由如下：

：8=6+2,6=2+4,

A8624是“加油数”；

(2)设尤的十位数为a,y的个位数为6,

.•.尤的百位数为a+1,千位数为2a+l,y的百位数为b+2,千位数为4+b,

F(x)=2a+l+a+l+a+l=4。+3,F(y)=4+6+6+2+6+2=36+8,

：.F(x)+F(y)=4a+3+3b+8=30,

4a+3b—19,

•：0<a<9,0<b<9,且a,6为整数,

.'.a=l,。=5或a=4,b=l,

；•有满足条件的“加油数”x为3211或9541.

9.(2023秋•北倍区校级期末)阅读理解：我们把形如筋痂(其中且a,b为整

数)的五位正整数称为“对称凸数”，形如而瓦(其中1±<把9且c,d为整数)的五位正

整数称为“对称凹数“，例如：13931,29992是“对称凸数“，25052,59095是“对称凹数”.

(1)最小的“对称凸数”为,最大的“对称凹数”为;

(2)证明：任意一个“对称凸数”减去它的各数位数字之和的差都能被9整除；

(3)五位正整数M与N都是“对称凸数”，若满足的同时，N-M的结果为一个“对

称凹数”，且该新“对称凹数”能被5整除，请求出“对称凸数”M与N.

【思路点拨】

(1)根据定义写出最小的“对称凸数”和最大的“对称凹数”；

(2)设“对称凸数”为筋痂，再表示“对称凸数”与它的各数位数字之和的差，合并同类项并

提公因式，可得结论；

(3)设M为ab9ba,N为cd9dc,由得a<A<c<d,则N-M为

(c—a)(d—b)0(d—b)(c—a),根据N-M的结果为一个“对称凹数”，且该新“对称凹数”

能被5整除，可得结论.

【解答过程】

解：(1)由题意得:

最小的“对称凸数”为12921,最大的“对称凹数”为89098；

故答案为：12921,89098：

(2)设“对称凸数”为丽丽，贝I]“对称凸数”为10000a+1000/7+900+1Ob+a,它的各数位数字

之和a+b+9+b+a,

10000fl+1000Z?+900+10Z>+o-(cz+b+9+b+a)

=9999。+10086+891

=9(lllla+112Z>+99),

，任意一个“对称凸数”减去它的各数位数字之和的差都能被9整除；

(3)设M为ab9ba,N为cd9dc,由M<N得a<b<c<d,贝!]N-M为

(c—a)(d—b)0(d—b)(c—a),

VN-M的结果为一个“对称凹数”，且该新“对称凹数”能被5整除，

-“=5或c-。=0(舍去)

当a=l,c=6时,如12921和68986,68986-12921=56065,56065为一个“对称凹数”，

且能被5整除，

同理12921,N=69996；M=13931,N=69996；23931,N=79997.

12921,N=68986；12921,N=69996；〃=13931,N=69996；m=23931,N=

79997.

10.(2023秋•姜堰区期末)如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字.它是由

前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、和校验码”.

其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性.它的编制是按照特定的

算法得来的.其算法为：

步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a,即4=9+1+3+5+7+9=34；

步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b,即6=6+0+2+4+6+8=26；

步骤3：计算3。与6的和c,即c=3x34+26=128；

步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d,即d=130；

步骤5：计算〃与c的差就是校验码X,即X=130-128=2.

请解答下列问题：

（1）《数学故事》的条形码为978753454647K则校验码V的值为；

（2）如图1,某条形码中的一位数字被墨水污染了，请求出这个数字；

（3）如图2,条形码中被污染的两个数字的和是5,这两个数字从左到右分别是

【思路点拨】

（1）有以上算法分别求出a,b,c,d的值，由步骤5得出¥=1；

（2）根据特定的算法依次求出a,b,c,d,再根据d为10的整数倍即可求解;

（3）根据校验码为9结合两个数字的和是5即可求解.

【解答过程】

解：（1）有题意可知，

々=7+7+3+5+6=35,

b—9+8+5+4+4+4—34,

c=3a+b=139,

d=140,

Y=d-c=140-139=1.

故答案为：1,

（2）设污点的数为如

a=9+1+2+1+1+2=16,

Z?=6+0+0+8+m,

C=3〃+0=62+M,

d=9+62+m=71+m,

,:d为10的整数倍,

：•d=80,

即71+加=80,

：.m的值为9；

则这个数字为9.

（3）可设这两个数字从左到右分别是p,q,依题意有，

a—9+9+2+q+3+5—28+g,

b—6+1+p+1+2+4—14+p,

c=3〃+0=98+（3q+p）,

・・.d为10的整数倍，

・"=120,

...3q+p=13

又,：p+q=5

解得p=Lq=4

故答案为：1,4.

