北师大版八年级数学常见题型专练：探索勾股定理（2种题型） （原卷版）

第01讲探索勾股定理（2种题型）

D【知识梳理】

一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为

a,b,斜边长为c,那么。2+〃2=cL

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段

长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问

题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：

a2=c2—b1,b2=c2—a2,c2=（«+/?）"—lab.

二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图°）中几方“前=（a+6）2=/+4X）处，所以1+川=3

At&2

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图⑵中S防般的0=1=3-4+4*；而，所以/=/+「

="+欧=2X%+1J，所以/+/=/

三、勾股定理的作用-“

1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

2.用于解决带有平方关系的证明问题；

3.利用勾股定理，作出长为式的线段.

边.

【考点剖析】

题型一、勾股定理的应用

例1、在AABC中，NC=90°,NA、ZB,NC的对边分别为a、b、c.

(1)若a=5,b=12,求c；

(2)若c=26,b=24,求a.

例2.如图所示，在多边形ABCD中，AB=2,CD=1,ZA=45°,ZB=ZD=90°,求多边形

ABCD的面积.

【变式】已知：如图，在AABC,BC=2,SAABC=3,ZABC=135°,求AC、AB的长.

例3、长方形纸片ABCD中，AD=4cm,AB=10cm,按如图方式折叠，使点B与点D重合，折

痕为EF,求DE的长.

题型二、勾股定理的证明

例4、如图所示，在RtZ\ABC中，/C=90°,AM是中线，MNXAB,垂足为N,

试说明/UY?—BN?

例5.请用两种方法证明：△ABC中，若/C=90°,则。2+反=©2

例6.图中大正方形是由4个全等直角三角形和一个小正方形拼成的，其中每个直角三角形

两直角边为a,b,斜边为c,你能通过此图验证得到勾股定理吗？请说说你的理由.

例7.做8个全等的直角三角形，设它们的两条直线边分别为a,b,斜边为c,再做3个边

长分别为a，b,c的正方形，把它们按图4,图5所示的方式拼成两个正方形.利用两个

正方形的面积相等来证明勾股定理：a2+b2=c2.

abab

例8.如图，己知NC=/O=90°,D,E,C三点共线，各边长如图所示，请利用面积法证

明勾股定理.

【过关检测】

选择题

1.（2022春•西华县期中）如图，这是用面积为18的四个全等的直角三角形拼成的“赵爽

弦图”.如果大正方形的边长为9,那么小正方形的边长为（）

2.（2022春•高安市期中）勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦

图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25,小正方形面积为1,若用

。、b表示直角三角形的两直角边（a>b）,则下列说法：①。2+房=25,②a-b=l,③ab=

12,④。+b=7.正确的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

二.填空题

3.用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABC。和一个小正方形EFG”，这就是著

名的“赵爽弦图"，若48=15,AF=12,则小正方形EFGH的面积为

4.（2022春•台江区期中）在△ABC中，ZC=90",若AB=&,则482+8。2+忙2

5.（2022春•长垣市期中）如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形

是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5,则正方形。的面积为

6.1876年美国总统加菲尔德利用图验证了一个十分著名的定理，这个定理称

为,该定理的结论其数学表达式为

7.（2022春•新邵县期中）如图所示，在RtA4BC中，ZB=90°,A。平分/BAC,交8C于

点0,DE±AC,垂足为点E,若BO=3,则DE的长为.

三.解答题

8.（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法.某

同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACOE边C。上一点，连接A8,

得到直角三角形ACB,三边分别为a,b,c,将裁剪拼接至△/»£下位置，如图2所示，

该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理.请你写出该方法证明勾股定理的过程.

F

9.如图所示是用硬纸板做成的四个完全相同的直角三角形和一个边长为c的正方形，直角

三角形两条直角边的长分别是。，b,斜边的长为c,请你将它们拼成一个能推导勾股定理的

图形.

(1)画出拼成的这个图形的示意图；

(2)推导勾股定理.

bb

aac

10.【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正

方形，通过证明可得中间也是一个正方形.其中四个直角三角形直角边长分别为。、b,斜

边长为c.图中大正方形的面积可表示为（a+b）2,也可表示为c2+4X」ab,即（a+b）2=

2

C2+4X—ab,所以<j2+b2=c2.

2

【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