北师大版高考数学一轮专项复习练习卷-向量法求空间角（含解析）

§7.7向量法求空间角

一、单项选择题

1.如图，在直三棱柱A8C—/iBCi中，4B=AC=AA尸也,2C=2,点。为的中点，则

异面直线4D与/C的夹角为（）

2.在正三棱柱4BC—//iCi中，4B=/4,则NQ与平面321cle夹角的正弦值为（）

3.如图，在正方体N3CD-4SGD1中，E,尸分别是和。A的中点，则平面ECF与平

面ABCD夹角的余弦值为（）

\-HD

r

c.-

3

4.（2023•沧州模拟）在正方体力BCD—415C1A中，。是GA的中点，则异面直线/尸与氏41

夹角的余弦值为（）

5.（2024・郑州模拟）如图，已知45是圆柱底面圆的一条直径，。尸是圆柱的一条母线，。为

底面圆上一点，&AC//OB,OP=AB=^2OA,则直线尸。与平面F45夹角的正弦值为（）

A也B坐C.

10D-4

105

6.（2023•杭州模拟）若正方形48C£＞的边长为a,E,尸分别为CD,C2的中点（如图1）,沿

AE,/尸将折起，使得点瓦。恰好重合于点P（如图2）,则直线与平面

PCE夹角的正弦值为（

4B：4

二、多项选择题

7.三棱锥/一BCD中，平面/AD与平面3co的法向量分别为“1,“2,若"1=（1,0,0）,“2

=（一3，0,1）,则二面角4—3D—C的大小可能为（）

A.-B.-C.-D.-

6336

8.（2023•深圳模拟）如图，在矩形/EFC中，AE=20EF=4,B为EF中点,现分别沿

3c将△BCF翻折，使点£,尸重合，记为点P,翻折后得到三棱锥P一/8C,贝1（）

A.三棱锥P—N2C的体积为*

3

B.直线以与直线BC夹角的余弦值为百

6

C.直线与平面P3C夹角的正弦值为］

3

D.三棱锥P-/8C外接球的半径为迤

三、填空题

9.（2023•天津统考）在长方体48co—48C1A中，4B=2,4D=1,44尸3,则异面直线/Ci

与AD\夹角的余弦值为.

10.在三棱柱NBC—481cl中，侧棱底面/8C,AC=1,/4=2,NBAC=90。,若直

线AB,与直线ArC夹角的余弦值是：，则棱AB的长度是.

11.(2023・洛阳模拟)二面角a—/一£的棱上有两个点/,B,线段AD与/C分别在这个二面角

的两个半平面内，并且垂直于棱/,若48=4,NC=6,BD=8,CD=2后,则平面a与平面

/的夹角为.

12.在正方体中，E,F,G,H,K,L分别是棱BBi，B\Cx，CiDi，

DiD,的中点，则直线4c与平面MGHKL夹角的大小为；若尸，。是六边形

所GHKL边上两个不同的动点，设直线与直线P。最小的夹角为。，则sin。的值为

四、解答题

13.如图，AEL^^ABCD,CF//AE,AD//BC,ADLAB,AB=AD=\,AE=BC=2CF=2.

(1)求证：B尸〃平面4D£；

(2)求直线CE与平面BDE夹角的正弦值.

14.(2024•南昌模拟)如图，在梯形48c。中，AB//DC,4D=DC=/B,现将△/DC沿/C

翻至△APC,使二面角P—AC—B为直二面角.

⑴证明：C2LF4；

(2)若/8=4,二面角8一刃一C的平面角的余弦值为T，求异面直线PC与N8夹角的余弦

值.

§7.7向量法求空间角

1.B2.C3.B4.A

5.A「・,45是圆柱底面圆的一条直径,

AZAOB=90°,ZACB=90°,

•：OP=AB=

啦OA,

：.NB/O=45。，

：.OA=OB,

9：AC//OB,：.ZOAC=90°,

工四边形。4c5为正方形，

设AB=2,

建立如图所示的空间直角坐标系,则/(也，0,0),5(0,^2,0),尸(0,0,2),C(啦，啦,0),AB

（一3,也,0）,泰=（一也,0,2）,

设平面的法向量为〃=（x,y,z）,

irAB=0,一也%+也》=0,

则._即

.一也x+2z=0,

nAP=0,

取、=也，贝!J〃=（啦,也，1）,

又讫=（也，/，-2）,

设直线尸。与平面E4B的夹角为仇

一尸C|2

sin6>=|cos(n,PC)|==~F--------=-----,

\n\\PC\卡X2g10

直线PC与平面PAB夹角的正弦值为遮.]

10

6.A[由E,下分别是为CD,C5的中点，可得加=C£2+c户2=。£2+2产=尸四+尸产,

贝I]PELPF.