11.（2023秋•武侯区校级月考）（1）一个三位数能不能被3整除，只要看这个数的各位

数字的和能不能被3整除，这是为什么？

（2）联系拓广：

①一个四位数能不能被9整除，只要看这个数的各位数字之和能不能被9整除，这是为什

么？

②一个三位数能不能被7整除，只要将该三位数去掉个位数字，再从余下的数中，减去个

位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除，这是为什么？

【思路点拨】

（1）用代数式表示出三位数，利用已知条件重新表示这个三位数后使其有3的因数即可;

(2)①利用(1)中的方法：用代数式表示出四位数，利用已知条件重新表示这个四位数后

使其有9的因数即可；

②利用同样的方法即可解答.

【解答过程】

解：(1)如果一个三位数各位数字之和能被3整除，那么这个三位数能被3整除.理由：

设这个三位数为100a+106+c,

如果a+b+c=3k,

那么100o+1Ob+c=99a+9b+a+b+c=99a+9b+3k=3(33«+3i>+A;).

：.100a+10b+c能被3整除；

结论得证.

(2)①如果一个四位数各位数字之和能被9整除，那么这个四位数能被9整除.理由：

设这个四位数为100(k+100b+10c+d,

如果a+b+c+d=9k,

那么，10000+100Z?+1Oc+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=999a+99b+9c+9k=9(\\\a+\\b+c+k),

1000(7+100b+10c+d能被9整除.

结论得证.

②一个三位数去掉个位数字，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则

原数能被7整除.理由：

设这个三位数为100a+106+c,

则去掉个位数字后的数为10a+b,再减去个位数的2倍的差为10a+b-2c.

如果Wa+b-2c=7鼠即10a+b=-!k+2c,

那么100«+10/?+c

=90a+9b+c+10a+b

=90a+9b+c+7A:+2c

=9Qci+9b+lk+3c

10a+1b+r7k+3c+20a+2b

=70a+7b+7Z+3c+2(7A+2c)

—10a+lb+21k+lc

=7(10a+b+c+3A).

lOOa+lOb+c能被7整除.

结论得证.

12.(2021春•沙坪坝区校级月考)国家人社部透露，目前我国平均退休年龄不到55岁.相

对于世界主要经济体65岁以上的退休年龄，总体偏低.人社部近期表示，我国正在加紧研

究延迟退休具体改革方案，预计将在“十四五”期间推行.

定义：一个四位数，如果它的千位数字与个位数字的和等于百位数字与十位数字的和，且能

被65整除，则称该数为“退休数”.

(1)请判断:4635和3120是否为“退休数”？

(2)请求出所有的“退休数”.

【思路点拨】

(1)根据“退休数”定义判断.

(2)通过方程找出所有“退休数”.

【解答过程】

解：(1)74635^65=71........20,3120+65=48,3+0=1+2.

.1.4635不是“退休数“，3120是“退休数”.

(2):“退休数”可以被65=5x13整除，

「退休数”的个位只能是0或5；

设这个四位数的千位数字与个位数字分别为a和b,百位数字与十位数字分别为“和n,

则有a+b=m+n,且b=0或5；

①当6=0时，这个四位数是：

1000。+100m+10n+0

1000(m+n)+100m+10n

=5(220m+202n)

=5x[195(m+几)+25m+7n]

=65xl5x(m+n)+5x(25m+7n),

V65xl5x(m+n)可被65整除,5x(25m+7n)可被5整除,

：.25m+ln,能被13整除即可，

设25m+7n=13左，(左为自然数，0<m+n<9)

当％=3时，m=l9n=2,4=3,此时“退休数”为3120；

当％=6时，m=2,几=4,〃=6,此时“退休数'’为6240；

当％=9时，m=3fn=6,a=9,此时“退休数”为9360；

②当。=5时，这四位数是：

1000〃+100m+10几+5

=1000(m+n-5)+100m+10n+5

=5(220m+202n-999)

=5x[195(m+n-5)+25m+7n-24]

=65xl5x(m+n-5)+5x(25m+7n-24),

V65xl5x(m+n-5)可被65整除，5x(25m+7n-24)可被5整除，

.\25m+7n-24能被13整除，

设25根+7〃-24=13/,。为自然数，6<m+n<14),

当/=3时，根=0,〃=9,〃=4,此时“退休数”为4095；

当/=8时，根=4,几=4,4=3,此时“退休数”为3445；

当/=11时，m=5,n=6,〃=6,此时“退休数''为6565；

综上，所有的