由AD_LDE,ABLBF,

E

X

产>C

J

可得

PA工PF,

所以E4,PF,依两两互相垂直，以尸为坐标原点，PE,PF,K4分别为坐标轴建立如图所

示的空间直角坐标系,

Ca,0,Q

可得尸(0,0,0),£12

2°],，(0,0,a),

设C(x9y9z),

Caaa\

即得d3,313J,

所以可得PE&a。1

Caaa\

无=13'3,3」,

设平面尸CE的法向量为/t=(x',/,z'),

则ax八

nPE=------=0

2

令。=1,则x'=0,z'=1,

所以平面PCE的一个法向量为

”=(0,1,1)，

又7^4=(0,0,a),

设以与平面PCE的夹角为仇

一阿川a

所以sin6=|cos<PA,加尸=看=*.]

\PA\\n\N2a2

7.AD

8.BD[由题意可得APL4P,BP±CP,

又4PCCP=P,AP,CPU平面E4C,所以BP_L平面B4C,

在AE4c中，己4=尸。=23，/C边上的高为寸(23)2—22=2@,

所以厂三(oP—Bcu/artB-以也*2=?，故A错误；

在△B4C中，cos/”C=12+j_16_=1,

2X2^3X2-733

3c="12+4=4,

-.\PA-BC\

|cos(,PA,BO|=

西伊C

_\PA-(PC-PB)\

2^3X4

\PA-PC-PA-PB\

8A/3

_J两的cos//PC-0|

83

2^3X2j3x13

83*6

所以直线E4与直线3c夹角的余弦值为贵，故B正确;

6

SAPBC=《PBPC

2

」X2X23=2总

2

设点/到平面PBC的距离为d,

由y三棱锥8—_B4C=V三棱锥4—尸5。，

得1x243"=速，解得"=生而，

333

所以直线以与平面总C夹角的正弦值为且=上—=",故C错误;

PA2yli3

由B知，cosZAPC=~,

3

则sin/APC=迤,

3

所以△E4C的外接圆的半径

.=1AC=3也

1—2sin//尸。一2'

设三棱锥尸一48C外接球的半径为凡又因为平面E4C,

则相=户+[回2=9+1=11,

22

所以尺=32,

2

即三棱锥P—4SC外接球的半径为?，故D正确.]

/

9.—10.111.60°

10

12.90°-

3

解析如图，以点。为坐标原点，以扇，比，万万的方向分别为x,丹z轴的正方向建立空

间直角坐标系，设正方体的棱长为2,

贝U/Q0,2),

£(2,1,0),C(0,2,0),网2,2』),

G(l,2,2),

/.Zc=(-2,2,-2),£>=(0,1,1),病=(—1,1,2),

.,.水•砺=0+2—2=0,

汞病=2+2—4=0,

：.AtC±EF,AiCLEG,；EGCEF=E,EG,EFU平面EFGHKL,

.,.小。_1_平面EFGHKL,

，直线4c与平面EFGT/XZ夹角的大小为90°.

又。1(0,0,2),3(2,2,0),

加=(2,2,-2),

由题意知水=(一2,2,—2)为平面EFG用2的一个法向量，

----►----►\D\BA\C\4

设直线与平面EFGHKL的夹的角为a,则sina=|cos〈£>海，/〈〉尸——=―一产

|Di5yiC|正义正

=1

—3，

:直线P。u平面EFGHKL,

直线。山与直线PQ的夹角最小时即为直线。18与平面EFGHKL的夹角，；.sin

13.(1)证明由CF//AE,

W平面ADE,/EU平面

得CF〃平面ADE,

由AD〃3C,BC<Z平面ADE,ADU平面ADE,

得3C〃平面/DE,

又CFCBC=C,CF,8CU平面3CF,

所以平面8CF〃平面ADE,

又Bpu平面BCF,

所以B尸〃平面幺DE.

(2)解因为/£J_平面Z8C£>,AB,ABCD,所以NE_L/8,AELAD,又ZD_L/8,

以/为原点，分别以48,AD,/£所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示,

因为/3=AD=1,AE=BC=2CF=2,

所以2(1,0,0),C(l,2,0),D(0,l,0),£(0,0,2),

则无=(—1,-2,2),前=(—1,0,2),DE=(0,-1,2),

设平面BDE的法向量为/«=(x,y,z),

mBE=—x+2z=0,

则._

ntDE——y+2z=0,

令z=l,则x=2,y=1,

即加=(2,2,1),

一|»rCE|44

所以|cos(m,CE)|==------=-,

\m\\CE\3X39

4

即直线CE与平面3DE夹角的正弦值为上

9

14.⑴证明取48的中点£,连接CE(图略)，

:在梯形ABCD中，AB//CD,AD=DC^-AB,AE//DC,AE=DC,

2

四边形4DCE1是平行四边形,

CE=AD,CE=AE=EB,

：.ZACB=90°,gpCBLCA,

I•二面角尸一NC—3为直二面角，

平面E4C_L平面